Xem mẫu
- Mét sè kÕt qu¶ vÒ v-m«®un
(a) (b)
Hå Sü Hïng , Ng« Sü Tïng
M:
Tãm t¾t. Trong bµi viÕt nµy chóng t«i ®a ra mét sè kÕt qu¶ sau cho m«®un
M/ Soc M lµ V-m«®un nÕu vµ chØ nÕu M/ Soc M lµ GV-m«®un.
(1)
M/ Soc M lµ V-m«®un vµ Z (M ) ∩ Z ∗ (M ) = 0 th× M lµ GV-m«®un.
(2) NÕu
(3) NÕu m«®un M cã tÝnh chÊt (Ve) th× M/A lµ V-m«®un víi mäi m«®un con A cña
M chøa Soc M .
(4) M«®un M lµ V-m«®un khi vµ chØ khi M/H lµ V-m«®un, víi H lµ m«®un con
kh«ng cèt yÕu trong M vµ H ∩ N bÐ trong N , víi mäi m«®un con cèt yÕu thùc sù N
cña M .
Më ®Çu
1.
Cã nhiÒu híng kh¸c nhau ®Ó nghiªn cøu lý thuyÕt m«®un. Mét trong nh÷ng
híng quan träng lµ ®Æc trng c¸c líp m«®un theo mét sè tÝnh chÊt x¸c ®Þnh nµo ®ã.
Trong sè c¸c líp m«®un nµy th× líp m«®un néi x¹ vµ líp m«®un x¹ ¶nh ®îc xem lµ
hai trô cét chÝnh ®Ó tõ ®ã ngêi ta nghiªn cøu vµ x©y dùng c¸c líp m«®un kh¸c. Trong
nh÷ng n¨m gÇn ®©y, líp c¸c V-m«®un ®îc rÊt nhiÒu ngêi quan t©m vµ nghiªn cøu.
C¸c kÕt qu¶ vÒ líp m«®un nµy ®· ®îc giíi thiÖu trong [2], [8]. Trong [6], t¸c gi¶ Ayse
Cigdem Ozcan ®· ®a ra mét sè tÝnh chÊt cña V-m«®un vµ vµnh dùa vµo tÝnh chÊt (V)
vµ (Ve). TiÕp tôc híng nghiªn cøu cña Ayse Cigdem Ozcan, chóng t«i ®· ®a ra ®îc
thªm mét sè tÝnh chÊt vÒ V vµ GV-m«®un thÓ hiÖn qua c¸c §Þnh lý 2.4, §Þnh lý 2.6,
§Þnh lý 2.8.
Trong bµi viÕt nµy, vµnh lu«n ®îc gi¶ thiÕt lµ kÕt hîp, cã ®¬n vÞ. NÕu kh«ng nãi
g× thªm th× c¸c m«®un trªn mét vµnh ®îc hiÓu ®ã chÝnh lµ c¸c m«®un ph¶i unita trªn
R cè ®Þnh nµo ®ã.
mét vµnh
M, Rad M , Soc M , Z(M ), E(M )
Cho m«®un c¸c kÝ hiÖu lÇn lît lµ c¨n, ®Õ, m«®un
M. M M
con suy biÕn, bao néi x¹ cña m«®un M«®un ®îc gäi lµ bÐ nÕu lµ m«®un con
E(M ) cña nã. Cho c¸c m«®un A vµ M , ta dïng c¸c ký hiÖu A M,
bÐ trong bao néi x¹
A
- M M -néi x¹.
M«®un ®îc gäi lµ GV-m«®un, nÕu mäi m«®un ®¬n, suy biÕn lµ
M
M«®un ®îc gäi lµ cã tÝnh chÊt (V), (Ve) t¬ng øng nÕu
m ∈ M − K , m«®un con cña M
K M
(V) : Víi mäi m«®un con thùc sù cña vµ tèi
M K , kh«ng chøa m lµ tèi ®¹i trong M .
®¹i trong líp c¸c m«®un con cña chøa
K
(Ve) : Trong ®Þnh nghÜa cña tÝnh chÊt (V), chØ yªu cÇu lµ m«®un con cèt yÕu
M.
thùc sù cña
C¸c kÕt qu¶
2.
Chóng ta b¾t ®Çu víi c¸c Bæ ®Ò sau mµ c¸c phÐp chøng minh lµ hiÓn nhiªn.
2.1. X, M R-m«®un. A, B M A
(Xem [4]) Cho lµ c¸c lµ c¸c m«®un con cña vµ
Bæ ®Ò
B . NÕu X lµ M/A-néi x¹ th× X lµ M/B-néi x¹.
2.2. N M
Cho lµ m«®un con cña m«®un tháa m·n ®ång thêi hai ®iÒu kiÖn
Bæ ®Ò
N M.
(i) cèt yÕu trong
N M -néi x¹.
(ii) lµ
M = N.
Khi ®ã
M . f : N −→ X
2.3. M, X R-m«®un, N
Cho lµ c¸c lµ m«®un con cña lµ toµn
Bæ ®Ò
N ∩ L = ker f
L cña M N +L = M f
cÊu m«®un. NÕu tån t¹i m«®un con sao cho vµ th×
M X.
më réng ®îc thµnh ®ång cÊu tõ tíi
Sau ®©y lµ c¸c kÕt qu¶ chÝnh cña bµi b¸o nµy:
2.4. M . Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ t¬ng ®¬ng:
Cho m«®un
§Þnh lý
M/ Soc M
(1) lµ V-m«®un.
M/ Soc M
(2) lµ GV- m«®un.
M
(3) cã tÝnh chÊt (Ve).
Chøng minh. (1)⇒(2). Râ rµng.
(2)⇒(3). Gi¶ sö M , m ∈ M − K . L lµ m«®un
K lµ mét m«®un con cèt yÕu thùc sù cña
- M , tèi ®¹i chøa K , kh«ng chøa m. Khi ®ã ta cã (mR + L)/L lµ ®¬n vµ suy biÕn.
con cña
(mR + L)/L M/ Soc M L K L M,
Theo (2) ta cã lµ - néi x¹. V× chøa nªn cèt yÕu trong
L chøa Soc M . Theo Bæ ®Ò 2.3 ta cã (mR + L)/L lµ M/L-néi x¹.
do ®ã
A/L 0 M/L. L
MÆt kh¸c, gi¶ sö lµ m«®un con thùc sù kh¸c cña Do lµ tèi ®¹i tho¶
m ∈ A, (mR + L)/L ∩ A/L = 0.
L K, m
m·n chøa kh«ng chøa nªn dÉn ®Õn Nh vËy
(mR + L)/L M/L. M/L = (mR + L)/L
cèt yÕu trong Tõ ®ã theo Bæ ®Ò 2.2, ta cã lµ
L tèi ®¹i trong M .
m«®un ®¬n. Do ®ã
(3)⇒(1). (Xem [6]). Chóng t«i cã mét phÐp chøng minh kh¸c nh sau.
X N/ Soc M
Cho lµ m«®un ®¬n nµo ®ã. Gi¶ sö lµ m«®un con cèt yÕu thùc sù cña
M/ Soc M , f : N/ Soc M −→ X 0. ker f = K/ Soc M . X
lµ ®ång cÊu kh¸c Gäi Do ®¬n vµ
f 0 nªn ta cã
kh¸c
(N/ Soc M )/(K/ Soc M ) ∼ X
=
N/K ∼ X , K N. N/ Soc M M/ Soc M
=
dÉn ®Õn do ®ã tèi ®¹i trong V× cèt yÕu trong nªn
N M . B©y giê ta xÐt hai trêng hîp sau:
cèt yÕu trong
x ∈ N − K, L
K N, K M.
Trêng hîp 1: cèt yÕu trong dÉn ®Õn cèt yÕu trong Gäi lµ
M, K, x. L
m«®un con cña tèi ®¹i chøa kh«ng chøa Theo tÝnh chÊt (Ve) ta cã tèi ®¹i
M . Khi ®ã ta cã:
trong
M = xR + L = N + L.
N ∩L=N K = N ∩ L. Nh vËy ta cã
V× nªn
K/ Soc M = N/ Soc M ∩ L/ Soc M.
f M/ Soc M X. X
Theo Bæ ®Ò 2.3, më réng ®îc thµnh ®ång cÊu tõ ®Õn Do ®ã lµ
M/ Soc M -néi x¹.
K N. K N K
Trêng hîp 2: kh«ng cèt yÕu trong V× tèi ®¹i trong nªn lµ h¹ng tö trùc
N = K ⊕ T , dÉn ®Õn T
N. T M
tiÕp cña Do ®ã tån t¹i m«®un con cña sao cho ®¬n. Do
T Soc M K , kÐo theo T = 0 vµ N = K
®ã lµ m©u thuÉn.
Z∗ (M ) : = {m ∈ M | mR bÐ} ®îc gäi lµ
2.5. M.
Cho m«®un M«®un
§Þnh nghÜa
M.
m«®un con ®èi suy biÕn cña
Z(M ) ∩ Z∗ (M ) = 0
2.6. M. M/ Soc M M
Cho m«®un NÕu lµ V-m«®un vµ th×
§Þnh lý
lµ GV-m«®un.
- N
Chøng minh. Cho X lµ m«®un ®¬n, suy biÕn nµo ®ã. Gi¶ sö lµ m«®un con cèt yÕu
X . §Æt K = ker f , ta cã N/K ∼ X
M f 0 tõ N =
thùc sù cña vµ lµ ®ång cÊu kh¸c ®Õn nªn
K N . B©y giê ta xÐt 2 trêng hîp sau
tèi ®¹i trong
x ∈ N − K, L
K N, K M.
Trêng hîp 1: cèt yÕu trong dÉn ®Õn cèt yÕu trong Gäi lµ
K, x. M/ Soc M
m«®un con tèi ®¹i chøa kh«ng chøa Do lµ V-m«®un nªn theo §Þnh lý
M L tèi ®¹i trong M . Do ®ã ta cã
2.4, tho¶ m·n tÝnh chÊt (Ve). Tõ ®ã ta cã
M = xR + L = N + L.
N ∩L = N N ∩ L chøa K K = N ∩ L. VËy theo
N
MÆt kh¸c ta cã vµ tèi ®¹i trong nªn
f M X . Do ®ã X M -néi x¹.
Bæ ®Ò 2.3, ta cã më réng ®îc thµnh ®ång cÊu tõ ®Õn lµ
K N. K N
Trêng hîp 2: kh«ng cèt yÕu trong V× tèi ®¹i trong nªn tån t¹i m«®un con
N = K ⊕ T . Khi ®ã ta cã N/K ∼ T ∼ X. Do ®ã T
T M ==
cña sao cho lµ m«®un ®¬n.
T T
Tríc hÕt ®Ó ý r»ng nÕu lµ m«®un ®¬n vµ kh«ng néi x¹ th× lµ m«®un bÐ, bëi v×
E(T ) nªn T ∩ X = Y = 0. Bëi v× T
T + X = E(T ). Khi ®ã, do T
nÕu cã cèt yÕu trong ®¬n
Y = T , do ®ã T ⊆ X X = E(T ). VËy T
- H ∩N
2.8. M H M
Cho m«®un vµ lµ m«®un con kh«ng cèt yÕu trong tháa m·n
§Þnh lý
N N M.
bÐ trong víi mäi m«®un con cèt yÕu thùc sù cña Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ
t¬ng ®¬ng
M
(1) lµ V-m«®un.
M/H
(2) lµ V-m«®un.
Chøng minh. (1)⇒(2). HiÓn nhiªn.
(2)⇒(1). Gäi X N M
lµ m«®un ®¬n nµo ®ã. Gi¶ sö lµ m«®un con cèt yÕu thùc sù cña vµ
f : N −→ X K = ker f .
lµ ®ång cÊu kh¸c 0. §Æt
Ta cã
(N ∩ H )/(K ∩ H ) ∼ ((N ∩ H ) + K )/K N/K ∼ X.
= =
Tõ ®ã xÈy ra 2 trêng hîp sau
((N ∩ H ) + K )/K = N/K , dÉn ®Õn
Trêng hîp 1:
(N ∩ K ) + K = N.
(N ∩ H ) N K = N.
Do bÐ trong nªn suy ra §iÒu nµy lµ m©u thuÉn vµ trêng hîp 1
kh«ng x¶y ra.
((N ∩ H ) + K )/K = 0, N ∩ H = K ∩ H.
Trêng hîp 2: do dã ta cã Ta x©y dùng ¸nh
h : (N + H )/H −→ X h(x + H ) = f (x). h
x¹ x¸c ®Þnh bëi Khi ®ã lµ mét ®ång cÊu
g : M/H −→ X g ◦ i = h, víi
M/H
m«®un. Do lµ V-m«®un nªn tån t¹i ®ång cÊu sao cho
i : (N + H )/H −→ M/H ϕ : M −→ M/H
lµ phÐp nhóng. Gäi lµ toµn cÊu tù nhiªn, khi
g ◦ ϕ lµ më réng cña f . VËy X M -néi x¹, hay M
®ã lµ lµ V-m«®un .
Tµi liÖu tham kh¶o
[1] F. W. Anderson and K.R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Graduate Text
in Math., No.13 Springer - Verlag, NewYork, Heidelberg, Berlin, 1992.
[2] N. V. Dung, D.V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman
313, Longman, Harlow, UK, 1994.
Research Notes in Mathematics series
[3] C. Faith, Algebra II, Ring Theory, Springer- Verlag, 1976.
- [4] S. H. Mohamed and B. J. Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math.
147, Cambridge Univ, Press, Cambridge, 1990.
Soc. Lecture Notes series
[5] M. Harada, Non - small and non - cosmall modules, Proc. of the Adtw. Conf., Marcel
- Dekker Inc (1979), 669 - 689.
[6] Agse Cigdem Ozcan, Some characterizations of V- modules and rings, Vietnam J.
26(3) 1998, 253-258.
of. Math.,
[7] Harmanci and Smith, Relative injectivity and modules classes, Comm. in Alg.,
20(9) (1992), 2471-2501.
[8] R. Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach. Reading
1991.
SUMMARY
SOME RESULTS ON V-MODULES
In this note, we obtain some results on V and GV-modules. The followings hold for
M:
a module
(1)M/ Soc M is a V-module if and only if M/ Soc M is a GV-module.
∗
Z(M ) ∩ Z (M ) = 0 then M
M/ Soc M
(2) If is a V-module and is a GV-module.
M M/A is a V-module for every submodule A of
(3) If a module has property (Ve) then
M Soc M .
containing
M M/H H M
(4) is a V-module if and only if is a V-module for every submodule of
H ∩N
H M N
such that is not essential in and is small in for every essential proper
N M.
submodule of
(a) Trêng PTTH Phan Béi Ch©u
(b) Trêng §¹i Häc Vinh.
nguon tai.lieu . vn
