- Trang Chủ
- Ôn thi ĐH-CĐ
- Các bài toán về sự tương giao giữa conic với các đường khác (Bài tập và hướng dẫn giải)
Xem mẫu
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 29 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 29-04
Bài toán về sự tương giao giữa cônic với các đường khác.
Bài 1:
x2 y 2
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hypebol: ( H ) : − = 1 và điểm M(2;1). Viết
2 3
phương trình đường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho m là trung điểm
của AB
Bài 2:
x2 y 2 x2 y 2
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho: Elip ( E ) : + = 1 và Hypebol ( H ) : − = 1
9 1 1 4
Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H).
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) và đường thẳng d có phương trình:
( P ) : y 2 = 2 x ; d : 2my − 2 x + 1 = 0
a) CMR: Với mọi m, d luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2
điểm M, N phân biệt.
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi.
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 27-04
Bài 1:
x2 y 2
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip: ( E ) : + = 1 F1; F2 lần lượt là tiêu điểm
8 4
phải và trái của (E). Tìm điểm M trên (E) sao cho MF1 - MF2 =2
HDG:
Gọi M(x0;y0) Vì MF1 - MF2 =2 nên:
cx cx a 2 2
a + 0 − a − 0 = 2 ⇔ x0 = = = 2
a a c 2
2
x0 1
⇒ y0 = 4(1 − ) = 4(1 − ) = 3 ⇒ y0 = ± 3
2
8 4
⇒ M 1 ( 2; 3); M 2 ( 2; − 3)
Bài 2:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy hãy lập phương trình chính tắc cuả Elip (E) có độ
dài
trục lớn là 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm cùng nằm trên một
đường tròn.
HDG:
Do 2a = 4 2 ⇒ a = 2 2 ⇒ a 2 = 8
Ví các đỉnh của trục nhỏ và 2 tiêu điểm cùng nằm trên một đường tròn nên
:
b 2 = c 2
x2 y 2
2 ⇒ 2b = 8 ⇒ b = 4 ⇒ ( E ) : +
2 2
=1
a = b2 + c 2 8 4
Bài 3:
Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) có phương trình: y2 = x và điểm I(0;2).
uuu
r uur
Tìm tọa độ 2 điểm M,N trên (P) sao cho: IM = 4 IN
HDG:
Page 2 of 6
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Gọi:
uuu 2
r
IM (m ; m − 2)
M ( m ; m)
2
uur 2
m 2 = 4n 2
∈ ( P ) ⇒ IN (m ; m − 2) ⇒
m − 2 = 4n − 8
2
N ( n ; n)
uuu
r uur
IM = 4 IN
m = 2n m = −6 M (36;6)
⇔ ⇔
⇔ m = 4n − 6 n = 3 N (9;3)
m = −2n m = −2 M (4; −2)
⇔ ⇔
m = 4n − 6
n = 1 N (1;1)
• BTVN NGÀY 29-04
Bài 4:
x2 y 2
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hypebol: ( H ) : − = 1 và điểm M(2;1). Viết
2 3
phương trình đường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho M là trung điểm
của AB.
HDG:
Xét đường thẳng đi qua M song song với Oy là d: x=2 thì:
d ∩ ( H ) = M 1,2 (2; ± 3) nên trung điểm I (2;0) khác M (loại )
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: y=k(x-2)+1 hay y= kx+1-2k
Hoành độ giao điểm của đường thẳng này với (H) là nghiệm của phương trình:
3 x 2 − 2(kx + 1 − 2k ) 2 = 6 ⇔ x 2 (3 − 2k 2 ) + 4k (2k − 1) x − 2(2k − 1)2 − 6 = 0(∆ > 0)
4k (2k − 1)
M là trung diem ⇒ x1 + x2 = =4⇔ k =3
2k 2 − 3
⇒ y = 3 x − 5 hay 3 x − y − 5 = 0
Page 3 of 6
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Bài 5:
x2 y 2 x2 y 2
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho: Elip ( E ) : + = 1 và Hypebol ( H ) : − =1
9 1 1 4
Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H).
HDG:
Đặt:
a 45
+ b = 1 a =
x = a 9
2
37 77
2 ⇒ ⇔ ⇒ a+b =
y = b a − b = 1 b = 32
37
4
37
77
⇒ x 2 + y 2 = (C )
37
Vậy quỹ tích giao điểm của (E) và (H) chính là đường tròn (C).
Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) và đường thẳng d có phương trình:
( P ) : y 2 = 2 x ; d : 2my − 2 x + 1 = 0
c) CMR: Với mọi m, d luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2
điểm M, N phân biệt.
d) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi.
HDG:
1 1
a) Vì: y = 4 px ⇒ p = ⇒ F ( ; 0) . Thay vào ta có:
2
2 2
1
2m.0 − 2. + 1 = 0 ⇒ F ∈ d
2
Tung độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:
y 2 = 2my + 1 ⇔ y 2 − 2my − 1 = 0
∆ ' = m2 + 1 ≥ 1 > 0 ⇒ ( P) ∩ d = M , N ( M ≠ N )
b) Vì M,N thuộc d nên trung điểm I của chúng cũng thuộc d nên:
Page 4 of 6
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
2myI − 2 xI + 1 = 0
1
y1 + y2 xI = myI + 1
Nhưng: = yI = m ⇒ 2 ⇒ xI = y I +
2
2 m = yI 2
Vậy quỹ tích trung điểm I là parabol có phương trình:
1
x = y2 +
2
• BTVN NGÀY 03-05
Bài 1:
Cho đường tròn: (C ) : ( x + 2) 2 + y 2 = 36 và điểm F2(2;0). Xét các đường tròn tâm
M đi qua F2 và tiếp xúc với (C). Tìm quỹ tích tâm M
HDG:
Trước hết ta xét vị trí tương đối giữa F2 và (C), ta có:
IF2 = 4 < R = 6 nên F2 nằm bên trong đường tròn và sự tiếp xúc nói đến
ở
đây chính là tiếp xúc trong.Ta có:
MF2 + MI = MI + MK = IK = R = 6
Vậy quỹ tích điểm M chính là Elip có 2 tiêu điểm là I và K ( K là điểm
tiếp xúc của 2 đường tròn). Trục thực có độ dài: 2a=6 nên a=3.
Nhưng: F2(2;0) nên c=2. Và ta có: b2=5 hay Elip có PT là:
x2 y 2
+ =1
9 5
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 5 of 6
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Page 6 of 6
nguon tai.lieu . vn
