Xem mẫu
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009 - 2010 1
NHÁY A2003
Thời gian làm bài : 180 phút
x 2 - m x - 2m
Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số y = (1)
x +2
1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2
2) Định m để đồ thị (1) cắt Ox tại hai điểm có hoành độ âm.
Câu 2 (2 điểm ).
3cos 2x 1
1) Giải phương trình : tan x – 1 = + cos 2 x - sin 2x
1 + cot x 2
⎧ 1 1
⎪x + x = y + y
2) Giải hệ: ⎨
⎪ x 3 +3y = 4
⎩
2 3 x 2 + 4 dx
Câu 3 (1 điểm ). Tính tich phân I = ∫ 5 x
Câu 4 (1 điểm ). Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’, gọi O là tâm ABCD và I là tâm CDD’C’.
Tính góc của hai mặt phẳng (ABCD) và (A’OI).
Câu 5 (1 điểm). Cho x, y, z là ba số dương mà x + y + z ≤ 3 , tìm GTNN của T =
4 4 4
x2 + 2
+ y2 + 2 + z2 + 2
x y z
Câu 6 (2 điểm ).
1. 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có hai đỉnh A, B thuộc đường thẳng x – 2y = 0 , cạnh BC
song song với Ox. Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng 2x + y – 4 5 = 0 , còn
bán kính đường tròn nội tiếp là 3 - 5 . Tìm toạ độ ba đỉnh.
2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(a ; 0; 0), D(0; b; 0) . Tính thể
tích hình hộp biết hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD) vuông góc nhau.
Câu 7 (1 điểm ) . a , b là 2 nghiệm của phương trình z2 - 2z + 2 = 0 . Tính giá trị của S = a16 + b16.
GIẢI VẮN TẮT:
Câu 1.
2) PT hoành độ giao điểm với Ox : x2 – mx - 2m = 0 ( x ≠ - 2)
⎧Δ = m 2 + 8m > 0
⎪
⎪ f (−2) ≠ 0
YCBT ⎨ m < −8
⎪S = m < 0
⎪ P = −2m > 0
⎩
Câu 2.
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009 - 2010 2
sin x − cos x 3(cos 2 x − sin 2 x)
1) PT = + cos 2 x − sin x cos x
cos x sin x + cos x
sin x
ĐK : sin x.cos x ≠ 0 và sin x + cosx ≠ 0
Rút gọn: sin x – cos x = 3(cos x - sin x)sin x cos x + (cos3 x – sinx. cos2x)
⎡cos x − sin x = 0 (1)
⎢
⎣ −1 = 3sin x cos x + cos x (2)
2
x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện )
(1)
– 1(1 + tan2 x ) = 3tan x + 1
(2) tan2 x + 3tanx + 2 = 0
tanx = - 1 (loại) hay tan x = - 2 (nhận)
x = arctan(- 2) + kπ.
1− t2 2t
Cách khác: Đặt t = tanx và thay cos2x = ; sin2x = , ta được phương trình bậc 3 theo t.
1+ t 2
1+ t2
⎧ 1 1
⎪ x + x = y + y (1)
2) ⎨ Từ (1) : (x 2 + 1)y = (y2 + 1) x
⎪ x 3 + 3y = 4 (2)
⎩
(x – y)(xy – 1) = 0 x = y hay xy = 1
* Thế vào (2):
Vơí : x = y : x3 + 3 x – 4 = 0 (x – 1)(x2 + x + 4) = 0 x= 1
4
Với y = 1/x : x – 4 x + 3 = 0
Hàm số ở VT có đạo hàm f’(x ) = 4x3 – 4 = 0 , đạt CT x = 1 và giá trị cực tiểu là 0, do đó x = 1 là
nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1
Cách khác: x4 – 4 x + 3 = 0 (x – 1)(x3 + x 2 + x – 3) = 0 (x – 1)2 (x2 + 2x + 3) = 0 x=1
2 3 x 2 + 4.xdx
Câu 3. I = ∫ 5 x2
t.tdt 4 4⎡ 4 ⎤ 4⎡ 1 1 ⎤
Đặt t = x 2 +4 , ta được : I = ∫ = ∫ ⎢1 + 2 ⎥dt = ∫3 ⎢1 + t − 2 − t + 2 ⎥ dt = . . .
3 t −4
⎣ t − 4⎦
2 3
⎣ ⎦
Câu 4. Chọn hệ trục với A(0; 0; 0), đơn vị độ dài là nửa cạnh hình lập phương và B(2 ; 0; 0), D(0 ; 2;
0), A’(0 ; 0; 2). Suy ra I(1; 2; 1) và O(1; 1; 0).
VTPT của mp(ABCD) là k = (0 ; 0 ; 1).
VTPT của (OA’I) là n = [ A ' O, A ' I ] = (3 ; - 1; 1)
Vậy cosα = |cos ( k , n) | = 1/ 11
A
A’ D’ b
a B
B’
C’ c
C
I O
A
D
B O
C
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009 - 2010 3
Câu 5.
* Trước hết ta CM rằng : | a | + | b | + | c | ≥ | a + b + c |
(Vì OA + AB + BC ≥ OC; dấu bằng xãy ra khi ba vectơ OA, AB, BC cùng hướng.
2 2 2 2 2 2
Do đó đặt a = (x ; ) ; b = ( y ; ) ; c = ( z ; ) => a + b = c = (x + y + z ; + + ) , suy ra :
x y z x y z
4 4 4 2 2 2
x2 + 2
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ (x+y+z) 2 +( + + ) 2
x y z x y z
2 2 2 1
Áp dụng Bđt Cauchy: (x + y + z) ≥ 3 3 xyz ; + + ≥ 63
x y z xyz
x + y+z
Đặt t = 3 xyz = t : 0 < t ≤ = 1 : T2 ≥ 9t2 + 36/t2
3
18t 4 − 72
Hàm số f(t) = 9t2 + 36/t2 có f’(t) = 18t – 72t - 3 = < 0, ∀t ∈ (0;1] => f(t) nghịch biến trên (0; 1]
t3
Và min T = f(1) = 3 5 t = 1 và x = y = z x = y = z = 1.
Câu 6 .
1. Gọi A(2a; a) và B(2b; b), suy ra C = (2a; b) và tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB là
(a + b; (a + b)/2). Ta có : 2(a + b) + (a + b)/2 – 4 5 = 0 a + b = 8 5 /5 (1)
Ta có : SABC = pr AB. AC. BC = (AB + BC + CA). (3 - 5 )
|(a – b). 2(a – b). (a – b) 5 | = |a – b|(3 + 5 )(3 - 5 )
(a – b)2 5 = 2 a – b = ± 2 5 / 5 (2)
Từ (1) và (2), ta được : (a = 5 , b = 3 5 /5 ) hay (a = 3 5 /5 ; b = 5 ) . . .
A’ D
’
A B’
C’
B C
A
D
B O
C
2. A’(0; 0; h) => BA ' = ( − a; 0 ; h), BD = (− a; b ;0) => VTPT của mp(A’BD) là :
n1 = [ BA ', BD] = (−bh ; − ah ; − ab)
C’ = (a ; b ; h) => BC ' = (0; b ; h) . VTPT của mp(C’BD) là n2 = [ BC ' , BD] = (- bh; - ah ; ab).
- www.saosangsong.com.vn Năm học 2009 - 2010 4
ab
Ta có: n1.n2 = 0 (bh)2 + (ah)2 – (ab)2 = 0 h=
a 2 + b2
(ab) 2
Và thể tích khối hộp là V = abh =
a 2 + b2
Câu 7 . Ta có : a = 1 – i b = 1 + i . Suy ra : a = 2[cos( −π / 4) + i sin(−π / 4) ] và b =
2[cos(π / 4) + i sin(π / 4) ].
Suy ra : a16 = ( 2)16 [cos( −4π ) + i sin( −4π )] = 28 và b16 = ( 2)16 [cos(4π ) + i sin(4π )] = 28
=> S = a16 + b16 = 29 .
nguon tai.lieu . vn