Xem mẫu
- Giới hạn dãy số a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
*Các giới hạn thường gặp:
6.Tìm các số hữu tỉ sau :
limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1
a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515....
*Các phép toán giới hạn : 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
lim(un ± vn) = limun ± limvn ; lim(un.vn) = limun ; 8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥
Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn
limvnlim =
9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 ∀n ∈ N
*Các định lý về giới hạn:
a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n ∀n ≥ 3
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Tính limxn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1=
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn) a) Chứng minh rằng: un < 1 ∀n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
Nếu ∀n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A
c) Tính limun
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = ∞
11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1=
Nếu limun = ∞ thì lim = 0 a) Chứng minh rằng un < 3 ∀ n
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S = b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau: c) Tính limun
a) lim b) lim c) lim
2.Tính các giới hạn sau: Giới hạn hàm số
a) lim b) lim c) lim *Các phép toán về giới hạn hàm số
2n − 3
lim [ f (x) ± g(x) ] = lim f (x) ± lim g(x)
d) lim e) lim 3 3
n − 2n + 1 x →a x →a x →a
lim [ f (x).g(x) ] = lim f (x).lim g(x)
f)lim() g) lim
x →a x →a
3.Tính các giới hạn sau: x →a
a) lim b) lim() c) lim) lim f (x)
f (x)
d) lim) e) lim = x →a lim f (x) = lim f (x)
lim
x → a g(x) lim g(x) x →a x →a
n + n + n + 3 n +1
3 3 2 2
x →a
f) lim g) lim
n 3 +1 *Các định lý về giới hạn hàm số :
h) lim i) lim() Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
j) lim n() k) lim( 3 n 3 − 2n 2 − n ) Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K
l) lim m) lim(1 + n2 – ) chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu lim g(x) = lim h(x) = L thì
x →a x →a
n) lim
lim f (x) = L
4.Tính các giới hạn x →a
a) lim b) lim c) lim 1
Định lý 3: Nếu lim f (x) = 0 thì lim =∞
d) lim e) lim f) lim
f (x)
x →a x →a
g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
1
4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = Nếu lim f (x) = ∞ thì lim =0
x → a f (x)
a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng x →a
b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó s inx x
=1 =1
lim lim
Định lý 4:
5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = x x → 0 sinx
x →0
- sin kx kx x n − nx + n − 1
(1 − x )(1 − 3 x )(1 − 4 x )(1 − 5 x )
=1 =1
lim lim h) lim
g) lim
kx x → 0 sin kx
(x − 1) 2
x →0
(1 − x) 4 x →1
x →1
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.∞ ; ∞ – ∞ 4.Tính các giới hạn sau:
1.Tính các giới hạn sau: 1 − cos 6 x
5x sin 4x
sin 3x
a) lim b) lim c) lim d) lim
x 3 − 3x 2 + 5x − 3
2 x 2 − 3x − 2 x2
2x x → 0 sin 7 x
sin 2 x
x →0 x →0
x →0
a) lim b) lim
1 − cos 3x cos x − cos 3x
x−2 x2 −1 1 − cos x
x →2 x →1
e) lim f) lim g) lim
x →0 1 − cos x 2
2x
x3 − x2 − x + 1
x 2 + 2x x2
x →0 x →0
c) lim 2 d) lim 2
cos 4 x − sin 4 x − 1
3 sin x − cos x sin x − cos x
x → −2 x + 4 x + 4 x − 3x + 2
x →1
i) lim sin 8x j) lim
h) lim π
sin 6x
π
x4 −1 x →0
x − 5 x + 3x + 9 x2 +1 −1
x→
3 2 x→ 4
6
e) lim f) lim 3
1 + sin x − cos x π
x 4 − 8x 2 − 9 1 1
x → −1 x − 2 x 2 + 3
x →3
− ) m) lim( − x ) tgx
k) lim l) lim(
1 − sin x − cos x
x 3 − 3x + 2
x 2 + 2x − 3 x →0 sin x cos x x →0 2
x →0
g) lim 2 h) lim
2 − 1 + cos x 1 − cos x. cos 2 x
x →1 2 x − x − 1 4 − x2
x → −2
n) lim o) lim p)
xm −1
4 x 6 − 5x 5 + x 2
x2
sin x
x →0 x →0
m,n∈N
i) lim k) lim n
sin x − cos x cos 2 x − 1
x 2 −1 x →1 x − 1
1 + sin x − cos 2 x
x →1
q) lim 1 − tgx r) lim
lim
2.Tính các giới hạn sau: π x →0
tg 2 x 1− 1− x2
x →0 x→
4
x +5 −3 1+ x − 1− x 2− x −3 4.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim 2
4−x x →7 x − 49
x
x →0
x →4
tgx − s inx
1 3 1 1 − cosx
−
a) lim . b) lim c) lim
3− 5+ x
x+2−x
4x + 1 − 3 3
sin 3x x
x → 0 s inx
tg 2 x
x
d) lim e) lim f) lim x →0 x →0
x2 − 4 4x + 1 − 3 1− 5 − x
x →2 x →4
x→2
1 − tgx
cosx lim(1 + cos2x)tgx
d) lim x-π/2 f) lim 1 − cot gx
2x + 7 + x − 4
2x + 3 − x + 2 e) x → π
π π
g) lim h) lim 3 x→ x→
2
3x + 3 x − 4x 2 + 3 2 4
x → −1 x →1
tg x − 3tgx
3
s inx - cosx π
x2 − x x+2−x
x −1
lim
g) lim i) lim x.sin
π
i) lim k) lim
j) lim h) π
1 - tgx
π x→
3 cos(x + ) x
x +3 −2
x −1 4x + 1 − 3 x →∞
x →1
x →1 x →2 x→
4
6
2x + 7 − 3 x − 3x − 2
3
x −1 + x −1
2
2 − 1 + cosx 1 + sin 2x − 1 − sin 2x
l) lim m) lim n) lim
j) lim k) lim
x2 −1
x −1
2− x +3 x →1+
x →1 x →1 2
tg x x
x →0 x →0
x + 3 + x − 3x
2 3
l) lim(sin x + 1 − sin x ) m) lim(cos x+1 − cos x )
o) lim x →∞ x →∞
x −1
x →1
5.Tính các giới hạn sau:
3.Tính các giới hạn sau:
1 4
1 3
+2
−3 )
x5 + x3 + 2
x b) xlim2( )
a) lim(
x −1 x −1 x+2 x −4
lim 3 lim 3
a) x → 2 b) x →1 →−
8−x −3 8+ x x +1
x → −1
1 1
+2
b) lim 2
x x+4− x
1 + x −1
3 2 3
x → 2 x − 3x + 2 x − 5x + 6
c) lim 3 d) lim e) lim 2
1+ x −1
x →0 x → 4 x − 5x + 4
2
x
x →0
( x − 1)( x 2 + 3x ) x 2 + x − 3x
c) lim d) lim
10 − x − x + 2
2x + 10 + 3 x − 5 3
x 3 + 4x 2x − 1
x →∞ x →∞
f) lim g) lim
x−2
x2 − 9
x → −3 x→2
f) lim ( 3 − x − 5 − x )
e) lim( x − x + 3 + x )
2
8x + 11 − x + 7 x →−∞
x+6− x+2 x →∞
3
3
h) lim i) lim
x 2 − 3x + 2
x2 − 4
x →2 x →2
- Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục
g) lim x ( x + 5 − x ) h) xlim x ( x + 1 − x )
2 2
trên tập xác định của chúng
x →∞ → +∞
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên
x 2 + x + 2 + 3x
i) xlim ( x − 2 x − 1 − x − 7 x + 3 ) i) lim
2 2
tục
→+∞
4x 2 + 1 − x + 1
x →∞
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn
x 2 + 2x + 3
9x 2 + x + 1 − 4x 2 + 2x + 1 tại ít nhất một số c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0
h) lim
j) lim
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì
x +1 x3 − x + 1
x →∞ 3
x →∞
phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
7x
x2 + x +1 + x2 − x +1
lim 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
j) lim k) x →∞
1 + 14x + 16x 2 + x + 1
x →∞
x + x +1 2
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) =
6.Tính giới hạn các hàm số sau 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
x 2 − 3x + 4 khi x < 1
x 2 − 3x
b) lim ( x − x − x + 1)
2 2
a) lim a) f(x) = tại xo = 1
x →∞
x+2
2x − 3 khi x ≥ 1
x →∞
sin x + 3 cos 2x
1
c) lim x 2 sin d) lim x3 − x − 6
x 2 − 2x + 3 khi x ≠ 2
x
x →0 x →∞
2
x − x − 2
5 cos x + x 2 tại xo = 2
b) f(x) =
f) lim( x + x − x )
2
e) lim 11 khi x = 2
x3 −1 x →∞
x → +∞
3
sin πx
g) lim(2x − 1 − 4x − 4x − 3) h) xlim x + x + x − x
2
khi x ≠ 1
x →∞ →+∞
c) f(x) = x − 1 tại xo = 1
)
( −π
i) lim(x + 3x − x ) x 2 + 1 − 3 x3 −1
3 2 3
khi x = 1
j) lim
x →∞ x →∞
x 2 − 3x + 2
7.Tìm 2 số a,b để khi x ≥ 1
x2 −1
a) xlim ( x + x + 1 − ax − b) = 0
2
d) f(x) = tại xo = 1
→+∞
− x khi x < 1
x2 +1
− ax − b) = 0 2
b) lim (
x +1
x →∞
4 − x2
8. Tính các giới hạn sau: khi x < 2
) )
( ( e) f(x) = x − 2 tại xo = 2
x 2 + 2x − 2 x 2 + x + x x 3 + 3x 2 − x 2 − 2x
3
a) xlim x b) xlim 1 − 2x khix > 2
→+∞ →+∞
3
x + 2 khi x ≤ 0
Hàm số liên tục
Định nghĩa: f) f(x) = tại xo = 0
x + 1 − 1 khi x ≥ 0
*Hàm số f(x) liên tục tại xo ⇔ xlimo f (x) = f (x o )
→x
3 1 + x −1
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi
1 − 3 cosx
điểm
khi x ≠ 0
xo ∈ (a;b) sin 2 x
g) f(x) = tại xo = 0
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng
1 khi x = 0
[a;b] 6
và xlim+ f (x) = f (a) và xlim− f (x) = f (b)
→a →b
Các định lý:
- 5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
1 − 2x − 3
khi x ≠ 2
π
h) f(x) = 2 − x tại xo = 2 − 2 sin x khi x < − 2
1 khi x = 2 x 2 khi x < 1
π π
b) f(x) = ax + b khi 1 ≤ x ≤ 3
a) f(x) = asinx + b khi − ≤ x ≤
3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
2 2
4 − x khi x > 3
3x 2 + 2x − 1 khi x < 1
π
a) f(x) = tại x0 = 1 khi x >
cos x
2x + a khi x ≥ 1 2
x 3 + 2x − 3 6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
khi x ≠ 1
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0
tại x0 = 1
b) f(x) = x 2 − 1
a 3 2
d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
c) x + x + x + 2/3 = 0
khi x = 1
e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
1 − cos4x
7. Chứng minh rằng phương trình
khi x < 0
x.sin 2x a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
c) f(x) = tại xo = 0
x + a b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
khi x ≥ 0
x +1 c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
1− x − 1+ x
khi x < 0 e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
x f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
d) f(x) = tại xo = 0
a + 4 − x 8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình
khi x ≥ 0
x+2
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
x 2 − 3x − 7 khi x < −2
a) f(x) = Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
1 − x khi x ≥ −2 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
x 2 + 3x −10 a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
khi x < 2
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
x −4
2
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
2x + 3
khi 2 ≤ x ≤ 5
b) f(x) = 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0
x +2
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0
3x − 4 khi x > 5
b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈
3 3x + 2 − 2 [a;b]
khi x > 2
x−2 Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b]
a) f(x) =
12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
ax + 1 khi x ≤ 2 a) cosx + m.cos2x = 0
4
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
π
sin(x − ) c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
3 khi x ≠ π d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
b) f(x) = 1 − 2 cos x 3 13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ.
π Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b]
khi x =
a
3
- 14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có
nghiệm xo ∈ (1;2) và xo >
nguon tai.lieu . vn