Xem mẫu
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 12 Email: tranhung18102000@yahoo.com
TIỆM CẬN, KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. Tóm tắt lý thuyết
ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
1. Trong mp(Oxy) cho điểm I(x0;y0) . Gọi IXY là hệrrạ độ mới có gốc
to
y là I và hai trục IX,IY theo thứ tự có cùng vectơ đơn vị i, j với hai trục Ox,
Y
Oy M là điểm bất kì của mp, giả sử M(x;y)/(Oxy) và M(X;Y)/(IXY) Tacó:
=x = X + x0
=
= y = Y + y0
y M
Y
2. Phương trình của đường cong đối với hệ toạ độ mới:
X
Giả sử (C) là đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ Oxy . Tịnh tiến hệ trục
X
=x = X + x 0
uur
1
Oxy theo vec tơ OI với I(x0;y0) theo công thức đổi trục = ta có
x x
=y = Y + y 0
phương trình của (C) trong hệ toạ độ IXY là: Y = (X+x0) – y0
TIỆM CẬN
1) Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f( )
x
nếu xlim f ( x) = y0 hoặc xlim f ( x) = y0
f +y f −y
2) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f( )
x
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim− f ( x ) = +f ; lim+ f ( x) = +;
x − x0
+ x x0
lim f ( x ) = −f ; lim+ f ( x) = −;
x − x0−
+ x x0
3) Tiệm cận xiên: Đuờng thẳng y= ax+b (a ẳ 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
y = f( ) nếu lim [f ( x) − (ax+b)] = 0 hoặc lim [f ( x) − (ax+b)] = 0
x x f +m x f −m
f ( x)
- Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y = ax + b: a = ; b= lim [f ( x) − ax] .
lim
x
x l +m( −; ) + (−= )
- Để tìm tiệm cận xiên của hàm số hữu tỉ ta thực hiện phép chia để viết lại hàm số:
ax 2 + bx + c r
= px + q +b
' (a.a ' 0, r 0)
a 'x + b' a 'x + b'
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định 1. Tập xác định
2. Sự biến thiên 2. Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực - Giới hạn, tiệm cận
- Chiều biến thiên, cực trị - Chiều biến thiên, cực trị
- Bảng biến thiên - Bảng biến thiên
3. Đồ thị 3. Đồ thị
- Điểm uốn - Tâm đối xứng
- Điểm đặc biệt - Giá trị đặc biệt
- Đồ thị - Đồ thị
1
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 12 Email: tranhung18102000@yahoo.com
Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
a>0 a0 a
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 12 Email: tranhung18102000@yahoo.com
ax + b
(c + 0, ad −d
bc 0)
Hàm số y =
cx + d
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
4 4
2 2
2
ax + bx + c
2
r
= px + q +b
Hàm số y = ' (a.a ' 0, r 0)
a 'x + b' a 'x + b'
a.a’ > 0 a.a’ < 0
2
2
O
Pt y’ = 0 có
O
hai nghiệm
phân biệt
2
2
4
4
2
2
Pt y’ = 0 vô
O
nghiệm O
2
2
CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
1. Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ
giao điểm của (C1), (C2): f(x) = g(x) (1)
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong:
= f ( x) = g ( x)
Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm: =
= f '( x) = g '( x)
Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) ∈ (C).
Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào y – y0 = f’(x0) ( x − x0 )
3
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 12 Email: tranhung18102000@yahoo.com
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
- Lập phương trình f’(x) = k ⇒ .. ⇒ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)
- Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)
- Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) (1)
=f (x) = k(x − x A ) + y A
- (d) là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ sau có nghiệm: =
=f '(x) = k(*)
- Giải pt f ( x) = f '( x)( x − x A ) + y A tìm x và thay vào (*) tìm k , thay vào (1) ta có kết quả.
B. Các ví dụ và bài tập
1. Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm uốn của (C). b) Tại điểm có tung độ bằng -1
c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5. d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
14 3 3
a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0) b) y = x − 3 x + đi qua điểm A(0 ; ) .
2
2 2 2
x+2 x − 4x + 5
2
đi qua điểm A(-6 ; 5) đi qua điểm A(2 ; 1).
c) y = d) y =
x−2 x−2
3. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt
13
4. Tìm m để đồ thị hàm số y = x − x + m cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt.
3
5. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 không cắt trục hòanh.
6. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hòanh tại 4 điểm phân biệt.
2x − 1
7. Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y =
x +1
a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
2 x 2 + 3x + 3
8. Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =
x +1
a) Tại hai điểm phân biệt .
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
x+2
9. Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A(-1;-1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y =
2x + 1
a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.
− x 2 + 2x − 3
10. Chứng minh rằng (P) : y = x2 -3x – 1 tiếp xúc với (C) : .
x −1
x2 + m
tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7.
11. Tìm m sao cho (Cm) : y =
x −1
2 x 2 − 4x − 3
b) Tìm m để pt : 2x2 – 4x – 3 + 2m| x - 1| = 0 có 2 nghiệm phân
12. a) Vẽ đồ thị hàm số y =
2( x − 1)
biệt.
13. Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)
c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó.
14. Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x + m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1.
4
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 12 Email: tranhung18102000@yahoo.com
15. Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = − x+2
24
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
x4 3
− 3x 2 +
16. Cho hàm số y =
2 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 - 6x2 + 3 - m = 0
3
)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ;
2
17. Cho hàm số y = - x4 + 6x2 - 5
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0).
x +1
18. Cho hàm số y = .
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + 1
x 2 + 3x + 3
19. Cho hàm số y =
x +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m só nghiệm của phương trình: x2 + (3 – m)x + 3 – m = 0.
c) Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ.
x2 + x −1
20: Cho hàm số y =
1− x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(0, -1).
c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) song song với tiệm cận xiên của (C)
( x − 2) 2
21. Cho hàm số y =
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi (d) là đường thẳng điqua A(-1 ; 0) có hệ số góc là m . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân
biệt.
c) CM: Tích các khỏang cách từ một điểm M trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một số không đổi.
x 2 + (m + 2) x − m
22. Cho hàm số y = có đồ thị là (Cm).
x +1
a) Xác định m sao cho tiệm cận xiên của (Cm) định trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
c) Xác định k để cho đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho đọan EF là ngắn
nhất.
23. Cho (Cm) có phương trình y = x4 – 2(m+1)x2 +2m + 1
a) Tìm điểm cố định của họ (Cm)
b) Định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
24. Cho hàm số y = x3 – 3ax2 + 4a3. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm A, B, C sao
cho AB = AC.
25. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó có thể kẻ
được hai tiếp tuyến tới (C) và vuông góc với nhau
26. Cho hàm số y = x3 - 3x2 (C). Tìm trên (C) các điểm mà từ đó có thể kẻ được một tiếp tuyến tới (C).
5
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 12 Email: tranhung18102000@yahoo.com
� 2�
x2 + 3
(C ). Viết phương trình đường thẳng d qua M � �sao cho d và (C ) cắt nhau
2;
27. Cho hàm số y =
� 5�
x +1
tại hai điểm A và B, sao cho M là trung điểm của AB.
6
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 12 Email: tranhung18102000@yahoo.com
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ
Bài 1 (ĐH Mỏ Địa Chất 1999)
a) Khảo sát hàm số y = -x4 + 2x2 + 3 (C)
b) Biện luận số nghiệm của phương trình x4 –2x2 = m4 –2m2
x2 + x − 3
Bài 2. (ĐH Đà Lạt 1998) Cho hàm số y =
x+2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận số nghiệm của phương trình t4 +(1-m)t2 –3 –2m = 0
x2 + x −1
Bài 3. (CĐ KTĐN 1998) Cho hàm số y =
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
−π π
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 12 Email: tranhung18102000@yahoo.com
8
nguon tai.lieu . vn
