Xem mẫu
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1
NHÁY D 2008.
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2 (1)
a) Khảo sát biến thiên hàm số và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Cho K là điểm bất kì có toạ độ (1; a), chứng tỏ qua K có một tiếp tuyến với (C),
tìm toạ độ tiếp điểm.
Câu 2 (2 điểm ) :
1. . Giải phương trình : 4sin x (1 + cos2x) + cos 3x + sin x = 3cos x
⎧2x 2 - y 2 + x y + 4x + 4 y = 0
⎪
2. Giải hệ phương trình : ⎨
⎪(x + 1) y − 1+y x + 1 = 4 8 x + 4 y
⎩
4 ln x d x
Câu 3 (1 điểm ). Tính tích phân : I = ∫1
x
Câu 4 (1 điểm ). Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại C, AC = a và CB = 2a.
Gọi M là trung điểm của BC, biết góc của AM và BC’ là 600 , tính thể tích khối lăng trụ và khoảng
cách giữa AM và BC’
Câu 5 (1 điểm ). Cho hai số thực thay đổi x, y sao cho : x2 + y2 = 1, tìm GTLN và GTNN của biểu
2 x 2 − xy + y 2
thức : T =
x 2 + xy + 2
Câu 6 (3 điểm ).
1. Trong hệ trục Oxy, cho parabol (P): y2 = 4x, A, B là hai điểm bất kỳ thuộc (P) sao cho A, B và tiêu
điểm F của (P) thẳng hàng , Chứng tỏ đường tròn đường kính AB luôn tiếp xúc với một đường chuẩn
của (P). .
2. Trong hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) và D(- 4 ; 3; 0). Viết phương trình
mặt cầu qua A, B, C, D và tìm toạ độ tâm của đường tròn (ABC).
GIẢI VẮN TẮT
Câu 1.
2. d qua K : y = k(x – 1) + a
⎧− x 3 + 3x 2 - 2 = k(x − 1) + a
⎪
d tiếp xúc (C) ⎨ => - x3 + 3 x2 – 2 = (x – 1)(- 3 x2 + 6x) + a
⎪−3x + 6x = k
2
⎩
3 2
2x – 6x + 6x – a – 2 = 0 x3 – 3 x2 + 3 x – 1 = a/2 (x – 1)3 = a/2
x=1+ 3 a/2.
Câu 2.
1. Thay 1 + cos2x = 2cos2x , ta được :
8sinx cos2 x + (cos3x – cosx) – 2cos x + sin x = 0
4sin2x cos x - 2sinxsin2x – 2cos x + sin x = 0
(2cos x – sinx)(2sin2x - 1) = 0 tanx = 2 hay sin2x = ½ . . . .
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 2
⎧(x+ y)(2x − y + 4) = 0
⎪
2. ⎨
⎪(x + 1) y − 1+ y x +1= 4 8x + 4y
⎩
Do x ≥ - 1 và y ≥ 1 nên x + y > 0 (đẳng thức không xãy ra), từ phương trình đầu suy ra : y = 2x + 4.
Thế vào phương trình sau: (x + 1) 2x + 3 + (2x + 4) x + 1 = 16 x + 1
x = - 1 hay (x + 1)(2x + 3) = 12 − 2x
.....
Câu 3.
Đặt u = lnx, dv = 1/ x , du = 1/ x , v = 2 x
4 ln x d x 4 1
∫1 x = [ln x . 2 x ] 1 - 2 ∫
4
dx = 4ln4 – 4
1
x
Câu 4. Gọi N là trung điểm của CC’ => góc (AM, MN) = 600 .
Vì tam giác AMN cân tại C do CM = CA = a nên góc AMN = A’ C’
600.
=> AN2 = AM2 + MN2 – AM. MN
a2 + h2./ 4 = 2a2 + (a2 + h2/4) - a 2. a 2 + h 2 / 4
B’ N
a 2 = a 2 + h2 / 4 h = 2a. V = 2a3.
* Khoảng cách giữa AM và BC’ là d(B, (AMN)) = d(C, (AMN)
1 1 1 1 3
= d với 2 = 2
+ 2
+ 2
= 2 => d = a/ 3.
d CA CM CN a C
Cách khác : Nhận xét hình chóp C. AMN là hình chóp đều có A
cạnh bên CA = CM = CN = a, và cạnh đáy AM = AN = MN =
a 2 => d là chiều cao hình chóp . M
Ghi nhớ: Trong hình chóp SABC có ba góc vuông tại S thì B
chiều cao SH của hình chóp cho bởi :
1 1 1 1
A 2
= 2+ 2+
SH SA SB SC 2
Hơn nữa H là trực tâm tam giác ABC.
Câu 5. Thay 2 bằng 2(x2 + y2 ), ta được :
2 x 2 − xy + y 2
T= 2
H 3x + xy + 2 y 2
• y = 0 : T = 2/3.
• y ≠ 0 : Chia tử và mẫu cho y2 và đặt t = x/y, T
S 2t 2 − t + 1
C = 2
3t + t + 2
I (3T – 2)t2 + (T + 1)t + 2T - 1 = 0
D = (T + 1)2 – 4(3T – 2)(2T - 1) ≥ 0 T2 + 2T + 1 –
B 2
4(6T – 7T + 2) ≥ 0
23T2 – 30T + 7 ≤ 0 7/23 ≤ T ≤ 1
Vậy GTNN là 7/23 và GTLN là 1.
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3
Cách khác : Có thể khảo sát hàm số f(t).
Câu 6.
1. F(1 ; 0) A(a2 / 4; a) và B(b2/4; b) A
A’
Ta có: FA = (a2/4 – 1; a) , FB = (b2/4 – 1; b) ;
a 2 − 4 b2 − 4
cùng phương =
a b I’
2 2
a b – ab + 4(a – b) = 0 (a – b)(ab + 4) = 0 I
ab + 4 = 0 O
PT đường tròn đường kính AB : AM .BM = 0 F
(x – a2/4 )(x – b2/4) + (y – a)((y – b) = 0
x2 + y2 – (a2 + b2)x/4 - (a + b)y + a2b2/16 + ab = 0 B’
x2 + y2 – (a2 + b2)x/4 - (a + b)y – 3 = 0 B
2 2
Tâm I((a + b )/8 ; (a + b)/2) , bán kính :
R2 = (a 2 + b2)2/ 64 + (a + b)2/4 + 3
= (a 2 + b2)2/ 64 + (a2 + b2)/4 + 1 = [(a2 + b2)/8 + 1]2
=> R2 = (xI + 1)2
Gọi d: x = - 1 , ta có : |xI + 1| = (a2 + b2)/8 + 1
=> (xI + 1)2 = (a2 + b2)2 /64 + (a2 + b2)/4 + 1 (2)
Từ (1) và (2) : (I) luôn tiếp xúc với d. Chú ý là đường chuẩn của parabol
Cách khác: Có thể giải bằng hình học. Theo định nghĩa parabol, ta có: AF = AA’, BF = BB’, A’, B’
AA '+ BB ' AF + BF AB
là hình chiếu của A, B lên đường chuẩn d. Suy ra: II’ = = = =R
2 2 2
=> đpcm.
2. PT mặt cầu : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
⎧4 − 4a + d = 0
⎪9 − 6b + d = 0
⎪
Thế toạ độ A, B, C, D: ⎨16 − 8c + d = 0 a = - 2; b = - ½; c = ½ ; d = - 12.
⎪
⎪25 + 8a − 6b + d = 0
⎩
* Tâm K của đường tròn (ABC) là hình chiếu của I(- 2; - ½ ; ½) lên mặt phẳng (ABC) :
x y z
+ + = 1 6x + 4 y + 3 z − 12 = 0
2 3 4
nguon tai.lieu . vn
