Bài tập khảo sát dao động điều hòa chất điểm sử dụng hệ quy chiếu khối tâm

BÀI TẬP KHẢO SÁT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CHẤT ĐIỂM SỬ DỤNG HỆ QUY CHIẾU KHỐI TÂM 1. Tọa độ khối tâm Tọa độ khối tâm G của hệ chất điểm được xác định : = m R + m2 R2 +... Trong đó : ... là tọa độ của các chất điểm m1,m2… đối với gốc tọa độ. ( ) là tọa độ khối tâm của hệ đối với gốc tọa độ. Nếu khối tâm G trùng với gốc tọa độ O của hệ trục tọa độ thì : RG = 0 Hình chiếu tọa độ khối tâm lên các trục tọa độ :xG = m x + m2x2 +...;yG = m y1 + m2 y2 +...... 1 2 1 2 VD: Chẳng hạn nếu hệ chỉ có hai chất điểm (thường gặp) nằm trên cùng một trục x’Ox với gốc tọa độ O trùng với G thì :Rx = 1 1x + m2R2x = 0�m x + m2x2 = 0�m x = m2x2 . 1 2 Trọng lực tác dụng lên hệ đi qua khối tâm G. Gia tốc của khối tâm : = m với hợp lực tác dụng đi qua G. Nếu = thì khối tâm G đúng yên hoặc chuyển động thẳng đều. 2. Vận tốc khối tâm : = m v + m2v2 +... 1 2 VD: Hệ hai chất điểm chuyển động cùng phương : vG = mv + m2v2 (v1,v2,vG là các giá trị đại số) 1 2 3. Bài tập Bài 1: Hệ dao động gồm hai vật khối lượng m1, m2 gắn vào một lò xo nhẹ độ cứng k, đặt trên mặt bàn nhẵn nằm ngang. Nén lò xo bằng dây mảnh nối hai vật (hình vẽ). Đốt dây nén là xo. a. Chứng tỏ vật dao động điều hòa. b. Hiện tượng xảy ra như thế nào nếu trước khi đốt dây : Một trong hai vật được giữ cố định. m1 m2 Một trong hai vật dựa vào tường thẳng đứng. Giải : a. Khi đốt dây, hai vật chuyển động ngược chiều ra xa nhau. Vì pG = 0 nên trước và sau khi đốt dây khối tâm G của hệ đứng yên. Chọn hệ quy chiếu: Gốc tọa độ O trùng với G. Coi hệ gồm hai con lắc gắn với điểm cố định là G. Gọi l0, l01,l02, là chiều dài lò xo và mỗi lò xo khi chưa biến dạng. Áp dụng công thúc tọa độ khối tâm : ml01 = m2l02;l01 +l02 =l0 suy ra được : l01 = m + m2 l0;l02 = m + m2 l0 Gọi k1, k2 là độ cứng của mỗi lò xo : k1l01 = k2l02 = kl0 suy ra : k1 = m + m2 k;k2 = m +m2 k 2 1 Gọi O1, O2 là vị trí cân bằng của m1 và m2. Xét con lắc (m1,k1). Chọn trục tọa độ O1x nằm ngang, chiều dương sang phải. Khi m1 ở vị trí cân bằng lò xo không biến dạng, khi m1 ở li độ x : F = ma� k1x= mx``� x+`` m x= 0 Vậy m1 dao động điều hòa quanh O1 với : ω = k1 = 1 (m1+ m2)k 1m2 Tương tự m2 dao động điều hòa quanh O2 với : ω2 = k2 = 2 (m1+ m2)k =ω1 1 2 b. ­ trường hợp một trong hai vật được cố định : Chẳng hạn m1 cố định, khi đó m2 dao động điều hòa quanh O2 với tần số góc : ω`2 = k <ω2 2 Tương tự cho trường hợp cố định m2. ­ trường hợp một trong hai vật dựa vào tường : Chẳng hạn m1 dựa tường : Khối tâm của hệ chuyển động thẳng đều do phản lực tác dụng của tường, trong quá trình dao động hệ không chịu thêm lực nào tác dụng nên tần số góc không thay đổi : ω =ω2 = k1 = 1 k2 m2 Bài 2 : Cho một cơ hệ gồm hai quả cầu khối lượng m1 = 1kg và m2 = 2kg, có thể trượt không ma sát trên một thanh cứng nằm ngang. Hai quả cầu được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng k = 24 N/m. truyền cho quả cầu m1 đang nằm yên vận tốc đầu v0 = 12 cm/s theo phương dọc thanh (hình vẽ). a. Chứng tỏ vật dao động điều hòa. Tính chu kì dao động mỗi vật. b. Tính năng lượng và biên độ dao động mỗi vật. 1 2 0 Giải : a. Khối tâm G chuyển động thẳng đều với vận tốc vG. Xét trong hệ quy chiếu khối tâm : Hai vật nhỏ dao động điều hòa với : ω =ω2 = m = (mmm22)k �T = 2π (m1+ m2)k =1,047s b. Chọn chiều dương theo v0 . Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho khối tâm trong quá trình chuyển động : (m1+ m2)vG = m v0 �vG = m1+ m2 + Đối với m1:Sử dụng công thức cộng vận tốc : 1G = v01 vG � 1G v0 vG m +m2 (đây là vận tốc cực đại của m1 đối với khối tâm) 2 2 Năng lượng dao động của m1 đối với khối tâm G : W = 2mvG = 2 (m1+ m0)2 =32.10 4 J Biên độ dao động của vật m1 là : v max =ω A � A = m + m2 (m + m2)k =1,3cm + Đối với m2:Sử dụng công thức cộng vận tốc : v= v v�v2 = 0 v= m + m2 2 2 Năng lượng dao động của con lắc m2 : W2 = 2m2v2G = 2 (m1+ m0)2 =16.10 4 J Tương tự suy ra : A = |v2G | = mmvm2 (m + m2)k = 0,7cm Bài 3: Ba quả cầu có thể trượt không ma sát trên một thanh cứng, mảnh nằm ngang.Biết khối lượng 2 quả cầu 1 và 2 là m = m2 = m; lò xo có độ cứng K và khối lượng không đáng kể.Quả cầu 3 có khối lượng m3 = 2 .Lúc đầu 2 quả cầu 1,2 đứng yên,lò xo có độ dài tự 3 nhiên l0 .Truyền cho m3 vận tốc v0 đến va chạm đàn hồi vào quả cầu 1. Sau 0 1 2 va chạm,khối tâm G cuả các quả cầu 1,2 chuyển động như thế nào?Tìm vận tốc cuả G. Chứng minh rằng hai quả cầu 1 và 2 dao động điều hoà ngược pha quanh vị trí cố định đối với G. Tìm chu kỳ và biên độ dao động cuả các vật. Giải : a.Chuyển động của khối tâm G: Vì quả cầu 3 va chạm đàn hồi với quả cầu 1 và hệ kín nên động lượng (theo phương ngang) và động năng được bảo toàn.Gọi v ,v3 là vận tốc quả cầu 1 và 3 sau va chạm, ta có: 2 2 2 2 v0 = mv + 2 v3 (1) 2 2 = 21 + 2 2 (2) �3v3 2v0v3 v0 (3) (3) có nghiệm v3 = v0 (loại vì vô lý) và v3 = v0 (4) Đưa (4) vào (1) ta có:v = 2v0 Hệ hai quả cầu 1 và 2 là hệ cô lập nên khối tâm G chuyển động thẳng đều.Từ toạ độ khối tâm,ta có : m x + m2x2 dxG mv + m2v2 G m + m2 dt G m + m2 Sau va chạm:v = 2v0 và v2 = 0 nên (6) cho ta: 2v0 2v0 vG = m1+ m2 = m+ m = 3 (7) b. Dao động cuả quả cầu 1 và 2 + Chọn trục toạ độ Ox nằm ngang,gốc O trùng với khối tâm G cuả hai quả cầu + Khi lò xo chưa biến dạng, gọi 01,02 là vị trí cân bằng cuả hai quả cầu.Lúc đó x ,x2 là toạ độ cuả hai quả cầu.Toạ độ cuả khối tâm là : xG = m x+ m2x2 = 0 Với m = m2 thìx = x2 = l 1 2 Phương trình chuyển động cuả m = m là:mx`` = K`x x`` ` m x= 0 (8) Do khối tâm đứng yên và luôn có x = x2 = l nên ta coi G là nơi buộc chặt cuả hai con lắc có khối lượng m ,m2 và chiều dài lò xo là l Độ cứng cuả lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài nên K’ = 2 K,nên (8) viết là: x`` + 2K x = 0 Tần số góc cuả dao động là :ω = 2K m Suy raT = 2π = 2π 1 m 2K Tương tự, m2 có chu kỳ dao động : T2 = 2π 2K . Hai dao động này ngược pha nhau. Vận tốc cuả quả cầu 1 và 2 đối với khối tâm: vG = v v= Cơ năng bảo toàn nên biên độ dao động được tính: 2v0 v0 3 3 v0 ;v2G = v2 v= 0 v0 v0 3 3 1 1G 2KA2 2 2 A = v0 m m2v2G 2KA2 2K 2 2 A = v0 m 2K Bài 4: Cho hệ cơ như hình vẽ : khi ở trạng thái cân bằng lò xo dãn 30 cm. Lấy g = 10m/s2. Đốt sợi dây treo. a. Xác định gia tốc của các vật nhỏ ngay sau khi đốt dây b. Sau bao lâu thì lò xo đạt đến trạng thái không biến dạng lần đầu tiên và tính vận tốc mỗi vật lúc đó ? Giải : m a. gọi Δl0 là độ dãn của lò xo ban đầu : Δl0 = 2mg (1). Ngay sau khi đốt dây (chọn chiều dương theo ) : Vật m: kΔl0 + mg = ma �a =3g (2) 2m Vật 2m : Δk l+ mg= 2ma2 �a= 0 (3) b. Sau khi đốt dây, ngoại lực tác dụng lên hệ chỉ có trọng lực nên khối tâm g của hệ rơi tự do. Chọn hệ quy chiếu có gốc tọa độ O trùng khối tâm G. Ngoài trọng lực, lực đàn hồi còn có lực quán tính ( q tác dụng lên mỗi vật. Từ tọa độ khối tâm, ta có: ml01 = 2ml02; l01+l02 = l0 suy ra : l01 = 2l0 ;l02 = l0 Gọi k1, k2 lần lượt là các lò xo nối với m và 2m. Từ công thức : k1l1 = k2l02 = kll02 suy ra: k1 = kl0 = 3k ;k2 =3k 01 m) Gọi O1, O2 là vị trí cân bằng của m và 2m. ­ Xét con lắc m,k1 : Gốc tọa độ O1 chiều dương hướng thẳng đứng xuống dưới, Trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm G : khi m ở vị trí cân bằng : p+ F + F = 0�mg kΔ l01 m=g 0�Δ l=1 0 (4) Vậy khi m ở vị trí cân bằng lò xo k1 không biến dạng. Khi m ở li độ x (chẳng hạn lò xo bị nén) Phương trình động lực học của m đối với khối tâm G : p+ F+ F = ma�mg mg k=x mx``�+x`` k=x 0 Vậy m dao động điều hòa quanh O1 đứng yên đối với G với : ω = m =10rad / s�T = 5 s ­ Xét con lắc 2m,k2 : Tương tự 2m dao động xung quanh O2 với ω2 = 2m =10rad / s �T2 = 5 s Chú ý: có thể lý luận vì trọng lực bị khử bởi lực quán tính nên hệ dao động giống hệ con lắc lò xo ngang. Phương trình chuyển động của m: x = A cos(ωt+j1)�v1G = ω A sin(ω+t j1) Khi chưa đốt dây thì cả lò xo dài l0 dãn : Δl0 = 2mg nên lò xo k1 dãn đoạn : Δl01 = 2Δl0 . Chọn gốc thời gian ngay lúc đốt dây t = 0 x = 2Δl= A cosj1 j1 =π Δl vG = Aωsinj= 0 �1 3 Suy ra được : x = 20cos(10t+π)�v1G = 200sin(10+t π)(cm) (5) Tại thời điểm t = 0 ta có : x1 = ­20 cm tức m đang ở biên âm nên sau T lò xo không biến dạng lần đầu tiên : t = 4 = 20s (vì dao động của 2m cùng tần số với m nên kết quả tương tự) ­ Vận tốc của m : Áp dụng công thức cộng vận tốc: v = vG +vG Với : vG = gt = 2 m/ s;vG = 2m/ s�v = 2+ 2 m/ s. Áp dụng công thức vận tốc khối tâm : vG = mv + 2mv2 �v2 = 3mv2mmv = 0.57m/ s Bài 5: Cho cơ hệ như hình vẽ: Lò xo nhẹ có độ cứng đồng đều k, độ dài tự nhiên 0. Các vật nhỏ A, B có khối lượng lần lượt m1 = m, m2 = 2m. Vât A được treo vào giá đỡ (ở độ cao đủ lớn) bởi dây mềm có khả năng chịu lực tốt. Kích thích vật B để nó dao động theo phương thẳng đứng. 1. Tìm điều kiện về biên độ để vật B dao động điều hoà. A 2. Cho biên độ dao động của B là mg . Tại thời điểm t=t0 vật B tới vị trí thấp nhất thì dây treo vật A bị tuột ra. a. Xác định các gia tốc a1, a2 của A và B ngay sau lúc dây treo bị tuột. b. Bỏ qua sức cản môi trường, sau thời điểm t0, khối tâm của hệ chuyển động như thế nào? Chứng minh rằng các vật A & B dao động điều hoà cùng tần số nhưng ngược pha nhau đối với khối B tâm của hệ và xác định biên độ của dao động đó. Giải : 1. Điều kiện về biên độ để B dao động điều hoà: vật A phải đứng yên khi B dao động. Độ dãn lò xo khi hệ cân bằng: Δ0 = mBg = 2mg m1 k m2 Vật A bị đẩy lên chỉ khi lò xo bị nén. độ nén cực đại của lò xo là: (Δnen )max = A Δ = A 2mg k Dây treo không bị chùng khi: k(Δnen)max �m�g k(A 2mg)�mg => A 3mg k 2.a. Khi B tới VT thấp nhất lò xo có độ dãn: Δ= Δ0 + mg = 3mg ; Δ= 3mg + Vật A: mAaA = mAg + Fđh(A) maA = mg+3mg = 4mg => aA = 4g + Vật B: mBaB = mBg ­ Fđh(A) 2maB = 2mg ­ 3mg = ­ mg => aB = 0,5g b. Sau lúc dây tuột ra hệ chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên khối tâm rơi tự do với gia tốc g. + Hệ quy chiếu khối tâm ở đây là hệ quy chiếu phi quán tính, khi đó trọng lượng hiệu dụng: P/ = P+ Ft = 0: mất trọng lượng, các vật chỉ chịu tác dụng của lực đàn hồi do vậy chúng dao động điều hoà đối với khối tâm. + Hệ dao động gồm hai con lắc lò xo mà một đầu của mỗi lò xo đó gắn với điểm cố định G (Khối tâm của hệ) Chiều dài và độ cứng mỗi lò xo gắn với A, B lần lượt là (1, k1) và (2, k2) 1 = m2 ; +2 = 0 => 1 = 20;2 = 10 2 1 k1 1 =k22 = k00 => k1 = (m +m2 )k0 ; k2 = (m +m2 )k0 => k1 = 3k0 ; k2 =3k0 2 1 Tần số góc dao động của m1, m2 lần lượt là: ω = k1 ; ω2 = 1 k2 m2 => ω =ω2 = k0(m + m2) 1m2 3k0 =ω (1) Lúc t = t0 các vật đều không có vận tốc đối với G: Chúng ở vị trí biên và ngay sau đó chúng chuyển động về phía khối tâm G (2) Từ (1) và (2) => Các vật A & B dao động điều hoà cùng tần số nhưng ngược pha nhau đối với khối tâm của hệ. + Biên độ dao động của A, của B chính là độ dãn của từng lò xo lúc t = t0. A1=Δ = Δ(0 )= 3Δ =>A1=2mg ; A2 =Δ2 = Δ(2 )= 3Δ => A2 =mg ... - tailieumienphi.vn