Xem mẫu
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 CHUYÊN ĐỀ 1:
Phương trình và hệ phương trình. I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.
Bài 1:Gpt:10. x +2�+ x+
2�
1�
2 11. x2
4 = 0. �
Giải:
Đặt u = x +2;v = x+ 2 (1).
Ta có: 10.u2 + v2 11.uv = 0 (uv).(10uv)=0 u=v hoặc 10u=v. Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.
Bài 2:Gpt: (x2 4x+3).(x2 6x + 8)=15. Giải:
Đặt x2 5x + 5 = u (1).
Ta có: (x2 4x+3).(x2 6x + 8)=15 (x1).(x3).(x2).(x4)15=0 (x1).(x2).(x3).(x4)15=0 (x25x+4).(x25x+6)15=0 (u1).(u+1)15=0
u216=0 u= 4.
Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 3:Gpt: x+1�+ xx1 =90.
Giải:PT x2. (x+1)2 + (x 11)2 =90.� x2. 2x2 + 2 =90.
Đặt u = x2 ( u 0) (1). Ta có:
u.(u 1)2 =90� 2u2 + 2u =90.(u 1)2 ( u 1). 88u2 182u 90 0.
Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.
Bài 4:Gpt: 3 x + 3 2x 3= 3 12.(x 1) . Giải:
Đặt 3 x =u;3 2x 3= v (1).
1
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 Có: u v 3 4.(u3 v3) u3 v3 3uv.(u v) 4.(u3 v3)
3.(u v).(u2 2uv v2 ) 0 3.(u v).(u v)2 0
u v
u v
Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 5:Gpt: 5x3 3x2 3x 2
Giải:
1 x2
2 2
3x (1).
Từ (1) suy ra: 2. 5x3 3x2 3x 2 x2 6x 1
20x3 12x2 12x 8 x4 36x2 1 12x3 2x2 12x
x4 8x3 22x2 24x 9 0 (x 0). x2 8x 22 24 9 0.
Đặt x x y (*) ta có:
y2 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 6:Gpt: x 1.(x 4) 3.(x 4).
x 1
x 4
18 0(1).
Giải: Điều kiện x > 4 hoặc x < 1. *Nếu x > 4, (1) trở thành:
(x 1).(x 4) 3. (x 1).(x 4) 18 0
Đặt (x 1).(x 4) y 0 (2) ta có:
y2 + 3y 18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x. *Nếu x < 1, (1) trở thành:
(x 1).(x 4) 3. (x 1).(x 4) 18 0
Đặt (x 1).(x 4) y 0 (3) ta có:
y2 3y 18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x. Bài 7:Gpt:(2x2 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).
Giải:
(1) 4x4 4x3 20x2 2x 1 0 (x 0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :
4x2 + 4x 20 + 2
1
x2
= 0. 2x
1 2
x
2. 2x
1
x
24 0. Đặt y = 2x 1 .(2)
Ta có: y2 + 2y 24 = 0.
Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 8:Gpt:
Giải:PT
x2 16x 0 64 2. x2 8 8x 16 + x2 0. x 8 2.x 4 x 0.
x8 0 + x4 0 + + x 0 + + +
2
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9
Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.
Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4). Giải:
1 x2 x4 2x 2x2 2x3 5 5x2 5x4 � 4x4 2x+ 2x2 2+x =4 0 � 2x4 +x3 x+ =x 2 0 Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x 0.
Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được: 2x2 x + 1 1 2 0. Đặt y = x 1 (*). Ta có:
2y2 y 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.
Bài 10: Gpt: (6x)4 + (8x)4 = 16. Giải:
Đặt 7 x = y (*).
Ta có: (y1)4 + (y + 1)4 =16 2y4 +12 y2 +2 = 16 2.(y1).(y+1).(y2+7)=0 y =1 hoặc y = 1. Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x. II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau:
Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) Giải:
Đặt y2 + 3y = t.
Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t.
*Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn.
*Nếu t < 2 thì 2t + 4 < 0 nên t2 + 2t > t2 + 4t + 4 suy ra t2 + 2t > t2 + 4t + 4 = (t+2)2. Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*).
Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**).
Từ (*)&(**) suy ra (t + 2)2 < x2 < t2 suy ra x2 = (t+1)2 suy ra t2 +2t = (t +1)2 (=x2) Suy ra : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý).
*Nếu t = 1 suy ra x2 = t2 +2t = 1 <0 (Vô lý).
*Nếu t = 0 suy ra x = 0 y = 0 hoặc 1 hoặc 2 hoặc 3 .
Bài 2:
Giải:
x y z 2(1)
2x2 xy x 2z 1(2)
Từ (2) ta có: 2x2 xy+x2z =1 kết hợp với (1) ta có: 2x2 xy+x2.(2 x + y)=1 2x2 xy +3x2y5=0
3
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9
x2 3x 5 7
x 2 x 2 Từ đó ta tìm được x tìm được y
7x 2 x 2 1, 7.
tìm được z.
Bài 3:
x y z 3(1)
x2 y2 z2 1(2)
Giải: Thay (1) vào (2) ta được:
(y + z 3)2 y2 z2 =1 yz 3y 3z = 4 (y3).(z3) = 5 = 1.5 = (1).(5) = 5.1=(5).(1. Từ đó ta tìm được y và z tìm được x.
Bài 4: 2xy + x + y = 83.
Giải:PT x
83 y
2y 1
2x
166 2y
2y 1
1
167
2y 1
1672y 1 2y 1 1, 167.
Từ đó ta tìm được y tìm được x.
Bài 5: xy
yz zx
x y
3.
Giải:Điều kiện : x,y,z 0.
Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có 3 số 3 thỏ mà chỉ có hai chuồngmọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hoặc dấu dương)
Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y = xy > 0 và x , y 0.
Đặt A= xy
yz zx
x y
3.
Giả sử z <0 khi đó 3 = A = xy
Vậy z >0.Ta có:
yz zx
x y
0 0 0 0 (Vô lý).
A = xy
yz zx
x y
3
xy
z
z. y z. x 3.3 z .z. y .z. x 3.3 xy z
1 xy.z z 1, xy 1
z 1,x y 1
z 1,x y 1
Bài 6: 2x2 2xy = 5x + y 19.
Giải:Từ bài ra ta có: y 2x22x5x1 19 x 2 Từ đó ta tìm được x tìm được y.
17
2x 1
172x 1 2x 1 1, 17.
III.Giải hệ phương trình và các phương trình khác.
Bài 1:1
1 2. 2 x2
Giải:Điều kiện :x
Nếu x < 0 thì 1
0, x 2 .
1 1 1
2 x2 2 x2 2
2.
4
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 Vậy ta xét x > 0:
Đặt x = a và 2 x2 b (a,b > 0).
1 1
Ta có: a b
2
a2 b2 2
Có: 2
1 1
a b
2.
1
ab
ab 1 (1).
Lại có: 2 = a2 + b2 2ab suy ra 1 ab (2).
Từ (1)&(2) suy ra ab = 1 mà a2 + b2 =2 nên suy ra (a+b)2 = 4 suy ra a + b = 2.
Vậy ta có:
ab 1
a b 2
a b 1 x 1.
Bài 2: 4 x2 1 4x x2 y2 2y 3 x4 16 y 5. Giải:
4 x2 0(1)
Điều kiện: 12 4x 2 0(2) 3 0(3) x4 16 0(4)
Từ (4) suy ra x2 4 kết hợp với (1) suy ra x2 = 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2. Phương trình đã cho trở thành:
y 1 y 5 .
Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì nữa (Lập bảng xét dấu).
Bài 3: 2x4 21x3 + 74x2 105x +50 =0. Giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy x 0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x2 ta được:
2x2 21x 74
105 50
x x2
0 2. x
25 2
x
21. x
25
x
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn