Xem mẫu
- Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Simpo PDF MergeÖÙng Duïng.Unregistered Version - http://www.simpopdf.com _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Boä moân Toaùn and Split Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 10
Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính
Thôøi gian: 90 phuùt
2 1 −1
Caâu 1 : Tính det( A) , vôùi I laø ma traän ñôn vò caáp 3 vaø A = 3 4 .
100
0
−2 5 2
Caâu 2 : Trong khoâng gian I 3 vôùi tích voâ höôùng chính taéc cho hai khoâng gian con
R
F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + 2 x2 − x3 = 0 } vaø G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >.
Tìm chieàu vaø moät cô sôû cuûa ( F ∩ G) ⊥ .
Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong cô sôû
R R
2 2 −2
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } laø A = 1 3 −1 .
−1 1 1
Tìm m ñeå veùctô ( 2 , 1 , m) laø veùctô rieâng cuûa f .
Caâu 4 : Tìm chieàu vaø moät cô sôû tröïc chuaån cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä
x +y + z+ t = 0
2x + 3y + 4z − t = 0
3x + 5y + 7z − 3t = 0
4x + 7y +1 0z − 5t = 0
Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 2 −→ I 2 , bieát
R R
f( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ;
f ( 1 , −1 ) = ( 9 , −1 ) .
Tìm cô sôû cuûa I 2 sao cho ma traän cuûa f trong cô sôû ñoù laø ma traän cheùo D. Tìm D.
R
Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 thoaû
R R
∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ I 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) = ( 3 x1 + x2 − x3 , 2 x1 − x2 + 2 x3 , x1 − x2 + 2 x3 ) .
R
Tìm ma traän A cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) }.
−1 1 6
Caâu 7 : Cho ma traän vuoâng caáp 2 A = .
−2 0 11
Tìm ma traän B sao cho B 2010 = A.
Caâu 8 : Chöùng minh raèng A laø ma traän vuoâng caáp n khaû nghòch khi vaø chæ khi λ = 0 khoâng laø trò rieâng
1
cuûa A. Giaû söû λ0 laø trò rieâng cuûa ma traän A, chöùng toû laø trò rieâng cuûa A−1
λ0
Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh
- ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010
Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu.
Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu.
HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN
CA 1
7 4 16
Caâu 1 : Cho ma traän A = 2 8 . Tính A2010 , bieát A coù hai trò rieâng laø 1 vaø 3 .
5
−2 −2 −5
Caâu 2 : Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình
x1 + x2 − x3 − 2 x4 =0
2x + x2 − 3 x3 − 5 x4 =0
1
3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 =0
5 x1 + 3 x2 − 7 x3 − 1 2 x4 =0
Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc laø
R R
2 1 −1
. Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }.
A= 1 3 4
−1 1 0
Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû
R R
2 1 −1
E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A = 3 4 . Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa kerf .
2
4 3 9
Caâu 5 : ChoA laø ma traän vuoâng tuøy yù, thöïc, caáp n, thoaû A10 = 0 . Chöùng toû raèng A cheùo hoaù ñöôïc khi
vaø chæ khi A laø ma traän khoâng.
1 −2 3
Caâu 6 : Tìm m ñeå ma traän A = −2 1 coù ba trò rieâng döông (coù theå truøng nhau).
5
3 1 m
√ √
Caâu 7 : Trong heä truïc toaï ñoä Oxy cho ñöôøng cong ( C ) coù phöông trình 5 x2 +2 xy +5 y 2 −2 2 x+4 2 y = 0 .
Nhaän daïng vaø veõ ñöôøng cong ( C ) .
Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 1
Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 ñieåm; caâu 7: 1.0 ñieå . m
−2 −1 −4 1 0 0
Caâu 1(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän ( 1ñ) A = P DP ; P = −1 0 . D = 0 0 .
−1
1 3
1 0 1 0 0 3
1 1 4 1 0 0
= P D P , tính ra ñöôïc P = 1 4 ; D .
2010
2010 2010 −1 −1 2010
2 = 0 3 0
A
2010
−1 −1 −3 0 0 3
Caâu 2 (1.5ñ). Tìm moät cô sôû tuøy yù cuûa khoâng gian nghieäm: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Duøng quaù trình Gram-Schmidt ñöa veà cô sôû tröïc giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Chuaån hoùa, coù cô sôû tröïc chuaån: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 1 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
67
-
1 1 1
Simpo PDF Merge and Splitcaùch laøm. Ma traän chuyeåhttp://www.simpopdf.comE laø: P = 2
Caâu 3 (1.5ñ). Coù nhieàu Unregistered Version - n cô sôû töø chính taéc sang 1 1
1 2 1
8 11 6
Ma traän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong cô sôû E laø B = P −1 AP = −2 −1 −2
−3 −9 −2
Caâu 4(1.5ñ) . Giaû x ∈ Kerf ; [x = ( x1 , x2 , 3 ) . Khi f ( x) = 0 ⇔ [f ( x) ]E = 0 ⇔ A · [x]E = 0
söû ñoù
T
]E x
2 1 −1 x1 0 6α
4 x2 = 0 ⇔ [x]E = −1 1 α ⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) .
⇔3 2
43 9 x3 0 α
Dim( Kerf ) = 1 , cô sôû: ( 1 0 , −7 , 4 ) .
Caâu 5 (1.5ñ). Vì A10 = 0 neân A chæ coù moät trò rieâng laø λ = 0 (theo tính chaát, neáu λ0 laø TR cuûa A,
thì λ10 laø TR cuûa A10 . A cheùo hoùa ñöôïc ⇔ A = P · D · P −1 , D laø ma traän 0 neân A = 0 .
0
Caâu 6 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc coù ba trò rieâng döông, suy ra daïng toaøn phöông töông öùng xaùc
ñònh döông ( hay ma traän ñaõ cho xaùc ñònh döông). Theo Sylvester, A xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi
caùc ñònh thöùc con chính döông ⇔ δ1 = 1 > 0 , δ 2 = 1 > 0 , δ3 = det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 .
51
Caâu 7(1.0ñ). Xeùt daïng toaøn phöông 5 x2 + 2 x1 x2 + 5 x2 coù ma traän A = . Cheùo hoùa tröïc
1 2
15
1 1 −1 60
giao ma traän A bôûi ma traän tröïc giao P = √ vaø ma traän cheùo D =
1 1 04
2
1 1 −1 1
Ñöôøng cong ( C ) coù ptrình trong heä truïc Ouv vôùi hai veùctô cô sôû laø √ , √ , √ , √ laø:
2 2 2 2
6 ( u + 1 ) 2 + 4 ( v + 3 ) 2 = 11 . Ñaây laø ñöôøng cong ellipse. Heä truïc Ouv thu ñöôïc töø heä Oxy baèng caùch
6 4 12
quay 1 goùc 4 5 ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà.
o
- ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010
Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu.
Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu.
HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN
CA 2
7 −3
Caâu 1 : a/ Cho ma traän A = .
10 −4
a/ Cheùo hoaù ma traän A.
b/ AÙp duïng, tìm ma traän B sao cho B 20 = A.
Caâu 2 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû
R R
1 2 0
E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A = 2 1 −1 .
3 0 2
Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc .
3 2 2
Caâu 3 : Cho ma traän A = −3 −3 . Tìm trò rieâng, cô sôû cuûa caùc khoâng gian con rieâng cuûa
−2
2 2 3
ma traän A .
6
−5 3 3
Caâu 4 : Tìm m ñeå vectô X = ( 2 , 1 , m) laø veùctô rieâng cuûa ma traän A = −3 3 .
T
1
−3 3 1
1 3 −2
Caâu 5 : Tìm m ñeå ma traän A = 3 −4 coù ñuùng hai trò rieâng döông vaø moät trò rieâng aâm.
m
−2 −4 6
Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laø pheùp quay trong heä truïc toaï ñoä Oxy quanh goác toïa ñoä CUØNG chieàu
kim ñoàng hoà moät goùc 6 0 o . Tìm aùnh xaï tuyeán tính f . Giaûi thích roõ.
Caâu 7 : Cho A laø ma traän vuoâng caáp n. Chöùng toû raèng A khaû nghòch khi vaø chæ khi λ = 0 KHOÂNG laø
trò rieâng cuûa A.
1
Khi A khaû nghòch chöùng toû raèng neáu λ laø trò rieâng cuûa A, thì laø trò rieâng cuûa A−1 .
λ
Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 2
Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 ñieåm; caâu 7: 1.0 ñieåm.
31 20
Caâu 1(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän ( 0.5ñ) A = P DP −1 ; P = . D= .
52 01
Ta coù A = P · D · P −1 . Giaû söû B = Q · D1 · Q−1 , ta coù B 20 = Q · D1 · Q−1 = A. Choïn Q = P vaø
20
√
20
2 0
. Vaäy ma traän B = P · D1 · P −1
√
D1 = 20
0 1
Caâu 2 (1.5ñ). Coù nhieàu caùch laøm. Goïi ma traän chuyeån cô sôû töø E sang chính taéc laøP . Khi ñoù ma
111
traän chuyeån cô sôû töø chính taéc sang E laø : P −1 = 2 1 1 Ma traän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong
121
-
−6 52
cô PDF Merge and Split −1 AP = −9 Version - http://www.simpopdf.com
sôû chính taéc laø B = P Unregistered 6 4
Simpo
−1 2 8 4
Caâu 3 (1.5ñ). Giaû söû λ0 laø trò rieâng cuûa A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 . Khi ñoù
A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 · A5 · x0 = · · · = λ6 · x0 . 0
Laäp ptrình ñaëc tröng, tìm ñöôïc TR cuûa A: λ1 = 1 , λ2 = 2 ,
Cô sôû cuûa Eλ1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, cuûa Eλ2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }.
TR cuûa A6 : δ1 = 1 6 , δ2 = 2 6 , Cô sôû cuûa: Eδ1 : {( −1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , ) }, cuûa Eδ2 : ( 2 , −3 , 2 ) T }.
1T
1, {
−5 3 3 2 2
Caâu 4 (1.5ñ). x laø VTR cuûa A ⇔ A · x = λ · x ⇔ −3 1 3 1 = λ · 1 ⇔ m = 1
−3 3 1 m m
Caâu 5 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc. Daïng toaøn phöông töông öùng f ( x, x) = x1 + mx2 + 6 x2 + 2
2 3
6 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3 . Ñöa veà chính taéc baèng bieán ñoåi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + 3 x2 − 2 x3 ) 2 +
2 ( x3 + x2 ) 2 + ( m − 1 1 ) x2 . Ma traän A coù moät TR döông, 1 TR aâm ⇔ m < 1 1 .
3
Caâu 6 (1.5ñ). f : I −→ I 2 . f ñöôïc xaùc ñònh hoaøn toaøn neáu bieát aûnh cuûa moät cô sôû cuûa I 2 .
2
R R R
Choïn cô sôû chính taéc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }.
√
√ √ √
Khi ñoù f ( 1 , 0 ) = ( 1 , −2 3 ) ,f ( 0 , 1 ) = ( 23 , 1 ) . f ( x, y ) = ( x + y 2 3 , −x2 3 + y )
2 2 2 2
Caâu 7 (1.0ñ). A khaû nghòch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 khoâng laø TR cuûa A. Giaû söû λ0 laø TR cuûa A
⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = λ0 · x0 (vì λ0 = 0 ) → ñpcm.
1
- ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010
Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu.
Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu.
HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN
CA 3
Caâu 1 : Trong khoâng gian I 4 vôùi tích voâ höôùng chính taéc, cho khoâng gian con
R
F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 + x2 − x3 − 2 x4 = 0 & 2 x1 + x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0 & 3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 = 0 }
Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa F .
Caâu 2 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuû f trong cô sôû
a
R R
−1 4 −2
E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A = −3 4 0 .
−3 1 3
Cheùo hoaù aùnh xaï tuyeán tính f .
Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû
R R
1 1 2
E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A = 2 0 .
3
3 5 −4
Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa Imf .
Caâu 4 : Cho A vaø B laø hai ma traän ñoàng daïng. Chöùng toû raèng A cheùo hoaù ñöôïc khi vaø chæ khi B cheùo
hoaù ñöôïc.
1 4 −1
Caâu 5 : Tìm m ñeå ma traän A = 4 m 2 coù ít nhaát moät trò rieâng aâm.
−1 2 4
Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( −x2 + 2 x3 , −2 x1 + x2 +
R R
2 x3 , x1 − x2 + x3 ) . Tìm m ñeå veùctô x = ( 2 , 2 , m) laø veùctô rieâng cuûa f .
Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laø pheùp ñoái xöùng trong heä truïc toaï ñoä Oxy qua ñöôøng thaúng 2 x − 3 y = 0 .
Tìm taát caû caùc trò rieâng vaø cô sôû cuûa caùc khoâng gian con rieâng cuûa f . Giaûi thích roõ.
Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 3
Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 ñieåm; caâu 4: 1.0 ñieåm.
Caâu 1(1.5ñ). Tìm moät cô sôû tuøy yù cuûa F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Duøng quaù trình Gram-Schmidt ñöa veà cô sôû tröïc giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 )}
Chuaån hoùa, coù cô sôû tröïc chuaån: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 1 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
67
211 2 0 0
Caâu 2(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän (1.0 ñ) A = P · D · P −1 , P = 3 1 3 . D = 0 .
0 1
314 003
Cô sôû caàn tìm laø B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma traän cuûa f trong B laø D. Caùc coät cuûa P
laø caùc VTR cuûa A, phaûi ñoåi sang cô sôû chính taéc!!
Caâu 3(1.5ñ). Dim(Imf ) = r( A) = 3 ; Im( f ) =< f ( E ) >=< f ( 1 , 0 , 1 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) , f ( 1 , 1 , 1 ) >=
- =< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cô sôû cuûa Im( f ) laø {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Caùch
Simpo PDF Merge and Split A) = 3 , neân Im( f ) laø I - 3http://www.simpopdf.com sôû chính taéc cuûa I 3 .
khaùc: Vì Dim(Imf ) = r( Unregistered VersionR vaø cô sôû cuûa Im( f ) laø cô R
Caâu 4(1.0ñ). A ñoàng daïng B ⇔ ∃Q : B = Q · A · Q. Giaû söû A cheùo hoùa ñöôïc ⇔ A = P · D · P −1 .
−1
Khi ñoù B = Q−1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) · D · ( P −1 Q) ⇔ B = G−1 · D · G →ñpcm.
−1
Caâu 5 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc. Daïng toaøn phöông töông öùng f ( x, x) = x2 + mx2 + 4 x2 + 1 2 3
8 x1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 . Ñöa veà chính taéc baèng bieán ñoåi Lagrange
f ( x, x) = ( x1 + 4 x2 − x3 ) 2 + 3 ( x3 + 2 x2 ) 2 + ( m − 2 8 ) x2 . A coù moät TR aâm ⇔ m < 2 8 .
2
Caâu 6 (1.5ñ). x laø VTR cuûa f ⇔ f ( x) = λ · x ⇔ ( f ( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m)
⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2
Caâu 7 (1.5ñ).f : I 2 −→ I 2 . VTR laø veùctô qua pheùp bieán ñoåi coù aûnh cuøng phöông vôùi veùctô ban
R R
ñaàu. Caùc veùctô cuøng phöông vôùi veùctô chæ phöông a = ( 3 , 2 ) cuûa ñöôøng thaúng laø taát caû caùc VTR
töông öùng vôùi TR λ1 = 1 ; caùc veùctô cuøng phöông vôùi veùctô phaùp tuyeán n = ( 2 , −3 ) cuûa ñöôøng
thaúng laø taát caû caùc VTR töông öùng vôùi λ2 = −1 . Vì f laø axtt cuûa khoâng gian 2 chieàu neân khoâng
coøn VTR khaùc. Kluaän: Cô sôû cuûa Eλ1 : ( 3 , 2 ) cuûa Eλ2 : ( 2 , −3 ) .
nguon tai.lieu . vn
