Xem mẫu
- Mét c¸ch tiÕp cËn míi tÝnh søc chÞu t¶i
cña nÒn ®Êt trong tr¹ng th¸i giíi h¹n
gS. vò ®×nh lai
Bé m«n Søc bÒn VËt liÖu - §H GTVT
Tãm t¾t: TÝnh søc chÞu t¶i cña nÒn ®Êt trong tr¹ng th¸i giíi h¹n lμ mét bμi to¸n c¬ b¶n cña
c¬ häc vËt rêi. Nã ®· ®−îc gi¶i b»ng c¸c ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng hoÆc ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch
trong ®ã lêi gi¶i cña X«k«l«pxki lμ rÊt c¬ b¶n.
Trong bμi nμy, th«ng qua sù ph©n tÝch b»ng h×nh vÏ tr¹ng th¸i øng suÊt thuÇn nhÊt ë biªn
m«i tr−êng vμ dùa vμo ®Þnh lý vÒ sù biÕn thiªn tr¹ng th¸i øng suÊt däc mét ®−êng tr−ît xo¾n
l«ga, t¸c gi¶ ®· gi¶i bμi to¸n trong tr−êng hîp kh«ng xÐt träng l−îng b¶n th©n m«i tr−êng mét
c¸ch trùc quan.
Summary: The foundation load carrying capacity calculus in the limit state is a in –
coherent medium fundamental machanical problem. It’s solved either by approximate or by
analytical method, where the work of Sokolovski is fundamental.
In this article, based on the graph analysis of a homogenous stresses state at the free or
loaded straight boundary and the theorem on the stresses state variation along a logarithmic
spiral slip line, the problem in the case of the weightless medium is solved directly.
i. ®Æt vÊn ®Ò
ViÖc tÝnh to¸n søc chÞu t¶i giíi h¹n cña nÒn ®Êt vµ m¸i ®èc lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n c¬
b¶n th−êng gÆp trong thùc tÕ x©y dùng. Trong nh÷ng bµi to¸n Êy, bµi to¸n biÕn d¹ng ph¼ng
theo tiªu chÝ ph¸ huû cña Coulomb rót l¹i lµ viÖc gi¶i hÖ ba ph−¬ng tr×nh d−íi ®©y cña m«i
tr−êng trong tr¹ng th¸i giíi h¹n:
∂σ x ∂τ xy ⎫
+ +γ=0 ⎪
∂x ∂y ⎪
⎪
∂τ xy ∂σ y ⎪
+ =0 ⎬ (1)
∂x ∂y ⎪
2⎪
(σ x − σ y )2 + 4τ 2 ( )
2
= σ x + σ y + 2σ c sin ϕ⎪
xy
⎪
⎭
trong ®ã:
ϕ - gãc ma s¸t trong;
σc - ¸p suÊt kÕt cÊu trong;
γ - träng l−îng riªng cña ®Êt.
- V× m« h×nh cña tiªu chÝ Coulomb hoµn toµn t−¬ng tù nh− m« h×nh cña tiªu chÝ Mohr trong
bµi to¸n vËt r¾n cã biÕn d¹ng dÎo, do ®ã viÖc gi¶i bµi to¸n ph¼ng cña hai m«i tr−êng nµy, rêi vµ
r¾n, hoµn toµn t−¬ng tù vµ theo mét tiªu chÝ chung th−êng gäi lµ tiªu chÝ Coulomb – Mohr.
ViÖc gi¶i ph¸p ph−¬ng tr×nh (1) ®· ®−îc B.B. S«k«l«pxki thùc hiÖn mét c¸ch rÊt tæng qu¸t
trong [1]. ë ®©y, tõ viÖc tiÕp cËn bµi to¸n theo h−íng ph©n tÝch tr¹ng th¸i øng suÊt trong tr¹ng
th¸i giíi h¹n vµ dùa vµo ®Þnh lý biÕn thiªn tr¹ng th¸i øng suÊt däc ®−êng tr−ît xo¾n l«ga, chóng
t«i gi¶i bµi to¸n trong tr−êng hîp kh«ng xÐt träng l−îng b¶n th©n mét c¸ch trùc quan h¬n.
ii. mét sè quan hÖ trong tr¹ng th¸i øng suÊt giíi h¹n
Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i tËn dông tÝnh trùc quan cña viÖc biÓu diÔn mét tr¹ng th¸i øng
suÊt b»ng vßng trßn Mohr. Do ®ã ë ®©y qua h×nh 1, chóng t«i giíi thiÖu c¸c quan hÖ gi÷a c¸c
øng suÊt trong tr¹ng th¸i giíi h¹n mµ ng−êi ®äc cã thÓ tÝnh l¹i mét c¸ch kh«ng khã kh¨n.
Trong tr¹ng th¸i øng suÊt giíi h¹n, ta quy −íc ®Æt ¸p suÊt p lµ tæng cña øng suÊt víi ¸p
suÊt kÕt cÊu trong σc, thÝ dô p1= σc + σ1, ptb= σc + σtb, v.v…
LÊy ¸p suÊt t¹i mÆt tr−ît lµ pT= σc + σT lµ th«ng sè chÝnh, ta cã c¸c quan hÖ:
⎫
⎪
⎪
pT
p tb = ⎪
cos ϕ
2
⎪
⎪
1 + sin ϕ
1
⎪
p1 = p T = pT ;
1 − sin ϕ ⎪
cos 2 ϕ
⎪
1 − sin ϕ ⎪
1
p2 = pT = pT ⎬ (2)
;
1 + sin ϕ cos ϕ
2
⎪
⎪
cos δ ⎪
px = pT
⎪
cos δ m cos δ − cos ϕ
2 2
⎪
⎪
⎛ cos δ ± cos 2 δ − cos 2 ϕ ⎞ ⎪
cos δ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪
px = pT ⎪
cos ϕ2
⎭
(dÊu trªn khi px > ptb, dÊu d−íi khi px < ptb).
iii. hai tr−êng hîp ®iÒu kiÖn biªn, tr¹ng th¸i øng suÊt vμ ®−êng tr−ît
Ta ®· biÕt trong bµi to¸n ph¼ng theo tiªu chÝ
Coulomb – Mohr ë tr¹ng th¸i giíi h¹n tån t¹i hai hä
π ϕ⎞
⎛
®−êng tr−ît α vµ β cïng xiªn gãc μ ⎜ μ = − ⎟
⎝ 4 2⎠
víi hä ®−êng øng suÊt chÝnh thø nhÊt (h×nh 1).
Nh÷ng hä ®−êng tr−ît phô thuéc c¸c ®iÒu kiÖn
biªn.
H×nh 1.
- Trong tr−êng hîp t¶i träng (h×nh 3) hoÆc ®èi träng (h×nh 2) ph©n bè ®Òu, hai hä ®−êng tr−ît
lµ hai hä ®−êng th¼ng. Ph©n tÝch b»ng vßng trßn Mohr, ta tÝnh dÔ dµng c¸c gãc cña ®−êng tr−ît:
⎞⎫
sin δ p
1⎛π
⎜ + ϕ − δ p − arcsin ⎟,⎪
αp = ⎜2 ⎟
sin ϕ⎠⎪
2⎝
⎬ (3)
sin δ p ⎞ ⎪
1⎛π
⎜ + ϕ + δ p + arcsin ⎟,
βp = ⎜
sin ϕ ⎟ ⎪
2⎝2 ⎠⎭
⎞⎫
sin δ q
1⎛π
⎜ − ϕ − δ q + arcsin ⎟,⎪
αq = ⎜2 ⎟
sin ϕ ⎠⎪
2⎝
⎬ (4)
sin δ q ⎞ ⎪
1⎛π
β q = ⎜ − ϕ + δ q − arcsin ⎟,
sin ϕ ⎟ ⎪
2⎜2
⎝ ⎠⎭
H×nh 2.
H×nh 3.
iv. ®Þnh lý biÕn thiªn ¸p suÊt mÆt tr−ît däc theo mét ®−êng tr−ît xo¾n
l«ga
Trong nhiÒu tr−êng hîp cña bµi to¸n giíi h¹n nÒn ®Êt, ®Æc biÖt trong tr−êng hîp kh«ng xÐt
träng l−îng b¶n th©n, th−êng gÆp miÒn tr−ît cã d¹ng h×nh qu¹t, thÝ dô miÒn OC1C2 trªn h×nh 4a,
- trong ®ã mét hä ®−êng tr−ît lµ nh÷ng tia ®ång quy. V× tÝnh chÊt ®¼ng giao nªn hä ®−êng tr−ît
thø hai lµ nh÷ng ®−êng xo¾n l«ga. ViÕt trong hÖ to¹ ®é cùc nh÷ng ®−êng nµy cã d¹ng:
r = r0eθcotg 2μ r = r0eθtg ϕ
hay (5)
trong ®ã 2μ lµ gãc gi÷a b¸n kÝnh vÐc t¬ vµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng xo¾n l«ga (h×nh 4 b).
H×nh 4.
Trong miÒn tr−ît h×nh qu¹t, tr¹ng th¸i øng su¸t kh«ng ®ång nhÊt. D−íi ®©y ta nghiªn cøu
quy luËt biÕn thiªn cña mét tr¹ng th¸i øng suÊt (ë tr¹ng th¸i giíi h¹n) däc mét ®−êng xo¾n l«ga.
Gi¶ sö cã ph©n tè ë tr¹ng th¸i giíi h¹n (h×nh 4 c). Trªn mÆt AA’ cã c¸c øng suÊt σθ, τθr tho¶ m·n
ph−¬ng tr×nh c©n b»ng:
1 ∂σ θ ∂τ θr 2τ θr
+ + =0 (6)
r ∂θ ∂r r
Víi r = r0eθtg ϕ, σθ = pT - σc, τθr = pTtgϕ, sau vµi phÐp biÕn ®æi, ta ®−îc tõ (6) ph−¬ng tr×nh vi
ph©n th−êng:
d pT dr
+2 =0
r
pT
pTr2 = const
Tõ ®ã rót ra: (7)
Quan hÖ trªn cho ta ®Þnh lý: Däc ®−êng xo¾n l«ga, ¸p suÊt mÆt tr−ît biÕn ®æi tØ lÖ nghÞch
víi b×nh ph−¬ng b¸n kÝnh vÐc t¬. ThÝ dô nÕu ®Ó ý 2 ®iÓm C1 vµ C2 trªn cïng ®−êng xo¾n l«ga
(h×nh 4 a), quan hÖ (7) kÕt hîp víi (5) cho ta tÝnh ®−îc:
p TC1 (OC 2 ) 2
= e 2θtgϕ
= (8)
2
p TC2 (OC1 )
trong ®ã θ lµ gãc gi÷a 2 b¸n kÝnh vÐc t¬.
V. tÝnh søc chÞu t¶i giíi h¹n cña nÒn ®Êt vμ m¸i dèc
¸p dông nh÷ng kÕt qu¶ thu ®−îc ë trªn, cã thÓ dÔ dµng tÝnh ®−îc søc chÞu t¶i giíi h¹n cña
nÒn ®Êt vµ m¸i dèc. ThÝ dô cã nÒn biÕn d¹ng ph¼ng vµ 2 d¶i lùc ph©n bè (h×nh 5). §Ó ®¶m b¶o
sù t−¬ng thÝch cña biÕn d¹ng, nÕu mét gi¶i lµ ¸p suÊt chñ ®éng (P) th× d¶i thø hai lµ ¸p suÊt bÞ
®éng (q).
- H×nh 5.
TÝnh søc chÞu t¶i lµ tÝnh quan hÖ gi÷a P vµ q, hay nãi c¸ch kh¸c lµ xÐt sù c©n b»ng cña
miÒn tr−ît t−¬ng øng víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn vÒ lùc lµ P vµ q. ë ®©y ta chän ¸p suÊt mÆt tr−ît pT
lµ th«ng sè ®Æc tr−ng cho tr¹ng th¸i øng suÊt ®Ó t×m quan hÖ gi÷a P vµ q. ThÝ dô trªn h×nh 5, ta
chän Cq trªn miÒn tr−ît thuÇn nhÊt III, t¹i ®ã qx = σc + q. Theo (2) ta cã:
cos δ q + cos 2 δ q − cos 2 ϕ
p Tq = (σ c + q)
cos δ q
T¹i miÒn tr−ît I, px = σc + P. Còng theo (2):
cos δ p − cos 2 δ q − cos 2 ϕ
p τp = (σ c + P)
cos δ q
Theo (8) ta rót ra:
cos δ q + cos 2 δ q − cos 2 ϕ cos δ p − cos 2 δ p − cos 2 ϕ
(σ c + q) = (σ c + P) e −2θtgϕ (9)
cos δ q cos δ p
trong ®ã θ lµ gãc ë ®Ønh miÒn tr−ît h×nh qu¹t tÝnh theo (3), (4):
θ = π - βp - αq (10)
hay:
1⎛ ⎞
sin δ p sin δ q
⎜ π − δ p + δ q − arcsin ⎟
θ= − arcsin (11)
2⎜ ⎟
sin ϕ sin ϕ
⎝ ⎠
D−íi ®©y lµ hai tr−êng hîp ®Æc biÖt:
Tr−êng hîp 1: (h×nh 6a). M¸i dèc cã gãc nghiªng γ, q = 0, δq = 0.
cos δ p
e 2θtgϕ − σ c
P = σ c (1 + sin ϕ)
cos δ p − cos δ p − cos ϕ
2 2
sin δ p
1⎛ ⎞
⎜ π − δ p − arcsin − 2γ ⎟
θ=
víi: ⎜ ⎟
sin ϕ
2⎝ ⎠
Tr−êng hîp 2: (h×nh 6b). δq = 0.
- cos δ p ⎛ cos δ p + sin 2 ϕ − sin 2 δ p ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 2θtgϕ
P = (σ c + q)(1 + sin ϕ) − σc (12)
e
cos ϕ
2
sin δ p
1⎛ ⎞
⎜ π − δ p − arcsin ⎟
θ=
víi: (13)
⎜ ⎟
sin ϕ
2⎝ ⎠
H×nh 6.
C«ng thøc (12) th−êng ®−îc tÝnh s½n vµ lËp thµnh b¶ng tÝnh theo d¹ng d−íi ®©y:
pgh = Nqq + Ncc
trong ®ã c= σctgϕ. C¸c hÖ sè cña b¶ng rót ra tõ (12):
cos δ p ⎛ cos δ p + sin 2 ϕ − sin 2 δ p ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 2 θtgϕ
N q = (1 + sin ϕ) (14)
e
cos ϕ
2
Nc = (Nq - 1)cotgϕ.
V× c¸c b¶n tÝnh tr−íc ®©y, thÝ dô ë [4, 5] cã nhiÒu chç ch−a chÝnh x¸c nªn ë ®©y chóng t«i
giíi thiÖu c¸c kÕt qu¶ tÝnh ®óng tõ c¸c quan hÖ (14) (®· lµm trßn víi 2 sè thËp ph©n).
ϕ (0)
δp(0)
5 10 15 20 25 30 35 40 45
Nq 1,57 2,47 3,49 6,40 10,66 18,4 33,30 64,20 134,87
0
Nc 6,49 8,34 10,98 14,83 20,72 30,12 46,12 75,31 133,87
Nq 1,24 2,16 3,46 5,56 9,17 15,63 27,86 53,70 108,23
5
Nc 2,72 6,57 9,13 12,53 17,53 25,34 38,35 61,63 107,23
Nq 1,50 2,84 4,65 7,63 12,94 22,77 42,37 85,16
10
Nc 2,84 6,88 10,01 14,26 20,68 31,09 49,31 84,16
Nq 1,79 3,64 6,12 10,37 18,12 33,26 65,58
15
Nc 2,94 7,27 10,99 16,23 24,46 38,45 64,58
Nq 2,09 4,58 7,96 13,94 25,39 49,26
20
Nc 3,00 7,68 12,05 18,48 29,07 48,26
Nq 2,41 5,67 10,24 18,70 35,93
25
Nc 3,03 8,09 13,19 21,10 34,93
Nq 2,75 6,94 13,11 25,24
30
Nc 3,02 8,49 14,43 24,24
Nq 3,08 8,43 16,81
35
Nc 2,97 8,86 15,81
Nq 3,42 10,20
40
Nc 2,28 9,20
Nq 3,74
45
Nc 2,74
- Tµi liÖu tham kh¶o
[1] B. B. X«k«l«pxki. Xtatika xputsei xredu. Goxudarxtvennoe izdatelxtvo tekniko – teoritsexkoi literatur− –
Moxkva. 1954.
[2] F. Schlosser. ElÐments de MÐcanique des sols. Presses de l’ ENPC. Paris.
[3] L. M. Katsanov. Fundamentals of the theory of plasticity. Mir publishers. Moscow, 1974.
[4] H. A. Tx− – tovich. C¬ häc ®Êt. NXB N«ng nghiÖp, Nhµ xuÊt b¶n Mir, Hµ Néi, Masc¬va, 1987.
[5] Lª Quý An, N. C. MÉn, H. V. T©n. TÝnh to¸n nÒn mãng theo tr¹ng th¸i giíi h¹n. NXB KHKT – Hµ Néi,
1976.
[6] Vò §×nh Lai, N. X. Lùu, B. §. Nghi. Søc bÒn vËt liÖu. NXB Giao th«ng vËn t¶i. Hµ Néi, 2002
nguon tai.lieu . vn
