Xem mẫu

  1. ˜ ’ ˆ NGUYEN THUY THANH ` ˆ BAI TAP . ´ ´ ˆ TOAN CAO CAP Tˆp 1 a . ´ ´ Dai sˆ tuyˆn t´ .o e ınh ’ ıch v` H` hoc giai t´ a ınh . ´ ´ ’ ` ˆ ˆ ` ˆ NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI . . . H` Nˆi – 2006 ao .
  2. Muc luc . . L`.i n´i dˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oo` a 4 1 Sˆ ph´.c ´u o 6 1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . -. ´ ıa o u . . . . . . . . 6 1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . ´ ´ .o’ o u . . . . . . . . 8 . ’ ˜ ınh . 1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a . . . . . . . . 13 1.4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ ˜ou e´ e o. a . . . . . . . . 23 . 2 Da th´.c v` h`m h˜.u ty - ’ u aa u 44 .c . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.1 Da th´u . . . . . . . . . 44 2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C - ´ u e o ou . . . . . . . . . 45 2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R - ´ u e o o. . . . . . . . . . 46 .c h˜.u ty . . . . . . . . . . . . 2.2 Phˆn th´ u ’ a u . . . . . . . . . 55 3 Ma trˆn. Dinh th´.c -. a u 66 . 3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . a ..... . . . . . 67 . -. 3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . . ıa a ..... . . . . . 67 . ´ 3.1.2 C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn a e a e ınh e ma trˆn a . . . . . 69 . 3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn . . . . e aa a ..... . . . . . 71 . ’ 3.1.4 Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . . e e. a ..... . . . . . 72 . - .nh th´.c . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Di u ..... . . . . . 85 ´ 3.2.1 Nghich thˆ . . . . . . . . . . . e ..... . . . . . 85 . .c . . . . . . . . . . . -. 3.2.2 Dinh th´ u ..... . . . . . 85 3.2.3 T´ chˆt cua d.nh th´.c . . . ´ ınh a ’ i u ..... . . . . . 88
  3. 2 MUC LUC . . 3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c . . . . . . a ınh . u . . . . . 89 ’ 3.3 Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . 109 . . - inh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 D. ı . . . . . 109 .o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn . ’ 3.3.2 Phu a ım . a . . . . . 109 . ’o . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Ma trˆn nghich da a . . . . . 118 . . -. 3.4.1 Dinh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . 118 .o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao ’ 3.4.2 Phu a ım a . . . . . 119 . . 4 Hˆ phu.o.ng tr` ´ e ınh tuyˆn t´ e ınh 132 . 4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c ’ e ınh o a o. u kh´c a 0. . . . 132 . 4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . . a a ... .. . . . 133 . .o.ng ph´p Cramer . . . . . . 4.1.2 Phu a ... .. . . . 134 .o.ng ph´p Gauss . . . . . . . 4.1.3 Phu a ... .. . . . 134 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . . ´ eu ´a ınh e ınh ... .. . . . 143 . 4.3 Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt . ´ ` ´ e ınh e ınh a a ... .. . . . 165 . n 5 Khˆng gian Euclide R o 177 5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. -. ` aooa e .´ ıa o e . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ’` ban vˆ vecto e 177 5.2 Co. so.. Dˆi co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ’ -o ’ ’ 188 5.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn . . . . . . ’ ’. o a 201 ’ ´o ´ 5.4 Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e ınh 213 -i 5.4.1 D.nh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 213 a’ 5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt . . . . . . . . . . . . . . e 213 . 5.4.3 C´c ph´p to´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e a 215 5.4.4 Vecto. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . . . . e aa.e 216 6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung d ˆ nhˆn dang d u.`.ng ’ a a´ e a o . . . . v` m˘t bˆc hai aaa 236 . . 6.1 Dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 236 . 6.1.1 Phu.o.ng ph´p Lagrange . . . a . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu.o.ng ph´p Jacobi . . . . a . . . . . . . . . . . 241
  4. MUC LUC 3 . . 6.1.3 Phu.o.ng ph´p biˆn d ˆi tru.c giao . . . . . . . . . 244 ’ ´ a eo. .a phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai v` m˘t - ’ a’ 6.2 Du ınh o o a aa . . ´ ` dang ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . 263 bˆc hai vˆ . a e ınh a .
  5. L`.i n´i dˆu oo` a Gi´o tr` B`i tˆp to´n cao cˆp n`y du.o.c biˆn soan theo Chu.o.ng ´ a ınh a a a aa e . . . tr` To´n cao cˆp cho sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc Tu. nhiˆn cua ´ e’ ınh a a ea a . . Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi v` d˜ du.o.c Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi thˆng ´ ´ o a o aa o ao o .. . . .. . qua v` ban h`nh. a a Muc d´ cua gi´o tr` l` gi´p d˜. sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc . ıch ’ a ınh a u o ea a . . nhiˆn n˘m v˜.ng v` vˆn dung du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n cao ´ ’ Tu ea u aa .a a a . . . ´ ´ .´ u’ cˆp. Muc tiˆu n`y quyˆt dinh to`n bˆ cˆu tr´c cua gi´o tr`nh. Trong a ea e. a oa a ı . ˜ i muc, dˆu tiˆn ch´ng tˆi tr`nh b`y t´m t˘t nh˜.ng co. so. l´ thuyˆt ´ ´ .` ’y mˆ o a e u oı ao a u e .ng cˆng th´.c cˆn thiˆt. Tiˆp d´, trong phˆn C´c v´ du ´ ´ u` ` v` liˆt kˆ nh˜ ae e u o a e eo a a ı. . ch´ng tˆi quan tˆm d˘c biˆt t´.i viˆc giai c´c b`i to´n mˆ u b˘ng c´ch ˜` ’aaa u o a a eo e aa a . . . ´n th´.c l´ thuyˆt d˜ tr` b`y. Sau c`ng, l` phˆn B`i ´ a ınh a a` vˆn dung c´c kiˆ a a e uy e u a a . . ’. dˆy, c´c b`i tˆp du.o.c gˆp th`nh t`.ng nh´m theo t`.ng chu d` ’ˆ tˆp. O a a a aa .o a u o u e . . . v` du.o.c s˘p xˆp theo th´. tu. t˘ng dˆn vˆ dˆ kh´ v` mˆ i nh´m d` u ` `o oa ˜ .´e ´ a a u.a a e. o o ˆ e .ng chı dˆ n vˆ phu.o.ng ph´p giai. Ch´ng tˆi hy vong r˘ng viˆc ˜` ` ’a e ’ c´ nh˜ ou a u o a e . . .i l`.i giai chi tiˆt trong phˆn C´c v´ du s˜ gi´p ngu.`.i hoc ´ ` ’ l`m quen v´ o a o e a a ı.eu o. n˘m du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n co. ban. ´ ’ ’ a .a a a Gi´o tr` B`i tˆp n`y c´ thˆ su. dung du.´.i su. hu.´.ng dˆ n cua ’ ˜ ınh a a a o e ’ . ’ a o. o a . gi´o viˆn ho˘c tu. m` nghiˆn c´.u v` c´c b`i tˆp d` u c´ d´p sˆ, mˆt ´. a e a . ınh e u ıa a a ˆ oa o o.e . .´.c khi giai c´c b`i tˆp n`y d˜ c´ phˆn C´c v´ du ˜ ’ a aa a ao ` ´ oo ’a a sˆ c´ chı dˆ n v` tru o a a ı. . tr` b`y nh˜.ng chı dˆ n vˆ m˘t phu.o.ng ph´p giai to´n. ˜e. ’a ` a ’ ınh a u a a T´c gia gi´o tr` chˆn th`nh cam o.n c´c thˆy gi´o: TS. Lˆ D`nh ` ’a ’ a ınh a a a a a eı ˜ ´ a a. y’ ’ ao Ph`ng v` PGS. TS. Nguyˆn Minh Tuˆn d˜ doc k˜ ban thao v` d´ng u a e
  6. Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c ´ ´ ’y ea e u 5 ´ `´e ya `a e´ g´p nhiˆu y kiˆn qu´ b´u vˆ cˆu tr´c v` nˆi dung v` d˜ g´p y cho t´c o e u ao aao´ a . .ng thiˆu s´t cua ban thao gi´o tr` ´ ’` u eo’ ’ ’ gia vˆ nh˜ e a ınh. M´.i xuˆt ban lˆn dˆu, Gi´o tr`nh kh´ tr´nh khoi sai s´t. Ch´ng a’`` ´ ’ o aa a ı oa o u tˆi rˆt chˆn th`nh mong du.o.c ban doc vui l`ng chı bao cho nh˜.ng ´ ’’ oa a a o u . . . ’ gi´o tr` ng`y du.o.c ho`n thiˆn ho.n. ´ ´ eo’ thiˆu s´t cua cuˆn s´ch dˆ a oa e ınh a a e . . H` Nˆi, M`a thu 2004 ao u . ’ T´c gia a
  7. Chu.o.ng 1 Sˆ ph´.c ´ o u Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . -. ´u 1.1 ıa o 6 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . ´ ´ .o’ 1.2 o u 8 . ’ ˜ 1.3 Biˆu diˆ n h` e e ınh hoc. Mˆd un v` acgumen . 13 o a . Biˆu diˆ n sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c . 23 ’ ˜ ´ 1.4 e e o u o a . . Dinh ngh˜ sˆ ph´.c -. ´u 1.1 ıa o Mˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c goi l` mˆt sˆ ˜.´ .´ oa o . o u. .aoo . ph´.c nˆu trˆn tˆp ho.p c´c c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p cˆng v` ´ e` ue ea aao .a eo a . . . . .o.c du.a v`o theo c´c dinh ngh˜a sau dˆy: ph´p nhˆn du . e a a a. ı a .` (I) Quan hˆ b˘ng nhau ea  a = a , 1 2 (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2. (II) Ph´p cˆng eo .
  8. 1.1. D. nh ngh˜ sˆ ph´.c -i ´ ıa o u 7 def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´p nhˆn e a def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ). Tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c k´ hiˆu l` C. Ph´p cˆng (II) v` ph´p nhˆn ´ a.ou .yea eo ae a . . . .p, liˆn hˆ v´.i nhau bo.i ´ ´ ’ (III) trong C c´ t´ chˆt giao ho´n, kˆt ho o ınh a a e. e eo . luˆt phˆn bˆ v` moi phˆn tu. = (0, 0) d` u c´ phˆn tu. nghich dao. ` ˆo` ´ ’ ’ ’ a a oa . a e a . . Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng (goi l` tru.`.ng sˆ ph´.c) v´.i phˆn ` ´ a a a o o .a o ou o a . . . . . khˆng l` c˘p (0; 0) v` phˆn tu. do.n vi l` c˘p (1; 0). Ap dung quy ´ a` ’ a’ tu o aa .aa . . . ´c (III) ta c´: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆu k´ hiˆu i = (0, 1) th` ´ye t˘ a o e ı . i2 = −1 Dˆi v´.i c´c c˘p dang d˘c biˆt (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v` (III) ta ´ ooaa a e a . . . . c´ o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). T`. d´ vˆ m˘t dai sˆ c´c c˘p dang (a, 0), a ∈ R khˆng c´ g` kh´c biˆt uo` a . oa a ´ e. o oı a e . . . .i sˆ thu.c R: v` ch´ng du.o.c cˆng v` nhˆn nhu. nh˜.ng sˆ thu.c. Do o´ ´ v´ o . ıu .o aa u o. . .i sˆ thu.c a: ’o vˆy ta c´ thˆ d` ng nhˆt c´c c˘p dang (a; 0) v´ o . ´ o´ a o eˆ aaa . . . (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R. D˘c biˆt l` (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. a ea . . Dˆi v´.i sˆ ph´.c z = (a, b): ´ ´ ooo u 1+ Sˆ thu.c a du.o.c goi l` phˆn thu.c a = Re z , sˆ thu.c b goi l` phˆn . .a ` .a ` ´ ´ o. a o. a . ’ ay e a ao v` k´ hiˆu l` b = Im z . . 2 Sˆ ph´.c z = (a, −b) goi l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z + ´ ´ ´ ou . ao u e . oo u def. l` c´ch viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh definition (dinh ngh˜ 1 ´´ ´ ea’ue aa ıa) .
  9. Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ 8 ou Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c ´ ´u .o’ 1.2 o . Moi sˆ ph´.c z = (a; b) ∈ C d` u c´ thˆ viˆt du.´.i dang ’´ ´ .ou ˆoee e o. z = a + ib. (1.1) Thˆt vˆy, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib aa .. ’u th´.c (1.1) goi l` dang dai sˆ cua sˆ ph´.c z = (a, b). T`. (1.1) ´ ´ .o’ o u Biˆ e u .a. u .c liˆn ho.p ta c´ z = a − ib. ´ v` dinh ngh˜ sˆ ph´ e . a. ıa o u o Du.´.i dang dai sˆ c´c ph´p t´nh trˆn tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c thu.c ´ ´ o. . oa eı ea .ou . . . ´ hiˆn theo c´c quy t˘c sau. e a a . Gia su. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´ ’’ o (I) Ph´p cˆng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ). eo . (II) Ph´p nhˆn: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ). e a z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1 (III) Ph´p chia: e = +i 2 · 2 2 a1 + b2 z1 a1 + b1 1 CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. 1+ T´ in . T`. d´ ch´.ng minh r˘ng ` ı. ınh uo u a a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1. 2+ T` sˆ nguyˆn n nˆu: ´ ´ ım o e e a) (1 + i)n = (1 − i)n ; 1+i n 1−i n b) √ +√ = 0. 2 2 Giai. 1+ Ta c´ i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v` ’ o a .a b˘t dˆu l˘p lai. Ta kh´i qu´t h´a. Gia su. n ∈ Z v` ´a. u a`a. ’’ gi´ tri l˜y th` a .u a ao a n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´ o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir
  10. 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c ´ ´ .o’ o u 9 . (v` i4 = i). T`. d´, theo kˆt qua trˆn ta c´ ´ ’e ı uo e o  1 ´ nˆu n = 4k, e     i ´ nˆu n = 4k + 1, e in = (1.2) −1 nˆu n = 4k + 2, ´  e     ´ −i nˆu n = 4k + 3. e T`. (1.2) dˆ d`ng suy ra a) v` b). ˜a u e a . hˆ th´.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra + 2 a) T` e u u. 1+i n = 1. 1−i 1+i 1+i n Nhu.ng = in = 1 ⇒ n = 4k , k ∈ Z. = i nˆn e 1−i 1−i 1+i n 1−i n 1+i n b) T`. d˘ng th´.c √ ’ ` +√ ua u = 0 suy r˘ng a = −1 1−i 2 2 v` do d´ in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z. a o V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu n l` bˆi cua 3 th` ` ´ ao ’ ı. u a e ı . √ √ −1 + i 3 n −1 − i 3 n + =2 2 2 ´ ´ v` nˆu n khˆng chia hˆt cho 3 th` ae o e ı √ √ −1 + i 3 −1 − i 3 n n + = −1. 2 2 Giai. 1+ Nˆu n = 3m th` ´ ’ e ı √ √ −1 + i 3 3 m −1 − i 3 3 m S= + 2√ 2 √ √ √ −1 + 3i 3 + 9 − 3i 3 m −1 − 3i 3 + 9 + 3i 3 m = + 8 8 m m = 1 + 1 = 2.
  11. Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ 10 ou 2+ Nˆu n = 3m + 1 th` ´ e ı √ √ √ √ −1 + i 3 3 m −1 + i 3 −1 − i 3 1−i 3 3m S= + 2 2 2 2 √ √ −1 + i 3 −1 − i 3 = + = −1. 2 2 Tu.o.ng tu. nˆu n = 3m + 2 ta c˜ng c´ S = −1. ´ .e u o V´ du 3. T´ biˆu th´.c ’ ı. ınh e u 22 2n 1+i 1+i 1+i 1+i 2 σ = 1+ 1+ 1+ ··· 1 + . 2 2 2 2 1+i Giai. Nhˆn v` chia biˆu th´.c d˜ cho v´.i 1 − ’ ’ aa e ua o ta c´ o 2 1 + i 2n 1 + i 2n+1 2 1− 1− 2 2 σ= = · 1+i 1+i 1− 1− 2 2 ` ınh Ta cˆn t´ a n i2 2n+1 2 2n 2n 1+i 1 1+i i = = = 2n = 2n · 2 2 2 2 2 Do d´ o 1 1 1− 2 1 − 2n 1+i 2n 2 2 σ= = × 1+i 1−i 1+i 1− 2 1 = 1 − 2n (1 + i) 2 √ V´ du 4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c 4 − 3i du.´.i dang dai sˆ. ’ ˜ou e´ ´ ı. e o. .o Giai. Theo dinh ngh˜a ta cˆn t` sˆ ph´.c w sao cho w2 = 4 − 3i. ` ım o u´ ’ ı a . ´ Nˆu w = a + bi, a, b ∈ R th` e ı 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.
  12. 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c ´ ´ .o’ o u 11 . T`. d´ uo a2 − b2 = 4, (1.3) 2ab = −3. (1.4) 3 T`. (1.4) ta c´ b = − . Thˆ v`o (1.3) ta thu du.o.c ´ u o ea . 2a 4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2 √ 8 + 100 8 + 10 18 9 u1 = = = =, 4 4 4 2 ⇐⇒ √ 8 − 100 8 − 10 1 u2 = = =− · 4 4 2 9 V` a ∈ R nˆn u ı e 0⇒u= v` do vˆy a a . 2 3 1 a = ±√ ⇒ b = √· 2 2 T`. d´ ta thu du.o.c uo . 1 3 w1,2 = ± √ − √ i 2 2 V´ du 5. Biˆu diˆn sˆ ph´.c ’ ˜ou e´ ı. e √ √ 5 + 12i − 5 − 12i z=√ √ 5 + 12i + 5 − 12i √ √ v´.i diˆu kiˆn l` c´c phˆn thu.c cua 5 + 12i v` 5 − 12i d` u ˆm. o` ` ’ e e aa a a ˆa e . . .o.ng ph´p giai trong v´ du 4 ta c´ ’´ ’ Giai. Ap dung phu a ı. o . √ 5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi  x2 − y 2 = 5, ⇐⇒ 2xy = 12.
  13. Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ 12 ou ` ` Hˆ n`y c´ hai nghiˆm l` (3; 2) v` (−3; −2). Theo diˆu kiˆn, phˆn ea o e a a e e a . . . .c cua √5 + 12i ˆm nˆn ta c´ √5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. ta thu ’ a e o . . √ .o.c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆy t`m du . ı a . −3 − 2i − (−3 + 2i) 2 z= =i −3 − 2i + (−3 + 2i) 3 z−1 V´ du 6. Gia su. z = a + ib, z = ±1. Ch´.ng minh r˘ng w = ` ’’ ı. u a l` a z+1 sˆ thuˆn ao khi v` chı khi a2 + b2 = 1. `’ ´ a’ o a ’ Giai. Ta c´ o a2 + b2 − 1 (a − 1) + ib 2b w= = +i · 2 + b2 (a + 1)2 + b2 (a + 1) + ib (a + 1) T`. d´ suy r˘ng w thuˆn ao khi v` chı khi ` `’ a’ uo a a a2 + b2 − 1 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1. (a + 1)2 + b2 ` ˆ BAI TAP . T´ ınh (1 + i)8 − 1 15 1. · (DS. ) (1 − i)8 + 1 17 (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 11 2. · (DS. − i) (2 − i)2 − (2 + i)2 4 (3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) 14 3. − · (DS. − ) 2+i 2−i 5 22 2n 1−i 1−i 1−i 1−i 2 1+ √ 1+ √ 1+ √ ··· 1 + √ 4. . 2 2 2 2 (DS. 0) ’˜ ´ ’ı. Chı dˆ n. Ap dung c´ch giai v´ du 3. a a . 5. Ch´.ng minh r˘ng ` u a z1 z1 a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c) = ; z2 z2
  14. ’ ˜ ınh . 1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 13 n d) z n = (z ) ; e) z + z = 2Re z ; g) z − z = 2Im z . 6. V´.i gi´ tri thu.c n`o cua x v` y th` c´c c˘p sˆ sau dˆy l` c´c c˘p .´ a’ oa.. a ıa a o a aa a . .c liˆn ho.p: ´ sˆ ph´ e . ou 1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y )i v` −y 2 + 2y + 11 − 4i; a 2) x + y 2 + 1 + 4i v` ixy 2 + iy 2 − 3 ? a (DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5) 7. Ch´.ng minh r˘ng z1 v` z2 l` nh˜.ng sˆ ph´.c liˆn ho.p khi v` chı ` ´ a’ u a a au oue . .ng sˆ thu.c. ´ khi z1 + z2 v` z1z2 l` nh˜ a au o. 8. T´ ınh: √ 1) −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i)) √ 2) 24 + 10i. (DS. ±(5 + i)) √ 3) 24 − 10i. (DS. ±(5 − i)) √ √ √ √ 4) 1 + i 3 + 1 − i 3. (DS. ± 6, ±i 2) 9. Ch´.ng minh r˘ng ` u a 2 4 6 8 1) 1 − C8 + C8 − C8 + C8 = 16; 2 4 6 8 2) 1 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16; 1 3 5 7 9 3) C9 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16. Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton dˆi v´.i (1 + i)8 v` ’˜ ´ ´ a o u .u oo a . 9 (1 + i) . ’ ˜ 1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆdun v` acgu- e e ınh . o a men Mˆ i sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ d˘t tu.o.ng u.ng v´.i diˆm M (a; b) cua ˜´ ’. ’ ’ oo u o ea ´ oe .o.c lai mˆ i diˆm M (a; b) cua m˘t ph˘ng d` u ’ ’ ˜ ’ ’ m˘t ph˘ng toa dˆ v` ngu . . a a . oa oe a a ˆ e . . . tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib. Ph´p tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp l` ´ ´ oo u e ´ . aaa . .n tri mˆt - mˆt. Ph´p tu.o.ng u.ng d´ cho ph´p ta xem c´c sˆ ph´.c ´ do .o o e ´ o e aou . . . l` c´c diˆm cua m˘t ph˘ng toa dˆ. M˘t ph˘ng d´ du.o.c goi l` ’ ’ ’ ’ nhu a a e a a .o a a o .a . . . . m˘t ph˘ng ph´.c. Truc ho`nh cua n´ du.o.c goi l` Truc thu.c, truc tung ’ ’o a a u a . .a . . . . .
  15. Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ 14 ou du.o.c goi l` Truc ao. Thˆng thu.`.ng sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ xem ’ ´ . a −→ . ’ o o ou oe . . vecto. OM . Mˆ i vecto. cua m˘t ph˘ng v´.i diˆm dˆu O(0, 0) v` ’ ˜ ’` ’ nhu o a a o e a a . diˆm cuˆi tai diˆm M (a; b) d` u tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib v` ’ ’ ´ ´ e o. e ˆ e ´ oo u a .o.c lai. ngu . . Su. tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp gi˜.a tˆp ho.p sˆ ph´.c C v´.i tˆp ho.p ´ ´ . aa ua .ou oa . . . . . . m˘t ph˘ng cho ph´p goi c´c sˆ ph´.c l` diˆm ’ ’ ’ ´ c´c diˆm hay c´c vecto a a e a a e.aouae . .. hay vecto V´.i ph´p biˆu diˆn h`nh hoc sˆ ph´.c, c´c ph´p to´n cˆng v` tr`. ’ ˜ı ´ o e e e .ou a e ao au . c´c sˆ ph´.c du.o.c thu.c hiˆn theo quy t˘c cˆng v` tr`. c´c vecto.. ´o ´ aou e a. aua . . . Gia su. z ∈ C. Khi d´ dˆ d`i cua vecto. tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z ´ ’’ ooa ’ ´ oo u . du.o.c goi l` mˆdun cua n´. ’o .ao . ´ Nˆu z = a + ib th` e ı √ √ a2 + b2 = z z. r = |z | = G´c gi˜.a hu.´.ng du.o.ng cua truc thu.c v` vecto. z (du.o.c xem l` g´c ’ ou o .a ao . . .o.ng nˆu n´ c´ dinh hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim d` ng hˆ) du.o.c goi l` ´ ` ` du e oo. o e o ˆ o .a . . .i sˆ z = 0 acgumen khˆng x´c dinh. ´ oo´ ´ ’o acgumen cua sˆ z = 0. Dˆi v´ o o a. Kh´c v´.i mˆdun, acgumen cua sˆ ph´.c x´c dinh khˆng do.n tri, n´ ´ ’oua. ao o o .o .i su. sai kh´c mˆt sˆ hang bˆi nguyˆn cua 2π v` .´ e’ x´c dinh v´ . a. o a oo. o a . k ∈ Z, Arg z = arg z + 2kπ, trong d´ arg z l` gi´ tri ch´ cua acgumen du.o.c x´c dinh bo.i diˆu ` a a . ınh ’ ’ o a. e . kiˆn −π < arg z π ho˘c 0 arg z < 2π . e a . . .c v` phˆn ao cua sˆ ph´.c z = a + ib du.o.c biˆu diˆn qua ’ ˜ Phˆn thu a ` ’ ` ´ ’ou a a e e . . mˆdun v` acgument cua n´ nhu. sau ’o o a  a = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
  16. ’ ˜ ınh . 1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 15 Nhu. vˆy, acgumen ϕ cua sˆ ph´.c c´ thˆ t`m t`. hˆ phu.o.ng tr` ’ ´ ’ o u o eı a ue ınh . .  cos ϕ = √ a ,  a2 + b2 sin ϕ = √ b  · a2 + b2 CAC V´ DU ´ I . x − y 2 + 2xyi 2 ´ ’o V´ du 1. T` mˆdun cua sˆ z = √ ı. ım o · xy 2 + i x4 + y 4 ’ Giai. Ta c´ o x2 + y 2 (x2 − y 2 )2 + (2xy )2 |z | = =2 = 1. √ x + y2 2+( 4 + y 4 )2 (xy 2) x V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng ∀ z1, z2 ∈ C ta d` u c´: ` ı. u a ˆo e (i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2. ’ Giai. (i) Ta c´o |z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ). V` −|z1z2 | ı Re(z1 z 2) |z1z2| nˆn e |z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 |. (ii) V` |z2 | = | − z2| nˆn ı e |z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|. (iii) Ap dung (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v` thu du.o.c ´ a . . |z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.
  17. Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ 16 ou (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|. Nhˆn x´t. C´c bˆt d˘ng th´.c (iii) v` (iv) c`n c´ thˆ viˆt du.´.i ´’ ’´ ae aaa u a ooee o . dang . (iii)∗. |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗. |z1 − z2 | |z1| − |z2| . Thˆt vˆy ta c´ |z1 + z2| |z1| − |z2| v` |z1 + z2| |z2| − |z1 |. C´c aa o a a .. vˆ phai kh´c nhau vˆ dˆu do d´ nˆu lˆy vˆ phai du.o.ng th` thu du.o.c ´’ ´´´’ `a e´ e a oea e ı . .c (iv)∗ thu du.o.c t`. (iii)∗ b˘ng c´ch thay z2 bo.i ´’ ∗ ` ’ (iii) . Bˆt d˘ng th´ aa u .u a a −z2. V´ du 3. Ch´.ng minh d` ng nhˆt th´.c ´ ı. u o ˆ a u |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2). Giai th´ y ngh˜ h`nh hoc cua hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh. ’ .’euau ıch ´ ıa ı . . z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 . Khi d´ ’ ’’ Giai. Gia su o z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2), z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ), |z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 , |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 . T`. d´ thu du.o.c uo . |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 + y1 )2 + 2(x2 + y2 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2). 2 1 2 T`. hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh suy r˘ng trong mˆ i h` b`nh h`nh tˆng c´c ˜ ’ ` ueu a u a o ınh ı a o a . b` phu.o.ng dˆ d`i cua c´c du.`.ng ch´o b˘ng tˆng c´c b` phu.o.ng ’ e` oa ’ a ınh o a o a ınh . oa ’ a . ’o dˆ d`i cua c´c canh cua n´. . V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3| th` ` ´ ı. u a e ı z3 − z2 1 z2 arg = arg · z3 − z1 2 z1 Giai. Theo gia thiˆt, c´c diˆm z1 , z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n ’ ´ ` ’ ’ ea e a a e o o .i tˆm tai gˆc toa dˆ. Ta x´t c´c vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v` ´ n`o d´ v´ a a oo .o.o ea a . z2 (h˜y v˜ h` a e ınh).
  18. ’ ˜ ınh . 1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 17 B˘ng nh˜.ng nguyˆn do h` hoc, dˆ thˆy r˘ng ˜aa ` e´` a u e ınh . z3 − z2 arg = arg(z3 − z2 ) − arg(z3 − z1) z3 − z1 v` g´c n`y nh` cung tr`n nˆi diˆm z1 v` z2 v` g´c o. tˆm ´’ ao’a ao a ın ooe a z2 arg = argz2 − argz1 z1 ´ o ’ ınh . c˜ng ch˘n ch´ cung tr`n d´. Theo dinh l´ quen thuˆc cua h` hoc u a ınh oo y . . . cˆp ta c´ ´ so a o z3 − z2 1 z2 arg = arg · z3 − z1 2 z1 V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3 | = 1 v` z1 +z2+z3 = 0 ` ´ ı. u a e a ’ .´ th` c´c diˆm z1, z2 v` z3 l` c´c d’nh cua tam gi´c d` u nˆi tiˆp trong ’ ıa e a aa ı aˆoee du.`.ng tr`n do.n vi. o o . Giai. Theo gia thiˆt, ba diˆm z1, z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n ’ ´ ` ’ ’ e e a a e o o .n vi. Ta t` dˆ d`i cua c´c canh tam gi´c. ım o a ’ a . do . a . + 1 T` dˆ d`i |z1 − z2|. Ta c´ ım o a o . |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 = x2 + y1 + x2 + y2 − (2x1 x2 + 2y1 y2) 2 2 1 2 = 2(x2 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2] 2 2 1 2 = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2. Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v` |z1 + z2| = |z3|. Do d´ a o |z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3 v` t`. do au ´ √ |z1 − z2| = 3 . √ √ 2+ Tu.o.ng tu. ta c´ |z2 − z3 | = 3, |z3 − z1 | = 3. T`. d´ suy ra o uo . tam gi´c v´.i d’nh z1 , z2, z3 l` tam gi´c d` u. aoı a aˆ e
  19. Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ 18 ou V´ du 6. V´.i diˆu kiˆn n`o th` ba diˆm kh´c nhau t`.ng dˆi mˆt z1, ’ o` ı. e ea ı e a u oo . . .`.ng th˘ng. ’ ` z2 , z3 n˘m trˆn mˆt du o a e o a . ´u c´c diˆm z1, z2, z3 n˘m trˆn du.`.ng th˘ng cho tru.´.c ’ ’ + ` ’ Giai. 1 Nˆ a e e a e o a o . di t`. z2 dˆn z1 c´ hu.´.ng nhu. cua vecto. di t`. diˆm z3 dˆn ’ ´ ´ ’ th` vecto ı u e o o ue e z1 ho˘c c´ hu.´.ng ngu.o.c lai. Diˆu d´ c´ ngh˜ l` c´c g´c nghiˆng cua ` oo ’ aoo e ıa a a o e . .. c´c vecto. n`y dˆi v´.i truc thu.c ho˘c nhu. nhau ho˘c sai kh´c g´c π . ´ a aoo a a ao . . . . .ng khi d´ ta c´ Nhu o o arg(z1 − z2 ) = arg(z1 − z3 ) + kπ, k = 0, 1. T`. d´ suy ra uo z1 − z2 arg = arg(z1 − z2 ) − arg(z1 − z3) = kπ, k = 0, 1. z1 − z3 z1 − z2 Nhu. vˆy sˆ ph´.c c´ acgumen b˘ng 0 ho˘c b˘ng π , t´.c l` sˆ ` .` .´ ´ aou o a aa u ao z1 − z3 z1 − z2 l` sˆ thu.c. Diˆu kiˆn thu du.o.c l` diˆu kiˆn cˆn. ` .a` e` ´ ao . e e e .a . z1 − z3 2+ Ta ch´.ng minh r˘ng d´ c˜ng l` diˆu kiˆn du. Gia su. ` a` e’ ’’ u a ou e . z1 − z2 α ∈ R. = α, z1 − z3 z1 − z2 = 0. Hˆ th´.c n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ th´.c Khi d´ Im o eua oeu . . z1 − z3 y1 − y3 x1 − x3 = · (1.5) y1 − y2 x1 − x2 Phu.o.ng tr` du.`.ng th˘ng qua diˆm (x1, y1) v` (x2, y2 ) c´ dang ’ ’ ınh o a e a o. y − y1 x − x1 = · (1.6) y2 − y1 x2 − x1 T`. (1.5) v` (1.6) suy ra diˆm (x3 , y3) n˘m trˆn du.`.ng th˘ng d´. ’ ’ ` u a e a e o a o V´ du 7. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c thoa m˜n c´c ’ ’ ’ ı. a. a. e e a a u aa . . ` diˆu kiˆn: e e .
  20. ’ ˜ ınh . 1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 19 1) |z − 2| + |z + 2| = 5; 2) |z − 2| − |z + 2| > 3; 3) Re z c; 4) Im z < 0. Giai. 1) D˘ng th´.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´c dinh qu˜ t´ nh˜.ng ’ ’ a u a. y ıch u ’ ng m` tˆng khoang c´ch t`. d´ dˆn hai diˆm cho ’ ’ ’ ´ ’ ’ diˆm cua m˘t ph˘ e a a ao a uoe e . .´.c F1 = −2 v` F2 = +2 l` h˘ng sˆ b˘ng 5. Theo dinh ngh˜a trong a` ´` tru o a a oa ı . 5 h` hoc giai t´ d´ l` du.`.ng ellip v´.i b´n truc l´.n b˘ng v` tiˆu ` ’ ıch o a o ınh . oa .o a ae 2 ’ diˆm ±2. e ’ ’ ` ’ ’ 2) Qu˜ t´ c´c diˆm cua m˘t ph˘ng C thoa m˜n diˆu kiˆn y ıch a e a a a e e . . .`.ng hypecbˆn. D˘ng th´.c ’ |z − 2| − |z + 2| = 3 l` du o a o a u |z − 2| − |z + 2| = 3 x´c dinh nh´nh bˆn tr´i cua du.`.ng hypecbˆn v` bˆt d˘ng th´.c ´’ a’ a. a e o o aa a u ` ’ |z − 2| − |z + 2| > 3 x´c dinh phˆn trong cua nh´nh d´. a. a a o .a m˘t ph˘ng bˆn phai du.`.ng th˘ng ’ ’ oa ’ ’ 3) Rez c ⇒ x c. D´ l` nu a a e o a . .`.ng th˘ng x = c). ’ ’ e’ x = c (kˆ ca du o a 4) V` Im z = y ⇒ Im z < c ⇒ y < c. D´ l` nu.a m˘t ph˘ng du.´.i ’ oa ’ ı a a o . .`.ng th˘ng y = c (khˆng kˆ du.`.ng th˘ng d´). ’ ’ ’ du o a o eo a o V´ du 8. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c C du.o.c cho ’ ’ ı. a. a e e a a u . . . . .i diˆu kiˆn: bo ` ’ e e . 1) |z | = Rez + 1; 2) |z − 1| 2|z − i|; 3) |z − 2 + i|u2 − 2|z − 2 + i|u + 1 > 0 ∀ u ∈ R. 1 4) log3(2 + |z 2 + i|) + log27 = 0. (2 + |z 2 − i|)3 Giai. 1) Gia su. z = x + iy . Khi d´ t`. diˆu kiˆn ou ` ’ ’’ e e . x2 + y 2 = x + 1 ⇒ y 2 = 2x + 1. |z | = Rez + 1 ⇒
nguon tai.lieu . vn