Xem mẫu
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1
NHÁY D 2009.
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số y = x4 – (2m – 1) x2 + 4m – 3 (1)
a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị khi m = 2 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 3 tại 4 điểm đều có hoành độ < 2.
Câu 2 (2 điểm ) :
1. Giải phương trình : 3 sin 4x + 2 cos 3xcosx - 2sin 2 (x + π ) + 1 = 0
⎧(x − y )(x + y + 2) − 12 = 0
⎪
2. Giải hệ: ⎨ 80
⎪(x + y ) + 4 − (x − y ) 2 = 0
2
⎩
ln 3 dx
Câu 3 (1 điểm ). Tính tích phân I = ∫
0
ex + 1
Câu 4 (1 điểm ). Cho lăng trục đều ABC. A’B’C’ có AA’ = 4a 2 , cạnh đáy là 2a. M là điểm trên AA’
sao cho BM hợp mặt phẳng ACC’A’ một góc 300.
a) Tính thể tích khối chóp MABC’.
b) Tình khoảng cách từ A đến mặt phẳng (MBC’)
Câu 5 (1 điểm ). Cho x , y là các số thực không âm thoả x + y = 4, tìm GTLN và NN của biểu thức T
2x 2 + y 2 y 2 + x
= +
x +2 y+2
Câu 6 (3 điểm ).
1. Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng d : x – y – 3 = 0 và đường tròn (C) : x2 + (y + 4)2 = 25. Tam
giác OAB vuông cân tại O, có A thuộc d và B thuộc (C). Tìm toạ độ điểm A, B.
2. Trong hệ trục Oxyz cho đường thẳng d : x = 2t – 5; y = t ; z = t – 4 và mặt phẳng (P) : x + y – 3z + 6
= 0 . Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P) , cắt Oz và vuông góc với d.
x2 +1
3. Tìm m sao cho đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm A, B sao cho
x +2
trung điểm của AB thuộc đường tròn (O; 5).
GIẢI VẮN TẮT.
Câu 1.
2. PT hoành độ giao điểm : x4 – (2m – 1) x2 + 4m – 6 = 0
Δ = 4m2 – 4m + 1 – 16m + 24 = 4m2 – 20m + 25 = (2m – 5)2 ≥ 0.
⎧ 2m − 1 > 0
Với m ≠ 5/2 và ⎨ m > 3 / 2 , ta có 4 giao điểm , có hoành độ là :
⎩ 4m − 6 > 0
− 2m − 3; 2m − 3; − 2; 2 .
YCBT 0 < 2m – 3 < 4 3/2 < m < 7/2.
Vậy 3/2 < m < 7/2 , ≠ 5/2.
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 2
Câu 2.
3 1
1. 3 sin 4x + cos 4x + cos 2x + cos 2x = 0 sin 4 x + cos 4 x = − cos 2 x
2 2
π
cos(4x - ) = cos(2 x + π ) . . .
3
⎧ x 2 − y 2 + 2(x - y ) = 12
⎪
2. . Hệ ⎨ 2 2 2
⎪(x - y ) + 4(x − y ) = 80
2
⎩
⎧u + v = 12 ⎧u = 8; v = 4
Đặt u = x2 – y2 ; v = 2(x – y): ⎨ 2 2 ⎨
⎩u + v = 80 ⎩u = 4; v = 8
⎧b(a + 2) = 12
⎪
Cách khác: Đặt a = x + y, b = x – y, ta được hệ: ⎨ 2 80
⎪a + 4 = b 2
⎩
80(a + 2) 2
Thế b = 12/(a + 2) từ phương trình đầu vào phương trình sau, ta được : a2 + 4 = ...
144
2tdt
Câu 3. Đặt t = e x + 1 => t2 = e x + 1 => 2tdt = ex d x => d x =
t 2 −1
2tdt
2 2⎛ 1 1 ⎞
I= ∫
1 t (t − 1)
2
=∫ ⎜
1
− ⎟dt . . .
⎝ t −1 t +1 ⎠
Câu 4.
Gọi H là trung điểm AC, ta có B H vuông góc (ACC’A’)
A C’ Ta có : góc BMH = 300 => MH = BH 3 = 3a
MA = MH 2 − AH 2 = 2a 2 => M là trung điểm
AA’.
M Vì CC’ //AM nên khoảng cách từ C’ đến (ABM) bằng khoảng cách
B’ từC đến (ABM) = a 3 (chiều cao tam giác ABC).
1 1 1 2a 3 6
K V= .S ABM .a 3 = . .2a.2a 2.a 3 =
3 3 2 3
b) Khoảng cách d từ A đến (BMC’) là chiều cao của hình chóp
H C
A 3V
A.BMC’ : d =
sBMC '
Tam giác BMC’ là tam giác cân tại M biết BM = C’M = 2a 3 và
BC’ = 6a. Kẻ đường cao MK , ta tính được diện tích tam giác
B 1 1
BMC’là : .BC '.MK = .6a. (2a 3) 2 − (3a ) 2 = 3a 3 .
2 2
2a 2
Suy ra : d = .
3
Câu 5. Đặt x + y = S, xy = P. Ta có: S2 – 4P ≥ 0 P ≤ 4 . Vậy 0 ≤ P ≤ 4.
2x y+ 4x + y + 2y +2y x + 4 y + x + 2 x
2 2 2 2 2 2
2 PS + 5( S 2 − 2 P) + 2 S
T= =
x y + 2(x+y ) + 4 2S + P + 4
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3
−2 P + 8 8
Thay S = 4 : T =
P + 12
=> T nghịch biến => max T = T(0) = 22/3 , minT = T(4) = 80/16 = 5.
Câu 6.
⎧OA.OB = 0
⎪
1. Gọi A(a; a – 3) là toạ độ của A. Vì ⎨ nên B = (a – 3 ; - a) hay B = (- a + 3; a) .
⎪| OA | = | OB |
⎩
⎡ ( a − 3) 2 + (− a + 4) 2 = 25 ⎡ 2a 2 − 14a = 0
B thuộc (C) ⎢ ⎢ 2 a ∈ {0; − 1; 7}
⎣ ( a − 3) + ( a + 4) = 25 ⎣ 2a + 2a = 0
2 2
Ghi nhớ: Nếu u và v là hai vectơ có độ dài bằng nhau và vuông góc nhau, thế thì nếu u = ( A; B ) thì
⎡ ( B; − A)
v=⎢ .
⎣ (− B; A)
2. d’ cắt Oz tại giao điểm của Oz và (P) là (0; 0; 2). D’ vừa vuông góc với n( P ) = (1;1; −3) và
x y z−2
ud = (2 ;1;1) , do đó có VTCP là [n( P ) , ud ] = (4; − 7; − 1) . Suy ra phương trình của d’ là : = =
4 −7 −1
3. Phương trình hoành độ giao điểm : x2 + 1 = (x + 2)(2 x + m) 2
x + (4 + m) x + 2m – 1 = 0
Δ = m2 + 20 > 0 => luôn có 2 giao điểm.
Toạ độ trung điểm I của AB : x = - (m + 4)/2 ; y = - m – 4 + m = - 4
Ta có : (m + 4)2 /4 + 16 = 25 (m + 4)2 = 36 m = 2 hay m = - 10
nguon tai.lieu . vn
