Xem mẫu
- Bài t p
PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ
Phương trình truy n sóng
1. V d ng c a dây vô h n dao ng t do n u v n t c ban u b ng không,
còn l ch ban u ư c cho b i:
0 khi x ≤ 1
x − 1 khi 1 < x ≤ 2
u ( x, 0 ) =
3 − x khi 2 < x ≤ 3
0 khi x > 3
1
t i các th i i m t 0 = 0 , t1 = , t 2 = 1 , t 3 = 2,5 . Xét dao ng t i các i m
2
x = 0 , x = 2 , x = 1 , x = −1 ( khi nào b t u dao ng, khi nào thôi ), bi t v n
t c truy n sóng a = 2 .
2. V d ng c a dây n a vô h n, g n ch t u mút, dao ng t do, bi t
r ng v n t c ban u b ng không, l ch ban u ư c cho b i:
0 nÕu 0 ≤ x ≤ l
πx
u ( x,0) = − sin nÕu l ≤ x ≤ 2l
l
0 nÕu 2l ≤ x ≤ +∞
5l 3l 7l 9l
l l
t i các th i i m t b ng ,, , , , .
4a a 4a 2 a 4 a 4a
3. Xác nh dao ng t do c a dây h u h n, g n ch t t i các mút x = 0 ,
x = l , bi t l ch ban u ư c cho b i:
4 x(l − x )
( 0 ≤ x ≤ l ),
u ( x,0 ) =
l2
còn v n t c ban u b ng không.
áp s :
(2n + 1)πx cos (2n + 1)πat .
32 1
∞
∑ (2n + 1)
u ( x, t ) = sin
3 3
π l l
n =0
4. Xác nh dao ng t do c a dây h u h n, g n ch t t i các mút x = 0 ,
x = l , bi t l ch ban u b ng không, và v n t c ban u ư c cho b i:
π
v cos(x - c ) nÕu x - c <
∂u ( x,0 ) 0
2
,
=
π
∂t 0 nÕu x - c >
2
1 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
- π π
trong ó v 0 là h ng s dương và .
- ∂u
u t =0 = f (x ) , = F (x ) .
∂t t =0
áp s :
∞
nπx
u ( x, t ) = ∑ (a n cos q n t + bn sin q n t ) sin
l
n =1
2 2 2 l l
2 2
nπ a nπx nπx
h
− h 2 , a n = ∫ f ( x ) sin dx , bn = dx .
∫ F (x ) sin
qn = an +
2
l0 l qn lq n l
l 0
Hư ng d n: Phương trình dao ng là:
2 2
∂u ∂u ∂u
= a2 2 .
+ 2h
2
∂t
∂t ∂x
9. Xác nh dao ng c a m t dây g n ch t mút x = 0 , còn mút x = l
chuy n ng theo quy lu t A sin ωt , bi t r ng l ch và v n t c ban u b ng
không.
áp s :
ω
A sin x sin ωt
(− 1)n−1
2 Aωa ∞ nπat nπ x
∑
a .
u ( x, t ) = sin sin
+ 2
ω l n =1 l l
nπa
sin l ω2 −
a l
Hư ng d n: Tìm u dư i d ng u = v +w, trong ó w tho mãn phương trình
dao ng c a dây v i các i u ki n w(0, t ) = 0 , w(l , t ) = A sin ωt , còn v cũng tho
mãn phương trình ó v i các i u ki n v(0, t ) = 0 , v(l , t ) = 0 , v( x,0) = − w( x,0) ,
∂v( x,0 ) ∂w( x,0 )
.
=−
∂t ∂t
10. Tìm dao ng d c c a m t thanh ng ch t có m t mút c nh, còn mút
kia ch u tác d ng c a l c Q (lên m t ơn v di n tích) d c theo thanh, bi t r ng
l ch và v n t c ban u b ng không.
áp s :
(− 1)n cos (2n + 1)πat sin (2n + 1)πx
8Ql ∞
2l 2l
Q
x− 2 ∑ .
u ( x, t ) =
(2n + 1)2
π E n=0
E
14. M t màng hình vuông ng ch t lúc t = 0 có l ch ư c xác nh b i
u ( x, y ,0 ) = Axy (b − x )(b − y ) , trong ó 0 ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ b , dao ng v i v n t c
ban u b ng không, mép g n ch t. Hãy xác nh dao ng c a màng.
3 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
- (2n + 1)πx sin (2m + 1)πy
sin
4
64 Ab ∞
(2n + 1)2 + (2m + 1)2 πat
∑ b b
áp s : u ( x, y, t ) = cos
6 2 2
(2n + 1) (2m + 1)
π b
n=0
15. M t màng hình ch nh t 0 ≤ x ≤ l , 0 ≤ y ≤ m , g n ch t mép, lúc t = 0
b m t xung lư ng t p trung t i tâm c a màng, sao cho:
lim ∫∫ v 0 dxdy = A ,
ε →0
σε
trong ó A là h ng s , v0 là v n t c ban u, σ ε là lân c n c a tâm c a màng.
Hãy xác nh dao ng c a màng.
áp s :
l m
Ψkn ,
4A 2 2
∞
∑ Ψkn ( x, y ) sin µ knπat ,
u ( x, y , t ) =
aπml µ kn
k , n =1
2 2
, µ kn = +
nπ y
kπx k n
v i Ψkn ( x, y ) = sin .
sin
l m
l m
Phương trình truy n nhi t
1. Tìm nghi m c a phương trình:
∂ 2u
∂u
= a2 2 (0 < x < l , t > 0)
∂t ∂x
tho mãn các i u ki n :
u (0, t ) = 0 , u (l , t ) = 0 ( t > 0 ),
l
x nÕu 0 < x ≤ 2
.
u ( x, 0 ) =
l - x nÕu l < x ≤ l
2
(2n + 1) 2 π 2 a 2 t
(− 1)n (2n + 1)πx
4l ∞
2∑
áp s : u ( x , t ) = exp − sin
2 2
π n =0 (2n + 1) l
l
2. M t thanh ng ch t có dài l , hai mút ư c gi nhi t không,
nhi t ban u trong thanh ư c cho b i:
cx(l − x )
,
u t =0 =
l2
Hãy xác nh phân b nhi t trong thanh t i th i i m t > 0.
4 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
- (2n + 1)2 π 2 a 2 t (2n + 1)πx
8c 1
∞
3∑
u ( x, t ) = exp − sin
áp s : 3 2
π n =0 (2n + 1) l
l
3. M t thanh ng ch t có dài l , mút x = 0 ư c gi nhi t không,
còn t i mút x = l có s trao i nhi t v i môi trư ng ngoài gi nhi t
không. Tìm phân b nhi t trong thanh th i i m t > 0 bi t r ng nhi t
ban u trong thanh ư c cho b i u t =0 = ϕ (x ) .
µ 2 a 2t
2
p2 + µn µ xl
2∞ µx
∑ p( p + 1) + µ 2 exp − n 2 sin n ∫ ϕ ( x ) sin n dx
u ( x, t ) =
áp s :
l n =1 l0 l
l
n
µ
trong ó µ 1 , µ 2 , ... là nh ng nghi m dương c a phương trình ,
tgµ =
p
p = hl > 0 .
4. M t thanh ng ch t có m t mút cách nhi t, còn m t mút gi nhi t
không i u0 . Tìm phân b nhi t trong thanh bi t nhi t ban u
u ( x,0 ) = ϕ ( x ) .
(2n + 1) 2 π 2 a 2 t (2n + 1)πx ,
∞
u ( x, t ) = u 0 + ∑ a n exp− cos
áp s : 2
2l
4l
n=0
(2n + 1)πx dx − (− 1)n 4u 0 .
l
2
vi a n = ∫ ϕ ( x ) cos
(2n + 1)π
2l
l0
Hư ng d n: Tìm u(x,t) có d ng u(x,t) = u0 + v(x,t).
5. Tìm phân b nhi t trong m t thanh ng ch t, bi t nhi t ban u
b ng không, nhi t t i mút x = l b ng không, còn nhi t t i mút x = 0
ư c cho b i u(0,t) = At.
áp s :
x l 2 A x x 2l A ∞ 1
3 2
n 2π 2 a 2 t
2
x nπx
u ( x, t ) = At 1 − − 2 − 3 + 2 + 3 2 ∑ 2 exp − .
sin
2
l 6a l
l l π a n =1 n l
l
Hư ng d n: Tìm u(x,t) dư i d ng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , trong ó u1(x,t)
tho mãn phương trình truy n nhi t, tho mãn i u ki n u1(0,t) = At , u1(l,t) = 0.
6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asinωt.
n 2π 2 a 2 t
2ωA ∞ a n
x nπ x
∑ n exp − l 2 sin l ,
u ( x, t ) = A1 − sin ωt −
áp s :
l π n =1
5 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
- 2
l
nπa
a n = ∫ exp
trong ó τ cos ωτ dτ .
l
0
7. Tìm nghi m c a phương trình:
∂u ∂ 2 u
=
∂t ∂x 2
tho mãn các i u ki n:
x
u (0, t ) = 0 , u (l , t ) = Ae −t , u ( x,0 ) = A .
l
(− 1)n n 2π 2 t
Ax − t 2 Al 2 ∞
nπ x
∑ n(n 2π 2 − l 2 ) l
u ( x, t ) = exp − 2 − t sin
áp s : e+
π
l l
n =1
8. M t t m ng ch t hình ch nh t 0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ q có mép ư c gi
nhi t không. Tìm phân b nhi t trong t m th i i m t > 0 , n u nhi t
lúc t = 0 ư c cho b i u (x, y,0) = ϕ ( x, y ) .
m2 n2
∞
nπy
mπx
∑ ,
u ( x, y , t ) = Amn exp− π 2 2 + 2 t sin sin
áp s : p p q
q
n , m =1
pq
4 nπy
mπx
trong ó ∫ ∫ ϕ (x, y )sin p sin q dxdy .
=
Amn
pq 0 0
9. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho
mãn i u ki n biên sau:
u (0, y ) = Ay (m − y ) , u (l , y ) = 0 , u (x,0 ) = 0 , u ( x, m ) = 0 .
10. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho
mãn i u ki n biên sau:
πx
u (0, y ) = 0 , u (l , y ) = 0 , u (x,0 ) = B sin , u ( x, m ) = 0 .
l
11. Tìm nghi m c a phương trình Laplace trong mi n hình ch nh t
D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau:
πx
u (0, y ) = Ay (m − y ) , u (l , y ) = 0 , u ( x,0 ) = B sin , u ( x, m ) = 0 .
l
12. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho
mãn i u ki n biên sau:
6 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
- ∂u ( x,0) ∂u ( x, m )
u (0, y ) = A , u (l , y ) = Ay , =0 , =0.
∂y ∂y
13.Tìm mi n hypebolic, parabolic và eliptic c a phương trình:
1
u" xx − yu" yy + u' y = 0 .
2y
ưa phương trình v d ng chính t c trong mi n hypebolic.
14. ưa phương trình sau v d ng chính t c:
u" xx +(1 + y )u" yy +u ' x = 0 .
15. ưa phương trình sau v d ng chính t c:
u' x
+ u' y = 0 .
u" xx + y 2 u" yy +
y2
12. Tính tích phân:
∫∫ (x cos(n, x ) + y cos(n, y ) + z cos(n, z ))dS
S
trong ó S là m t (elipxoit :
x2 y2 z2
=1 )
+ +
a2 b2 c2
r
là pháp tuy n ngoài i v i S.
n
13.Tìm mô men quán tính c a m t ch m c u ng ch t có phương trình
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 b c t b i m t ph ng z = H ( ch m phía trên ) i v i tr c 0z .
Bi t t kh i m t không i và b ng ơn v .
R2 2
14.Tìm to tr ng tâm c a ph n m t nón x 2 + y 2 = z b c t b i m t ph ng
H2
z = H . Bi t t kh i m t không i và b ng ơn v .
7 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
nguon tai.lieu . vn