Xem mẫu
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
1.1. TÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh
1. KiÓm tra l¹i c¸c ®¼ng thøc sau ®©y
√ x√ 2 √
a
x2 ± adx = x ± a ± ln x + x2 ± a + C trong ®ã a > 0.
(a)
2 2
√ x√ 2 a2 x
a2 − x2 dx = a − x2 + arcsin + C trong ®ã a > 0.
(b)
2 2 a
dx x
√ = arcsin + C trong ®ã a > 0.
(c)
a
a2 − x 2
√
dx
√ = ln x + x2 ± a + C trong ®ã a > 0.
(d)
x2 ± a
dx 1 x
= arctan + C trong ®ã a = 0.
(e)
2 + a2
x a a
dx 1 a+x
= ln + C trong ®ã a = 0.
(f)
2 − x2 a−x
a 2a
2. KiÓm tra l¹i c¸c ®¼ng thøc sau ®©y
b sin bx + a cos bx ax
eax cos bx = e + C trong ®ã a = 0.
(a)
a2 + b2
a sin bx − b cos bx ax
eax sin bx = e + C trong ®ã a = 0.
(b)
a2 + b2
dx x
= ln tan + C trong ®ã x = kπ .
(c)
sin x 2
dx xπ
+ C trong ®ã x = π + kπ .
= ln tan +
(d)
2
cos x 24
3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
√ √
dx 3
x4 + x− 4 + 2 2
x
ln
• . • dx. • dx.
4−1
x x3 x
1 + 2 x2 23x − 1 ex + e2x
• dx. • dx. • dx.
x2 (1 + x2 ) ex − 1 1 − ex
√ √
x2 + 1 + 1 − x2 22x − 1 ex dx
√
• dx. √
• dx. • .
1 − x4 2x 1 + ex
√ √
x2 + 1 − 1 − x2 dx x
sin2 dx.
•
√
• dx. . •
x(2 + ln2 x)
x4 − 1 2
K53 -Toán tin ĐHKHTN
1
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
x + arc sin3 2x
1 + cos x
2
• •
cotg xdx. dx. √
• dx.
(x + sin x)3 1 − 4x2
sin 2x
√
• dx. x + arc cos3/2 x
• 1 + sin 2xdx,
1 − 4 sin2 x √
• dx.
π 1 − x2
sin x
x ∈ 0, .
• dx.
2
2 − sin2 x • x|x|dx.
ecos x sin xdx. sin x cos x
•
• dx.
3 − sin4 x
• (2x − 3)|x − 2|dx.
ex cos ex dx. arccotg3x
•
• dx.
1 + 9 x2
√
1 x + arctg2x • f (x)dx,
• dx. • dx.
1 + cos x 1 + 4 x2
1 − x2 , |x| 1,
arc sin x − arc cos x
dx f ( x) =
√
• dx.
• .
1 − |x|, |x| > 1.
1 − x2
sin x + cos x
4. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
e2x dx
2 +2x−1
e2x (2x + 1)dx.
√ (i) (r) .
dx.
(a)
(x2 + a2 )3/2
4
ex + 1
dx dx
dx √
(j) .
√ (s) .
(b) . ex − 1 (x2 − 1)3/2
ex + 1
e2x dx
√
√
e2x (k) .
a2 − x2 dx.
e4x + 1 (t)
dx.
(c)
ex − 1 2x dx
√ √
(l) . √
1 + lnx 1 − 4x a2 + x2 dx.
(u)
dx.
(d)
dx
x
√
(m) .
√ x2
1+ x+1
1 + lnx √ dx.
(v)
dx.
(e) x+1 a2 + x 2
xlnx √ dx.
(n)
x x−2 dx
dx √
(w) .
dx
(f) .
x2 x 2 + a2
√
x/2 + ex (o) .
e
ax + b + m
√
x2 dx
arctg x dx dx √
√ (x) .
(g) . √√
(p) .
a2 − x 2
x 1+x x( 3 x − 1)
3
√ dx dx
√
e3x + e2x dx. (q) . (y) .
(h)
(1 − x2 )3/2 x x 2 − a2
5. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
K53 -Toán tin ĐHKHTN
2
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
x2x dx. (arc sin x)2 dx. x2 ln(1 + x)dx.
• • •
arc sin x
x2 e−x dx.
• √
• dx. x2 sin 2xdx.
•
x+1
2
x3 e−x dx. arc sin x
•
• dx. x3 cos(2x2 )dx.
•
x2
(x3 + x)e5x dx.
• xarctgx
√
• dx.
ex sin xdx.
•
1 + x2
√
• arc sin xdx.
arc sin x
√
• dx.
3x cos xdx.
•
1−x
• xarc sin xdx.
• e3x (sin 2x−cos 2x)dx.
ln xdx. •
2
• x arc sin 2xdx.
√ xe2x sin 5xdx.
•
x ln2 xdx.
•
• arctgxdx.
√
x2 ex sin xdx.
•
√ ln(x + 16 + x2 )dsx.
•
• arctg xdx.
√
x ln(x + 1 + x2 )
x2 ex cos xdx.
•
√
• dx.
x3 arctgxdx.
•
1 + x2
(arctgx)2 xdx. x2 sin(ln x)dx.
• • •
sin x ln(tgx)dx.
6. T×m c«ng thøc truy håi cho c¸c tÝch ph©n sau:
xn eax dx, a = 0. sinn xdx, n > 2.
• In = • In =
lnn xdx.
• In = cosn xdx, n > 2.
• In =
dx
xα lnn xdx, α = −1.
• In = • In = , n > 2.
cosn x
xn dx
√
• In = , n > 2.
x2 + a
7. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
2x3 + x2 + 5x + 1
xdx
(a) . dx.
(c)
(x + 1)(x + 2)(x − 3) (x2 + 3)(x2 − x + 1)
x4 + x2 + 1
2x4 + 5x2 − 2
dx.
(d)
dx.
(b)
x(x − 2)(x + 2)
2x3 − x − 1
K53 -Toán tin ĐHKHTN
3
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
x2 + 2 x + 7
dx
(e) . dx.
(m)
x(x − 1)(x2 − x + 1)2 (x − 2)(x2 + 1)3
x4 − x2 + 1 x2
dx.
(f) dx.
(n)
(x2 − 1)(x2 + 4)(x2 − 2) (x + 2)2 (x + 1)
3x2 + 5x + 12 x2 + 1
dx.
(g) dx.
(o)
(x2 + 3)(x2 + 1) (x − 1)3 (x + 3)
(x4 + 1)dx dx
(h) . (p)
x5 + x4 − x3 − x2 5 − x2
x
x3 + x + 1 3x2 + 8
dx. dx.
(i) (q)
x4 − 1 x3 + 4 x2 + 4 x
x4 2x5 + 6x3 + 1
dx. dx.
(j) (r)
1 − x4 x4 + 3 x2
3x + 5 x3 + 4x2 − 2x + 1
dx.
(k) dx.
(s)
2 + 2x + 2)2
(x x4 + x
x4 − 2x2 + 2 x3 − 3
dx.
(l) dx.
(t)
(x2 − 2x + 2)2 x4 + 10x2 + 25
8. TÝnh c¸c tÝch ph©n
dx dx
√ √
(a) . (i) .
2x − 1 − 3 2x − 1 (x − 1)3 (x − 2)
xdx dx
√
(b) . (j) .
(3x − 1) 3x − 1 (x − 1)2 (x + 1)
3
dx
1 − x dx
(k) .
(c) .
1+x x (x + 1)2 (x − 1)4
3
dx
x + 1 dx
3
(l) .
(d) .
x−1 x+1 (x − 1)3 (x + 2)5
4
√ √
dx
x+1− x−1
√ √ (m) .
dx.
(e)
(x − 1)7 (x + 1)2
3
x+1+ x−1
dx
xdx
√ √ (n) .
(f) .
x+1− 3x+1 (x − 7)7 (x − 5)5
6
dx
1+x
a = b.
(o) ,
(x − 2) dx.
(g)
(x − a)n+1 (x − b)n−1
1−x n
√ √
x+1− x−1
x+1 dx
3
√ √ dx.
(h) . (p)
x − 1 (x − 1)3 x+1+ x−1
K53 -Toán tin ĐHKHTN
4
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
9. Sö dông c¸c phÐp thÕ Euler tÝnh c¸c tÝch ph©n sau
dx dx
√ √
(a) . (d) .
x x2 + x + 1 (x − 1) x2 + x + 1
dx (x − 1)dx
√ √
(b) . (e) .
(x − 2) −x2 + 4x − 3 (x2 + 2x) x2 + 2x
dx 5x + 4
√ √
(c) . dx.
(f)
(x + 1) 1 + x − x2 2 + 2x + 5
x
10. TÝnh c¸c tÝch ph©n vi ph©n nhÞ thøc
dx
1
x− 3 (1 − x1/6 )−1 dx. √
(a) √
(i) .
3
x2 ( x + 1)3
3
√
x
3
2 1
x− 3 (1 + x 3 )−3 dx.
(b) dx.
(j) √
x+1
3
1 1
x− 2 (1 + x 4 )−10 dx. dx
(c)
√
(k) .
6 x2 − 1
x
x
dx
dx.
(d) √ √
(l) .
3
x2
1+ 3
x 1 + x5
√
2
x3 (1 + 2x2 )− 3 dx.
(e)
x7 1 + x2 dx.
(m)
dx dx
√
(f) . √
(n) .
x4 1 + x2 3
1 + x3
dx dx
(g) . √
(o) .
2 (1 + x3 )5/3
x 4
1 + x4
dx √
(h) √.
√3 3
x − x3 dx.
(p)
4
x3 1 + x3
11. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
sin x + cos x
dx
cos4 xdx.
• •
• dx.
.
sin 2x
sin 2x
sin2 x
sin5 xdx.
• dx • dx.
• x. cos6 x
cos
3
sin3 x cos2 xdx.
• • sin 3x cos xdx.
dx
• x. x 2x
3 5
• •
cos x sin xdx. sin cos dx.
cos
3 3
3
K53 -Toán tin ĐHKHTN
5
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
cos3 x dx
sin4 x cos5 xdx.
•
•
• .
dx.
sin2 x 1 + sin x + cos x
sin3 x
dx
sin3 x √
• • dx.
.
• dx.
(2 − sin x)(3 − sin x) cos x 3 cos x
cos2 x
dx
cos3 x
sin3 x cos5 xdx. √
•
• .
• dx. 3 11
sin5 x sin x cos x
sin3 x
dx
sin2 x cos4 xdx.
• √
•
• dx.
. 3
3 + 5 cos x cos2 x
√
dx 3
sin4 x cos6 xdx. cos2 x sin3 xdx.
• •
• .
sin x + cos x
dx
3 sin x + 2 cos x
sin4 x cos2 xdx. √
•
• • .
dx. 4 3
2 sin x + 3 cos x sin x cos5 x
12. TÝnh c¸c nguyªn hµm sau
sin 7x dx
√
dx.
(a) (e) .
sin x x2 − x + 1
x+
dx
dx (f) .
(b) .
sin3 x
x4 ±1
dx
dx (g) .
√ cos3 x
(c) .
4
x4 + 1
dx
√ 0
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
1.2. TÝch ph©n x¸c ®Þnh
0 < a < b, ta xÐt hµm sè
1. (a) Víi
x ∈ [a, b] ∩ Q,
x nÕu
f (x) =
nÕu x ∈ [a, b]\Q.
0
• f.
T×m tæng Darboux trªn vµ tæng Darboux díi cña hµm
• f.
XÐt tÝnh kh¶ tÝch (theo nghÜa th«ng thêng) cña hµm
g : [0, 1] → R ®îc x¸c ®Þnh bëi
(b) XÐt hµm sè
1
, n ∈ N,
1 x=
nÕu
n
g ( x) =
0 nÕu ngîc l¹i.
• g.
T×m tæng Darboux trªn vµ tæng Darboux díi cña hµm
1
• Tõ ®ã suy ra hµm g lµ kh¶ tÝch vµ tÝnh g (x) dx.
0
2. TÝnh c¸c giíi h¹n sau
1 1 1
limn→∞ + + ... +
(a) .
n+1 n+2 n+2n
1 1 1
limn→∞ n2 + + ... +
(b) .
n3 +13 n3 +23 n3 +n3
1k +2k +...+nk
limn→∞ k 0.
(c) trong ®ã
nk+1
1 n
limn→∞ (n + 1) (n + 2) ... (n + n).
(d)
n
n n n
limn→∞ sin n2 +12 + sin n2 +22 + ... + sin n2 +n2
(e) .
1 2 n
2n 2n 2n
limn→∞ + + ... +
(f) .
n+ 1 n+ 1 1
n+ n
1 2
3. Chøng minh giíi h¹n sau lµ mét sè d¬ng
π
sin n2+1
π
sin nnπ
sin n+1 +1
lim + + ... .
1 2 n
n→∞
f [0, 1] th×
4. Chøng minh r»ng nÕu lµ hµm kh¶ vi liªn tôc trªn
n 1
f (1) − f (0)
1 i
−
lim n f f (x) dx = .
n n 2
n→∞ 0
i=1
K53 -Toán tin ĐHKHTN
7
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
f f
5. Chøng minh r»ng nÕu lµ hµm kh¶ cÊp 2 vµ lµ hµm kh¶ tÝch vµ bÞ chÆn th×
n
1
2i − 1 f (1) − f (0)
1
2
f (x) dx −
lim n f = .
n 2n 24
n→∞ 0 i=1
f [0, 1]. Chøng minh
6. Gi¶ sö lµ hµm liªn tôc trªn
π π
π
xf (sin x) dx = f (sin x) dx.
2
0 0
f [0, 1]. TÝnh tÝch ph©n
7. Gi¶ sö lµ hµm d¬ng vµ liªn tôc trªn
1
f (x)
dx.
f (x) + f (1 − x)
0
b
f [a, b]. f (x) dx = 0
8. Gi¶ sö lµ hµm kh«ng ©m vµ liªn tôc trªn Chøng minh r»ng nÕu th×
a
f
hµm ®ång nhÊt b»ng 0.
b
f [a, b]. Chøng minh r»ng nÕu ®¼ng thøc f (x) g (x) dx = 0 ®óng
9. Gi¶ sö lµ hµm liªn tôc trªn
a
víi mäi hµm liªn tôc g trªn [a, b] th× f ®ång nhÊt b»ng 0.
10. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y
π
π
x sin x
2
dx.
sinn xdx. (e)
(a)
1 + cos2 x
0
0
1
π
dx
2
n (f) .
cos xdx.
(b)
(ex + 1) (x2 + 1)
−1
0
π 3
4
sgn x − x3 dx.
2n (g)
tan xdx.
(c)
0
0
π π
sin x dx
4 2
dx.
(d) (h) .
1 + tan2008 x
sin x + cos x
0 0
f, g [0, T ], g T . Chøng minh
11. Gi¶ sö liªn tôc trªn lµ hµm tuÇn hoµn chu kú
T T T
1
lim f (x) g (nx) dx = f (x) dx g (x) dx.
T
n→∞ 0 0 0
π
sin x
lim dx.
Tõ ®ã ¸p dông tÝnh
1 + 3 cos2 nx
n→∞ 0
K53 -Toán tin ĐHKHTN
8
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
1.3. C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh
[a, b]. Chøng minh tån t¹i θ ∈ [a, b] sao cho
f
1. Gi¶ sö kh¶ tÝch trªn
θ b
f (t) dt = f (t) dt.
a θ
[a, b]. Chøng minh tån t¹i θ1 , θ2 ∈ [a, b] sao cho
f, g
2. Gi¶ sö liªn tôc trªn
b b
g (θ1 ) f (x) dx = f (θ1 ) g (x) dx
a a
vµ
θ2 b
g (θ2 ) f (x) dx = f (θ2 ) g (x) dx.
a θ2
[a, b]. Chøng minh tån t¹i θ ∈ (a, b) sao cho
f, g
3. Gi¶ sö lµ c¸c hµm d¬ng vµ liªn tôc trªn
f (θ ) g (θ)
− = 1.
θ b
f (x) dx g (x) dx
a θ
[0, 1] th× tån t¹i θ ∈ (0, 1) sao cho
f
4. Chøng minh r»ng nÕu lµ hµm kh¶ vi liªn tôc trªn
1
1
f (x) dx = f (0) + f (θ) .
2
0
θ ∈ (0, 1)
f [0, 1]
5. Chøng minh r»ng nÕu lµ hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp 2 trªn th× tån t¹i sao
cho
1
1 1
f (x) dx = f (0) + f (0) + f (θ) .
2 6
0
f (x) lµ hµm g ( x) [a, b].
6. Gi¶ sö ®¬n ®iÖu bÞ chÆn vµ lµ hµm kh¶ tÝch trªn Chøng minh tån t¹i
ξ ∈ [a, b] sao cho
b ξ b
f (x)g (x)dx = f (a) g (x)dx + f (b) g (x)dx.
a a ξ
f, g : [a, b] → [0, ∞) lµ c¸c hµm liªn tôc, g
7. Gi¶ sö lµ hµm kh«ng gi¶m sao cho
b b
f (t)dt ≥ g (t)dt
x x
x ∈ [a, b]. Chøng minh r»ng
®óng víi mäi
b b
f 3 (x)dx ≥ g 3 (x)dx.
a a
K53 -Toán tin ĐHKHTN
9
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
1.4. Mét sè øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh
1. TÝnh c¸c giíi h¹n sau
x
n+1
1 1
xdx
n4 lim √ ln 1 + √ dt.
(h)
lim
(a) .
x
x5 + 1 t
x→+∞
n→∞ 0
n
1
2n cos t
xdx
n3 lim x dt.
(i)
lim
(b) .
t2
x5 + 1 x→+∞
n→∞ x
n
√
x2
2
x5 sin tdt
0
lim ln x + dx.
(c) lim
(j) .
n x3
n→∞ x→0+
1
1 x 1+t
n
2π
1 xdx
lim t dt
(k) .
lim
(d) .
x2 0
x→0+
3π arctan (nx)
n→∞ π
1
π
1 p
2
−n sin x p
lim e dx.
(e) lim f (x) dx f
(l) trong ®ã lµ hµm
n→∞ x→0
0 0
d¬ng vµ liªn tôc trong [0, 1].
π √
n
lim x sin xdx.
(f) 1
n→∞ 1 p
0
f p (x) dx
lim f
(m) trong ®ã lµ
π
sinn x x→−∞
2
0
√
lim dx.
(g)
hµm d¬ng vµ liªn tôc trong [0, 1].
1+x
n→∞ 0
2. TÝnh ®é dµi ®êng cong cã c¸c ph¬ng tr×nh nh sau
3
θ
r = sin 3 0 θ 3π .
(a) ,
x3 + y 3 = 3xy .
(b)
t
r = 1 + cos t, θ = t − tan 2 , 0 t β < π.
(c)
r = aθ, 0 ≤ θ ≤ 2π
(d) (®êng xo¾n Archimet).
3. TÝnh diÖn tÝch c¸c h×nh ph¼ng ®îc giíi h¹n bëi c¸c ®êng cong sau
r2 = a2 cos 2θ y = 6x − x2 , y = 0.
(a) (®êng Lemniscat). (h)
4y = 8x − x2 , 4y = x + 6.
(i)
r = a(1 + cos θ) (®êng Cardinoid).
(b)
y = 4 − x2 , y = x2 − 2x.
(j)
x3 + y 3 = 3axy
(c) (l¸ Descartes).
6x = y 3 − 16y , 24x = y 3 − 16y .
(k)
2 2 2
x3 + y 3 = a3
(d) (®êng h×nh sao).
y = 1 − ex , x = 2, y = 0.
(l)
x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t),
(e)
y = x2 − 6x + 10, y = 6x − x2 ; x = −1.
(m)
0 ≤ t ≤ 2π (®êng Cycloid).
π
y = arc sin x, y = ± , x = 0.
(n)
r = a(1 + cos 3θ) (®êng ba l¸).
(f)
2
y = ex , y = e−x , x = 1.
y = 6x − x2 − 7, y = x − 3.
(g) (o)
K53 -Toán tin ĐHKHTN
10
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
y 2 = 2px, x2 = 2py . t ∈ [0, 2π ].
(p)
x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ [0, 2π ].
x2 +y 2 +6x−2y +8 = 0, y = x2 +6x+10
(q) (s)
x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π ].
(r) (t)
4. TÝnh ®é dµi cung cña c¸c ®êng cong:
y = x3/2 x = et cos t, y = et sin t
x = 0 ®Õn x = 4. t=0
(a) tõ (i) tõ ®Õn
t = ln π .
y = x2 − 1 tõ x = −1 ®Õn x = 1.
(b)
a x = 8 sin t + 6 cos t, y = 6 sin t − 8 cos t
(j)
y = ex/a + e−x/a tõ x = 0 ®Õn x = a.
(c) π
2 tõ t = 0 ®Õn t = .
π 2
y = ln cos x tõ x = 0 ®Õn x = .
(d)
6 ρ = aekθ (®êng xo¾n èc l« ga) tõ θ = 0
(k)
π 2π ®Õn θ = T .
y = ln sin x tõ x = ®Õn x =
(e) .
3 3
ρ = a(1 − cos ϕ), a > 0, 0 ϕ 2π
(l)
π
x = et sin t, y = et cos t, 0 t
(f) . (®êng h×nh tim).
2
1
x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t);
(g)
ρϕ = 1 tõ ®iÓm A 2,
(m) ®Õn ®iÓm
2
0 t 2π .
1
B , 2 - ®êng xo¾n èc hypecbon.
x = a cos3 t, y = a sin3 t; 0 t 2π .
(h)
2
5. TÝnh thÓ tÝch miÒn giíi h¹n bëi h×nh ellipsoit
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1. (a, b, c > 0)
a2 b c
Ox, Oy :
6. TÝnh thÓ tÝch, diÖn tÝch xung quanh vËt trßn xoay khi quay quanh
y 2 = 2px (0 x b)
i)
y2
x2
+ =1
ii)
a2 b2
(x − a)2 + y 2 = b2 (0 < b < a)
iii)
h vµ c¹nh ®¸y lµ a. ThiÕt
7. T×m thÓ tÝch cña mét vËt mµ ®¸y cña nã lµ tam gi¸c c©n cã chiÒu cao
diÖn ngang cña vËt lµ viªn ph©n parabol cã d©y cung b»ng chiÒu cao cña viªn ph©n.
x2 + y 2 + z 2 = 16 vµ hai mÆt ph¼ng lµ x = 2,vµ
8. T×m thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi mÆt cÇu
x = 3.
y 2 = (x − 1)3 vµ ®êng
9. T×m thÓ tÝch cña vËt ®îc t¹o ra khi quay h×nh giíi h¹n bëi ®êng cong
x = 2 quanh trôc 0x.
th¼ng
K53 -Toán tin ĐHKHTN
11
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
1.5. TÝch ph©n suy réng
1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
∞
2π +∞
dx
dx
(a) . −x2
xe dx
(k)
4 (r) .
sin x + cos4 x
0 x2 + 4x + 9
π 0 −∞
2
∞
ln (sin x) dx.
(b) +∞
dx
xdx
√
0 (l) .
(s) .
x x2 − 1
1
( x2 + 1)3
(− ln x)n dx. 0 √
(c)
2
∞
0
dx +∞
(m) .
1
dx
(x2 + 1)2
n
n
x ln xdx.
(d) √
(t) .
0
x2
x +x+1
0
∞
1
∞
dx
x sin xdx.
(n)
(e) . +∞
(1 + x2 )n arctgx
0
dx.
(u)
0
∞
x2
dx ∞
√
(f) . 2xdx 1
2 x2 − 1
x (o) .
1
+∞
x2 + 1
∞
2x + 5
ln x −∞
dx.
(v)
dx.
(g)
x2 + 3x − 10
∞
x2 + 1
0
3
e−x sin xdx.
(p)
π
∞
ln (1 + cos x) dx.
(h)
0
e−ax sin bxdx, a > 0.
0 (w)
+∞
∞
ln x 1 0
dx.
(i) +
(q)
+ 1)2
(x2 x2 −1 +∞
0
2
∞
e−ax cos bxdx, a > 0.
1 dx 2 (x)
ln x + dx.
(j) .
2+1 (x + 1)2
x x 0
0
2. Kh¶o s¸t sù héi tô cña c¸c tÝch ph©n suy réng sau
∞ ∞ +∞
dx xdx
sin2 3x
(a) . (e) .
1 + x2 sin2 x √ dx.
x ln x (h)
2 0 3
x4 + 1
1
∞
sin2 x ∞
dx.
(b)
e−x +∞
x2 + 1 dx
0 dx.
(f)
√
(i) .
x
4x + ln x
1 1
(− ln x)α dx. 1
(c)
0
1
+∞ +∞
ln 1 +
xdx
1 x dx.
dx √
(g) . (j)
(d) . xα
x4 + 1
β
xα (− ln x)
0 2 1
K53 -Toán tin ĐHKHTN
12
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
√ ∞
+∞ +∞
dx
xdx x+1
√ √ (p) .
dx.
(k) . (m)
1 + 2 x + x2 x(x − 1)(x − 2)
3
x5 + 2
3
0 0
∞
∞
+∞
1
cos 5x − cos 7x 2
(3x4 − x2 )e−x dx.
√ (e1/x − 1)dx. (q)
(n)
dx.
(l)
x
x2
0
1
1
√
+∞ ∞ +∞
ln(x − 2)
xdx x+ x+1
√ √ dx. dx.
. (o) (r)
x5 + x2 + 1
3
x2 + 2 5 x4 + 1
1 + x7
0 1 5
α > 0 nÕu cã)
3. Kh¶o s¸t sù héi tô cña c¸c tÝch ph©n suy réng sau (tham sè
∞ ∞
sin x sin 2x
esin x
dx. dx.
(a) (e)
xα xα
1 1
∞
|sin x| +∞
dx. sin 1 + x + x2 + ... + x2007 dx.
(b) (f)
x
1 1
∞
∞
sin x
2
sin x dx.
(c)
dx.
(g)
xα + sin x
1
0
∞
sin x
α
ln x dx.
(d)
x
1
∞ ∞
(f (x))2 dx
f 2 (x) dx
4. Chøng minh r»ng nÕu c¸c tÝch ph©n vµ héi tô th× tÝch ph©n
a a
∞
(f (x))2 dx còng héi tô.
a
∞
f liªn tôc ®Òu trªn [a, ∞) vµ tÝch ph©n suy réng f (x) dx héi tô.
5. Gi¶ sö Chøng minh r»ng
a
lim f (x) = 0.
x→∞
∞ ∞
xf (x) dx héi tô th× tÝch ph©n suy réng f (x) dx
6. Chøng minh r»ng nÕu tÝch ph©n suy réng
1 1
còng héi tô.
7. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
e
6 1
dx
dx
(c) . x ln xdx.
(a) . (e)
x ln x
(4 − x)2
3
1
2 0
2 2 3
dx dx xdx
√
(b) . (d) . (f) .
2 − 4x + 3 4
x x2 − 4
(x − 1)2
3
0 0 2
K53 -Toán tin ĐHKHTN
13
- Bài tập Giải tích II Phép tính tích phân trên R
2 0 b
e1/x
dx dx
dx.
(g) . (j) (m) ;
(x − 1)2 x3 (x − a)(b − x)
−1
0 a
a < b.
2 1
e1/x
xdx 1
(h) . dx.
(k)
x2 − 1 x3 x ln2 xdx.
(n)
−2 0
0
2 1
x3 dx dx
√
(i) . (l) .
4 − x2 x(1 − x)
0 0
8. Kh¶o s¸t sù héi tô cña c¸c tÝch ph©n sau:
1 1 2
cos2 x (x − 2)
dx
√ dx. dx.
(a) (g) . (l)
x − cos x x2 − 3x2 + 4
3
e
1 − x2
0 0 1
√
1
ln(1 + x 3
1
π/4
dx.
(b) dx
ln(sin 2x)
esin x − 1 √ (m) .
dx.
(h)
0
x(ex − e−x )
x
5
1 0
0
dx
(c) .
√
x−1 2
e 1
16 + x4
ln x
0
√ dx. dx.
(n)
(i)
√ 16 − x4
1 x
xdx 0
0
(d)
esin x−1
√x
1
0 1
e −1
sin x
1
dx.
dx. (o)
(j)
x2 dx x2 sin x
(e) .
0
0
(1 − x2 )5
3
0
1 2 1
x3 dx 3
ln(1 + x)
dx
√ dx.
(f) . (k) . (p)
1 − cos x
x − x3
x2 )5
(1 −
3
0 0 0
K53 -Toán tin ĐHKHTN
14
nguon tai.lieu . vn
