Xem mẫu
- CÁC BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH
TS. Nguyễn Ái Quốc
Người trình bày:
(Tr. PTTH Lê Hồng Phong)
1
- DỰNG ĐỒ THỊ HS CHỨA GTTĐ
Cho (C) l à đồ thị HS
ax 2 + bx + c
( a ≠ 0)
y = f ( x) =
x−d
Làm thế nào suy ra đồ thị các HS sau đây ?
ax 2 + b x + c
1/ g ( x) =
x −d
ax 2 + bx + c
2/ h ( x ) =
x−d
ax + bx + c
2
3/ k ( x ) =
x−d
2
- ax + b x + c
2
1/ Vì : - g ( x) = là HS chẵn
x −d
- khi x ≥ 0 thì : g(x) = f(x)
⇒ (Cg) gồm hai phần :
• (Cg1) : phần của (C) ứng với x ≥ 0
• (Cg2) : đối xứng của (Cg1) qua Oy
ax + bx + c
2
≥ 0 , ∀x ∈ D f
2/ Vì h( x) =
x−d
⇒ (Ch) gồm hai phần :
• (Ch1): phần của (C) ứng với y ≥ 0
• (Ch2): đối xứng phần của (C) ứng với
y ≤ 0 qua Ox.
3
- ⎧ f ( x) ( x > d )
3/ Vì k ( x) = ⎨
⎩− f ( x) ( x < d )
⇒ (Ck) gồm hai phần :
• (Ck1): phần của (C) ứng với x>d
• (Ck2) : đối xứng phần của (C) ứng với x
- x2 − 5 x + 4
h( x ) =
x −2
y
8
6
y=-x-3 y=x-3
4
x=-2 x=2
2
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
(C1)
-2
-4
-6
-8
-10
5
- x − 5x + 4
2
h( x ) =
x−2
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
O
-1
-2
-3
-4
6
- x2 − 5x + 4
k ( x) =
x−2
y
4
3
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
O
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
7
- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2 khó khăn lớn nhất :
- Không biết vận dụng công thức nào ?
- Không dự đoán được dạng cuối cùng của PT
Công thức :
- Cung liên kết
- Công thức cộng, nhân đôi, nhân ba
- Công thức biến đổi tổng thành tích, tích
thành tổng
Phương trình sau cùng thường là:
- Phương trình tích
- Phương trình cơ bản
- Có dạng Phương trình Đại số bậc 3, 4
8
- Ví dụ 1: Giải phương trình :
tan2x.cot22x.cot3x = tan2x – cot22x + cot3x.
⎧x ≠ k π
⎪ 2
Điều kiện : cosx.sin2x.sin3x≠0 ⇔ ⎨
⎪ x ≠ k 'π
⎩ 3
PT⇔ cot3x(tan2x.cot22x – 1)=tan2x – cot22x
sin x cos 2 x − cos x.sin 2 x
2 2 2 2
⇔cot3x =
2 2
cos x.sin 2 x
sin 2 x.sin 2 2 x − cos 2 x.cos 2 2 x
2 2
cos x.sin 2 x
⇔ cot3x.sin3x.sin(-x)=-cos3x.cosx
⇔cos3x.sinx=cos3x.cosx (vì sin3x≠0)
⇔cos3x(sinx – cosx) = 0
9
- ⎛ x − π ⎞ =0
⇔cos3x. 2.sin ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
⎡x = π + k π
⎡cos3 x = 0 ⎢ 6 3
⎢
⇔ ⎛x−π ⎞ ⇔ ⎢ .
⎢sin ⎜ ⎢ x = π + lπ
⎟
⎣⎝ 4⎠
⎣ 4
⎧x ≠ k π
⎪ 2
So sánh với đk ban đầu: ⎨
⎪ x ≠ k 'π
⎩ 3
suy ra nghiệm của PT:
⎡ x = π + mπ
⎢ 6
⎢
⎢ x = − π + mπ
⎢ 6
⎢ π
⎢ x = + mπ
⎣ 4
10
- Các bài toán tương tự
1/ Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
1 + 3 3 cos x + 3 1 − 3 sin x = 4 3.cos3 x − sin 3 x
2/ Giải phương trình:
⎛x−π ⎞−3
sin 3 x − 4cos ⎜ ⎟
⎝ 6⎠
=0
sin 3 x − 1
11
- PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
2 x − 1 + 2 3 5x + 2 = 9
Ví dụ :
CÁCH 1 : « Bình phương »
PT ⇔ 2 x − 1 = 9 − 2 5x + 2
3
⎧9 − 2 3 5 x + 2 ≥ 0
⎪
⇔⎨
⎪2 x − 1 = 91 − 36 5 x + 2 + ( 5 x + 2 )
2
3 3
⎩
⇒ bế tắc
CÁCH 2 : « Đặt ẩn phụ »
⎧ u −2 3
⎪x = 5
⎧u = 3 5 x + 2
⎪ ⎪
⇒⎨
⎨
⎪v = 2 x − 1 ( v ≥ 0 ) ⎪x = v +1
2
⎩
⎪
⎩ 2
⇒ 2u 3 − 5v 2 − 9 = 0 .
12
- ⎧2u + v = 9
(v ≥ 0)
Ta có hệ : ⎨ 3
⎩3u − 5v − 9 = 0
2
PT theo u :
3u3 – 20u2 + 180u – 54 = 0
⎡u = 3
⇔⎢ 2
⎣u − 7u + 69 = 0(VN )
u = 3 = 3 5 x + 2 ⇔ x = 5 ( v xác định).
Vậy PT đã cho có một nghiệm duy nhất là 5
13
- HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
Phương pháp giải:
- Dùng ẩn phụ
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
⎧ xy + x + 2 = 4 y
⎨22
⎩ x y − 7 xy + 4 = −2 y
2
• y = 0 không thỏa hpt
• Với y≠0:
⎧x + x + 2 = 4
⎪ yy
⎪
HPT⇔ ⎨
⎪ x 2 − 7 x + 4 = −2
⎪ y y2
⎩
14
- ⎧x ⎛ 2⎞
⎪y = 4−⎜x+ y⎟
⎝ ⎠
⎪
⇔⎨ 2
⎪⎛ x + 2 ⎞ − 11 x + 2 = 0
⎪⎜ y⎟ y
⎩⎝ ⎠
⎧ ⎛ 2⎞
x
= 4−⎜x+ ⎟ (1)
⎪ y y⎠
⎝
⎪
⇔⎨ 2
⎪⎛ x + 2 ⎞ + 11⎛ x + 2 ⎞ − 42 = 0 (2)
⎪⎜ y⎟ ⎜ y⎟
⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
Đặt u = x + , PT(2) quy về PT:
y
u2 + 11u – 42 = 0 ⇔ u=3 hay u = -14.
⎧x + 2 = 3
⎪ ⎧x = 1 ⎧x = 2
y
⎪
•u = 3 ⇒ ⎨ ⇒⎨ hay ⎨
⎩y =1 ⎩y = 2
⎪x =1
⎪y
⎩
15
- ⎧ x + 2 = −14
⎪ y
⎪
• u = -14 ⇒ ⎨
⎪ x = 18
⎪y
⎩
⎧18 y 2 + 14 y + 2 = 0
⇒⎨
⎩ x = 18 y
⎧ x = −7 + 13 ⎧ x = −7 − 13
⎪ ⎪
⇒⎨ ⎨
−7 + 13 hay −7 − 13
⎪y = ⎪y =
⎩ ⎩
18 18
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
⎧ e 2 x−3 + 2 x = e y −1 + y + 2 (1)
⎨2 (I)
x + y 2 + 4 x + 2 y + 1 = 7 (2)
⎩
PT(1) ⇔ e2x-3 + 2x – 3 = ey-1 + y – 1.
Xét hàm số f(t) = et + t trên R.
f’(t) = et + 1 > 0, ∀t ∈ R ⇒ f đồng biến trên R
16
- Từ (1) suy ra :
f(2x–3) = f(y–1) ⇒ 2x – 3 = y –1
⇒ y = 2(x – 1) (1a)
PT(2) ⇔ x2 + 4(x-1)2 + 4x + 2 2 x − 1=7
⇔ 5x2 – 4x – 3 + 2 2 x − 1 = 0 (1b)
Xét HS g(x) = 5x – 4x – 3 + 2 2x − 1 trên
2
[1/2, +∞).
2
g’(x) = 10x – 4 + > 0 trên [1/2, +∞)
2x −1
⇒ g đồng biến trên [1/2, +∞)
Mặt khác, vì g(1) = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm duy
nhất của PT(1b).
Từ (1a), x = 1⇒ y = 0.
Vậy (1, 0) là nghiệm duy nhất của HPT (I).
17
- Bài toán tương tự :
⎧ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y
1/ ⎨ 2
x − 12 xy + 20 y 2 = 0
⎩
⎧( 4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
⎪
2/ ⎨
⎪4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7
⎩
18
- HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
Phương pháp “tham số”
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): 3x–2y+1=0.
Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua
M(1; 2) và tạo với (d) một góc bằng 450.
d
Δ2 Δ1
M
Gọi VTPT của Δ là n Δ = ( a, b ) với a2+b2≠0(*).
PT của Δ qua M(1, 2):
a(x–1)+b(y–2) = 0 ⇔ ax+by–(a+2b) = 0 (1)
VTPT của (d): n d = (3, 2) .
Theo giả thiết:
19
- 2
(Δ, d) = 45° ⇔ cos(Δ, d) = cos( n Δ , n d ) =
2
n Δ .n d 3a + 2b 2
=
⇔ =
2
a 2 + b2 32 + 22
nΔ nd
2 3a + 2b = 13 ( a 2 + b 2 )
⇔
⇔ 2(3a + 2b)2 = 13(a2 + b2)
2 2
⇔ 5a + 24ab – 5b = 0 (2)
• Nếu b = 0 thì a = 0 ⇒ trái giả thiết (*)
• Nếu b≠0, chọn b = 1 thì từ PT(2) ta có:
a = – 5 hay a = 1/5.
Với a = –5, b = 1:
(1) ⇒ PT của (Δ): –5x + y + 3 = 0
Với a = 1/5, b = 1:
(1) ⇒ PT của (Δ): x + 5y – 11 = 0.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi
qua M(1, 4) và cắt tia Ox, tia Oy lần lượt tại A
và B phân biệt sao cho SOAB nhỏ nhất.
20
nguon tai.lieu . vn
