- Trang Chủ
- Báo cáo khoa học
- Báo cáo khoa học: Vận dụng một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian nhằm bồi dưỡng cho sinh viên khả năng tìm tòi lời giải và phát hiện các bài toán mới thông qua dạy học Hình học sơ cấp
Xem mẫu
- T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
§¹i häc Vinh
VËn dông mét sè kiÕn thøc vÒ nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi
®iÓm trong kh«ng gian nh»m båi d−ìng cho sinh viªn
kh¶ n¨ng t×m tßi lêi gi¶i vµ ph¸t hiÖn c¸c bµi to¸n míi
th«ng qua d¹y häc H×nh häc s¬ cÊp
§ o Tam (a)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i tr×nh bµy mèi liªn hÖ gi÷a viÖc d¹y häc c¸c
ph©n m«n to¸n vµ d¹y häc H×nh häc s¬ cÊp ë tr−êng §¹i häc s− ph¹m. Cô thÓ chóng
t«i ®−a ra mét sè kiÕn thøc vÒ nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi trong kh«ng gian, nh»m gióp
sinh viªn s− ph¹m to¸n t×m tßi lêi gi¶i vµ c¸c bµi to¸n míi th«ng qua d¹y häc H×nh
häc s¬ cÊp.
1. Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y nhiÒu nhµ s− ph¹m trong n−íc vµ n−íc ngoµi ®·
quan t©m nghiªn cøu mèi liªn hÖ gi÷a d¹y häc To¸n ë c¸c tr−êng s− ph¹m vµ d¹y
häc To¸n ë tr−êng phæ th«ng. Tiªu biÓu trong sè hä nh−: NguyÔn C¶nh Toµn,
NguyÔn §¨ng PhÊt, §oµn Quúnh, V¨n Nh− C−¬ng, §ç §øc Th¸i, NguyÔn V¨n MËu,
N. I-A.Vilenkin, L. A. Kalurin, A. A. Stolia, K. I. Dunhitrev…
C¸c t¸c gi¶ trªn ®· nghiªn cøu c¸c vÊn ®Ò to¸n häc cao cÊp, to¸n häc hiÖn ®¹i
soi s¸ng c¸c t− t−ëng nÒn t¶ng cña gi¸o tr×nh To¸n phæ th«ng, xem xÐt c¸c øng dông
cña to¸n cao cÊp, to¸n hiÖn ®¹i vµo c¸c néi dung båi d−ìng häc sinh giái nh−: Lý
thuyÕt tËp hîp, quan hÖ, ¸nh x¹, c¸c phÐp biÕn h×nh, ph−¬ng tr×nh hµm…
Trong bµi viÕt nµy chóng t«i ®Ò cËp mét sè ph−¬ng thøc tiÕp cËn viÖc d¹y häc
to¸n c¬ b¶n ë tr−êng §¹i häc theo h−íng t¨ng c−êng øng dông vµo viÖc d¹y häc H×nh
häc s¬ cÊp vµ d¹y häc H×nh häc ë tr−êng phæ th«ng.
ViÖc nghiªn cøu c¸ch thøc tiÕp cËn nãi trªn nh»m môc tiªu båi d−ìng n¨ng lùc
thÝch nghi nghÒ nghiÖp g¾n víi chuyªn m«n cña sinh viªn s− ph¹m ngµnh To¸n,
b−íc ®Çu lµm s¸ng tá kh¶ n¨ng g¾n kÕt viÖc d¹y häc khoa häc c¬ b¶n víi khoa häc
gi¸o dôc. ViÖc d¹y To¸n h−íng vµo môc tiªu nãi trªn sÏ gãp phÇn tÝch cùc vµo viÖc
thùc hiÖn môc ®Ých ®æi míi d¹y häc To¸n ë tr−êng ®¹i häc.
2. C¸c ph−¬ng thøc tiÕp cËn mét sè kiÕn thøc vÒ lý thuyÕt nhãm c¸c phÐp biÕn
®æi ®iÓm trong kh«ng gian khi d¹y häc H×nh häc s¬ cÊp.
Chóng t«i cho r»ng ®Ó t− t−ëng g¾n kÕt viÖc d¹y häc c¸c m«n to¸n c¬ b¶n víi
d¹y häc c¸c m«n to¸n s¬ cÊp, to¸n phæ th«ng ®−îc thùc thi triÓn khai nh»m n©ng cao
hiÖu qu¶ båi d−ìng gi¸o viªn To¸n, ®ßi hái sù nghiªn cøu c«ng phu c¶ vÒ ph−¬ng
diÖn khoa häc vµ ph−¬ng diÖn ph−¬ng ph¸p.
Tr−íc hÕt c¸c ph−¬ng thøc ®−îc ®Ò ra trªn c¬ së kh¾c phôc nh÷ng khã kh¨n
liªn quan ®Õn n¨ng lùc truyÒn t¶i c¸c tri thøc khoa häc c¬ b¶n sang tri thøc phæ
th«ng. Khã kh¨n næi bËt g¾n víi viÖc gi¶i quyÕt tèt mèi quan hÖ gi÷a c¸i cô thÓ vµ
c¸i trõu t−îng, liªn quan tíi quan hÖ gi÷a néi dung vµ h×nh thøc trong ph¹m trï có
ph¸p vµ ng÷ nghÜa; ViÖc gi¶i quyÕt c¸c m©u thuÉn trªn cho phÐp thùc hiÖn sù lång
ghÐp c¸c tri thøc mu«n mµu mu«n vÎ vµo c¸c s¬ ®å nhËn thøc trõu t−îng cña to¸n
häc cao cÊp, to¸n häc hiÖn ®¹i.
NhËn bµi ngµy 13/4/2007. Söa ch÷a xong 18/7/2007.
103
- T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
§¹i häc Vinh
Tõ nh÷ng c¬ së lý luËn vÒ viÖc kh¾c phôc nh÷ng khã kh¨n thuéc ph¹m trï
ph−¬ng ph¸p luËn nhËn thøc To¸n häc nãi trªn vµ tõ c¬ së kinh nghiÖm d¹y häc
To¸n cña c¸c chuyªn gia vµ b¶n th©n, chóng t«i ®Ò xuÊt c¸c ph−¬ng thøc khai th¸c,
c¸c øng dông, c¸c kiÕn thøc vÒ nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi ®iÓm trong kh«ng gian ®Ó t×m
tßi lêi gi¶i, ph¸t hiÖn c¸c bµi to¸n, c¸c vÊn ®Ò To¸n häc trong d¹y häc m«n H×nh häc
s¬ cÊp. §ång thêi viÖc thùc hiÖn tèt c¸c ph−¬ng thøc ®Ò ra sÏ gãp phÇn d¹y häc theo
h−íng tÝch hîp c¸c m«n To¸n, gãp phÇn rÌn luyÖn n¨ng lùc, nghÒ nghiÖp g¾n víi
chuyªn m«n cho sinh viªn.
Sau ®©y chóng t«i tr×nh bµy c¸c ph−¬ng thøc vµ c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn c¸c
ph−¬ng thøc ®ã.
Ph−¬ng thøc thø nhÊt: Lùa chän c¸c néi dung H×nh häc s¬ cÊp cã thÓ nh×n
nhËn chóng theo quan ®iÓm nhãm; Khai th¸c c¸c bµi to¸n theo c¸c néi dung trªn cã
thÓ gi¶i ®−îc nhê sö dông c¸c kiÕn thøc vÒ nhãm, sau ®ã chuyÓn sang c¸ch gi¶i s¬
cÊp, phæ th«ng, ®Ò xuÊt c¸c bµi to¸n míi vµ c¸ch gi¶i chóng.
VÝ dô 1: Khi nghiªn cøu c¸c kiÕn thøc vÒ khèi ®a diÖn trong H×nh häc s¬ cÊp,
chóng ta cã thÓ chøng minh mÖnh ®Ò sau vÒ c¸c nhãm víi phÐp to¸n tÝch c¸c phÐp
dêi: “§iÒu kiÖn ¾t cã vµ ®ñ ®Ó tån t¹i nhãm c¸c phÐp dêi h×nh trong kh«ng gian, kh¸c
víi nhãm chØ cã mét phÇn tö ®¬n vÞ , biÕn tø diÖn thµnh chÝnh nã, lµ tø diÖn ®ã cã
Ýt nhÊt hai cÆp c¹nh, kh«ng cã c¹nh chung, mçi cÆp cã ®é dµi c¸c c¹nh b»ng nhau”.
Tuú thuéc vµo vÞ trÝ t−¬ng ®èi gi÷a c¸c cÆp c¹nh cña tø diÖn vµ quan hÖ b»ng
nhau x¸c ®Þnh trªn tËp hîp 6 c¹nh cña tø diÖn chóng ta cã mét tËp hîp h÷u h¹n c¸c
nhãm kh¸c víi nhãm ®¬n vÞ.
Ch¼ng h¹n: XÐt tø diÖn ABCD cã AC = BD = AD = BC = a; AB + CD = 2a (xem
h×nh 1).
A
Tõ quan ®iÓm nhãm cã thÓ xem xÐt c¸c vÊn ®Ò sau:
• T×m c¸c phÐp dêi biÕn tø diÖn
ABCD thµnh chÝnh nã. N
D
Do AB ≠ CD nªn c¸c phÐp dêi kh¸c
phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt t−¬ng øng c¸c
B
kh¶ n¨ng sau, viÕt ë d¹ng c¸c ho¸n vÞ c¸c M
®Ønh:
H×nh 1 C
ABCD
f1 :
ABDC lµ phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng trung trùc cña ®o¹n CD, ®ã lµ
mÆt ph¼ng (AMB), víi M lµ trung ®iÓm c¹nh CD;
ABCD
lµ phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng trung trùc cña AB, ®ã lµ mÆt
f 2 : BACD
ph¼ng (CND), N lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB.
ABCD
f3 :
BADC lµ phÐp ®èi xøng trôc MN.
• Do tÝch c¸c phÐp dêi trong kh«ng gian cã tÝnh chÊt kÕt hîp, phÇn tö ®¬n vÞ lµ
phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt, tõ ®Þnh nghÜa phÐp ®èi xøng mÆt vµ ®èi xøng trôc suy ra:
104
- T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
§¹i häc Vinh
f1 -1 = f1 ; f 2 -1 = f 2 ; f 3 -1 = f 3 . VËy ®Ó kiÓm tra tËp hîp gåm c¸c phÐp dêi {f1; f2; f3; e}
víi phÐp to¸n tÝch c¸c phÐp dêi lËp thµnh mét nhãm chØ cÇn kiÓm tra ®iÒu kiÖn khÐp
kÝn phÐp to¸n.
Cã thÓ kiÓm tra f2 . f1 = f3; f3 . f1 = f2; f3 . f2 = f1
Chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña c¸c tÝch trªn cã thÓ b»ng hai c¸ch:
C¸ch 1: Dùa vµo tÝch c¸c ho¸n vÞ (thùc chÊt lµ c¸c song ¸nh);
C¸ch 2: Dùa vµo c¸c mÖnh ®Ò sau ®©y:
MÖnh ®Ò 1. TÝch cña hai phÐp ®èi xøng qua hai mÆt ph¼ng (P), (Q) c¾t nhau
theo giao tuyÕn ∆ lµ mét phÐp quay xung quanh trôc ∆ (víi ∆ ®−îc ®Þnh h−íng) vµ
gãc quay b»ng hai lÇn gãc nhÞ diÖn c¹nh ∆, h−íng x¸c ®Þnh tõ mÆt ph¼ng (P) ®Õn
mÆt ph»ng (Q): §Q. §P = Q (∆, ϕ); ϕ = 2α; Víi α lµ ®é lín gãc ph¼ng nhÞ diÖn [(P), (Q)]
cã ®Þnh h−íng.
MÖnh ®Ò 2: Víi mäi phÐp quay Q (∆, ϕ) ®Òu ph©n tÝch ®−îc thµnh tÝch cña hai
phÐp ®èi xøng mÆt qua hai mÆt ph¼ng (P), (Q) ®i qua ∆ ®· ®Þnh h−íng vµ gãc nhÞ
diÖn t¹o bëi (P) vµ (Q) cã gãc ph¼ng b»ng (1/2) ϕ vµ h−íng tõ mÆt ph¼ng thø nhÊt
®Õn mÆt ph¼ng thø hai, ®ång thêi cã v« sè c¸ch ph©n tÝch nh− vËy. ViÖc chøng minh
hai mÖnh ®Ò nªu trªn cã thÓ xem [3].
• Chóng ta kh¶o s¸t bµi to¸n sau ®©y theo quan ®iÓm nhãm: “Chøng minh
r»ng tø diÖn ®· cho xÐt trong vÝ dô 1 cã t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp O, t©m mÆt cÇu néi
tiÕp I vµ träng t©m G thuéc mét ®−êng th¼ng”.
Cã thÓ gi¶i bµi to¸n dùa vµo c¸c quan ®iÓm nhãm nh− sau:
ABCD
- C¸ch 1: Qua f 1 : ABDC th× f1: (O) → (O); f1: (I) → (I); f1: G → G
Tõ ®ã suy ra f1: (O, I, G) → (O, I, G);
ABCD
f2 :
BACD th× f2: (O, I, G) → (O, I, G).
VËy bé ba ®iÓm (O, I, G) biÕn thµnh chÝnh nã qua phÐp tÝch f2 . f1. Tõ ®ã suy
ra f3: (O, I, G) → (O, I, G). Tõ ®ã bé ba ®iÓm (O, I, G) thuéc trôc ®èi xøng MN.
ABCD
- C¸ch 2: Chøng minh trùc tiÕp f 3 : BADC nªn f3: (O) → (O); f3: (I) → (I); f3:
G → G. Tõ ®ã suy ra trôc ®èi xøng MN ®i qua O, I, G.
• Cã thÓ diÔn ®¹t theo c¸ch gi¶i phæ th«ng theo t−¬ng øng víi hai c¸ch gi¶i nªu
trªn nh− sau:
- Qua phÐp ®èi xøng mÆt f1 mÆt cÇu (O) biÕn thµnh chÝnh nã nªn t©m O thuéc
mÆt ph¼ng (CDN). T−¬ng tù O thuéc mÆt ph¼ng (ABM), suy ra O thuéc giao tuyÕn
MN cña hai mÆt ph¼ng trªn. T−¬ng tù, suy ra I vµ G thuéc giao tuyÕn MN cña hai
mÆt ph¼ng ®ã.
- Cã thÓ lËp luËn c¸ch kh¸c: Do phÐp ®èi xøng trôc MN biÕn tø diÖn thµnh
chÝnh nã nªn mÆt cÇu (O), mÆt cÇu (I) vµ G biÕn thµnh chÝnh nã. Tõ ®ã suy ra c¸c
®iÓm O, G, I thuéc trôc ®èi xøng MN.
105
- T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
§¹i häc Vinh
• Chóng ta cã thÓ ®Ò xuÊt bµi to¸n ë møc ®é khã kh¨n h¬n bµi to¸n xÐt ë vÝ dô
1 vµ yªu cÇu sinh viªn kh¶o s¸t lêi gi¶i theo quan ®iÓm nhãm vµ chuyÓn sang ng«n
ng÷ cña c¸ch gi¶i phæ th«ng: “Cho tø diÖn ABCD cã AC = BD = AD = BC = a” vµ AB
+ CD = 2a, víi AB ≠ CD. Chøng minh:
1) Tø diÖn ®ã cã mÆt cÇu tiÕp xóc víi tÊt c¶ c¸c c¹nh;
2) T©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp, t©m mÆt cÇu néi tiÕp, t©m mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¸c
c¹nh vµ träng t©m G thuéc mét ®−êng th¼ng.
VÝ dô 2: Cho hai ®−êng th¼ng chÐo nhau a, b. X¸c ®Þnh c¸c phÐp dêi trong
kh«ng gian biÕn cÆp ®−êng th¼ng chÐo nhau ®ã thµnh chÝnh nã. Chøng minh r»ng
tËp hîp c¸c phÐp dêi nãi trªn víi phÐp to¸n tÝch c¸c phÐp dêi lËp thµnh mét nhãm
(xem h×nh 2).
a
• CÆp ®−êng th¼ng (a, b) biÕn thµnh chÝnh
nã qua phÐp dêi f, øng víi c¸c kh¶ n¨ng sau:
a'
1) f: (a, b) → (a, b): A ∆2
- PhÐp ®ång nhÊt e: a → a; e: b → b, sao
cho mäi ®iÓm cña a, b ®Òu lµ ®iÓm kÐp (®iÓm cã O
¶nh lµ chÝnh nã). b'
- f1 lµ phÐp ®èi xøng trôc, cã trôc lµ ®−êng
vu«ng gãc chung ∆1 cña hai ®−êng th¼ng chÐo B b
nhau: f1: a → a; f1: b → b; trong ®ã chØ cã A, B lµ ∆3
c¸c giao ®iÓm cña ∆1 víi a vµ b lµ cÆp ®iÓm kÐp ∆1
H×nh 2
duy nhÊt.
2) f: (a, b) → (b, a). Do ®−êng vu«ng gãc chung AB lµ duy nhÊt nªn phÐp dêi f
chÝnh lµ phÐp ®èi xøng trôc f2: A → B, cã trôc ®èi xøng lµ ∆2 ®i qua trung ®iÓm O cña
®o¹n AB. Do f2: ∆2 →∆2 vµ f2: a → b, nªn gãc gi÷a ∆2 vµ a b»ng gãc gi÷a ∆2 vµ b. Tõ
®iÒu kiÖn cuèi cïng suy ra ∆2 lµ ®−êng th¼ng ®i qua O t¹o víi a, b hai gãc b»ng nhau
vµ ®−êng th¼ng ∆2 thuéc mÆt ph¼ng (R) ®i qua O vµ vu«ng gãc víi ∆1. LËp luËn t−¬ng
tù suy ra tån t¹i phÐp ®èi xøng trôc f3: a → b; f3: b → a cã trôc lµ ∆3 thuéc mÆt ph¼ng
(R), ®i qua O vµ vu«ng gãc víi ∆2.
Tõ d¹ng chÝnh t¾c cña phÐp dêi trong kh«ng gian suy ra tËp hîp c¸c phÐp dêi
biÕn cÆp ®−êng th¼ng chÐo nhau (a, b) thµnh chÝnh nã lµ (e; f1; f2; f3).
Tõ ®Þnh lÝ vÒ sù ph©n tÝch mét phÐp ®èi xøng trôc thµnh tÝch cña hai phÐp ®èi
xøng qua hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc cïng ®i qua trôc ®· cho vµ gãc gi÷a hai mÆt
ph¼ng b»ng 90o vµ chó ý r»ng, ba trôc ∆1; ∆2; ∆3 ®«i mét vu«ng gãc. Suy ra: f2.f1 = f3;
f3.f1 = f2; f3.f2 = f1. KiÓm tra c¸c dÊu hiÖu cßn l¹i cña nhãm ta cã: {e; f1; f2; f3} lËp thµnh
mét nhãm víi phÐp to¸n tÝch c¸c phÐp dêi.
• Tõ c¸ch nh×n nhËn trªn cã thÓ ®Ò xuÊt cho sinh viªn sö dông quan ®iÓm
nhãm, gi¶i vµ më réng c¸c bµi to¸n sau, ®ång thêi chuyÓn sang ng«n ng÷ c¸ch gi¶i
phæ th«ng:
Bµi to¸n 1: Cho hai ®−êng th¼ng chÐo nhau a, b cã ®−êng vu«ng gãc chung lµ
AB, víi A ∈ a; B ∈ b. C¸c ®iÓm M, N di ®éng, lÇn l−ît thuéc a, b sao cho AM = BN.
Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng MN lu«n c¾t vµ vu«ng gãc víi mét trong hai ®−êng
th¼ng cè ®Þnh.
106
- T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
§¹i häc Vinh
Bµi to¸n 2: Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A1B1C1D1. C¸c ®iÓm M, N di ®éng lÇn
l−ît thuéc c¸c c¹nh AD vµ BB1 sao cho AM = BN. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng
MN lu«n c¾t vµ vu«ng gãc víi mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh.
Ph−¬ng thøc hai: Sö dông c¸c bÊt biÕn cña c¸c nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi nh»m
®Þnh h−íng ph¸t hiÖn lêi gi¶i c¸c bµi to¸n, tõ ®ã chuyÓn ®æi ng«n ng÷ sang c¸ch gi¶i
phæ th«ng.
VÝ dô: Chóng ta cã thÓ lËp luËn chøng tá r»ng tÝch cña phÐp tÞnh tiÕn Tv vµ
phÐp ®èi xøng t©m §O trong kh«ng gian lµ mét phÐp ®èi xøng t©m.
TÝch cña hai phÐp tÞnh tiÕn lµ mét phÐp tÞnh tiÕn: Tv .Tv = Tv +v .
2 1 1 2
TÝch cña hai phÐp ®èi xøng t©m trong kh«ng gian lµ mét phÐp tÞnh tiÕn.
Tõ nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trªn suy ra tËp hîp c¸c phÐp tÞnh tiÕn vµ c¸c phÐp
®èi xøng t©m trong kh«ng gian lËp thµnh mét nhãm víi phÐp to¸n tÝch hai phÐp dêi
h×nh.
Do phÐp ®èi xøng t©m vµ phÐp tÞnh tiÕn cã tÝnh chÊt biÕn mét vect¬ thµnh
vect¬ cïng ph−¬ng nªn phÐp tÞnh tiÕn vµ ®èi xøng t©m biÕn mÆt ph¼ng thµnh mÆt
ph¼ng song song hoÆc trïng víi mÆt ph¼ng ®ã. Nãi c¸ch kh¸c, ph−¬ng trong kh«ng
gian lµ bÊt biÕn qua phÐp tÞnh tiÕn vµ ®èi xøng t©m.
Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn chóng ta cã thÓ rót ra kÕt luËn bæ Ých sau: NÕu gÆp d¹ng
to¸n chøa ®ùng ®iÒu kiÖn ph−¬ng kh«ng ®æi th× cÇn quan t©m sö dông phÐp tÞnh
tiÕn hoÆc phÐp ®èi xøng t©m ®Ó gi¶i chóng.
Ch¼ng h¹n, xÐt bµi to¸n sau: “Cho hai mÆt cÇu (O1), (O2) vµ mÆt ph¼ng (P).
H·y dùng mÆt ph¼ng (α) sao cho (α) song song víi (P) vµ (α) c¾t c¸c mÆt cÇu (O1),
(O2) theo hai ®−ßng trßn b»ng nhau”.
Cã thÓ lËp luËn c¸ch t×m lêi gi¶i nh− sau:
§iÒu kiÖn mÆt ph¼ng (α) cÇn dùng song song víi (P) gîi c¸ch chän phÐp tÞnh
tiÕn ®Ó gi¶i.
- Gäi (C1), (C2) lµ giao cña (α) cÇn dùng víi (O1), (O2). KÝ hiÖu H1, H2 lÇn l−ît lµ
c¸c h×nh chiÕu cña O1, O2 lªn mÆt ph¼ng (P). Khi ®ã H1O1 ®i qua t©m I1 cña (C1) vµ
H2O2 ®i qua t©m I2 cña (C2).
TH
- PhÐp tÞnh tiÕn biÕn mÆt cÇu (O1) thµnh mÆt cÇu (O'1). MÆt cÇu (O'1)
1H 2
giao víi (O2) theo ®−êng trßn C2. Khi ®ã mÆt ph¼ng (α) cÇn dùng lµ mÆt ph¼ng chøa
giao (O'1) víi (O2).
Ph−¬ng thøc thø ba: BiÕn ®æi bµi to¸n thµnh bµi to¸n míi nhê sö dông c¸c
h×nh t−¬ng ®−¬ng (c¸c h×nh sai kh¸c mét phÐp biÕn ®æi cña mét nhãm nµo ®ã).
VÝ dô: Cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n trªn m« h×nh h×nh lËp ph−¬ng sang bµi to¸n
trªn m« h×nh h×nh hép nhê bá qua c¸c bÊt biÕn cña phÐp biÕn ®æi trùc giao kh«ng
thuéc c¸c bÊt biÕn afin vµ gi÷ nguyªn c¸c bÊt biÕn cña phÐp biÕn ®æi afin.
Ch¼ng h¹n, xÐt bµi to¸n sau trªn m« h×nh h×nh lËp ph−¬ng: “Cho h×nh lËp
ph−¬ng ABCD.A1B1C1D1. Chøng minh r»ng ®−êng chÐo AC1 vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (BDA1) t¹i träng t©m G cña tam gi¸c BDA1 vµ AG = (1/3)AC1”.
107
- T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
§¹i häc Vinh
Do h×nh lËp ph−¬ng t−¬ng ®−¬ng afin víi h×nh hép bÊt k×; kh¸i niÖm träng t©m
AG 1
vµ tÝnh chÊt = lµ kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt afin. Khi bá qua tÝnh chÊt AC1 vu«ng
AC1 3
gãc víi mÆt ph¼ng (BDA1) cã thÓ chuyÓn sang bµi to¸n tæng qu¸t sau: “Cho h×nh hép
ABCD.A1B1C1D1. Chøng minh r»ng ®−êng chÐo AC1 ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c
BDA1 vµ AG = (1/3)AC1”.
Trªn ®©y lµ mét sè ph−¬ng thøc xem xÐt, nghiªn cøu H×nh häc s¬ cÊp theo
quan ®iÓm nhãm. Kh¶ n¨ng sö dông to¸n häc cao cÊp, to¸n häc hiÖn ®¹i vµo viÖc
nh×n nhËn s©u s¾c c¸c m«n to¸n s¬ cÊp vµ to¸n häc phæ th«ng cßn phong phó, ®a
d¹ng, thÓ hiÖn trªn nhiÒu tuyÕn kiÕn thøc kh¸c nhau.
T i liÖu tham kh¶o
[1] V¨n Nh− C−¬ng, T¹ M©n, H×nh häc Afin vµ h×nh häc ¥clit, NXB §¹i häc Quèc
gia Hµ Néi, 1998.
[2] NguyÔn §Æng PhÊt, Bµi gi¶ng chuyªn ®Ò c¸c phÐp biÕn h×nh, §¹i häc S− ph¹m
Hµ Néi, 2002.
[3] §µo Tam, H×nh häc s¬ cÊp, NXB §¹i häc S− ph¹m, 2004.
[4] §µo Tam, NguyÔn Huúnh Ph¸n, C¸c c¬ së To¸n häc cña gi¸o tr×nh to¸n phæ
th«ng, §¹i häc Vinh, 1995.
[5] N. I-A Vilenkin vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, C¸c c¬ së to¸n häc hiÖn ®¹i cña gi¸o tr×nh
to¸n phæ th«ng, Matxc¬va, NXB Gi¸o dôc, 1980.
[6] §Æng Quang ViÖt, T¨ng c−êng tÝnh nghiÖp vô khi d¹y ®¹i sè ®¹i c−¬ng ë tr−êng
s− ph¹m, T¹p chÝ Gi¸o dôc, Sè 9/2004.
Summary
Using some knowledge of transformation groups in space
to foster the students’ ability of finding solutions and
new problems through teaching and learning elementary
geometry
In this article, we present the connections between teaching and learning
mathematics divisions and elementary geometry in Pedagohical Universities. To be
specific, we propose some knowledge of transformational groups in space with an
aim of fostering the ability of students of pedagogical maths of finding solutions and
new problems through teaching and learning elementary geometry.
(a) Khoa to¸n, tr−êng §¹i häc Vinh.
108
nguon tai.lieu . vn
