Xem mẫu

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

34 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN NÂNG CAO LỚP 9

Bài toán 1: Giải phương trình

x  2  10  x  x2  12 x  40

a  b

Bổ đề : Với a  0; b  0 a  b 



a  b  a  b
2

2



 a  b  2 a 2  b2



x  2  10  x  2  x  2  10  x   4 mà

Giải: Điều kiện : 2  x  10 , Ta có



2



x 2  12 x  40  x 2  12 x  36  4   x  6   4  4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2

 x  2  10  x
 x  6 . Vậy phương trình có nghiệm x = 6

x  6  0

Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có

 x  2  .4

x  2  10  x 

2

10  x  .4



2



x  2  4 10  x  4

 4.
4
4

x  2  4
 x6.
10  x  4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

Bài toán 2: Giải phương trình:

x2  x  1  x  x 2  1  x 2  x  2

Vì x2  x  1  0 và x  x2  1  0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta
được:





x 2  x  1 .1 

x  x

2



 1 .1 

x2  x  1  1 x2  x

2
2
x  x2  1  1 x  x2  2

2
2

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:

(1)
(2)

x2  x 1  x  x2  1 

x2  x x  x2  2

 x  1 nên theo đề
2
2

ta có : x2  x  2  x  1   x  1  0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy
2

phương trình có nghiệm là x = 1.

Bài toán 3: Giải phương trình:

W: www.hoc247.net

2 x  3  5  2 x  3x 2  12 x  14 (1)

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

3

x

2 x  3  0

2
Điều kiện tồn tại phương trình: 

5  2x  0
5

x 

2


3
5
 x  (*)
2
2



Vế phải của (1): 3x2  12 x  14  3  x 2  4 x  4   2  3  x  2   2  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
2

khi x = 2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):
2x  3  5  2x 

1

2



 12  2 x  3  5  2 x   4  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2x  3  5  2 x  x  2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của

phương trình.
Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:

 2 x  3 .1  5  2 x  .1 

2x  3 1 5  2x 1

 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
2

2 x  3  1
 x  2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của

5  2 x  1

phương trình.
Bài toán 4: Giải phương trình: x2  2 x  3  2 x 2  x  1  3x  3x 2 . (1)
2 x 2  x  0

2
1  3x  3x  0


Giải: Điều kiện 

(2).

Vế trái của phương trình (1): x2  2 x  3   x  1  2  2 với mọi x  . đẳng thức xảy ra khi x
2

= 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình
(1) thoả:
2 x 2  x  1  3x  3x 2 

1

2





 12 2 x 2  x  1  3x  3x 2  2  4 x  2 x 2  4   x  1  2 . đẳng
2

thức xảy ra khi 2 x2  x  1  3x  3x2 . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của
phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.
Bài toán 5: Giải phương trình: 5 1  x3  2  x 2  2 

(1)

Giải:
Điều kiện 1  x3  0   x  1  x2  x  1  0 Do x2  x  1  0 với mọi x nên x  1  0  x  1
Đặt a  x  1 ; b  x 2  x  1 với a  0 ; b  0 . Nên phương trình (1) trở thành :

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



5ab  2 a  b
2

2



2

a
a 1
a
a
 2    5    2  0. Giải phương trình này được  2 hoặc 
b
b 2
b
b

Với

a
 2 thì phương trình (1) vô nghiệm
b

Với

 x  1
a 1
. Phương trình có hai nghiệm thoả điều
 thì 2 x  1  x 2  x  1   2
b 2
 x  5x  3  0

kiện x1 

5  37
2

; x2 

5  37
.
2
42
60

 6 (1)
5 x
7x

Bài toán 6: Giải phương trình:

Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên 1   3 




42  
60 
  3 
0
5 x  
7x 
 



42 
42  
3
 3 
 3
5  x 
5 x  



42 
3

5 x 


42
60
9
5 x 
7x  0
0 

 
42
60 
3
 3

5 x  
7x 






9  5  x   42

42 
5  x   3 

5 x 




60 
60 
 3 

7  x 
7x 

60 
3

7x 


9  7  x   60

60 
7  x  3 

7x 


9

0





1
1

  0  3 1  3x   0
 3 1  3x  





  5  x   3  42   7  x   3  60  
5 x 
7 x 






1


5  x   3 


42 

5 x 



1


7  x  3 


60 

7x 



1
3

> 0 nên x  . Thử lại đúng nên nghiệm của phương

1
3

trình là x  .

Bài toán 7: Giải phương trình:

x  x  2   x  x  5   x  x  3

(1)

Điều kiện để phương trình có nghĩa là : 3  x  0 ;0  x  5 . Bình phương hai vế của phương
trình (1) ta được: x  x  2  x  x  5  2 x 2  x  2  x  5  x  x  3
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



 2 x 2  x  2  x  5  10 x  x 2  4 x 2  x  2  x  5  10 x  x 2







2

 4 x2  x  2  x  5  100 x2  20 x3  x 4  4 x 2 x 2  7 x  10  100 x 2  20 x3  x  3x 4  8x3  60 x 2  0
 10

 x 2 3x 2  8x  60  0 . Giải phương trình này được x   ;0;6 . Thử lai chỉ có hai nghiệm
 3






x = 0; x = 6 thoả mãn đề cho.

Bài toán 8: Giải phương trình:







(1)

x  5  x  2 1  x 2  7 x  10  3

Điều kiện x > -2 và x2  7 x  10   x  2 x  5 . Nhân hai vế của phương trình (1) với







x  2  x  5 ta được:  x  2    x  5 1 





 3 1

 x  2 x  5   3 



 x  2 x  5   3



x2  x5  x2  x5 

 



 x  5 1 x  2  1 x  2  0 







x2  x5



 x  2 x  5  1  0



x  5 1 1 x  2  0

 x  5 1  0
 x  5  1  x  4
Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương



 x  2  1  x  1
1  x  2  0


trình x = -1.
***Cách giải khác:
Đặt a  x  2  a2  x  2 ; b  x  5  b2  x  5 nên b2  a2  x  5  x  2  3
b2  a 2  3

phương trình (1) trở thành: 

(b  a)(1  ab)  3

.Do đó

(*)

Từ hệ (*) suy ra b2  a2   b  a 1  ab   b  a  a  b  ab  1  0
a  b
b  a  0

 a  b  1 khi đó ta cũng có x = -1.
 a  b  ab  1  0

 a  1 b  1  0

Bài toán 9: Giải phương trình:

25  x2  10  x2  3

(1)

25  x 2  0
 x 2  25


 2
 x 2  10   10  x  10 (*).
Giải: Điều kiện 
2
10  x  0
 x  10



Đặt 0  a  25  x2 ; 10  x2  b  0  a2  b2  25  x2  10  x2  15 . Nên phương trình (1) trở
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a  b  3

a  b  3
a  4


2
2
a  b  15 a  b  5 b  1

thành 

Nếu b = 1 thì 10  x2  1  x2  9  x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả
Nếu a = 4 thì 25  x2  16  x2  9  x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả.
Vậy phương trình có nghiệm là x  3 .

Bài toán 10: Giải phương trình:

3

x  1  3 x  1  3 5x

(*)

Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được:
5x  x  1  x  1  3 3  x  1 x  1  3 x  1  3 x  1  5x  2 x  3 3 x 2  1. 3 5x







 3 x2  1. 3 5x  x  x3  5x x 2  1  4 x3  5x  0  x  0 hoặc x  

5
. Thử lại ta thấy
2

phương trinh có đúng ba nghiệm trên.

Bài toán 11: Giải phương trình 3 1  x  3 1  x  2

(1)

Điều kiện: x  0 . Đặt 3 1  x  a ; 3 1  x  b  a3  1  x ;  b3  1  x nên phương trình
(1) trở thành
a  b  2
a  2  b
a  b  2
a  b  2



 2

 3 3
2
2
2
a  b  a 2  ab  b 2  2
a  b  2
a  ab  b  1  2  b   b  2  b   b  1  0








a  2  b
a  2  b
a  2  b


 2

 a  b 1
2
2
2
2
 b  1  0
4  4b  b  2b  b  b  1  0
b  2b  1  0


Nếu a = 1 thì 1  x  1  x  0  x  0
Nếu b = 1 thì 1  x  1  x  0  x  0 .
Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình.

Bài toán 12: Giải phương trình

3

2  x  x 1  1

Giải: TXĐ x 1  0  x  1 . Đặt 3 2  x  a ;

W: www.hoc247.net

(1)

x  1  b  0 . Nên phương trình đã cho trở thành:

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

nguon tai.lieu . vn