Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
34 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN NÂNG CAO LỚP 9
Bài toán 1: Giải phương trình
x 2 10 x x2 12 x 40
a b
Bổ đề : Với a 0; b 0 a b
a b a b
2
2
a b 2 a 2 b2
x 2 10 x 2 x 2 10 x 4 mà
Giải: Điều kiện : 2 x 10 , Ta có
2
x 2 12 x 40 x 2 12 x 36 4 x 6 4 4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
x 2 10 x
x 6 . Vậy phương trình có nghiệm x = 6
x 6 0
Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có
x 2 .4
x 2 10 x
2
10 x .4
2
x 2 4 10 x 4
4.
4
4
x 2 4
x6.
10 x 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Bài toán 2: Giải phương trình:
x2 x 1 x x 2 1 x 2 x 2
Vì x2 x 1 0 và x x2 1 0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta
được:
x 2 x 1 .1
x x
2
1 .1
x2 x 1 1 x2 x
2
2
x x2 1 1 x x2 2
2
2
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
(1)
(2)
x2 x 1 x x2 1
x2 x x x2 2
x 1 nên theo đề
2
2
ta có : x2 x 2 x 1 x 1 0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy
2
phương trình có nghiệm là x = 1.
Bài toán 3: Giải phương trình:
W: www.hoc247.net
2 x 3 5 2 x 3x 2 12 x 14 (1)
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
3
x
2 x 3 0
2
Điều kiện tồn tại phương trình:
5 2x 0
5
x
2
3
5
x (*)
2
2
Vế phải của (1): 3x2 12 x 14 3 x 2 4 x 4 2 3 x 2 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
2
khi x = 2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):
2x 3 5 2x
1
2
12 2 x 3 5 2 x 4 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2x 3 5 2 x x 2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của
phương trình.
Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:
2 x 3 .1 5 2 x .1
2x 3 1 5 2x 1
2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
2
2 x 3 1
x 2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của
5 2 x 1
phương trình.
Bài toán 4: Giải phương trình: x2 2 x 3 2 x 2 x 1 3x 3x 2 . (1)
2 x 2 x 0
2
1 3x 3x 0
Giải: Điều kiện
(2).
Vế trái của phương trình (1): x2 2 x 3 x 1 2 2 với mọi x . đẳng thức xảy ra khi x
2
= 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình
(1) thoả:
2 x 2 x 1 3x 3x 2
1
2
12 2 x 2 x 1 3x 3x 2 2 4 x 2 x 2 4 x 1 2 . đẳng
2
thức xảy ra khi 2 x2 x 1 3x 3x2 . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của
phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.
Bài toán 5: Giải phương trình: 5 1 x3 2 x 2 2
(1)
Giải:
Điều kiện 1 x3 0 x 1 x2 x 1 0 Do x2 x 1 0 với mọi x nên x 1 0 x 1
Đặt a x 1 ; b x 2 x 1 với a 0 ; b 0 . Nên phương trình (1) trở thành :
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
5ab 2 a b
2
2
2
a
a 1
a
a
2 5 2 0. Giải phương trình này được 2 hoặc
b
b 2
b
b
Với
a
2 thì phương trình (1) vô nghiệm
b
Với
x 1
a 1
. Phương trình có hai nghiệm thoả điều
thì 2 x 1 x 2 x 1 2
b 2
x 5x 3 0
kiện x1
5 37
2
; x2
5 37
.
2
42
60
6 (1)
5 x
7x
Bài toán 6: Giải phương trình:
Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên 1 3
42
60
3
0
5 x
7x
42
42
3
3
3
5 x
5 x
42
3
5 x
42
60
9
5 x
7x 0
0
42
60
3
3
5 x
7x
9 5 x 42
42
5 x 3
5 x
60
60
3
7 x
7x
60
3
7x
9 7 x 60
60
7 x 3
7x
9
0
1
1
0 3 1 3x 0
3 1 3x
5 x 3 42 7 x 3 60
5 x
7 x
1
5 x 3
42
5 x
1
7 x 3
60
7x
vì
1
3
> 0 nên x . Thử lại đúng nên nghiệm của phương
1
3
trình là x .
Bài toán 7: Giải phương trình:
x x 2 x x 5 x x 3
(1)
Điều kiện để phương trình có nghĩa là : 3 x 0 ;0 x 5 . Bình phương hai vế của phương
trình (1) ta được: x x 2 x x 5 2 x 2 x 2 x 5 x x 3
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
2 x 2 x 2 x 5 10 x x 2 4 x 2 x 2 x 5 10 x x 2
2
4 x2 x 2 x 5 100 x2 20 x3 x 4 4 x 2 x 2 7 x 10 100 x 2 20 x3 x 3x 4 8x3 60 x 2 0
10
x 2 3x 2 8x 60 0 . Giải phương trình này được x ;0;6 . Thử lai chỉ có hai nghiệm
3
x = 0; x = 6 thoả mãn đề cho.
Bài toán 8: Giải phương trình:
(1)
x 5 x 2 1 x 2 7 x 10 3
Điều kiện x > -2 và x2 7 x 10 x 2 x 5 . Nhân hai vế của phương trình (1) với
x 2 x 5 ta được: x 2 x 5 1
3 1
x 2 x 5 3
x 2 x 5 3
x2 x5 x2 x5
x 5 1 x 2 1 x 2 0
x2 x5
x 2 x 5 1 0
x 5 1 1 x 2 0
x 5 1 0
x 5 1 x 4
Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương
x 2 1 x 1
1 x 2 0
trình x = -1.
***Cách giải khác:
Đặt a x 2 a2 x 2 ; b x 5 b2 x 5 nên b2 a2 x 5 x 2 3
b2 a 2 3
phương trình (1) trở thành:
(b a)(1 ab) 3
.Do đó
(*)
Từ hệ (*) suy ra b2 a2 b a 1 ab b a a b ab 1 0
a b
b a 0
a b 1 khi đó ta cũng có x = -1.
a b ab 1 0
a 1 b 1 0
Bài toán 9: Giải phương trình:
25 x2 10 x2 3
(1)
25 x 2 0
x 2 25
2
x 2 10 10 x 10 (*).
Giải: Điều kiện
2
10 x 0
x 10
Đặt 0 a 25 x2 ; 10 x2 b 0 a2 b2 25 x2 10 x2 15 . Nên phương trình (1) trở
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
a b 3
a b 3
a 4
2
2
a b 15 a b 5 b 1
thành
Nếu b = 1 thì 10 x2 1 x2 9 x 3 so với điều kiên (*) x 3 thoả
Nếu a = 4 thì 25 x2 16 x2 9 x 3 so với điều kiên (*) x 3 thoả.
Vậy phương trình có nghiệm là x 3 .
Bài toán 10: Giải phương trình:
3
x 1 3 x 1 3 5x
(*)
Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được:
5x x 1 x 1 3 3 x 1 x 1 3 x 1 3 x 1 5x 2 x 3 3 x 2 1. 3 5x
3 x2 1. 3 5x x x3 5x x 2 1 4 x3 5x 0 x 0 hoặc x
5
. Thử lại ta thấy
2
phương trinh có đúng ba nghiệm trên.
Bài toán 11: Giải phương trình 3 1 x 3 1 x 2
(1)
Điều kiện: x 0 . Đặt 3 1 x a ; 3 1 x b a3 1 x ; b3 1 x nên phương trình
(1) trở thành
a b 2
a 2 b
a b 2
a b 2
2
3 3
2
2
2
a b a 2 ab b 2 2
a b 2
a ab b 1 2 b b 2 b b 1 0
a 2 b
a 2 b
a 2 b
2
a b 1
2
2
2
2
b 1 0
4 4b b 2b b b 1 0
b 2b 1 0
Nếu a = 1 thì 1 x 1 x 0 x 0
Nếu b = 1 thì 1 x 1 x 0 x 0 .
Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình.
Bài toán 12: Giải phương trình
3
2 x x 1 1
Giải: TXĐ x 1 0 x 1 . Đặt 3 2 x a ;
W: www.hoc247.net
(1)
x 1 b 0 . Nên phương trình đã cho trở thành:
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
nguon tai.lieu . vn