Xem mẫu
- Chương I
NG TH C B NG PHƯƠNG PHÁP BI N I TƯƠNG
ƯƠNG
I . Tính ch t cơ b n:
ax > bx khi x > 0
a. a > b ⇔
ax < bx khi x < 0
a − b > x − y
a > x a > x
b. ⇒ a + b > x + y Chú ý ⇒ ab > xy
b > y b > y a x
>
b y
a > x ≥ 0
c. ⇒ ab > xy
b > y ≥ 0
d. a > b ≥ 0 ⇒ a 2 > b 2
H qu : a > b ⇔ a 2 > b 2
1 1
e. a > b > 0 ⇒<
a b
1 1
a 0
• x < A ⇔ −A < x < A
x < − A
• x > A⇔
x > A
II. Vài b t ng th c thông d ng:
V i a, b, c,… tùy ý ( a, b, c... ∈ R )
a. a 2 + b 2 ≥ 2ab ( D u “ = ” x y ra ⇔ a = b )
b. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( D u “ = ” x y ra ⇔ a = b = c )
1 1 1 1 4
c. V i a, b > 0 ta có: (a + b) + ≥ 4 ⇔ + ≥
a b a b a+b
III. Các ví d :
π π
Ví d 1: Cho x, y ∈ − ; . Ch ng minh b t ng th c:
4 4
tan x − tan y
- ⇔ tan x − tan y > 1 − tan x tan y
⇔ tan 2 x + tan 2 y − 2 tan x tan y < 1 − 2 tan x tan y + tan 2 x tan 2 y
⇔ tan 2 x + tan 2 y − tan 2 x tan 2 y − 1 < 0
⇔ tan 2 x(1 − tan 2 y ) − (1 − tan 2 y ) < 0
π π
⇔ (1 − tan 2 y )(tan 2 x − 1) < 0 ( Luôn úng ∀x, y ∈ − ; )
4 4
Ví d 2:
Ch ng minh r ng v i m i s th c a, b, c th a mãn i u ki n a + b + c = 1 thì:
1 1 1 a b c
a
+ b + c ≥ 3. a + b + c
3 3 3 3 3 3
Gi i:
1
Vì hàm s gi m nên ta có:
3x
1 1 a b a b
0 ≥ ( a − b) a − b ⇒ b + a ≥ a + b
3 3 3 3 3 3
Tương t ta có:
b c b c c a c a
c
+ b ≥ b+ c; a+ c ≥ c+ a
3 3 3 3 3 3 3 3
C ng v theo v các b t ng th c trên ( chú ý r ng a + b + c = 1 ), ta ư c:
1 1 1 a b c a b c
a
+ b + c − a + b + c ≥ 2 a + b + c
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 a b c
⇔ a + b + c ≥ 3 a + b + c ( pcm)
3 3 3 3 3 3
Ví d 3:
a. Cho x > 0, y > 0 và xy ≤ 1 . Ch ng minh:
2 1 1
≥ + (1)
1 + xy 1+ x 1+ y
b. Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d và bd ≤ 1 . Ch ng minh:
4 1 1 1 1
≥ + + +
1 + 4 abcd 1 + a 1 + b 1 + c 1 + d
Gi i:
a. Vì x > 0, y > 0 nên b t ng th c (1) tương ương v i:
2(1 + x)(1 + y ) ≥ (1 + xy )(1 + y ) + (1 + xy )(1 + x)
⇔ 2 + 2 x + 2 y + 2 xy ≥ 1 + xy + y + y xy + 1 + xy + x + x xy
⇔ ( x + y ) + 2 xy ≥ xy ( x + y ) + 2 xy
⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + 2( xy − xy ) ≥ 0
⇔ ( x + y )(1 − xy ) + 2 xy ( xy −1) ≥ 0
⇔ (1 − xy )( x + y − 2 xy ) ≥ 0
2
- ⇔ (1 − xy )( x − y )2 ≥ 0 (2)
( x − y ) 2 ≥ 0
Vì: nên (2) úng ( pcm)
xy ≤ 1 ⇒ 1 − xy ≥ 0
a , b, c , d > 0
a , b, c , d > 0 a ≤ b
b. a ≤ b ≤ c ≤ d nên ⇒ ac ≤ db ≤ 1
bd ≤ 1 c≤d
bd ≤ 1
Theo k t qu câu a, ta có:
1 1 2
1 + a + 1 + c ≤ 1 + ac (a, c > 0; ac ≤ 1)
1 + 1 ≤ 2
(b, d > 0; bd ≤ 1)
1 + c 1 + d 1 + bd
1 1 1 1 1 1
⇒ + + + ≤ 2. +
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 1 + ac 1 + bd
2
≤ 2.
1 + ac . bd
4
= ( pcm)
1 + abcd
Ví d 4:
Cho a, b, c ∈ [ − 1; 2] th a mãn i u ki n a + b + c = 0 . Ch ng minh:
a 2 + b2 + c 2 ≤ 6
Gi i:
• a ∈ [ − 1; 2] ⇔ −1 ≤ a ≤ 2 ⇔ ( a + 1)(a − 2) ≤ 0
⇔ a 2 − a − 2 ≤ 0 ⇔ a 2 ≤ a + 2 (1)
b 2 ≤ b + c (2)
• Tương t ta cũng có 2
c ≤ c + 2 (3)
C ng (1), (2), (3) ta có:
a 2 + b 2 + c 2 ≤ ( a + b + c) + 6 = 6 ( pcm)
Ví d 5:
Cho x, y, z ∈ [0;2] và x + y + z = 3 . Ch ng minh r ng:
x2 + y 2 + z 2 ≤ 5
Gi i:
Ta có: x, y, z ≤ 2 ⇒ (x − 2)( y − 2)( z − 2) ≤ 0
⇔ xyz − 2( xy + yz + zx) + 4( x + y + z ) − 8 ≤ 0
⇔ xyz − 2( xy + yz + zx) − 4.(3) − 8 ≤ 0
⇔ xyz ≤ 2( xy + yz + zx) − 4 ( vì x + y + z = 3 )
⇔ xyz ≤ ( x + y + z )2 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 4
⇔ xyz ≤ ( x + y + z )2 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 4 = 32 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 4
3
- ⇔ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 5 − xyz ( Vì x + y + z = 3 )
⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 5 ( Vì xyz ≥ 0 ) ( pcm)
Ví d 6:
Cho x > 0, y > 0, z > 0 và xyz = 1 . Ch ng minh các b t ng th c sau:
1 1 1
a. + 3 3 + 3 ≤ 1 (1)
x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1
3 3
1 1 1
b. + + ≤ 1 (2)
x + y +1 y + z +1 z + x +1
Gi i:
a. t T = v trái c a b t ng th c (1) ( ta c n ch ng minh T ≤ 1 )
Ta có: x3 + y 3 = ( x + y )( x 2 + y 2 − xy )
x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇔ x 2 + y 2 − xy > xy
Mà
x + y > 0 ( Vì x > 0, y > 0)
Nên ( x + y )( x 2 + y 2 − xy ) ≥ ( x + y ) xy hay x3 + y 3 ≥ xy ( x + y )
⇒ x3 + y 3 +1 ≥ xy ( x + y ) + xyz ( Vì xyz = 1 )
⇔ x 3 + y 3 +1 ≥ xy ( x + y + z ) > 0
1 1
⇔ 3 ≤ (a)
x + y + 1 xy ( x + y + z )
3
Tương t ta có:
1 1
y 3 + z 3 + 1 ≤ xy ( x + y + z ) (b)
⇔
1 1
≤ (c)
z + x + 1 xy ( x + y + z )
3 3
C ng v theo v (a), (b), (c), ta có:
1 1 1 1 1 x+ y+ z
T≤ + + = = 1 ( Vì xyz = 1 ) ( pcm)
( x + y + z ) xy yz zx x + y + z xyz
b. t S b ng v trái c a b t ng th c (2) ( ta c n ch ng minh S ≤ 1 )
x = a3
x , y , z > 0 ⇒ a , b, c > 0
t y = b3 mà
xyz = 1 ⇒ a b c ⇔ abc = 1
3 3 3
z = c3
a, b, c > 0 và abc = 1 nên theo k t qu câu a, ta có:
1 1 1
+ 3 3 + 3 ≤1
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
3 3
1 1 1
⇔ + + ≤ 1 ( pcm)
x + y +1 y + z +1 z + x +1
Ví d 7:
Cho a, b > 0 và b, c > 0 . Ch ng minh:
(a − c)c + (b − c)c ≤ ab (1)
4
- Gi i:
Bt ng th c (1) tương ương v i:
c(a − c) + (b − c)c + 2 c 2 (a − c)(b − c) ≤ ab
⇔ c 2 + c 2 − ac + ab − bc − 2c (a − c)(b − c) ≥ 0
⇔ c 2 + a(b − c) − c(b − c) − 2c (a − c)(b − c) ≥ 0
⇔ c 2 + (a − c)(b − c) − 2c (a − c)(b − c) ≥ 0
2
⇔ c − (a − c)(b − c) ≥ 0 ây là b t ng th c úng ( pcm)
Ví d 8:
Ch ng minh r ng i v i m i a, b, c ∈ R , ta có:
2
a
+ b 2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc (1)
4
Gi i:
B t ng th c (1) tương ương v i:
a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ac − 8bc + 4ac ≥ 0
⇔ ( a − 2b + 2c) 2 ≥ 0 ây là b t phương trình úng ( pcm)
Ví d 9:
Cho a 3 > 36 và abc = 1 . Ch ng minh:
a2
+ b 2 + c 2 > ab + bc + ca (1)
3
Gi i:
Bt ng th c (1) tương ương v i:
2
a
+ (b + c)2 − 2bc > a (b + c) + bc
3
a2
⇔ (b + c) 2 − a (b + c) + − 3bc > 0
3
a2 3 1
⇔ (b + c) − a (b + c) + − > 0 ( Vì bc = )
2
3 a a
x = b + c
⇔ a2 3 (a)
f ( x) = x 2 − ax + − > 0
3 a
a2 3
Xét tam th c b c hai f ( x) = x 2 − ax + ( − ) có:
3 a
a 2 3 36 − a 3
∆ = a2 − 4 − = < 0 ( Vì a 3 > 36 )
3 a 3a
⇒ f ( x) > 0, ∀x ∈ R ⇒ (a ) úng ( pcm)
Ví d 10:
Cho −1 < x < 1 và n ∈ N , n > 1 . Ch ng minh:
5
- (1 − x)2 + (1 + n)n < 2n
Gi i:
Vì −1 < x < 1 nên x = cos α (0 < α < π) lúc ó:
(1 + n) n + (1 − n) n = (1 + cos α )n + (1 − cos α ) n
n n
α α
= 2 cos 2 + 2sin 2
2 2
n
α α
n
α α
= 2 n cos 2 + sin 2 < 2n cos 2 + sin 2 = 2 n ( pcm)
2 2 2 2
* Chú ý: Khi ch ng minh b t ng th c b ng phương pháp bi n i tương ương c n:
1. Chú ý xem kĩ gi thuy t cho, vì trong m t s trư ng h p có th bi n i gi thuy t cho
thành b t ng th c c n ch ng minh ( như ví d 4, 5…).
2. Trong m t s trư ng h p có th bi n i b t ng th c c n ch ng minh thành m t b t ng th c
luôn úng ( ư c nêu ví d 1, 3, 7, 8…).
3. Nên thu c lòng và b t ng th c thông d ng ư c gi i thi u ph n II.
IV. Bài t p tương t :
1. Ch ng minh r ng: n u 0 < x ≤ y ≤ z thì:
1 1 1 1 1
y + + ( x + z) ≤ + ( x + z)
x z y x z
* Hư ng d n:
Tìm b t ng th c tương ương b ng cách quy ông m u s , ư c lư c s h ng ( x + z ) , chuy n
v , bi n i v trái thành d ng tích s ,…
2. a, b, c, d là năm s th c tùy ý, ch ng minh b t ng th c:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ ab + ac + ad + ac
Khi nào ng th c x y ra?
* Hư ng d n:
Tìm b t ng th c tương ương b ng cách bi n ib t ng th c ã cho v d ng:
2 2 2 2
a a a a
− b + − c + − d + − e ≥ 0
2 2 2 2
…
3. a, b, c, là dài ba c nh c a tam giác ABC, ch ng minh:
a + b + c 2 < 2(ab + bc + ca )
2 2
* Hư ng d n:
a < b + c ⇒ a 2 < ab + ac, b < a + c ⇒ ...
4. Ch ng minh:
a 2 + b 2 ≥ 2ab, ∀a, b ∈ R
Áp d ng a, b, c là ba s th c tùy ý, ch ng minh:
a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c)
6
- * Hư ng d n:
Dùng công th c (a − b)2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ ...
Áp d ng k t qu trên.
5. Ch ng minh ∀t ∈ [ − 1;1] ta có:
1+ t + 1− t ≥ 1+ 1+ t2 ≥ 2 − t2
* Hư ng d n
• V i ∀t ∈ [ − 1;1] , ta luôn có:
(1 − t ) + 2 (1 − t )(1 + t ) + (1 + t ) ≥ 1 + 2 1 − t 2 + (1 − t 2 )
Bi n i tương ương suy ra 1 + t + 1 − t ≥ 1 + 1 + t 2
• T : 0 ≤ 1− t2 ≤ 1
⇒ 1+ 1+ t2 ≥ 2 − t2
Chương II
B T NG TH C CÔSI (CAUCHY)
I. Phương pháp gi i toán
a+b
1) Cho 2 s a,b > 0, ta có: ≥ ab
2
D u “ = ” x y ra khi và ch khi a = b.
2) Cho n s a1, a2 , a3,..., an ≥ 0 ta có:
a1 + a2 + a3 + ... + an n
≥ a1a2 a3 ...an
n
D u “ = ” x y ra khi và ch khi a1 = a2 = a3 = ... = an
3) B t ng th c côsi suy r ng
Phát bi u: V i các s th c dương a1 , a2 , a3 ,..., an và x1 , x2 , x3 ,..., xn là các s
th c không âm và có t ng b ng 1, ta có:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn ≥ a1x1 a2 x2 a3 x3 ...an xn
7
- T ng quát: Cho n s dương tùy ý ai, i = 1, n và n s h u t dương qi, i = 1, n
n n n
th a ∑q i = 1 khi ó ta luôn có: ∏a qi
i ≤ ∑ qi .ai
i =1 i =1 i =1
D u “=” x y ra
II. Các ví d
Ví d 1: Cho n s dương ai, i = 1, n . Ch ng minh r ng:
1 1 1 1
(a1 + a2 + a3 + ... + an ) + + + ... + ≥ n 2
a1 a2 a3 an
Gi i:
1 1 1 1
Áp d ng b t ng th c côsi cho các s a1 , a2 , a3 ,..., an , , , ,...,
a1 a2 a3 an
Ta có:
a1 + a2 + a3 + ... + an ≥ n n a1a2 a3 ...an
1 1 1 1 n
+ + + ... + ≥
a1 a2 a3 an n a1a2 a3 ...an
Nhân 2 v tương ng ta ư c b t ng th c c n ch ng minh và d u “=” x y ra khi
a1 = a2 = a3 = ... = an
Ví d 2:Ch ng minh v i m i a,b,c dương ta luôn có:
1 1 1 27
+ + ≥
a (a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c) 2
Gi i:
Áp d ng b t ng th c côsi cho v trái:
1 1 1 3
+ + ≥ (1)
a (a + b) b(b + c) c(c + a ) 3 abc(a + b)(a + c)(b + c)
Mà
33 abc ≤ (a + b + c)3
33 (a + b)(b + c)(c + a ) ≤ 8( a + b + c)3
8
⇒ abc (a + b)(b + c)(c + a) ≤ 6
( a + b + c)6
3
2
⇔ 3 abc(a + b)(b + c)(c + a ) ≤ ( a + b + c) 2
9
8
- 3 27
⇔ ≥ (2)
abc(a + b)(b + c)(c + a ) 2( a + b + c)
9 2
T (1)(2) pcm
D u “=” x y ra a = b = c
Ví d 3: Ch ng minh v i m i s dương a, b, c ta luôn có
1 1 1 1
+ 3 3 + 3 ≤
a 3 + b 3 + abc b + c + abc c + a 3 + abc abc
Gi i
Ta có:
a3 + b3 ≥ ab(a + b)
Nên
abc abc c
≤ =
a + b + abc ab( a + b) + abc a + b + c
3 3
Tương t ta cũng có
abc abc a
≤ =
b3 + c3 + abc bc(b + c) + abc a + b + c
abc abc b
≤ =
a + c + abc ac(a + c) + abc a + b + c
33
C ng v theo v ta ư c
1 1 1
abc 3 3 + 3 3 + 3 3 ≤1
a + b + abc b + c + abc c + a + abc
Hay
1 1 1 1
+ 3 3 + 3 ≤ ( pcm)
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3 3 3
III. Bài t p tương t
1. Các s dương x, y, z có tích b ng 1. Ch ng minh b t ng th c :
xy yz xz
+ 5 ≤1
x + xy + y
5 5
y + yz + z x + xz + z 5
5 5
*Hư ng d n:
Ta có: x 2 + y 2 ≥ 2 xy
⇒ x5 + y 5 ≥ 2 x5 y 5 = 2x 2 y 2 xy ≥ (x+y)x 2 y 2
9
- Do ó :
xy xy 1 z
≤ = =
x + xy + y
5 5
xy + (x+y)x y
2 2
1 + xy ( x + y ) x + y + z
Tương t :
yz x
≤
y + yz + z
5 5
x+ y+z
xz y
≤
x + xz + z
5 5
x+ y+z
C ng v theo v ta có pcm. D u “=” x y ra khi x = y = z.
2. V i m i x, y, z dương. Ch ng minh :
x3 y 3 z 3
+ + ≥ x+ y+z
yz xz xy
*Hư ng d n:
Áp d ng b t d ng th c côsi, ta có:
x3
+ y + z ≥ 3x
yz
y3
+ x + z ≥ 3y
xz
z3
+ x + y ≥ 3z
xy
C ng v theo v ta ư c:
x3 y 3 z 3
+ + + 2( x + y + z ) ≥ 3( x + y + z )
yz xz xy
⇒ pcm
D u “=” x y ra khi x = y = z.
3. Cho a, b, c là 3 s nguyên dương. Ch ng minh:
a +b + c
2
(b + c) + (a + c) + (a + b) ≤ (a + b + c)
a b c
3
*Hư ng d n:
Áp d ng b t ng th c côsi, ta có:
(b + c) + ... + (b + c) + (a + c) + ... + (a + c) + (a + b) + ... + (a + b)
nl n nl n nl n
≥ (a + b + c).a +b + c (b + c) a (a + c)b (a + b)c
Hay :
a +b + c
2(a + b + c)
a+b+c ≥ (b + c) a (a + c)b (a + b)c (1)
10
- Ta có b t ng th c sau:
2(a + b + c) 2(ab + bc + ca )
≥ (2)
3 a+b+c
Th t v y (2) ⇔ (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca)
⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( úng)
T (1)(2), ta có pcm
D u “=” x y ra khi a = b = c
4. Cho a, b, c là dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng:
a b c
+ + ≥3
b+c−a c+ a−b a +b−c
*Hư ng d n:
Áp d ng b t ng th c côsi:
b + c − a + c + a − b)
(b + c − a )(c + a − b) ≤ =c
2
Tương t :
(a + b − c)(c + a − b) ≤ a
(b + c − a )(a + b − c) ≤ b
Nhân v theo v ta ư c:
(b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc
abc
⇒ ≥ 1 (1)
(b + c − a )(c + a − b)(a + b − c)
Ta l i d d ng b t ng th c côsi:
a b c abc
+ + ≥ 33 ≥ 3 do(1) ( pcm)
b+c−a c+a −b a +b−c (b + c − a )(c + a − b)(a + b − c)
11
- Chương III
B T NG TH C B NG B T NG TH C
BUNHIACOPXKI ( B.C.S)
I. B t ng th c bunhiacopxki:
Cho 2 n s th c ( n ≥ 2 )
a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn.
Ta có: (a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 )
a1 a2 a
D u “ = ” x y ra ⇔ = = ... = n hay a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; ...; an = kbn
b1 b2 bn
Ch ng minh:
a = a 2 + a 2 + ... + a 2
1 2 n
t:
b = b12 + b2 2 + ... + bn 2
• N u a = 0 hay b = 0 thì b t ng th c luôn úng
• N u a, b > 0 :
a b
t: α i = i ; β i = i ( i = 1, n )
a b
Th thì α1 + α 2 + ... + α n 2 = β12 + β 2 2 + ... + β n 2 = 1
2 2
1
Mà: α i β i ≤ (α i 2 + β i 2 )
2
1
Suy ra: α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ≤ 1
2
⇒ a1b1 + a2b2 + ... + an bn ≤ ab
L i có: a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ a1b1 + a2b2 + ... + anbn
Suy ra: (a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 )
α = β i
D u “ = ” x y ra ⇔ i
α1β1 ,...α n β n cuøg daá
n u
a1 a2 a
⇔ = = ... = n
b1 b2 bn
II. Các ví d :
Ví d 1:
Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh:
a2 b2 c2 a+b+c
+ + ≥
b+c c+a a+b 2
Gi i:
Áp d ng b t ng th c B.C.S, ta có:
12
- a2 b2 c2
+ +
( b + c) ( c + a) ( a + b)
2 2 2 ( )
( b + c )2 + ( a + c ) 2 + ( a + b ) 2 ≥ (a + b + c) 2
a2 b2 c2 a+b+c
⇔ + + ≥
b+c c+a a+b 2
Ví d 2:
Cho a 2 + b 2 = 1 . Ch ng minh: a b + 1 + b a + 1 ≤ 2 + 2
Gi i:
Áp d ng 2 l n b t ng th c B.C.S ta có:
2
(a b + 1 + b a + 1 ) ≤ ( a 2 + b 2 )(b + 1 + a + ) = 2 + a + b
≤ 2 + 12 + 12 . a 2 + b 2 = 2 + 2 (do a 2 + b 2 = 1 )
Vì v y a b + 1 + b a + 1 ≤ 2 + 2 .
a b +1
=
D u “ = ” x y ra ⇔ b a + 1 ⇒ a = b
a = b
Ví d 3:
Ch ng minh r ng n u phương trình
4
x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 1 = 0 (1) cos nghi m thì a 2 + b 2 + c 2 ≥
3
Gi i:
T (1) ta có: −(1 + x 4 ) = ax3 + bx 2 + cx
Áp d ng b t ng th c B.C.S:
(1 + x 4 ) 2 = (ax3 + bx 2 + cx) 2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )( x 6 + x 4 + x 2 )
(1 + x 4 ) 2
⇒ (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (2)
x6 + x4 + x2
(1 + x 4 )2 4
M t khác: 6 4 2 ≥ (3)
x +x +x 3
Th t v y: (3) ⇔ 3(1 + 2 x + x8 ) ≥ 4( x 6 + x 4 + x 2 )
4
⇔ 3x8 − 4 x 6 + 2 x 4 − 4 x 2 + 3 ≥ 0
⇔ ( x 2 − 1) 2 (3 x 4 + 2 x 2 + 3) ≥ 0 ( luôn úng)
4
T (2) và (3): a 2 + b 2 + c 2 ≥
3
2
a = b = c = 3 ( x = 1)
D u “ = ” x y ra ⇔
a = b = c = − 2 (x = −1)
3
Ví d 4:
Cho a, b, c > 0 th a a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng:
13
- 1 1 1 1
P= + + + ≥ 30
a + b + c ab bc ca
2 2 2
Gi i:
Áp d ng b t ng th c B.C.S:
1 1 1 1
100 = . a 2 + b2 + c 2 + .3 ab + .3 bc + .3 ca
a +b +c
2 2 2
ab bc ca
1 1 1 1
≥ 2 + + + ( a 2 + b 2 + c 2 + 9ab + 9bc + 9ca )
a + b + c ab bc ca
2 2
7 10 P
= P (a + b + c)2 + 7(ab + bc + ca ) ≤ P 1 + (a + b + c)2 ≤
⇒ P ≥ 30
3 3
Do: a + b + c = 1 ( theo gi thuy t)
(a + b + c)2
⇒ ab + bc + ca ≤
3
Ví d 5:
Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng:
1 1 1 3
+ 3 + 3 ≥
a (b + c) b (c + a ) c (a + b) 2
3
Gi i:
1 1 1
t: a = ; b = ; c = . Khi ó t a, b, c > 0 và abc = 1 ⇒ x, y, z > 0 và xyz = 1
x y z
Bt ng th c ã cho ưa v dư i d ng sau:
x yz y 3 zx z 3 xy 3
3
+ + ≥
y+z z+x x+ y 2
x2 y2 z2 3
⇒ + + ≥ (do xyz = 1 ) (1)
y+z z+x x+ y 2
Áp d ng b t ng th c B.C.S, ta có:
x 2
y 2
z2
⇒ + + ( y + z + z + x + x + y) ≥ ( x + y + z )
2
y+ z z+ x x+ y
x2 y2 z2 ( x + y + z )2 x + y + z
⇔ + + ≥ = (2)
y + z z + x x + y 2( x + y + z ) 2
x y z x+ y+z 1
D u “ = ” x y ra ⇔ = = = =
y + z z + x x + y 2( x + y + z ) 2
⇔ y + z = 2 x; z + x = 2 y; x + y = 2z
⇔ x= y=z
M t khác, theo b t ng th c Causi: x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 ( do xyz = 1 ) (3)
D u “ = ” x y ra khi x = y = z .
x2 y2 z2 3
T (2) và (3) suy ra: + + ≥ . V y (1) úng.
y+z z+x x+ y 2
D u “ = ” x y ra ⇔ x = y = z hay a = b = c
14
- ⇒ pcm.
Ví d 6:
Cho ∆ABC tùy ý có m1, m2, m3 là dài 3 ư ng trung tuy n và R là bán kính ư ng tròn
ngo i ti p tam giác. Ch ng minh r ng
9R
≥2
m1 + m2 + m3
Gi i:
Ta có công th c ư ng trung tuy n:
2b 2 + 2c 2 − a 2
ma 2 =
4
3
⇒ ma 2 + mb 2 + mc 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )
4
M t khác, trong m i tam giác ta có: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (1)
D u “ = ” trong (1) x y ra ⇔ ∆ABC u.
27 2
⇒ ma 2 + mb 2 + mc 2 ≤ R (2)
4
Áp d ng b t ng th c B.C.S:
⇒ ( ma + mb + mc ) ≤ 3( ma 2 + mb 2 + mc 2 ) (3)
2
D u “ = ” trong (3) x u ra ⇔ ma = mb = mc ⇔ ∆ABC u.
81 2
T (2) và (3) ⇒ ( ma + mb + mc ) ≤
2
R
4
9R
⇔ ma + mb + mc ≤
2
9R
⇔ ≥2
ma + mb + mc
D u “ = ” x y ra ng th i trong (2) và (3) hay ∆ABC u.
Ví d 7:
Cho a1 , a2 ,..., an > 0 . Ch ng minh r ng:
a1 a2 an (a1 + a2 + ... + an ) 2
+ + ... + ≥
a2 + a3 a3 + a4 a1 + a2 2(a12 + a2 2 + ... + an 2 )
Gi i:
Áp d ng b t ng th c B.C.S, ta có:
a1 a2 an
+ + ... + [ a1 ( a2 + a3 ) + a2 ( a3 + a4 ) + ... + an ( a1 + a2 )] ≥ (a1 + a2 + ... + an )
2
a2 + a3 a3 + a4 a1 + a2
a1 a2 an (a1 + a2 + ... + an ) 2
Hay + + ... + ≥ (1)
a2 + a3 a3 + a4 a1 + a2 a1a2 + a1a3 + a2 a3 + a2 a4 + ... + an a1 + an a2
D y “ = ” x y ra: ⇔ a2 + a3 = a3 + a4 = ... = an + a1 = a1 + a2
15
- ⇔ a1 = a2 = ... = an
a12 + a2 2 a12 + a3 2 a 2 + a32
Do a1a2 + a1a3 ≤ + = a12 + 2
2 2 2
a + a4
2 2
a2 a3 + a2 a4 ≤ a2 2 + 3
2
…
a12 + a2 2
an a1 + an a2 ≤ an + 2
2
C ng t ng v n b t ng th c trên ta có:
( a1a2 + a1a3 ) + ( a2 a3 + a2 a4 ) + ... + ( an a1 + an a2 ) ≤ 2 ( a12 + a2 2 + ... + an 2 ) (2)
D u “ = ” trong (2) x y ra khi:
a1 = a2 = ... = an
T (1), (2) suy ra:
a1 a2 an (a1 + a2 + ... + an ) 2
+ + ... + ≥
a2 + a3 a3 + a4 a1 + a2 2(a12 + a2 2 + ... + an 2 )
D u “ = ” x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an
III. Bài t p tương t :
16
1. Cho ab + bc + ca = 4 . Ch ng minh: a 4 + b 4 + c 4 ≥
3
*Hư ng d n
Áp d ng b t ng th c B.C.S hai l n:
(ab + bc + ca ) ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )(b 2 + c 2 + a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ≤ 3(a 4 + b 4 + c 4 )
2
16
⇒ a4 + b4 + c4 ≥ ( do ab + bc + ca = 4 ).
3
2
D u “ = ” x y ra ⇔ a = b = c = ±
3
x 2 + xy + y 2 = 3
2. Cho 2
y + yz + z = 16
2
Ch ng minh r ng: xy + yz + xz ≤ 8
*Hư ng d n
Theo b t ng th c B.C.S, ta có:
x 3 3
2
z
2
18 = ( x 2 + xy + y 2 )( y 2 + yz + z 2 ) = y + + x 2 z 2 + y +
2 4 4
2
2
x 3 3 z 3
x y + = ( xy + yz + xz )
2
≥ y + z+
2 2 2 2 4
⇒ ( xy + yz + xz ) ≤ 64
2
⇒ pcm.
16
- 3. Ch ng minh r ng n u phương trình x 4 + ax 3 + bx 2 + ax + 1 = 0 có nghi m thì:
4
a 2 + b2 ≥
5
*Hư ng d n
G i x là nghi m c a phương trình ã cho:
x 4 + ax 3 + bx 2 + ax + 1 = 0 ( ⇒ x ≠ 0 )
Chia 2 v cho x 2 > 0 , ta ư c:
2 1 1
x + 2 + a x + + b = 0 (1)
x x
1
t t = x+ , t ≥2.
x
(1) ⇔ t + at + b − 2 = 0 ⇔ 2 − t 2 = at + b
2
Áp d ng B.C.S: ( 2 − t 2 ) = ( at + b ) ≤ ( a 2 + b 2 )( t 2 + 1)
2 2
⇒ a +b 2 2
≥
(2 − t ) 2 2
t 2 −1
Ta d ch ng minh ư c:
(2 − t ) 2 2
≥
4
( dành cho b n c t ch ng minh).
t −12
5
4
⇒ a2 + b2 ≥
5
4. Cho x, y, z > 0 th a xy + yz + xz = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a:
x2 y2 z2
T= + +
x+ y y+z z+x
*Hư ng d n
Áp d ng b t ng th c B.C.S:
+) 1 = x y + y z + z x ≤ x + y + z . x + y + z = x + y + z
2
x y z
+) ( x + y + z ) =
2
x+ y + y+z + z+x
x+ y y+z z+x
x2 y2 z2
≤ + + ( x + y + y + z + z + x ) = 2T ( x + y + z )
x+ y y+z z+x
1 1
⇒T ≥ (x + y + z) =
2 2
1
D u “ = ” x y ra ⇔ x = y = z =
3
1 1
V y Min(T ) = khi x = y = z = .
2 3
17
- 5. Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 . Ch ng minh r ng:
x2 y y2 z z 2 x
+ + ≥ x2 + y 2 + z 2
z x y
*Hư ng d n
Áp d ng b t ng th c B.C.S:
x y y z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y
2 2
+ + + + ≥ (x + y + z )
2 2 2 2
z x y y z x
Xét hi u:
x2 y y2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y
A= + + − − −
z x y y z x
1
= ( x − y )( y − z )( z − x )( xy + yz + xz ) > 0 (2)
xyz
x2 y y2 z z2 x
T (1), (2) ⇒ + + ≥ x2 + y 2 + z 2
z x y
D u “ = ” x y ra ⇔ x = y = z
6. Cho ∆ABC , M là i m b t kì trong tam giác. G i x, y, z, là các kho ng cách t M xu ng BC,
AC, AB. Ch ng minh r ng:
a2 + b2 + z 2
x+ y+ z≤
2R
*Hư ng d n
Ta có: S MBC + SMCA + S MAB = S
x y z
⇒ + + =1
ha hb hc
x y z
Ta có: ha + hb + hc = ( ha + hb + hc ) + +
ha hb hc
Theo b t ng th c B.C.S, suy ra:
x y z
ha + hb + hc ≥ ha
+ hb + hc
ha hb hc
⇒ ha + hb + hc ≥ x + y + z (1)
Do trong m i tam giác nên ta có:
ha = b sin C ; hb = c sin A; hc = a sin B nên:
bc + ac + ab
ha + hb + hc = ha = b sin C + hb = c sin A + hc = a sin B =
2R
Theo b t ng th c Causi:
a2 + b2 + c2
ha + hb + hc = (2)
2R
18
- T (1), (2) suy ra pcm.
D u “ = ” x y ra khi ∆ABC u, M là tr ng tâm tam giác.
Chương IV
B T NG TH C TRÊ – BƯ – SEP (TCHEBYCHEV)
I. Phát bi u
- Cho 2 dãy s a1 , a2 , a3 ,..., an và b1 , b2 , b3 ,..., bn
+ N u 2 dãy s cùng tăng ho c cùng gi m
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an
ho c
b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ... ≤ bn b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ ... ≥ bn
Ta có: ( a1 + a2 + a3 +...+ an )( b1 +b2 +b3 +... +bn ) ≤ n(ab1 + a2b2 + a3b3 +... + anbn)
1
+ N u 1 dãy tăng, 1 dãy gi m
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an
ho c
b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ ... ≥ bn b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ... ≤ bn
Ta có:
( a1 + a2 + a3 + ... + an )( b1 + b2 + b3 + ... + bn ) ≥ n(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn )
a1 = a2 = a3 = ... = an
D u “=” x y ra khi và ch khi
b1 = b2 = b3 = ... = bn
II. Các ví d
Ví d 1: Cho a + b ≥ 0 .
Ch ng minh (a + b)(a + b )(a + b ) ≤ 4(a + b )
3 3 5 5 9 9
19
- Gi i
Gi s
a 3 ≥ b3
a≥b⇒ 5
a ≥ b
5
Áp d ng b t ng th c trê – bư – sep, ta có:
a 3 + b3 a 5 + b5 a 8 + b8
≤ (1)
2 2 2
a+b
Nhân v c a (1) cho ≥ 0 , ta có:
2
a + b a + b a + b a + b a + b
3 3 5 5 8 8
≤
2 2 2 2 2
Cũng theo b t ng th c trê – bư – sep ta có:
a + b a + b a + b
8 8 9 9
≤
2 2 2
Suy ra:
(a + b)( a 3 + b3 )( a 5 + b5 ) a 9 + b9
≤
8 2
⇔ ( a + b)( a + b )(a + b ) ≤ 4(a 9 + b9 )
3 3 5 5
D u “=” x y ra ⇔a=b
Ví d 2: Cho dãy s dương trong ó : a1 + a2 + ... + an > 1
2 2 2
3
a13 3
a2 an 1
Ch ng minh: + + ... + >
s − a1 s − a2 s − an n − 1
V i s = a1 + a2 + ... + an
Gi i
Không m t tính t ng quát ta gi s : a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an do:
20
nguon tai.lieu . vn
