Xem mẫu
- Thông báo
1. Tài liệu này ở phần 1 có sử dụng tài liệu của thầy giáo Lê Bá Hoàng (Phòng GD-ĐT
Hồng Lĩnh)
2. Liên hệ email để có thêm chi tiết:
the_halfblood_prince@ymail.com
website: http://4rumbachongsecondary.forumvi.net/forum.htm
- ĐỀ SỐ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Thời gian làm bài 150’)
Câu 1: Giải phương trình.
6x − 3
= 3 + 2 x − x2
x − 1− x
Câu 2: Cho hệ phương trình:
x - 3y - 3 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0
Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tìm giá trị c ủa bi ểu
thức.
M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2.
Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là
các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C).
Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Ch ứng
PQ
minh rằng tỷ số không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
EF
Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức.
2(y+z) = x (yz-1)
Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đ ỉnh là 3 đ ỉnh liên ti ếp c ủa
ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.
- ĐỀ SỐ 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150’)
Câu 1: Cho biểu thức.
(x + x 2 + 2006) (y + y 2 + 2006) = 2006
Hãy tính tổng: S = x + y
x2 − x + y2 − y
≤0
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:
x 2 + y 2 −1
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đ ều là nh ững s ố
chính phương.
Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn
này nằm trong đường tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung
tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường tròn (C 1) tại diểm thứ hai A và MN cắt
(C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C 2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm
thứ hai C.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Câu 5: Giải phương trình.
x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2 + 1
- ĐỀ SỐ 3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
THANH HOÁ MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút
*****
Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?
y = 5 + 13 + 5 + 13 + 5 + ...
111 1
++=
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: . Chứng minh rằng :
a b c a+b+c
1 11 1
Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: n + n + n = n
a + bn + c n
a b c
Bài 3: Giải hệ phương trình:
� − 2 + 2 y −1 = 9
x
x+ y −1 = −1
Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:
( m + 1) x + my = 2m − 1
mx − y = m 2 − 2
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,
1111
x3, x4 thoả mãn điều kiện + + + = −1
x1 x2 x3 x4
1
Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số y = x 2
2
a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy sao
cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và
B. Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I
1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được
2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K
khi M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có ﾵA 900 , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và
E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để độ
dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.
- ĐỀ SỐ 5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Bài I (2đ)
1 + 2a 1 − 2a 3
+
Rút gọn A Với a =
1 + 1 + 2a 1 − 1 − 2a 4
Bài II (6đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x2 + 4x = 19-3y2
b) Giải hệ phương trình
x3 =7x +3y
y3 = 7y+3x
Bài III (3đ)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6đ)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lượt thứ tự là trung điểm của các
đường hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC. Gọi I là giao điểm của MH’ và NH.
Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V (3đ)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc.
- ĐỀ SỐ 9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
MÔN TOÁN -THỜI GIAN : 150 PHÚT
NGƯỜI RA ĐỀ : LÊ THỊ HƯƠNG – LÊ THỊ TÂM
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
6 x − ( x + 6) x − 3 3 1
− −
A=
2( x − 4 x + 3)(2 − x ) − 2 x + 10 x − 12 3 x − x − 2
điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phương trình
x 2 + 48 = 4x - 3 + x 2 + 35
Câu 3: (4 điểm)
Phân tích ra thừa số
A = x3 y3 + z3 - 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình
x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1)
t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4: (3 điểm)
Tìm GTNN của biểu thức
ϕ 1 x10 y10 1
( 2 + 2 ) + ( x16 + y16 ) − (1 + x 2 y 2 ) 2
=
2y x 4
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đ ường cao, đ ường
phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 ph ần. Hãy tính
diện tích mỗi phần.
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông v ới
nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lượt là chân đ ường vuông góc h ạ
từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường th ẳng MH &
- NH với các đường thẳng CD; OA. chứng minh rằng đường th ẳng PQ // đ ường th ẳng AC và
4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0).
ĐỀ SỐ 10
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
SỞ GD-ĐT THANH HOÁ
Bảng A
TrườngTHPT Bỉm Sơn
( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
( x + y )2 x x−y y
x− y
( )
−
Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A= x− y
x x+y y x− y
1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và A
Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phương trình: x2 + 4x + 5 = 2 2x + 3
2, Cho 1 ≤ a ≤ 2 và 1 ≤ b ≤ 2
( a + b) 2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=
a3 + b3
Câu 3, (6 điểm)
1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình
bậc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = 0
Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác
2
là:
5
2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đường thẳng ( ∆ ) . Đường tròn (o) tiếp xúc với
đường thẳng ( ∆ ) tại A. Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với đường tròn (o) và tiếp
xúc với đường thẳng ( ∆ ) tại B.
(5 điểm)
Câu 4:
Cho hai đường tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của
hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o1) và (o2) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng
song song với CD lần lượt cắt (o1) và (o2) tại M và N. Các đường thẳng BC và BD lần
lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q . Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E .
Chứng minh rằng:
1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân.
- Đề số 11
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – BẢNG B
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
a 2 + 1 1
1 1
1 + với a > 0 và a ≠ 1
+ − 2
Bài 1: Rút gọn A=
2 + 2 a 2 − 2 a 1 − a a
Bài 2: Phân tích đa thức B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 thành nhân tử
15
Bài 3: Tìm m để phương trình x 2 − x + m2 = 0 có hai nghiệm và nghiệm này bằng bình
4
phương nghiệm kia.
Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
(1)
mx + 2 y = m + 1
( 2)
2 x + my = 2m − 1
Bài 5: Giải phương trình x 2 + x + 5 = 5
Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox, Oy.
Xác định m để S∆ ABO bằng 4.
Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC vuông ở A biết rằng đường
phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20 cm.
Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn tại B, C cắt nhau ở A,
∧
BAC = 60 , M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC t ại D, E. G ọi giao
0
điểm của OD, OE với BC lần lượt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội tiếp.
Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất
phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
Tài liệu:
- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9
- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9
: Bất đẳng thức – Phan Đức Chính
- Bài 7
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9.
- ĐỀ SỐ 12
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn thi : Toán
THANH HOÁ
( Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài I (3,0 điểm): a +1
Tính giá trị của biểu thức P = .Trong đó a là
a4 + a + 1 − a2
nghiệm dương của phương trình : 4x2+ 2 x- 2 = 0
Bài II ( 6,0 điểm):
1) Giả sử phương trình : x2+ax+b = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và phương
trình :x2+cx +d = 0 có hai nghiệm x3 , x4 .Chứng minh rằng :
2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d)
2) Chứng minh rằng nếu phương trình :
ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a ≠ 0)
có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1x2=1 thì 5a2=2b2+ac
Bài III (5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA’,BB’,CC’ lần lượt là các
đường cao. H là trực tâm
AH BH CH
1) Chứng minh rằng: HA ' + HB ' + HC ' ≥ 6
AH
=m
2) Cho biết . Hãy tính tgB.tgC theo m
A' H
Bài IV (4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta
nối với các đỉnh của hình bình hành đó .
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu
diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong
các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành
Bài V (2,0 điểm):
Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :
x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y.
Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn
- Đề số 13
Sở GD-ĐT Thanh Hóa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Bài 1: (2,0đ)
Tính giá trị biểu thức:
1 1
+
A=
2 + 2+ 3 2 − 2− 3
Bài 2: (5,0đ)
1
Cho parabol(P): y= x 2
4
a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thu ộc (P) và có hoành đ ộ
lần lượt là 2 và - 4.
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài 3: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội ti ếp đ ường tròn (O;R). Trên cung AC có ch ứa
điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC.
a. Chứng minh rằng trung điểm I c ủa EC và đi ểm D th ẳng hàng v ới 1 đi ểm th ứ ba
cố định.
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC.
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R.
Bài 4: (4,0 đ)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ ều. Đi ểm A’ cách đ ều các
điểm A, B, C.
a. Chứng minh rằng chân đường cao h ạ từ đ ỉnh A’ c ủa lăng tr ụ trùng v ới tam c ủa
đáy ABC
b. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật.
Bài 5: (5,0 đ)
a.Giải phương trình:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0
b.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2x 2 +7xy + 6y 2 = 60
- Đề số 14
đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
Sở gd & đt Thanh hoá
MÔN : TOÁN
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao
NGA SƠN
Bài 1: (6 điểm)
1- Giải phương trình : x 2 + y2 = 5
x4 + x2y2 + y4 = 13
2x- 1
2- Cho biểu thức: A = 2 Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
x+2
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 : (3 điểm)
Cho Phương trình : x2 – 2 .(m - 1) x + m – 3 = 0
1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.
2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
Bài 3: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d ê R.
Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1
Bài 4: (4 điểm)
Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D.
Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
AB. AC = 2DB . DC.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SC,
SB SC.
Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x.
a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x.
b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất
Đề số 21
- SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ XUẤT NGÂN HÀNG ĐỀ
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán
--------o0o------- ----------------o0o--------------
1x
( 2 − 2− x ) − 1
2
1+
4
Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức: A = , với x < 0.
1x
1+ ( 2 − 2 ) + 1
−x 2
4
Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình sau biết phương trình có 2 nghiệm đối nhau:
x4 – 4x3 + 3x2 + 8x – 10 = 0.
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nh ất của bi ểu th ức P = x 2 + y2, biết rằng:
x2 + y2 – xy = 4.
Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820.
Câu 5: (3 điểm)
Cho ∆ ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O; R) có AB = AC = R 2 .
a) Tính BC theo R?
ﾵ
b) Cho M là điểm di động trên cung AC nhỏ. Gọi D là giao điểm của AM và BC.
Chứng minh rằng AM.AD là hằng số.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ MCD di động trên một đường cố
ﾵ
định khi M di động trên cung AC nhỏ.
Đề số 22
SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Cho biểu thức
( )
a a +a+ a
A= : a2 − a
a +1
a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
B = 1 − 2 1 − 2
y
x
- x2 1
Bài 3 : Cho phương trình − = m( x − 1) − (m là tham số )
4 2
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀m ∈ R
2
x12 x2 + x1 x2 đạt giá trị nhỏ
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn biểu thức
nhất, tính giá trị này
Bài 4 :
Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt
được là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
Bài 5 : Giải phương trình
x + 3 − 4 x −1 + x + 8 + 6 x −1 = 5
12
Bài 6 : Cho parabol(P) : y= − x và đường thẳng (d) : y= mx – 2m – 1
4
a) tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A ∈ ( P )
Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
7 x 2 +13 y 2 = 1820
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác
Chứng minh rằng
S HIK
= 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C
S ABC
Bài 9:
Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên
4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì . tìm quỹ tích
các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P
ĐỀ SỐ 23
THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút.
BÀI I (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0. Biết rằng hai ph ương trình
có nghiệm chung và a + b nhá nhÊt Tìm a và b.
.
BÀI II (2 điểm)
Giải phương trình: x + x − 5 + x + x 2 − 5x = 20 .
BÀI III (2,5 điểm)
- x 3 + y 3 = 1
1/ Giải hệ phương trình: 7
x + y = x + y
7 4 4
2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21.
BÀI IV (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O. M là đi ểm chính gi ữa cung
BC không chứa điểm A. Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân giác
trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ lần lượt tại E và F .
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn.
2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
BÀI V (2 điểm)
1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0 ≤ a ≤ 3 ; 8 ≤ b ≤ 11
và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b .
2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz .
Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Ch ứng minh Ot vuông góc v ới m ặt
phẳng (P).
----------------------------------------------------
Họ và tên thí sinh: …………………………………..Số báo danh: ……….
Đề số 24
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Trường THPT Hoằng Hoá 2 Môn : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
( không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm)
Rút gọn biểu thức :
1 1 1 1
+ + + ... +
P=
1+ 5 5+ 9 9 + 13 2001 + 2005
Bài 2 (2 điểm)
Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
(1 + y 2 )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 )
+y +z
x
S=
1 + x2 1+ y2 1+ z2
Bài 3 ( 2 điểm)
- 2x 13 x
+2 =6
Giải phương trình :
3x − 5 x + 2 3x + x + 2
2
Bài 4 (2 điểm)
x 3 − y 3 = 3( x − y )
Giải hệ phương trình :
x + y = −1
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
3 x − 18 x + 28 + 4 x 2 − 24 x + 45 = – x2 + 6x -5
2
Bài 6 (2 điểm)
1
Cho Parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ
4
lần lượt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB c ủa (P) t ương ứng có hoành đ ộ x ∈[-2; 4] sao
cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)
x4 + 2
Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho 2 là số nguyên dương.
x y +1
ĐỀ SỐ 26
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - MÔN TOÁN: THỜI GIAN: 150PHÚT
Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:
5 + 17 − 5 − 17 − 10 − 4 2 + 4
A=
3+ 5 − 3− 5 + 2− 2
Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử
24x3 - 26x2 + 9x - 1
Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình:
x2 - 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:
x +2 y =3
2 x+ y =m
Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:
mx + y = 1
2x + 3y = m −1
có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1
Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2
a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất.
- 2 x 3 + x 2 − 11x + 5
Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả y =
2x − 3
Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a ⊥ b.
Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D. Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C
Thoả mãn IA.ID = IB.IC.
a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn
b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác định điểm E trên FD
sao cho AE ⊥ FI. Khi đó ICED là hình gì?
Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên AB tho ả AM
= MN = NB.
P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC
AQ cắt DN, BP lần lượt tại A1D1
CM cắt DN, BP lần lượt tại B1C1
Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A 1B1C1D1 có diện tích đạt giá trị lớn
nhất.
Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m 3. 2 đáy là 2
đường tròn (O) và (O'), AB là 1 đường kính của đường tròn tâm (O), C di động trên đường
tròn (O). S thuộc đường tròn tâm (O').
a) Xác định C để diện tích ∆ ABC là lớn nhất
b) Khi ∆ ABC đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính thể tích hình chóp SABC.
Đề số 28
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HÓA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
TRƯỜNG THPT BC LÊ VIẾT TẠO
****************************
Bài 1:
a) Chứng minh rằng:
1 32 34
2 −1 = 3 − +
33
9 9 9
b) Tính giá trị biểu thức
E = 2 x 5 + x 3 − 3 x 2 + x − 1 với x = 1 − 2
Bài 2: Cho a ≠ −b , a ≠ −c , b ≠ −c chứng minh rằng
b2 − c2 c2 − a2 a2 − b2 b−c c−a a−b
+ + = + +
(a + b)(a + c ) (b + c)(b + a ) (c + a)(c + b) b + c c + a a + b
Bài 3: Cho phương trình: x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình ph ương nghi ệm
kia.
Bài 4: Giải phương trình: 8+ x + 5− x = 5
Bài 5: Chứng minh nếu a > 2 thì hệ sau vô nghiệm:
x 5 − 2 y = a
2
x + y 2 = 1
- 1 1
Bài 6: Cho Parabol (P) y = x 2 và đường thẳng (d): y = − x + 2 . Gọi A và B là giao điểm
4 2
của (P) và (d). Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích ∆ MAB lớn nhất.
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
8x 4 + 4 y 4 + 2 z 4 = t 4
Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuy ến AM. Lấy đ ối x ứng trung tuy ến AM
NB AB 2
qua AD cắt BC tại N. Chứng minh: =
NC AC 2
Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo l ớn nh ất có giá tr ị bé nh ất là
bao nhiêu.
Bài 10: Cho đường tròn ( 0; R) với 2 đường kính AB và MN. Ti ếp tuy ến v ới (0) t ại A c ắt
BM và BN tại M1, N1. Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung điểm của AN1. Đường kính
AB cố định, tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đường kính MN
thay đổi.
ĐÊ SỐ 30
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức
x −3 x x −3 9−x
x −2
P = 1 − + −
:
x − 9 2 − x 3 + x x + x − 6
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4)
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b. Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c
Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C
c. Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?
Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau
x +1 + y = 4
5
− x 2 + 4x − 1 = 0
a) b)
x − 4x + 5 x+y=7
2
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O
đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.
a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng
b. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E c ắt c ạnh BC t ương ứng t ại M và
N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC.
c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . Tính diện tích tứ giác MDEN
- Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
1 1 2
+ ≥ với x ≥ 1, y ≥ 1
1 + xy
1+ x 1+ y
2 2
ĐỀ SỐ 31
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
Trường THPT Quảng Xương 1 MÔN: MÔN TOÁN - BẢNG A -NĂM HỌC 2005 - 2006
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm)
1− x x 1 + x x
1> cho P = + x − x
1 + x
1− x
a> Rút gọn P
1
b> Tìm giá trị lớn nhất của
P
2>> Tìm trên đường thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thoã mãn:
y2 - 3y x + 2x =0
Bài 2: (5 điểm)
1> Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n =0. Tìm m, n thoã mãn hệ
x1 − x 2 = 5
3
x1 − x 2 = 35
3
2> Giải phương trình:
x2
= x−4
( x + 1 + 1) 2
Bài 3: (5 điểm)
- 1> Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD). E, F là tiếp điểm của AB
và CD với đường tròn (O).
BE DF
=
a> CMR:
AE CF
b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. Tính diện tích ABCD
2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A. Gọi H, K
là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp
Bầi 4: (5 điểm)
11
1> Tìm a ∈ R để phương trình ẩn x sau: 2 x − (4a + ) x + 4a 2 + 7 = 0
2
2
có nghiệm nguyên
2> Chứng minh rằng:
4x 2 y 2 x2 y2
+ 2 + 2 ≥3 với x, y khác 0
(x2 + y 2 )2 y x
Đề số 32
Sở GD & ĐT Thanh Hoá ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
------------ﾵﾵﾵ------------
Bài1 (5điểm)
a. Rút gọn
3 3
1+ 1−
2 2
+
P=
3 3
1+ 1+ 1− 1−
2 2
b. Giải phương trình:
x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x
3
Bài2 (5điểm)
a. Giải hệ phương trình
x + y = 4z − 1
y + z = 4x − 1
x + z = 4 y − 1
b. Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9
Bài3 (5điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4a 9b 16c
+ +
P=
b+c−a a+c−b a+b−c
Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình:
- x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm
Bài 4 (5điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB
⊥ AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung trực của AC và
BC cắt nhau tại O.
a. Chứng minh ∆ ABH đồng dạng với ∆ MKO
IO 3 + IK 3 + IM 3 2
b. Chứng minh =
3
IA + IH + IB
3 3 3
4
ĐỀ SỐ 33
NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút.
Tổ Toán, Trường THPT Quảng Xương III
Bài 1:
1 1 1 1
(2đ) Rút gọn biểu thức: A = 3 a 3 + a + 27a 4 + 6a 2 + .
27 a 4 + 6a 2 + + 3 a 3 + a −
1)
3 3 3 3
1
(2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: A = .
2)
1 + 33 2 − 23 4
Bài 2:
1) (2đ) Giải phương trình: x + 5 y + 9 z + x − 4 xy − 6 yz − 1 + 1 = x − 2 − x − x .
2 2 2 2
x 2 + y 2 = 10
2) (2đ) Giải hệ phương trình sau: 2 .
x y + y 2 x = 12
Bài 3:
(2đ) Giải phương trình: x 4 − 2 x 2 − 12 x 2 + 1 − 12 = 0
1)
(2đ) Lập phương trình đường thẳng đi qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số
2)
y = x 2 + x − x 2 − x (C).
Bài 4:
1 1 1
với a, b, c ∈ N và T < 1.
1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của T = + +
a b c
2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đường cao BM. Chứng minh rằng
2
AB
AM
= 2 −1.
BC
MC
Bài 5:
nguon tai.lieu . vn
