- Trang Chủ
- Toán học
- Bài tập Toán cao cấp - Tập 1: Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Nguyễn Thủy Thanh
Xem mẫu
- ˜ ’
ˆ
NGUYEN THUY THANH
` ˆ
BAI TAP
.
´
´ ˆ
TOAN CAO CAP
Tˆp 1
a
.
´
´
Dai sˆ tuyˆn t´
.o e ınh
’ ıch
v` H` hoc giai t´
a ınh .
´ ´
’
` ˆ ˆ ` ˆ
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI
. . .
H` Nˆi – 2006
ao .
- Muc luc
. .
L`.i n´i dˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
oo` a 4
1 Sˆ ph´.c
´u
o 6
1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . .
-. ´
ıa o u . . . . . . . . 6
1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . .
´ ´
.o’ o u . . . . . . . . 8
.
’ ˜ ınh .
1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a . . . . . . . . 13
1.4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c
’ ˜ou
e´
e o. a . . . . . . . . 23
.
2 Da th´.c v` h`m h˜.u ty
- ’
u aa u 44
.c . . . . . . . . . . . . . . . . .
-
2.1 Da th´u . . . . . . . . . 44
2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C
- ´
u e o ou . . . . . . . . . 45
2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R
- ´
u e o o. . . . . . . . . . 46
.c h˜.u ty . . . . . . . . . . . .
2.2 Phˆn th´ u ’
a u . . . . . . . . . 55
3 Ma trˆn. Dinh th´.c
-.
a u 66
.
3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
a ..... . . . . . 67
.
-.
3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . .
ıa a ..... . . . . . 67
.
´
3.1.2 C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn
a e a e ınh e ma trˆn
a . . . . . 69
.
3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn . . . .
e aa a ..... . . . . . 71
.
’
3.1.4 Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . .
e e. a ..... . . . . . 72
.
- .nh th´.c . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Di u ..... . . . . . 85
´
3.2.1 Nghich thˆ . . . . . . . . . . .
e ..... . . . . . 85
.
.c . . . . . . . . . . .
-.
3.2.2 Dinh th´ u ..... . . . . . 85
3.2.3 T´ chˆt cua d.nh th´.c . . .
´
ınh a ’ i u ..... . . . . . 88
- 2 MUC LUC
. .
3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c . . . . . .
a ınh . u . . . . . 89
’
3.3 Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . 109
. .
- inh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 D. ı . . . . . 109
.o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn .
’
3.3.2 Phu a ım . a . . . . . 109
.
’o . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ma trˆn nghich da
a . . . . . 118
. .
-.
3.4.1 Dinh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . .
ı . . . . . 118
.o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao ’
3.4.2 Phu a ım a . . . . . 119
. .
4 Hˆ phu.o.ng tr` ´
e ınh tuyˆn t´
e ınh 132
.
4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c
’
e ınh o a o. u kh´c
a 0. . . . 132
.
4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . .
a a ... .. . . . 133
.
.o.ng ph´p Cramer . . . . . .
4.1.2 Phu a ... .. . . . 134
.o.ng ph´p Gauss . . . . . . .
4.1.3 Phu a ... .. . . . 134
4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . .
´
eu ´a ınh e ınh ... .. . . . 143
.
4.3 Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt .
´ ` ´
e ınh e ınh a a ... .. . . . 165
.
n
5 Khˆng gian Euclide R
o 177
5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co.
-. ` aooa e .´
ıa o e .
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’`
ban vˆ vecto
e 177
5.2 Co. so.. Dˆi co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’ -o ’ ’ 188
5.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn . . . . . .
’
’.
o a 201
’
´o ´
5.4 Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e e ınh 213
-i
5.4.1 D.nh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 213
a’
5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt . . . . . . . . . . . . . .
e 213
.
5.4.3 C´c ph´p to´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e a 215
5.4.4 Vecto. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . . . .
e aa.e 216
6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung d ˆ nhˆn dang d u.`.ng
’
a a´ e a o
. . . .
v` m˘t bˆc hai
aaa 236
. .
6.1 Dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . 236
.
6.1.1 Phu.o.ng ph´p Lagrange . . .
a . . . . . . . . . . . 237
6.1.2 Phu.o.ng ph´p Jacobi . . . .
a . . . . . . . . . . . 241
- MUC LUC 3
. .
6.1.3 Phu.o.ng ph´p biˆn d ˆi tru.c giao . . . . . . . . . 244
’
´
a eo.
.a phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai v` m˘t
- ’ a’
6.2 Du ınh o o a aa
. .
´
` dang ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . 263
bˆc hai vˆ .
a e ınh a
.
- L`.i n´i dˆu
oo` a
Gi´o tr` B`i tˆp to´n cao cˆp n`y du.o.c biˆn soan theo Chu.o.ng
´
a ınh a a a aa e
. . .
tr` To´n cao cˆp cho sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc Tu. nhiˆn cua
´ e’
ınh a a ea a . .
Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi v` d˜ du.o.c Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi thˆng
´ ´
o a o aa o ao o
.. . . .. .
qua v` ban h`nh.
a a
Muc d´ cua gi´o tr` l` gi´p d˜. sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc
. ıch ’ a ınh a u o ea a .
. nhiˆn n˘m v˜.ng v` vˆn dung du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n cao
´ ’
Tu ea u aa .a a a
. . .
´
´ .´ u’
cˆp. Muc tiˆu n`y quyˆt dinh to`n bˆ cˆu tr´c cua gi´o tr`nh. Trong
a ea e. a oa a ı
.
˜ i muc, dˆu tiˆn ch´ng tˆi tr`nh b`y t´m t˘t nh˜.ng co. so. l´ thuyˆt
´ ´
.` ’y
mˆ o a e u oı ao a u e
.ng cˆng th´.c cˆn thiˆt. Tiˆp d´, trong phˆn C´c v´ du
´ ´
u` `
v` liˆt kˆ nh˜
ae e u o a e eo a a ı.
.
ch´ng tˆi quan tˆm d˘c biˆt t´.i viˆc giai c´c b`i to´n mˆ u b˘ng c´ch ˜`
’aaa
u o a a eo e aa a
. . .
´n th´.c l´ thuyˆt d˜ tr` b`y. Sau c`ng, l` phˆn B`i
´ a ınh a a`
vˆn dung c´c kiˆ
a a e uy e u a a
. .
’. dˆy, c´c b`i tˆp du.o.c gˆp th`nh t`.ng nh´m theo t`.ng chu d` ’ˆ
tˆp. O a
a a aa .o a u o u e
. . .
v` du.o.c s˘p xˆp theo th´. tu. t˘ng dˆn vˆ dˆ kh´ v` mˆ i nh´m d` u
` `o oa ˜
.´e ´
a a u.a a e. o o ˆ
e
.ng chı dˆ n vˆ phu.o.ng ph´p giai. Ch´ng tˆi hy vong r˘ng viˆc
˜` `
’a e ’
c´ nh˜
ou a u o a e
. .
.i l`.i giai chi tiˆt trong phˆn C´c v´ du s˜ gi´p ngu.`.i hoc
´ `
’
l`m quen v´ o
a o e a a ı.eu o.
n˘m du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n co. ban.
´ ’ ’
a .a a a
Gi´o tr` B`i tˆp n`y c´ thˆ su. dung du.´.i su. hu.´.ng dˆ n cua
’ ˜
ınh a a a o e ’ . ’
a o. o a
.
gi´o viˆn ho˘c tu. m` nghiˆn c´.u v` c´c b`i tˆp d` u c´ d´p sˆ, mˆt
´.
a e a . ınh e u ıa a a ˆ oa o o.e
.
.´.c khi giai c´c b`i tˆp n`y d˜ c´ phˆn C´c v´ du
˜ ’ a aa a ao `
´
oo ’a a
sˆ c´ chı dˆ n v` tru o a a ı.
.
tr` b`y nh˜.ng chı dˆ n vˆ m˘t phu.o.ng ph´p giai to´n.
˜e.
’a ` a ’
ınh a u a a
T´c gia gi´o tr` chˆn th`nh cam o.n c´c thˆy gi´o: TS. Lˆ D`nh
`
’a ’
a ınh a a a a a eı
˜ ´
a a. y’ ’ ao
Ph`ng v` PGS. TS. Nguyˆn Minh Tuˆn d˜ doc k˜ ban thao v` d´ng
u a e
- Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c
´ ´
’y ea e u 5
´
`´e ya `a e´
g´p nhiˆu y kiˆn qu´ b´u vˆ cˆu tr´c v` nˆi dung v` d˜ g´p y cho t´c
o e u ao aao´ a
.
.ng thiˆu s´t cua ban thao gi´o tr`
´
’` u eo’ ’ ’
gia vˆ nh˜
e a ınh.
M´.i xuˆt ban lˆn dˆu, Gi´o tr`nh kh´ tr´nh khoi sai s´t. Ch´ng
a’``
´ ’
o aa a ı oa o u
tˆi rˆt chˆn th`nh mong du.o.c ban doc vui l`ng chı bao cho nh˜.ng
´ ’’
oa a a o u
. . .
’ gi´o tr` ng`y du.o.c ho`n thiˆn ho.n.
´ ´
eo’
thiˆu s´t cua cuˆn s´ch dˆ a
oa e ınh a a e
. .
H` Nˆi, M`a thu 2004
ao u
.
’
T´c gia
a
- Chu.o.ng 1
Sˆ ph´.c
´
o u
Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . .
-. ´u
1.1 ıa o 6
Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . .
´ ´
.o’
1.2 o u 8
.
’ ˜
1.3 Biˆu diˆ n h`
e e ınh hoc. Mˆd un v` acgumen . 13
o a
.
Biˆu diˆ n sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c . 23
’ ˜ ´
1.4 e e o u o a
. .
Dinh ngh˜ sˆ ph´.c
-. ´u
1.1 ıa o
Mˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c goi l` mˆt sˆ
˜.´ .´
oa o . o u. .aoo
.
ph´.c nˆu trˆn tˆp ho.p c´c c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p cˆng v`
´ e`
ue ea aao .a eo a
. . . .
.o.c du.a v`o theo c´c dinh ngh˜a sau dˆy:
ph´p nhˆn du .
e a a a. ı a
.`
(I) Quan hˆ b˘ng nhau
ea
a = a ,
1 2
(a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒
b1 = b2.
(II) Ph´p cˆng
eo .
- 1.1. D. nh ngh˜ sˆ ph´.c
-i ´
ıa o u 7
def
(a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1
(III) Ph´p nhˆn
e a
def
(a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ).
Tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c k´ hiˆu l` C. Ph´p cˆng (II) v` ph´p nhˆn
´
a.ou .yea eo ae a
. . .
.p, liˆn hˆ v´.i nhau bo.i
´
´ ’
(III) trong C c´ t´ chˆt giao ho´n, kˆt ho
o ınh a a e. e eo .
luˆt phˆn bˆ v` moi phˆn tu. = (0, 0) d` u c´ phˆn tu. nghich dao.
` ˆo`
´ ’ ’ ’
a a oa . a e a
. .
Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng (goi l` tru.`.ng sˆ ph´.c) v´.i phˆn `
´
a a a o o .a o ou o a
. . . .
. khˆng l` c˘p (0; 0) v` phˆn tu. do.n vi l` c˘p (1; 0). Ap dung quy
´
a`
’ a’
tu o aa .aa
. . .
´c (III) ta c´: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆu k´ hiˆu i = (0, 1) th`
´ye
t˘
a o e ı
.
i2 = −1
Dˆi v´.i c´c c˘p dang d˘c biˆt (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v` (III) ta
´
ooaa a e a
. . . .
c´
o
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
T`. d´ vˆ m˘t dai sˆ c´c c˘p dang (a, 0), a ∈ R khˆng c´ g` kh´c biˆt
uo` a . oa a ´
e. o oı a e
. . .
.i sˆ thu.c R: v` ch´ng du.o.c cˆng v` nhˆn nhu. nh˜.ng sˆ thu.c. Do
o´ ´
v´ o . ıu .o aa u o.
.
.i sˆ thu.c a:
’o
vˆy ta c´ thˆ d` ng nhˆt c´c c˘p dang (a; 0) v´ o .
´ o´
a o eˆ aaa
. . .
(a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R.
D˘c biˆt l` (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.
a ea
. .
Dˆi v´.i sˆ ph´.c z = (a, b):
´ ´
ooo u
1+ Sˆ thu.c a du.o.c goi l` phˆn thu.c a = Re z , sˆ thu.c b goi l` phˆn
. .a ` .a `
´ ´
o. a o. a
.
’ ay e a
ao v` k´ hiˆu l` b = Im z .
.
2 Sˆ ph´.c z = (a, −b) goi l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z
+ ´ ´ ´
ou . ao u e . oo u
def. l` c´ch viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh definition (dinh ngh˜
1 ´´ ´
ea’ue
aa ıa)
.
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
8 ou
Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c
´ ´u
.o’
1.2 o
.
Moi sˆ ph´.c z = (a; b) ∈ C d` u c´ thˆ viˆt du.´.i dang
’´
´
.ou ˆoee
e o.
z = a + ib. (1.1)
Thˆt vˆy, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib
aa
..
’u th´.c (1.1) goi l` dang dai sˆ cua sˆ ph´.c z = (a, b). T`. (1.1)
´ ´
.o’ o u
Biˆ
e u .a. u
.c liˆn ho.p ta c´ z = a − ib.
´
v` dinh ngh˜ sˆ ph´ e .
a. ıa o u o
Du.´.i dang dai sˆ c´c ph´p t´nh trˆn tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c thu.c
´ ´
o. . oa eı ea .ou
. . .
´
hiˆn theo c´c quy t˘c sau.
e a a
.
Gia su. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´
’’ o
(I) Ph´p cˆng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ).
eo .
(II) Ph´p nhˆn: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ).
e a
z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1
(III) Ph´p chia:
e = +i 2 ·
2 2
a1 + b2
z1 a1 + b1 1
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. 1+ T´ in . T`. d´ ch´.ng minh r˘ng
`
ı. ınh uo u a
a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0;
b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1.
2+ T` sˆ nguyˆn n nˆu:
´
´
ım o e e
a) (1 + i)n = (1 − i)n ;
1+i n 1−i n
b) √ +√ = 0.
2 2
Giai. 1+ Ta c´ i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`
’ o a
.a b˘t dˆu l˘p lai. Ta kh´i qu´t h´a. Gia su. n ∈ Z v`
´a.
u a`a. ’’
gi´ tri l˜y th`
a .u a ao a
n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´ o
in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir
- 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c
´ ´
.o’ o u 9
.
(v` i4 = i). T`. d´, theo kˆt qua trˆn ta c´
´ ’e
ı uo e o
1 ´
nˆu n = 4k,
e
i ´
nˆu n = 4k + 1,
e
in = (1.2)
−1 nˆu n = 4k + 2,
´
e
´
−i nˆu n = 4k + 3.
e
T`. (1.2) dˆ d`ng suy ra a) v` b).
˜a
u e a
. hˆ th´.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra
+
2 a) T` e u
u.
1+i n
= 1.
1−i
1+i 1+i n
Nhu.ng = in = 1 ⇒ n = 4k , k ∈ Z.
= i nˆn
e
1−i 1−i
1+i n 1−i n 1+i n
b) T`. d˘ng th´.c √
’ `
+√
ua u = 0 suy r˘ng
a = −1
1−i
2 2
v` do d´ in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z.
a o
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu n l` bˆi cua 3 th`
` ´ ao ’
ı. u a e ı
.
√ √
−1 + i 3 n −1 − i 3 n
+ =2
2 2
´ ´
v` nˆu n khˆng chia hˆt cho 3 th`
ae o e ı
√ √
−1 + i 3 −1 − i 3
n n
+ = −1.
2 2
Giai. 1+ Nˆu n = 3m th`
´
’ e ı
√ √
−1 + i 3 3 m −1 − i 3 3 m
S= +
2√ 2
√ √ √
−1 + 3i 3 + 9 − 3i 3 m −1 − 3i 3 + 9 + 3i 3 m
= +
8 8
m m
= 1 + 1 = 2.
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
10 ou
2+ Nˆu n = 3m + 1 th`
´
e ı
√ √ √ √
−1 + i 3 3 m −1 + i 3 −1 − i 3 1−i 3
3m
S= +
2 2 2 2
√ √
−1 + i 3 −1 − i 3
= + = −1.
2 2
Tu.o.ng tu. nˆu n = 3m + 2 ta c˜ng c´ S = −1.
´
.e u o
V´ du 3. T´ biˆu th´.c
’
ı. ınh e u
22 2n
1+i 1+i 1+i 1+i
2
σ = 1+ 1+ 1+ ··· 1 + .
2 2 2 2
1+i
Giai. Nhˆn v` chia biˆu th´.c d˜ cho v´.i 1 −
’
’ aa e ua o ta c´
o
2
1 + i 2n 1 + i 2n+1
2
1− 1−
2 2
σ= = ·
1+i 1+i
1− 1−
2 2
` ınh
Ta cˆn t´
a
n
i2
2n+1 2 2n 2n
1+i 1
1+i i
= = = 2n = 2n ·
2 2 2 2 2
Do d´
o
1 1
1− 2 1 − 2n 1+i
2n
2 2
σ= = ×
1+i 1−i 1+i
1−
2
1
= 1 − 2n (1 + i)
2
√
V´ du 4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c 4 − 3i du.´.i dang dai sˆ.
’ ˜ou
e´ ´
ı. e o. .o
Giai. Theo dinh ngh˜a ta cˆn t` sˆ ph´.c w sao cho w2 = 4 − 3i.
` ım o u´
’ ı a
.
´
Nˆu w = a + bi, a, b ∈ R th`
e ı
4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.
- 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c
´ ´
.o’ o u 11
.
T`. d´
uo
a2 − b2 = 4, (1.3)
2ab = −3. (1.4)
3
T`. (1.4) ta c´ b = − . Thˆ v`o (1.3) ta thu du.o.c
´
u o ea .
2a
4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2
√
8 + 100 8 + 10 18 9
u1 = = = =,
4 4 4 2
⇐⇒ √
8 − 100 8 − 10 1
u2 = = =− ·
4 4 2
9
V` a ∈ R nˆn u
ı e 0⇒u= v` do vˆy
a a
.
2
3 1
a = ±√ ⇒ b = √·
2 2
T`. d´ ta thu du.o.c
uo .
1
3
w1,2 = ± √ − √ i
2 2
V´ du 5. Biˆu diˆn sˆ ph´.c
’ ˜ou
e´
ı. e
√ √
5 + 12i − 5 − 12i
z=√ √
5 + 12i + 5 − 12i
√ √
v´.i diˆu kiˆn l` c´c phˆn thu.c cua 5 + 12i v` 5 − 12i d` u ˆm.
o` ` ’
e e aa a a ˆa
e
. .
.o.ng ph´p giai trong v´ du 4 ta c´
’´ ’
Giai. Ap dung phu a ı. o
.
√
5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi
x2 − y 2 = 5,
⇐⇒
2xy = 12.
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
12 ou
` `
Hˆ n`y c´ hai nghiˆm l` (3; 2) v` (−3; −2). Theo diˆu kiˆn, phˆn
ea o e a a e e a
. . .
.c cua √5 + 12i ˆm nˆn ta c´ √5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. ta
thu ’ a e o
. .
√
.o.c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆy
t`m du .
ı a
.
−3 − 2i − (−3 + 2i) 2
z= =i
−3 − 2i + (−3 + 2i) 3
z−1
V´ du 6. Gia su. z = a + ib, z = ±1. Ch´.ng minh r˘ng w =
`
’’
ı. u a l`
a
z+1
sˆ thuˆn ao khi v` chı khi a2 + b2 = 1.
`’
´ a’
o a
’
Giai. Ta c´
o
a2 + b2 − 1
(a − 1) + ib 2b
w= = +i ·
2 + b2 (a + 1)2 + b2
(a + 1) + ib (a + 1)
T`. d´ suy r˘ng w thuˆn ao khi v` chı khi
` `’ a’
uo a a
a2 + b2 − 1
= 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1.
(a + 1)2 + b2
` ˆ
BAI TAP
.
T´
ınh
(1 + i)8 − 1 15
1. · (DS. )
(1 − i)8 + 1 17
(1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 11
2. · (DS. − i)
(2 − i)2 − (2 + i)2 4
(3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) 14
3. − · (DS. − )
2+i 2−i 5
22 2n
1−i 1−i 1−i 1−i
2
1+ √ 1+ √ 1+ √ ··· 1 + √
4. .
2 2 2 2
(DS. 0)
’˜ ´ ’ı.
Chı dˆ n. Ap dung c´ch giai v´ du 3.
a a
.
5. Ch´.ng minh r˘ng
`
u a
z1 z1
a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c) = ;
z2 z2
- ’ ˜ ınh .
1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a 13
n
d) z n = (z ) ; e) z + z = 2Re z ; g) z − z = 2Im z .
6. V´.i gi´ tri thu.c n`o cua x v` y th` c´c c˘p sˆ sau dˆy l` c´c c˘p
.´
a’
oa.. a ıa a o a aa a .
.c liˆn ho.p:
´
sˆ ph´ e .
ou
1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y )i v` −y 2 + 2y + 11 − 4i;
a
2) x + y 2 + 1 + 4i v` ixy 2 + iy 2 − 3 ?
a
(DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5)
7. Ch´.ng minh r˘ng z1 v` z2 l` nh˜.ng sˆ ph´.c liˆn ho.p khi v` chı
` ´ a’
u a a au oue .
.ng sˆ thu.c.
´
khi z1 + z2 v` z1z2 l` nh˜
a au o.
8. T´
ınh:
√
1) −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i))
√
2) 24 + 10i. (DS. ±(5 + i))
√
3) 24 − 10i. (DS. ±(5 − i))
√ √ √ √
4) 1 + i 3 + 1 − i 3. (DS. ± 6, ±i 2)
9. Ch´.ng minh r˘ng
`
u a
2 4 6 8
1) 1 − C8 + C8 − C8 + C8 = 16;
2 4 6 8
2) 1 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16;
1 3 5 7 9
3) C9 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16.
Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton dˆi v´.i (1 + i)8 v`
’˜ ´ ´
a o u .u oo a
.
9
(1 + i) .
’ ˜
1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆdun v` acgu-
e e ınh . o a
men
Mˆ i sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ d˘t tu.o.ng u.ng v´.i diˆm M (a; b) cua
˜´ ’. ’ ’
oo u o ea ´ oe
.o.c lai mˆ i diˆm M (a; b) cua m˘t ph˘ng d` u
’ ’
˜ ’ ’
m˘t ph˘ng toa dˆ v` ngu . .
a a . oa oe a a ˆ
e
. . .
tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib. Ph´p tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp l`
´
´ oo u e ´ . aaa .
.n tri mˆt - mˆt. Ph´p tu.o.ng u.ng d´ cho ph´p ta xem c´c sˆ ph´.c ´
do .o o e ´ o e aou
. .
. l` c´c diˆm cua m˘t ph˘ng toa dˆ. M˘t ph˘ng d´ du.o.c goi l`
’ ’
’ ’
nhu a a e a a .o a a o .a
. . . .
m˘t ph˘ng ph´.c. Truc ho`nh cua n´ du.o.c goi l` Truc thu.c, truc tung
’ ’o
a a u a . .a .
. . . .
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
14 ou
du.o.c goi l` Truc ao. Thˆng thu.`.ng sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ xem ’
´
. a −→ . ’ o o ou oe
.
. vecto. OM . Mˆ i vecto. cua m˘t ph˘ng v´.i diˆm dˆu O(0, 0) v`
’
˜ ’`
’
nhu o a a o e a a
.
diˆm cuˆi tai diˆm M (a; b) d` u tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib v`
’ ’
´ ´
e o. e ˆ
e ´ oo u a
.o.c lai.
ngu . .
Su. tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp gi˜.a tˆp ho.p sˆ ph´.c C v´.i tˆp ho.p
´
´ . aa ua .ou oa
. . . . .
. m˘t ph˘ng cho ph´p goi c´c sˆ ph´.c l` diˆm
’
’ ’
´
c´c diˆm hay c´c vecto a
a e a a e.aouae
.
..
hay vecto
V´.i ph´p biˆu diˆn h`nh hoc sˆ ph´.c, c´c ph´p to´n cˆng v` tr`.
’ ˜ı ´
o e e e .ou a e ao au
.
c´c sˆ ph´.c du.o.c thu.c hiˆn theo quy t˘c cˆng v` tr`. c´c vecto..
´o
´
aou e a. aua
. . .
Gia su. z ∈ C. Khi d´ dˆ d`i cua vecto. tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z
´
’’ ooa ’ ´ oo u
.
du.o.c goi l` mˆdun cua n´.
’o
.ao
.
´
Nˆu z = a + ib th`
e ı
√ √
a2 + b2 = z z.
r = |z | =
G´c gi˜.a hu.´.ng du.o.ng cua truc thu.c v` vecto. z (du.o.c xem l` g´c
’
ou o .a ao
. .
.o.ng nˆu n´ c´ dinh hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim d` ng hˆ) du.o.c goi l`
´ ` `
du e oo. o e o
ˆ o .a
. .
.i sˆ z = 0 acgumen khˆng x´c dinh.
´ oo´
´
’o
acgumen cua sˆ z = 0. Dˆi v´ o o a.
Kh´c v´.i mˆdun, acgumen cua sˆ ph´.c x´c dinh khˆng do.n tri, n´
´
’oua.
ao o o .o
.i su. sai kh´c mˆt sˆ hang bˆi nguyˆn cua 2π v`
.´ e’
x´c dinh v´ .
a. o a oo. o a
.
k ∈ Z,
Arg z = arg z + 2kπ,
trong d´ arg z l` gi´ tri ch´ cua acgumen du.o.c x´c dinh bo.i diˆu `
a a . ınh ’ ’
o a. e
.
kiˆn −π < arg z π ho˘c 0 arg z < 2π .
e a
. .
.c v` phˆn ao cua sˆ ph´.c z = a + ib du.o.c biˆu diˆn qua
’ ˜
Phˆn thu a ` ’
` ´
’ou
a a e e
. .
mˆdun v` acgument cua n´ nhu. sau
’o
o a
a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
- ’ ˜ ınh .
1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a 15
Nhu. vˆy, acgumen ϕ cua sˆ ph´.c c´ thˆ t`m t`. hˆ phu.o.ng tr`
’
´
’ o u o eı
a ue ınh
. .
cos ϕ = √ a ,
a2 + b2
sin ϕ = √ b
·
a2 + b2
CAC V´ DU
´ I .
x − y 2 + 2xyi
2
´
’o
V´ du 1. T` mˆdun cua sˆ z = √
ı. ım o ·
xy 2 + i x4 + y 4
’
Giai. Ta c´
o
x2 + y 2
(x2 − y 2 )2 + (2xy )2
|z | = =2 = 1.
√ x + y2
2+( 4 + y 4 )2
(xy 2) x
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng ∀ z1, z2 ∈ C ta d` u c´:
`
ı. u a ˆo
e
(i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|;
(iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2.
’
Giai. (i) Ta c´o
|z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ).
V` −|z1z2 |
ı Re(z1 z 2) |z1z2| nˆn
e
|z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2
⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 |.
(ii) V` |z2 | = | − z2| nˆn
ı e
|z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|.
(iii) Ap dung (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v` thu du.o.c
´ a
. .
|z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
16 ou
(iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|.
Nhˆn x´t. C´c bˆt d˘ng th´.c (iii) v` (iv) c`n c´ thˆ viˆt du.´.i
´’ ’´
ae aaa u a ooee o
.
dang
.
(iii)∗. |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗. |z1 − z2 | |z1| − |z2| .
Thˆt vˆy ta c´ |z1 + z2| |z1| − |z2| v` |z1 + z2| |z2| − |z1 |. C´c
aa o a a
..
vˆ phai kh´c nhau vˆ dˆu do d´ nˆu lˆy vˆ phai du.o.ng th` thu du.o.c
´’ ´´´’
`a
e´
e a oea e ı .
.c (iv)∗ thu du.o.c t`. (iii)∗ b˘ng c´ch thay z2 bo.i
´’
∗ ` ’
(iii) . Bˆt d˘ng th´
aa u .u a a
−z2.
V´ du 3. Ch´.ng minh d` ng nhˆt th´.c
´
ı. u o
ˆ a u
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2).
Giai th´ y ngh˜ h`nh hoc cua hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh.
’ .’euau
ıch ´ ıa ı .
. z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 . Khi d´
’ ’’
Giai. Gia su o
z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2),
z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ),
|z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 ,
|z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 .
T`. d´ thu du.o.c
uo .
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 + y1 )2 + 2(x2 + y2 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2).
2
1 2
T`. hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh suy r˘ng trong mˆ i h` b`nh h`nh tˆng c´c
˜ ’
`
ueu a u a o ınh ı a o a
.
b` phu.o.ng dˆ d`i cua c´c du.`.ng ch´o b˘ng tˆng c´c b` phu.o.ng
’
e`
oa ’ a
ınh o a o a ınh
.
oa ’ a . ’o
dˆ d`i cua c´c canh cua n´.
.
V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3| th`
` ´
ı. u a e ı
z3 − z2 1 z2
arg = arg ·
z3 − z1 2 z1
Giai. Theo gia thiˆt, c´c diˆm z1 , z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n
’
´ `
’ ’ ea e a a e o o
.i tˆm tai gˆc toa dˆ. Ta x´t c´c vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v`
´
n`o d´ v´ a
a oo .o.o ea a
.
z2 (h˜y v˜ h`
a e ınh).
- ’ ˜ ınh .
1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a 17
B˘ng nh˜.ng nguyˆn do h` hoc, dˆ thˆy r˘ng
˜aa
` e´`
a u e ınh .
z3 − z2
arg = arg(z3 − z2 ) − arg(z3 − z1)
z3 − z1
v` g´c n`y nh` cung tr`n nˆi diˆm z1 v` z2 v` g´c o. tˆm
´’ ao’a
ao a ın ooe a
z2
arg = argz2 − argz1
z1
´ o ’ ınh .
c˜ng ch˘n ch´ cung tr`n d´. Theo dinh l´ quen thuˆc cua h` hoc
u a ınh oo y
. .
. cˆp ta c´
´
so a o
z3 − z2 1 z2
arg = arg ·
z3 − z1 2 z1
V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3 | = 1 v` z1 +z2+z3 = 0
` ´
ı. u a e a
’ .´
th` c´c diˆm z1, z2 v` z3 l` c´c d’nh cua tam gi´c d` u nˆi tiˆp trong
’
ıa e a aa ı aˆoee
du.`.ng tr`n do.n vi.
o o .
Giai. Theo gia thiˆt, ba diˆm z1, z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n
’
´ `
’ ’ e e a a e o o
.n vi. Ta t` dˆ d`i cua c´c canh tam gi´c.
ım o a ’ a .
do . a
.
+
1 T` dˆ d`i |z1 − z2|. Ta c´
ım o a o
.
|z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2
= x2 + y1 + x2 + y2 − (2x1 x2 + 2y1 y2)
2 2
1 2
= 2(x2 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2]
2 2
1 2
= 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2.
Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v` |z1 + z2| = |z3|. Do d´
a o
|z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3
v` t`. do
au ´
√
|z1 − z2| = 3 .
√ √
2+ Tu.o.ng tu. ta c´ |z2 − z3 | = 3, |z3 − z1 | = 3. T`. d´ suy ra
o uo
.
tam gi´c v´.i d’nh z1 , z2, z3 l` tam gi´c d` u.
aoı a aˆ e
- Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
18 ou
V´ du 6. V´.i diˆu kiˆn n`o th` ba diˆm kh´c nhau t`.ng dˆi mˆt z1,
’
o`
ı. e ea ı e a u oo
. .
.`.ng th˘ng.
’
`
z2 , z3 n˘m trˆn mˆt du o
a e o a
.
´u c´c diˆm z1, z2, z3 n˘m trˆn du.`.ng th˘ng cho tru.´.c
’
’
+ `
’
Giai. 1 Nˆ a e e a e o a o
. di t`. z2 dˆn z1 c´ hu.´.ng nhu. cua vecto. di t`. diˆm z3 dˆn
’
´ ´
’
th` vecto
ı u e o o ue e
z1 ho˘c c´ hu.´.ng ngu.o.c lai. Diˆu d´ c´ ngh˜ l` c´c g´c nghiˆng cua
` oo ’
aoo e ıa a a o e
. ..
c´c vecto. n`y dˆi v´.i truc thu.c ho˘c nhu. nhau ho˘c sai kh´c g´c π .
´
a aoo a a ao
. . . .
.ng khi d´ ta c´
Nhu o o
arg(z1 − z2 ) = arg(z1 − z3 ) + kπ, k = 0, 1.
T`. d´ suy ra
uo
z1 − z2
arg = arg(z1 − z2 ) − arg(z1 − z3) = kπ, k = 0, 1.
z1 − z3
z1 − z2
Nhu. vˆy sˆ ph´.c c´ acgumen b˘ng 0 ho˘c b˘ng π , t´.c l` sˆ
` .`
.´ ´
aou o a aa u ao
z1 − z3
z1 − z2
l` sˆ thu.c. Diˆu kiˆn thu du.o.c l` diˆu kiˆn cˆn.
` .a` e`
´
ao . e e e .a
.
z1 − z3
2+ Ta ch´.ng minh r˘ng d´ c˜ng l` diˆu kiˆn du. Gia su.
` a` e’ ’’
u a ou e .
z1 − z2
α ∈ R.
= α,
z1 − z3
z1 − z2
= 0. Hˆ th´.c n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ th´.c
Khi d´ Im
o eua oeu
. .
z1 − z3
y1 − y3 x1 − x3
= · (1.5)
y1 − y2 x1 − x2
Phu.o.ng tr` du.`.ng th˘ng qua diˆm (x1, y1) v` (x2, y2 ) c´ dang
’ ’
ınh o a e a o.
y − y1 x − x1
= · (1.6)
y2 − y1 x2 − x1
T`. (1.5) v` (1.6) suy ra diˆm (x3 , y3) n˘m trˆn du.`.ng th˘ng d´.
’
’ `
u a e a e o a o
V´ du 7. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c thoa m˜n c´c
’
’ ’
ı. a. a. e e a a u aa
. .
`
diˆu kiˆn:
e e
.
- ’ ˜ ınh .
1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a 19
1) |z − 2| + |z + 2| = 5;
2) |z − 2| − |z + 2| > 3;
3) Re z c;
4) Im z < 0.
Giai. 1) D˘ng th´.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´c dinh qu˜ t´ nh˜.ng
’
’ a u a. y ıch u
’ ng m` tˆng khoang c´ch t`. d´ dˆn hai diˆm cho
’ ’ ’
´
’ ’
diˆm cua m˘t ph˘
e a a ao a uoe e
.
.´.c F1 = −2 v` F2 = +2 l` h˘ng sˆ b˘ng 5. Theo dinh ngh˜a trong
a` ´`
tru o a a oa ı
.
5
h` hoc giai t´ d´ l` du.`.ng ellip v´.i b´n truc l´.n b˘ng v` tiˆu
`
’ ıch o a o
ınh . oa .o a ae
2
’
diˆm ±2.
e
’
’ `
’ ’
2) Qu˜ t´ c´c diˆm cua m˘t ph˘ng C thoa m˜n diˆu kiˆn
y ıch a e a a a e e
. .
.`.ng hypecbˆn. D˘ng th´.c
’
|z − 2| − |z + 2| = 3 l` du o
a o a u
|z − 2| − |z + 2| = 3
x´c dinh nh´nh bˆn tr´i cua du.`.ng hypecbˆn v` bˆt d˘ng th´.c
´’
a’
a. a e o o aa a u
` ’
|z − 2| − |z + 2| > 3 x´c dinh phˆn trong cua nh´nh d´.
a. a a o
.a m˘t ph˘ng bˆn phai du.`.ng th˘ng
’ ’
oa ’ ’
3) Rez c ⇒ x c. D´ l` nu a a e o a
.
.`.ng th˘ng x = c).
’
’
e’
x = c (kˆ ca du o a
4) V` Im z = y ⇒ Im z < c ⇒ y < c. D´ l` nu.a m˘t ph˘ng du.´.i
’
oa ’
ı a a o
.
.`.ng th˘ng y = c (khˆng kˆ du.`.ng th˘ng d´).
’ ’
’
du o a o eo a o
V´ du 8. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c C du.o.c cho
’
’
ı. a. a e e a a u
. . . .
.i diˆu kiˆn:
bo `
’ e e
.
1) |z | = Rez + 1;
2) |z − 1| 2|z − i|;
3) |z − 2 + i|u2 − 2|z − 2 + i|u + 1 > 0 ∀ u ∈ R.
1
4) log3(2 + |z 2 + i|) + log27 = 0.
(2 + |z 2 − i|)3
Giai. 1) Gia su. z = x + iy . Khi d´ t`. diˆu kiˆn
ou `
’ ’’ e e
.
x2 + y 2 = x + 1 ⇒ y 2 = 2x + 1.
|z | = Rez + 1 ⇒
nguon tai.lieu . vn