Xem mẫu
Ph m Đình Đ ng
Exercises in Functional
1st Edition
Analysis
A review for final exam 2008
L i t a
To all the girls i love before. Tôi đ n v i gi i tích hàm như m t "s s p đ t c a s ph n". Có l , đó là nguyên nhân đ tôi vi c vi t t p tài li u nh này. Xin nh n m nh r ng, đây ch là s góp nh t khai tri n ch ng có gì là sáng t o. Th nh tho ng có đôi l i khen t ng, tôi l y làm x u h như đã cư ng chi m m t cái gì đó không ph i ph n mình đư c hư ng. Khi m t k bình thư ng quên ư c lư ng tài s c c a mình, vi t v m t đi u quá r ng l n và tr u tư ng ch c h n không th tránh kh i thi u sót. R t mong s ch giáo c a các đ c gi . Nư c muôn sông không đ cho tôi r a tai đ nghe nh ng l i cao lu n.
Hu , tháng 5, 2008. Ph m Đình Đ ng
Ph.D.Dong "A journey of a thousand miles begin with one step" - Lão T
3
1
Không gian đ nh chu n
Bài t p 1.1. Cho X là m t không gian vectơ , f1 , f2 : X −→ K là các ánh x tuy n tính th a f1 (x)f2 (x) = 0, ∀x ∈ X. Ch ng minh r ng f1 ≡ 0 ho c f2 ≡ 0. Ch ng minh. Gi s f1 = 0 ta c n ch ng minh f2 = 0. Vì f1 = 0 nên t n t i x1 ∈ X sao cho f1 (x1 ) = 0, lúc đó f2 (x1 f1 (x1 )) = f2 (x1 )f1 (x1 ) = 0 Suy ra f2 (x1 ) = 0 hay x1 ∈ Kerf2 . N u f2 = 0 lúc đó t n t i x2 ∈ X sao cho f2 (x2 ) = 0 thì x2 ∈ Kerf1 . Đ t x0 = x1 + x2 , lúc đó f1 (x0 ) = f1 (x1 ) + f1 (x2 ) = f1 (x1 ) = 0 f2 (x0 ) = f2 (x1 ) + f2 (x2 ) = f2 (x2 ) = 0 =⇒ f1 (x0 )f2 (x0 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ) = 0 Mâu thu n v i gi thi t, v y f2 ≡ 0. Bài t p 1.2. Cho X là không gian vectơ , A : X −→ X là ánh x tuy n tính th a A2 = 0. Ch ng minh r ng Id − A là song ánh. Ch ng minh. V i m i x1 , x2 ∈ X th a (Id − A)(x1 ) = (Id − A)(x2 ) ⇒ x1 − A(x1 ) = x2 − A(x2 ) ⇒ A(x1 − x2 ) = x1 − x2 ⇒ A2 (x1 − x2 ) = A(x1 ) − A(x2 ) = 0 ⇒ A(x1 ) = A(x2 ). t đó suy ra x1 = x2 . V y Id − A là đơn ánh. V i m i y ∈ X, xét x = A(y)+y ∈ X, khi đó (Id−A)(x) = (Id−A)(A(y)+ y) = A(y) + y − A(A(y) + y) = A(y) + y − A2 (y) − A(y) = y. V y Id − A là toàn ánh. V y Id − A là song ánh. Bài t p 1.3. Cho X, Y là hai không gian vectơ v i dimX = n, dimY = m. Ch ng minh r ng dim(L(X, Y )) = n.m. Ch ng minh. Ta có L(X, Y ) = {f : X −→ Y là các ánh x tuy n tính } là m t không gian vectơ . Lúc đó L(X, Y ) ∼ Matn×m (K), suy ra dim(L(X, Y )) = = dimMatn×m (K). M t khác ta th y Aij là ma tr n sao cho aij = 1, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m còn các v trí còn l i b ng 0 thì lúc đó h g m {(Aij )}, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
Ph.D.Dong là đ c l p tuy n tính. M t khác a11 a21 A= . . . am1 thì A=
i=1 j=1 n
4
. . . a1n . . . a2n ... . . . . . . amn
m
aij Aij
Do đó {Aij } là h sinh c a Matn×m (K). V y {Aij } là cơ s c a Matn×m (K) và nó có m × n ph n t . V y dim(L(X, Y )) = n.m. Bài t p 1.4. Cho f : X −→ R là ánh x tuy n tính , Y ⊂ X th a Kerf ⊂ Y . Ch ng minh r ng Y = X ho c Y = Kerf . Ch ng minh. Gi s Y là không gian con c a X ch a Kerf th c s . Lúc đó có y0 ∈ Y và y0 ∈ Kerf nên f (y0 ) = 0. / f (x) V i m i x ∈ X, ta đ t z = x − f (y0 ) y0 thì f (z) = f (x − f (x) f (x) y0 ) = f (x) − f (y0 ) = f (x) − f (x) = 0 f (y0 ) f (y0 ) ⇒z =x− Suy ra x = z + f (x) y0 ∈ Kerf ⊂ Y f (y0 )
f (x) y0 ∈ Y , t c là X = Y . f (y0 )
Bài t p 1.5. Cho X = {0} là không gian vectơ th c ho c ph c. Ch ng minh r ng ta có th trang b ít nh t m t chu n trên X. Ch ng minh. G i B = {eα | α ∈ I} là cơ s Hamel c a X trên K. Lúc đó m i x ∈ X, x = 0 có th vi t duy nh t dư i d ng
n
x=
j=1
xij eij
trong đó n ∈ N, xij ∈ K \ {0}, ij ∈ I, j = 1, n đôi m t phân bi t. Ta đ nh nghĩa
n
x =
j=1
xij và x = 0 n u x = 0
Ta s ch ng minh . là m t chu n trên X. Th t v y,
Ph.D.Dong
n
5 xij eij trong đó n ∈ N, xij ∈
j=1
• L y x ∈ X, x = 0. Lúc đó x =
K \ {0}, ij ∈ I, j = 1, n đôi m t phân bi t. Vì x = 0 nên t n t i ít nh t m t ij = 0. Do đó, x > 0. • V i m i x ∈ X và λ ∈ K, n u x = 0 ho c λ = 0 thì λx = 0,
n
do đó λx = |λ| x . Gi s x = 0, λ = 0. N u x =
j=1 n
xij eij thì
λx =
j=1
λxij eij . Suy ra λx = |λ| x .
• L y tùy ý x, y ∈ X. N u x = 0 ho c y = 0 thì x + y = x + y . Ngư c l i, n u x, y = 0, ta xem x có bi u di n như trên và y =
m
yts ets trong đó m ∈ N, xts ∈ K \ {0}, ts ∈ I, s = 1, m đôi m t phân
s=1
bi t. Đ t Cx , Cy ⊂ I như sau Cx = {ij , j = 1, n} và Cy = {ts , s = 1, m}
n m
N u Cx ∩ Cy = ∅ thì x + y =
j=1 n m
xij eij +
s=1
yts ets . Khi đó x + y =
xij +
j=1 s=1
|xts | = x + y .
Bây gi ta gi s Cxy = Cx ∩ Cy = ∅. Không m t tính t ng quát, gi s in = tm , in−1 = tm−1 , . . . , in−k = tm−k thì Cxy = {in , . . . , in−k } = {tm , . . . , tm−k }. Ta có th bi u di n x + y như sau
n−k−1 m−k−1 k
x+y =
j=1
xij eij +
s=1
yts ets +
l=1
(xin−l + ytm−l )ein−l
v i (xin−l + ytm−l ) = 0, n u nó b ng 0 thì ta không vi t ra. N u x + y = 0 thì x + y ≤ x + y , hi n nhiên. N u x + y = 0 thì
n−k−1 m−k−1 k
x+y =
j=1 n−k−1
xij +
s=1 m−k−1
|yts | +
l=1 k
xin−l + ytm−l ( xin−l + ytm−l )
l=1
≤
j=1
xij +
s=1
|yts | +
= x + y
nguon tai.lieu . vn
Exercises in Functional
1st Edition
Analysis
A review for final exam 2008
L i t a
To all the girls i love before. Tôi đ n v i gi i tích hàm như m t "s s p đ t c a s ph n". Có l , đó là nguyên nhân đ tôi vi c vi t t p tài li u nh này. Xin nh n m nh r ng, đây ch là s góp nh t khai tri n ch ng có gì là sáng t o. Th nh tho ng có đôi l i khen t ng, tôi l y làm x u h như đã cư ng chi m m t cái gì đó không ph i ph n mình đư c hư ng. Khi m t k bình thư ng quên ư c lư ng tài s c c a mình, vi t v m t đi u quá r ng l n và tr u tư ng ch c h n không th tránh kh i thi u sót. R t mong s ch giáo c a các đ c gi . Nư c muôn sông không đ cho tôi r a tai đ nghe nh ng l i cao lu n.
Hu , tháng 5, 2008. Ph m Đình Đ ng
Ph.D.Dong "A journey of a thousand miles begin with one step" - Lão T
3
1
Không gian đ nh chu n
Bài t p 1.1. Cho X là m t không gian vectơ , f1 , f2 : X −→ K là các ánh x tuy n tính th a f1 (x)f2 (x) = 0, ∀x ∈ X. Ch ng minh r ng f1 ≡ 0 ho c f2 ≡ 0. Ch ng minh. Gi s f1 = 0 ta c n ch ng minh f2 = 0. Vì f1 = 0 nên t n t i x1 ∈ X sao cho f1 (x1 ) = 0, lúc đó f2 (x1 f1 (x1 )) = f2 (x1 )f1 (x1 ) = 0 Suy ra f2 (x1 ) = 0 hay x1 ∈ Kerf2 . N u f2 = 0 lúc đó t n t i x2 ∈ X sao cho f2 (x2 ) = 0 thì x2 ∈ Kerf1 . Đ t x0 = x1 + x2 , lúc đó f1 (x0 ) = f1 (x1 ) + f1 (x2 ) = f1 (x1 ) = 0 f2 (x0 ) = f2 (x1 ) + f2 (x2 ) = f2 (x2 ) = 0 =⇒ f1 (x0 )f2 (x0 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ) = 0 Mâu thu n v i gi thi t, v y f2 ≡ 0. Bài t p 1.2. Cho X là không gian vectơ , A : X −→ X là ánh x tuy n tính th a A2 = 0. Ch ng minh r ng Id − A là song ánh. Ch ng minh. V i m i x1 , x2 ∈ X th a (Id − A)(x1 ) = (Id − A)(x2 ) ⇒ x1 − A(x1 ) = x2 − A(x2 ) ⇒ A(x1 − x2 ) = x1 − x2 ⇒ A2 (x1 − x2 ) = A(x1 ) − A(x2 ) = 0 ⇒ A(x1 ) = A(x2 ). t đó suy ra x1 = x2 . V y Id − A là đơn ánh. V i m i y ∈ X, xét x = A(y)+y ∈ X, khi đó (Id−A)(x) = (Id−A)(A(y)+ y) = A(y) + y − A(A(y) + y) = A(y) + y − A2 (y) − A(y) = y. V y Id − A là toàn ánh. V y Id − A là song ánh. Bài t p 1.3. Cho X, Y là hai không gian vectơ v i dimX = n, dimY = m. Ch ng minh r ng dim(L(X, Y )) = n.m. Ch ng minh. Ta có L(X, Y ) = {f : X −→ Y là các ánh x tuy n tính } là m t không gian vectơ . Lúc đó L(X, Y ) ∼ Matn×m (K), suy ra dim(L(X, Y )) = = dimMatn×m (K). M t khác ta th y Aij là ma tr n sao cho aij = 1, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m còn các v trí còn l i b ng 0 thì lúc đó h g m {(Aij )}, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
Ph.D.Dong là đ c l p tuy n tính. M t khác a11 a21 A= . . . am1 thì A=
i=1 j=1 n
4
. . . a1n . . . a2n ... . . . . . . amn
m
aij Aij
Do đó {Aij } là h sinh c a Matn×m (K). V y {Aij } là cơ s c a Matn×m (K) và nó có m × n ph n t . V y dim(L(X, Y )) = n.m. Bài t p 1.4. Cho f : X −→ R là ánh x tuy n tính , Y ⊂ X th a Kerf ⊂ Y . Ch ng minh r ng Y = X ho c Y = Kerf . Ch ng minh. Gi s Y là không gian con c a X ch a Kerf th c s . Lúc đó có y0 ∈ Y và y0 ∈ Kerf nên f (y0 ) = 0. / f (x) V i m i x ∈ X, ta đ t z = x − f (y0 ) y0 thì f (z) = f (x − f (x) f (x) y0 ) = f (x) − f (y0 ) = f (x) − f (x) = 0 f (y0 ) f (y0 ) ⇒z =x− Suy ra x = z + f (x) y0 ∈ Kerf ⊂ Y f (y0 )
f (x) y0 ∈ Y , t c là X = Y . f (y0 )
Bài t p 1.5. Cho X = {0} là không gian vectơ th c ho c ph c. Ch ng minh r ng ta có th trang b ít nh t m t chu n trên X. Ch ng minh. G i B = {eα | α ∈ I} là cơ s Hamel c a X trên K. Lúc đó m i x ∈ X, x = 0 có th vi t duy nh t dư i d ng
n
x=
j=1
xij eij
trong đó n ∈ N, xij ∈ K \ {0}, ij ∈ I, j = 1, n đôi m t phân bi t. Ta đ nh nghĩa
n
x =
j=1
xij và x = 0 n u x = 0
Ta s ch ng minh . là m t chu n trên X. Th t v y,
Ph.D.Dong
n
5 xij eij trong đó n ∈ N, xij ∈
j=1
• L y x ∈ X, x = 0. Lúc đó x =
K \ {0}, ij ∈ I, j = 1, n đôi m t phân bi t. Vì x = 0 nên t n t i ít nh t m t ij = 0. Do đó, x > 0. • V i m i x ∈ X và λ ∈ K, n u x = 0 ho c λ = 0 thì λx = 0,
n
do đó λx = |λ| x . Gi s x = 0, λ = 0. N u x =
j=1 n
xij eij thì
λx =
j=1
λxij eij . Suy ra λx = |λ| x .
• L y tùy ý x, y ∈ X. N u x = 0 ho c y = 0 thì x + y = x + y . Ngư c l i, n u x, y = 0, ta xem x có bi u di n như trên và y =
m
yts ets trong đó m ∈ N, xts ∈ K \ {0}, ts ∈ I, s = 1, m đôi m t phân
s=1
bi t. Đ t Cx , Cy ⊂ I như sau Cx = {ij , j = 1, n} và Cy = {ts , s = 1, m}
n m
N u Cx ∩ Cy = ∅ thì x + y =
j=1 n m
xij eij +
s=1
yts ets . Khi đó x + y =
xij +
j=1 s=1
|xts | = x + y .
Bây gi ta gi s Cxy = Cx ∩ Cy = ∅. Không m t tính t ng quát, gi s in = tm , in−1 = tm−1 , . . . , in−k = tm−k thì Cxy = {in , . . . , in−k } = {tm , . . . , tm−k }. Ta có th bi u di n x + y như sau
n−k−1 m−k−1 k
x+y =
j=1
xij eij +
s=1
yts ets +
l=1
(xin−l + ytm−l )ein−l
v i (xin−l + ytm−l ) = 0, n u nó b ng 0 thì ta không vi t ra. N u x + y = 0 thì x + y ≤ x + y , hi n nhiên. N u x + y = 0 thì
n−k−1 m−k−1 k
x+y =
j=1 n−k−1
xij +
s=1 m−k−1
|yts | +
l=1 k
xin−l + ytm−l ( xin−l + ytm−l )
l=1
≤
j=1
xij +
s=1
|yts | +
= x + y