1. Trang Chủ
  2. Báo cáo khoa học
  3. Báo cáo nghiên cứu khoa học: Một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun

Báo cáo nghiên cứu khoa học: Một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2007 tác giả: 18. Ngô Sỹ Tùng, Nguyễn Tiến Dũng, Một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun ...Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về hình và số. Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách... §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè

Thể loại Tài liệu miễn phí Báo cáo khoa học

Số trang 6

Ngày tạo 8/29/2018 9:48:12 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước

Tên tệp

Tải Báo cáo nghiên cứu khoa học: Một số kết quả về tổn... (.pdf)

Xem mẫu

  1. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007 Mét sè kÕt qu¶ vÒ tæng trùc tiÕp c¸c CS - m«®un (a ) , NguyÔn TiÕn Dòng (b) Ng« Sü Tïng Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®−a ra mét sè kÕt qu¶ vÒ tæng trùc tiÕp c¸c CS - m«®un. C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña bµi b¸o lµ: NÕu M = ⊕ i∈IMi, trong ®ã Mi lµ c¸c m«®un ®Òu vµ cã ®é dµi lín nhÊt b»ng 2 víi mäi i ∈ I, th× M lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi m«®un Mi⊕ Mj, trong ®ã Mi vµ Mj cïng cã ®é dµi 2 víi mäi i ≠ j ∈ I lµ CS - m«®un. Ngoµi ra nÕu M = M1⊕ M2 ⊕…⊕ Mn, trong ®ã Mi lµ c¸c m«®un ®Òu víi 1 ≤ i ≤ n lµ sù ph©n tÝch bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu vµ gi¶ thiÕt r»ng mäi ®¬n cÊu Mi → Mj lµ ®¼ng cÊu víi mäi 1 ≤ i ≠ j ≤ n, th× m«®un M lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi h¹ng tö trùc tiÕp Mi ⊕ Mj lµ CS - m«®un víi mäi 1 ≤ i ≠ j ≤ n. I. Më ®Çu VÊn ®Ò ®Æc tr−ng CS - m«®un (t−¬ng øng (1 - C1) – m«®un) qua ®iÒu kiÖn tæng trùc tiÕp c¸c m«®un ®Òu ®· ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu (ch¼ng h¹n xem [2], [3], [5], [6]). Trong [6, Theorem 11], Kamal vµ Muller ®· chØ ra r»ng ®èi víi mét miÒn giao ho¸n xo¾n tù do rót gän R; R - m«®un M lµ CS khi vµ chØ khi M = M1⊕ M2 ⊕…⊕ Mn lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n cña nh÷ng m«®un ®Òu Ui (1≤ i ≤ n) sao cho Ui ⊕ Uj lµ mét CS - m«®un víi mäi 1≤ i ≤j ≤ n. TiÕp ®ã trong [3, Theorem 3], hai t¸c gi¶ Haramanci vµ Smith sau khi chØ ra r»ng, mét R - m«®un M lµ CS - m«®un khi vµ chØ khi M lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n cña c¸c m«®un con ®Òu vµ mäi h¹ng trùc tiÕp cña M cã chiÒu ®Òu 2 lµ mét CS - m«®un, ®· ®Æt c©u hái “Cho M = M1⊕ M2 ⊕…⊕ Mn lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n cña nh÷ng m«®un ®Òu Ui (1≤ i ≤ n) sao cho Ui ⊕ Uj lµ mét CS - m«®un víi mäi 1≤ i ≤j ≤ n khi ®ã M cã lµ CS - m«®un kh«ng?”. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i tr¶ lêi mét phÇn c©u hái ®Æt ra ë trªn. Chóng t«i chøng tá r»ng R - m«®un M = ⊕i∈IMi trong ®ã I kh«ng nhÊt thiÕt h÷u h¹n, Mi lµ c¸c m«®un ®Òu cã ®é dµi lín nhÊt b»ng hai víi mäi i ∈ I lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi m«®un Mi ⊕ Mj trong ®ã Mi vµ Mj cïng cã ®é dµi hai lµ CS - m«®un. Ngoµi ra mét R - m«®un M = M1 ⊕ M2 ⊕ …⊕ Mn trong ®ã Mi lµ m«®un ®Òu víi mäi 1≤ i ≤ n vµ sù ph©n tÝch lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi m«®un Mi ⊕ Mj lµ CS - m«®un víi mäi 1≤ i≠j ≤ n. II. §Þnh nghÜa v ký hiÖu C¸c vµnh R xÐt trong bµi nµy ®−îc gi¶ thiÕt lµ vµnh kÕt hîp cã ®¬n vÞ, mäi R - m«®un lµ R - m«®un ph¶i unita. C¸c ký hiÖu K ⊂ M, K ⊂⊕ M, K M chØ ra r»ng K lµ m«®un con, h¹ng tö trùc tiÕp vµ m«®un con cèt yÕu cña m«®un M t−¬ng øng, ®é dµi cña mét m«®un M ®−îc ký hiÖu lµ l(M). Ta xÐt ®iÒu kiÖn sau ®èi víi mét m«®un M: (C1): Mäi m«®un con cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M. Nãi . NhËn bµi ngµy 24/10/2005. Söa ch÷a xong 12/9/2006. 123
  2. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007 c¸ch kh¸c mäi m«®un con ®ãng cña M lµ mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M . Mét m«®un M ®−îc gäi lµ CS - m«®un nÕu M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C1). M«®un M ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt (U) hay (1 - C1) - m«®un nÕu mäi m«®un con ®ãng ®Òu cña M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M. Mét sù ph©n tÝch M = ⊕ i∈IMi c¸c m«®un con cña m«®un M ®−îc gäi lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp nÕu víi mäi h¹ng tö trùc tiÕp U cña M, tån t¹i tËp con J ⊆ I sao cho M = U ⊕ (⊕j∈JMj). Mét sù ph©n tÝch M = ⊕ i∈IMi c¸c m«®un con cña m«®un M ®−îc gäi lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu nÕu víi mäi h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu U cña M, tån t¹i tËp con J ⊆ I sao cho M = U ⊕ (⊕j∈JMj). Mét sù ph©n tÝch bï h¹ng tö trùc tiÕp lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu. Cho M lµ mét m«®un kh¸c kh«ng. Mét tËp hîp h÷u h¹n n+1 m«®un con cña M M = M0 >M1 > ... > Mn = 0 ®−îc gäi lµ mét d·y hîp thµnh ®é dµi n cña M víi ®iÒu kiÖn r»ng m«®un Mi-1/Mi lµ ®¬n (i = 1, 2, ..., n). §é dµi cña m«®un M ( l(M)) ®−îc ®Þnh nghÜa: 0 nÕu M =0 l(M) = n nÕu M cã mét d·y hîp thµnh ®é dµi n. III. Tæng trùc tiÕp c¸c CS - m«®un Bæ ®Ò 3.1. H¹ng tö trùc tiÕp bÊt kú cña mét CS ( t−¬ng øng (1 - C1)) - m«®un lµ mét CS ( t−¬ng øng (1 - C1)) - m«®un. Chøng minh. Gäi K lµ mét h¹ng tö trùc tiÕp cña mét m«®un M vµ N lµ mét m«®un con ®ãng (t−¬ng øng ®ãng ®Òu) trong mét m«®un K. Theo [2, 1.10(4)] N lµ m«®un con ®ãng (t−¬ng øng ®ãng ®Òu) trong M (v× K⊂⊕ M nªn K ®ãng trong M). §iÒu nµy dÉn ®Õn N ⊂⊕ M (do M lµ CS (t−¬ng øng (1 - C1)), nghÜa lµ M = N ⊕ X víi X lµ m«®un con nµo ®ã cña M. Do N ⊂ K vµ K⊂⊕ M nªn theo luËt modula ta cã K = N ⊕ (K ∩ X) hay K lµ CS - m«®un (t−¬ng øng (1-C1)). Bæ ®Ò 3.2. Cho R lµ mét vµnh vµ M lµ mét R - m«®un sao cho M=M1⊕M2⊕…⊕Mn lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n nh÷ng m«®un Mi (1≤ i ≤ n) néi x¹ lÉn nhau. Khi ®ã M lµ mét CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu Mi lµ mét CS - m«®un víi mçi 1≤ i ≤ n. Chøng minh. Xem [3, Theorem 8]. §Þnh lý 3.3. Cho R lµ vµnh vµ mét R - m«®un ph¶i M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n nh÷ng m«®un néi x¹ lÉn nhau cã ®é dµi 2. Khi ®ã M lµ CS - m«®un. Chøng minh. Tr−íc hÕt ta sÏ chøng minh r»ng m«®un Mi lµ mét CS - m«®un víi mäi 1≤ i ≤ n. 124
  3. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007 ThËt vËy, nÕu Mi (1≤ i ≤ n) lµ m«®un kh«ng ph©n tÝch ®−îc, th× lÊy bÊt kú c¸c m«®un con A ⊂ Mi vµ B ⊂ Mi sao cho A ∩ B = 0. Khi ®ã ta cã d·y hîp thµnh: 0 ⊂ A ⊂ A ⊕ B ⊂ M i. Theo gi¶ thiÕt m«®un Mi cã l(Mi) = 2 nªn ta cã A = A ⊕ B hay B = 0. Nh− vËy A Mi vµ ®iÒu nµy dÉn ®Õn Mi lµ m«®un ®Òu. VËy M lµ m«®un CS - m«®un. . NÕu Mi lµ m«®un ph©n tÝch ®−îc th× theo [1, The Krull - Schmit Theorem 12.9] ta cã sù ph©n tÝch m«®un Mi = M i1 ⊕ M i 2 , trong ®ã M i1 vµ M i 2 lµ nh÷ng m«®un ®¬n (v× l(M) =2 dÉn ®Õn l(M i1 ) = l(M i 2 ) = 1). Nh− vËy Mi lµ m«®un nöa ®¬n vµ dÉn ®Õn lµ CS - m«®un. Theo Bæ ®Ò 3.2 ta cã M lµ CS - m«®un. §Þnh lý 3.4. Cho R lµ vµnh vµ M lµ mét R - m«®un ph¶i sao cho M = ⊕ M i lµ i∈I mét tæng trùc tiÕp c¸c m«®un ®Òu cã ®é dµi lín nhÊt b»ng hai. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ t−¬ng ®−¬ng: (i) M lµ CS - m«®un; (ii) Mi ⊕ Mj mµ l(Mi) = l(Mj) = 2 lµ CS - m«®un, i ≠ j ∈ I. Chøng minh. (i) ⇒ (ii): Lµ hiÓn nhiªn theo Bæ ®Ò 3.1. (ii) ⇒ (i): Gi¶ sö A = Mi ⊕ Mj mµ l(Mi) = l(Mj) = 2 lµ CS - m«®un víi i ≠ j ∈ I. Khi ®ã A lµ (1- C1) - m«®un. Do Mi, Mj lµ c¸c m«®un ®Òu, cã ®é dµi h÷u h¹n nªn theo [1, Lemma 12.8], ta cã End(Mi) vµ End(Mj) lµ nh÷ng vµnh ®Þa ph−¬ng. Tõ ®ã ¸p . dông [1, Corollary 12.7], sù ph©n tÝch A = Mi ⊕ Mj lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp vµ dÉn ®Õn lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu. Tõ gi¶ thiÕt l(Mi) = l(Mj) suy ra Mi kh«ng thÓ nhóng thùc sù trong Mj (v× nÕu nh− vËy th× l(Mi) ≠ l(Mj)) nªn ¸p dông [7, Theorem 2.(ii ⇒ iii)] ta cã, Mi lµ Mj néi x¹. Nh− vËy m«®un Mi (i ∈ I) víi l(Mi)= 2 lµ néi x¹ lÉn nhau. Theo [2, Lemma 8.14] ta cã M lµ CS - m«®un. . MÖnh ®Ò 3.5. Cho R lµ vµnh vµ mét R - m«®un ph¶i M = M1 ⊕ M2 lµ mét tæng trùc tiÕp cña mét m«®un ®¬n vµ mét m«®un cã ®é dµi 2 khi ®ã M lµ CS - m«®un. Chøng minh. ThËt vËy, gi¶ sö m«®un M = M1 ⊕ M2 víi M1 lµ m«®un ®¬n vµ M2 cã ®é dµi 2 (khi ®ã M cã ®é dµi 3). Gäi K lµ mét m«®un con ®ãng trong M, th× tõ M1 lµ m«®un ®¬n nªn hoÆc K ∩ M1 = 0 hoÆc K ∩ M1 = M1 Tr−êng hîp 1. K ∩ M1 = M1, th× râ rµng K ⊂⊕ M. Tr−êng hîp 2. K ∩ M1 = 0. Gäi π : M1 ⊕ M2 → M2 lµ phÐp chiÕu vµ gäi α = π|K . Khi ®ã víi phÇn tö bÊt kú x ∈ K: x = x1 + x2 víi x1∈ M1, x2 ∈ M2. Cho α(x) = 0 th× dÉn ®Õn α(x1 + x2) = α(x1) + α(x2) = x2 = 0, vµ bëi v× K ∩ M1 = 0 nªn suy ra x1 = 0 hay x = 0. VËy α lµ mét ®¬n cÊu vµ ta cã K ≅ α(K) ⊂ M2. Do K lµ m«®un con thùc sù cña M (cã l(M) = 3) nªn l(K) ≤ 2. 125
  4. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007 NÕu l(K) = l(M2) = 2 th× ®¬n cÊu α lµ mét ®¼ng cÊu vµ nh− vËy ta cã M = M1 ⊕ K. NÕu l(K) = 1 (K lµ m«®un ®¬n) th× K ≅ α(K) lµ mét m«®un con thùc sù cña M2. V× l(M) = 3 nªn nÕu nh− K ∩ M2 = 0 th× dÔ thÊy M = K ⊕ M2 (v× nÕu kh«ng th× tõ K ⊕ M2 ⊂ M hay 3 = l(K ⊕ M2) < l(M) = 3, m©u thuÉn), hay K ⊂⊕ M. NÕu K∩M2 ≠ 0 th× dÔ thÊy K = α(K) ⊂ M2. Do K ®ãng trong M nªn dÉn ®Õn K ®ãng trong M2 (M2 lµ CS - m«®un theo chøng minh cña §Þnh lý 3.3), suy ra K ⊂⊕ M2 ⊂⊕ M. VËy M lµ CS - m«®un. VÝ dô d−íi ®©y chØ ra r»ng MÖnh ®Ò 3.5 kh«ng cßn ®óng trong tr−êng hîp M lµ tæng trùc tiÕp cña mét m«®un ®¬n vµ mét m«®un cã ®é dµi lín h¬n 2. VÝ dô 3.6. XÐt » - m«®un M = (»/»p3) ⊕ ((»p2/»p3)/( »p/»p3)), trong ®ã (»/»p3) lµ mét m«®un ®Òu (CS - m«®un) cã ®é dµi b»ng 3 vµ (»p2/»p3)/(»p/»p3) lµ mét m«®un ®¬n. NhËn xÐt r»ng End(»/»p3) vµ End((»p2/»p3)/(»p/»p3)) lµ nh÷ng vµnh tù ®ång cÊu ®Þa ph−¬ng theo [1, Lemma 12.8]. Gi¶ sö M lµ CS - m«®un. §Æt π : »p2/»p3 → (»p2/»p3)/(»p/»p3) lµ phÐp chiÕu tù nhiªn, th× râ rµng π kh«ng ®¬n cÊu. Tõ [2, Lemma 7.3.(i)], π cã thÓ ®−îc më réng tíi mét ®ång cÊu f : »/»p3 → (»p2/»p3)/(»p/»p3). Do (»p2/»p3)/(»p/»p3) lµ m«®un ®¬n nªn Imf =(»p2/»p3)/(»p/»p3) hoÆc Imf = 0, vµ ®iÒu ®ã dÉn ®Õn (»/»p3)/ker(f) ≅ (»p2/»p3)/(»p/»p3) hoÆc Ker(f) = »/»p3 . Khi ®ã Ker(f) = (»p2/»p3) hoÆc Ker(f) = »/»p3, vµ ®iÒu nµy m©u thuÉn víi π vµ f lµ c¸c ®ång cÊu kh¸c ®ång cÊu kh«ng. VËy M kh«ng lµ CS - m«®un. §Þnh lý 3.7. Gi¶ sö R lµ mét vµnh vµ M lµ mét R - m«®un ph¶i sao cho M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng m«®un ®Òu Mi vµ sù ph©n tÝch lµ . bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu. Gi¶ thiÕt r»ng víi mäi 1 ≤ i ≠ j ≤ n, mäi ®¬n cÊu Mi → Mj lµ mét ®¼ng cÊu. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ t−¬ng ®−¬ng : (i) M lµ CS - m«®un; (ii)Mi ⊕ Mj lµ CS - m«®un víi mäi 1 ≤ i ≠ j ≤ n. Chøng minh. (i) ⇒ (ii) lµ hiÓn nhiªn theo Bæ ®Ò 3.1. (ii) ⇒ (i) Gi¶ sö mäi m«®un A = Mi ⊕ Mj lµ CS - m«®un víi 1 ≤ i ≠ j ≤ n. Gäi K ⊂ Mi (K lµ m«®un ®Òu) vµ f : K → Mj lµ mét ®ång cÊu . §Æt . U = {x - f(x) : x ∈ K} ⊆ Mi ⊕ Mj , th× U ≅ K (do phÐp chiÕu tù nhiªn π : Mi ⊕ Mj → Mi cã π(U) = K) lµ mét m«®un con ®Òu cña A. LÊy y ∈ U ∩ Mj th× tån t¹i x ∈ K sao cho y = x - f(x). 126
  5. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007 Suy ra x = y + f(x) ∈ Mj ∩ K = 0. Do ®ã y = 0 vµ dÉn ®Õn U ∩ Mj = 0. Bëi v× A lµ CS - . m«®un (suy ra A lµ (1 -C1) - m«®un) nªn tån t¹i m«®un con U’ ⊂ ⊕ A sao cho U U’. Do sù ph©n tÝch lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu nªn chóng ta cã: A = U’ ⊕ Mi hoÆc A = U’ ⊕ Mj . Tr−êng hîp 1. A = U’ ⊕ Mi. Gäi πi lµ phÐp chiÕu tõ U’ ⊕ Mi ®Õn Mi vµ gäi α = πi| M j . Khi ®ã v× U U’ nªn U’ ®ãng ®Òu trong A vµ khi ®ã U’ ∩ Mj = 0. Nh− vËy . α lµ mét ®¬n cÊu, vµ tõ gi¶ thiÕt suy ra α lµ mét ®¼ng cÊu. §iÒu ®ã cã nghÜa A = U’ ⊕ Mj. Khi ®ã víi mäi x ∈ K, x = f(x) + (x - f(x)), trong ®ã f(x) ∈ Mj vµ (x - f(x)) ∈ . U’. Tõ ®ã ta cã α(x) = πi| M i (x) = πi| M i ( f(x) + (x - f(x)) = πi| M i (f(x)) + πi| M i (x - f(x)) = f(x), nghÜa lµ α lµ mét më réng cña f, hay Mj lµ Mi néi x¹. Tr−êng hîp 2. A = U’ ⊕ Mj. Gäi πj: U’ ⊕ Mj → Mj lµ phÐp chiÕu vµ gäi β = πj| M i . Khi ®ã víi mäi x ∈ Mi, x = (x - f(x) + f(x) trong ®ã f(x) ∈ Mj vµ x - f(x) ∈ U’. Tõ ®ã ta cã: β (x) = β [(x - f(x)) + f(x)] = f(x) . Suy ra β lµ mét më réng cña f, hay Mj lµ Mi néi x¹. Nh− vËy, m«®un Mi (1 ≤ i ≤ n) lµ néi x¹ lÉn nhau vµ do ®ã ¸p dông Bæ ®Ò 3.2 th× ta cã M lµ CS - m«®un. HÖ qu¶ 3.8. Gi¶ sö R lµ mét vµnh vµ M lµ mét R - m«®un sao cho M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn lµ tæng trùc tiÕp h÷u h¹n cña nh÷ng m«®un ®Òu Mi cã cïng . ®é dµi vµ sù ph©n tÝch lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu. Khi ®ã M lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi h¹ng tö trùc tiÕp Mi ⊕ Mj lµ CS - m«®un víi mäi 1 ≤ i ≠ j ≤ n. Chøng minh. Do c¸c m«®un Mi vµ Mj víi 1 ≤ i ≠ j ≤ n cã cïng ®é dµi nªn mäi ®¬n cÊu Mi → Mj lu«n lµ mét ®¼ng cÊu (v× nÕu kh«ng th× l(Mi) ≠ l(Mj)). Theo §Þnh lý 3.6 ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. t i liÖu tham kh¶o [1] F. W Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1974. [2] Ng. V. Dung - D. V. Huynh - P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman, London, 1994. [3] A. Harmanci and P. F. Smith, Finite direct sum of CS - modules, Houston J. Math 19 (1993), 523 - 532. [4] D. V. Huynh - S. K. Jain and S.R. Lãpez – Permouth, Rings characterized by direct sums of CS modules, Comm. Algebra, 28 (9), (2000), 4219 - 4222. 127
  6. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007 [5] M. A. Kamal and B. J. Muller, The structure of extending modules over noetherian rings, Osaka J. Math. 25 (1988), 539 - 551. [6] M. A. Kamal and B. J. Muller, Extending modules over commutative domains, Osaka J. Math. 25 (1988), 531 - 538. [7] Ngo Sy Tung, Some results on quasi - continous modules, Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 19. N0.2 (1994), 13 - 17. [8] R. Wisbauer, Foundations of Modules and Ring theory, Gordon and Breach, Reading, 1991. Summary Some results on direct sums of CS – modules In this paper, we give some results on sums of CS - modules. It shows that if M = ⊕i∈IMi, where Mi is a uniform module of length at most 2 (for all i∈I), then M . is a CS - module if and only if every direct summand Mi ⊕ Mj, where the length of both Mi and Mj are 2, is a CS - module. And if M = M1 ⊕ M2 ⊕…⊕ Mn is a decomposition such that: (i) Mi is a uniform module (1 ≤ i ≤ n); (ii) this decomposition of M complements uniform direct summands; and (iii) every monomorphsim Mi → Mj is a isomorphsim. Then M is a CS - module if and only if every direct summand Mi ⊕ Mj is a CS - module for all 1 ≤ i ≠ j ≤ n. (a) khoa to¸n, tr−êng ®¹i häc vinh (b) khoa gi¸o dôc tiÓu häc, tr−êng ®¹i häc vinh 128
nguon tai.lieu . vn
Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học Công nghệ thông tin Kinh tế - Thương mại Tài chính - Ngân hàng Kiến trúc - Xây dựng Điện-Điện tử-Viễn thông Cơ khí - Chế tạo máy Công nghệ - Môi trường Báo cáo khoa học Quản trị kinh doanh Khoa học xã hội Khoa học tự nhiên Nông - Lâm - Ngư Y khoa - Dược