Xem mẫu
- Chuyên đề
SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ)
II. Dạng lượng giác của số phức
z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)
* r = a 2 + b 2 là môđun của z.
a
cos ϕ = r
* ϕ là một acgumen của z thỏa
sin ϕ = b
r
1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , z ' = r ' ( cos ϕ '+ i sin ϕ ' ) thì:
z r
* z.z ' = r.r ' cos ( ϕ + ϕ ' ) + i sin ( ϕ + ϕ ' ) = cos ( ϕ − ϕ ' ) + i sin ( ϕ − ϕ ' )
*
z' r'
n
2. Công thức Moivre: n ∈ N * thì r ( cos ϕ + i sin ϕ ) = r n ( cos nϕ + i sin nϕ )
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
ϕ ϕ ϕ ϕ
Căn bậc hai của số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) là r cos + i sin ÷ và − r cos + i sin ÷
2 2
2 2
B. BÀI TẬP
1. (ĐH_Khối A 2009)
2 2
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức A = z1 + z 2 .
ĐS: A=20
2
2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z − 4 z + 11 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
2 2
z1 + z2
A= .
( z1 + z2 )
2
ĐS: A=11/4
3. (CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
4 z − 3 − 7i
= z − 2i .
b. Giải phương trình sau trên tập số phức:
z −i
ĐS: a. a=2, b=−3
b. z=1+2i, z=3+i
4. Tìm số phức z thoả mãn: z − 2 + i = 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
( ) ( )
ĐS: z = 2 − 2 − 1 + 2 i, z = 2 + 2 − 1 − 2 i .
5. (ĐH_Khối B 2009)
Tìm số phức z thỏa mãn z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 .
ĐS: z=3+4i hoặc z=5
z −1
( 1)
z −i =1
6. Tìm số phức z thỏa mãn: .
z − 3i = 1 ( 2)
z +i
HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1.
ĐS: z=1+i.
1
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
- 4
z+i
7. Giải phương trình: ÷ = 1.
z −i
ĐS: z∈{0;1;−1}
2
8. Giải phương trình: z + z = 0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
ĐS: z∈{0;i;−i}
2
9. Giải phương trình: z + z = 0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
1 3
ĐS: z=0, z=−1, z = ± i
22
z2
10. Giải phương trình: z 4 − z 3 + + z + 1 = 0.
2
HD: Chia hai vế phương trình cho z2.
11
ĐS: z=1±i, z = − ± i .
22
11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
1 3 1 3
ĐS: z = −1, z = ± i, z = − ± i.
22 22
12. Cho phương trình: (z + i)(z2−2mz+m2−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết:
a. α = 2−5i b. α = −2−i 3 c. α = 3 - i 2
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3−iz2−2iz−2 = 0. b. z3+(i−3)z2+(4−4i)z−7+4i = 0.
15. (ĐH_Khối D 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện
z − ( 3 − 4i ) = 2 .
ĐS: (x−3)2+(y+4)2=4
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z − i = z − z + 2i .
x2
ĐS: y = .
4
3
17. Trong các số phức thỏa mãn z − 2 + 3i = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2
3 9
2 2
HD: *Gọi z=x+yi. z − 2 + 3i = ⇒ … ⇒( x − 2 ) + ( y + 3) = .
2 4
* Vẽ hình ⇒|z|min ⇒z.
26 − 3 13 78 − 9 13
ĐS: z = + i.
13 26
18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
(1 + i)10 π π5
( )
7
b. cos − i sin ÷i 1 + i 3 .
( )
a. 9.
3 +i 3
3
HD: Sử dụng công thức Moivre.
2
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
- 1
ĐS: a. Phần thực − , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
16
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực −210, phần ảo: 210+1.
II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0.
n!
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An =
k
( n − k )! , n≥k>0.
n!
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n =
k
, n≥k≥0.
k!( n − k )!
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton ( a + b ) = C n a n + C n a n −1b + C n2 a n −2 b 2 + + C nn − 2 a 2 b n − 2 + C n −1 ab n −1 + C nn b n .
n 0 1 n
k n−k k
Công thức số hạng tổng quát: Tk +1 = C n a b , 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
18
1
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 2 x + 5 , (x>0).
x
ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)
7
1
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 3 x + với x>0.
4
x
ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
n
1
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của 3 + x 5 , biết rằng
x
C n + 4 − C n +3 = 7( n + 3) , (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
n +1 n k
ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
An +1 + 3 An
4 3
Tính giá trị biểu thức M = , biết rằng C n +1 + 2C n + 2 + 2C n +3 + C n + 4 = 149 (n là số nguyên
2 2 2 2
( n + 1)!
k k
dương, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử)
3
ĐS: M =
4
5. (ĐH_Khối A 2006)
n
1 7
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 4 + x , biết rằng
26
x
C 2 n +1 + C 2 n +1 + + C 2 n +1 = 2 − 1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
1 2 n 20 k
ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
2 n −1
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 2 n + C 2 n + + C 2 n = 2048 . ( C n là số tổ hợp chập k của
1 3 k
n phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)5+x2(1+3x)10.
ĐS: 3320
3
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
- 8. (ĐH_Khối D 2003)
−
Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n.
Tìm n để a3n−3=26n.
ĐS: n=5
9. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho Cn + 2C1 + 4Cn + + 2n Cn = 243 .
0 2 n
n
ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
n +1 1 1 1
k + k +1 = k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C n là số tổ hợp chập
k
Chứng minh rằng
n + 2 n +1 C n +1 C n
C
k của n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
− − − k
3nCn0−3n 1Cn1+3n 2Cn2−3n 3Cn3+ … +(−1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C n là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con
gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
13. (ĐH_Khối B 2003)
2 n +1 − 1 n
2 2 − 1 1 23 − 1 2 k
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n + Cn + Cn + + C n , ( C n là số tổ hợp
0
n +1
2 3
chập k của n phần tử).
3 n +1 − 2 n +1
ĐS:
n +1
14. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các
đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm
A1A2…An, tìm n.
ĐS: n=8
15. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó n∈N* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức
a
a
a 0 + 1 + + n = 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an.
2n
2
ĐS: a8=126720
16. (ĐH_Khối A 2007)
1 2n −1 22n − 1 C k
1 13 15
Chứng minh rằng C1 n + C2n + C2n + + , ( n là số tổ hợp chập k của n
C2 n =
2
2n + 1
2 4 6 2n
phần tử).
17. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho C 2 n +1 − 2.2C 2 n +1 + 3.2 C 2 n +1 − 4.2 C 2 n +1 + + ( 2n + 1).2 C 2 n +1 = 2005 ,
2 n +1
1 2 2 3 3 4 2n
k
( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
18. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1−x)]8.
ĐS: 238
4
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
- 19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n −1
n −1
n n
n
x2 1 x −1 − x x −1 − x −x
x −1
−x
−
2 + 2 3 = C n 2 2 + C n 2 2 2 3 + + C n −1 2 2 2 3 + C n 2 3
0 1 n n
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n = 5C n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
3 1
ĐS: n=7, x=4
20. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
b. Tính các tổng S1=1−Cn2+Cn4−Cn6+… S2=Cn1−Cn3+Cn5−…
21. Chứng minh rằng C100 –C100 +C100 –C100 + … –C100 +C100100=–250.
0 2 4 6 98
−o0o−
5
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
nguon tai.lieu . vn
