- Trang Chủ
- Vật lý
- Bài tập cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 3
Xem mẫu
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
BµI tËp Ch−¬ng III : Sãng ©m trong chÊt láng
@ ¸p dông 3: C©n b»ng n¨ng l−îng côc bé ®èi víi mét sãng ph¼ng (Trang 107)
H·y viÕt biÓu thøc cña mËt ®é ®éng n¨ng, mËt ®é thÕ n¨ng vµ mËt ®é n¨ng l−îng sãng, còng
nh− vect¬ mËt ®é dßng n¨ng l−îng (vect¬ mËt ®é n¨ng th«ng Π ), ®èi víi mét sãng ph¼ng lan
truyÒn theo ph−¬ng song song víi trôc Ox. KiÓm nghiÖm biÓu thøc c©n b»ng n¨ng l−îng côc bé
trong tr−êng hîp ®Æc biÖt nµy.
Bµi gi¶i :
§èi víi mét sãng ph¼ng lan truyÒn theo ph−¬ng song song víi trôc Ox, vËn tèc v vµ ¸p suÊt d−
⎧ ⎡⎛ x ⎞⎤
x⎞ ⎛
⎪ v( x, t ) = ⎢ f ⎜ t − ⎟ + g ⎜ t + ⎟ ⎥ ex
⎣ ⎝ cS ⎠ ⎝ cS ⎠ ⎦
⎪
p cã d¹ng : ⎨
⎡⎛ x ⎞⎤
x⎞ ⎛
⎪
⎪ p ( x, t ) = ρ0 cS ⎢ f ⎜ t − c ⎟ − g ⎜ t + c ⎟ ⎥ ex
⎣⎝ S⎠ ⎝ S ⎠⎦
⎩
1
1 1
MËt ®é khèi cña ®éng n¨ng : eK = ρ 0 v 2 = ρ 0 ( f + g ) 2 ⇒ eK = ρ 0 ( f 2 + 2 fg + g 2 )
2
2 2
MËt ®é khèi cña thÕ n¨ng :
1 1 1
eP = χ S p 2 = χ S ( ρ 0 cS ) ( f − g ) 2 = χ S ( ρ 0 cS ) ( f 2 − 2 fg + g 2 )
2 2
2 2 2
1
1
⇒ eP = ρ 0 ( f 2 − 2 fg + g 2 )
Mµ : c S =
2
ρ0 χ S 2
MËt ®é khèi cña n¨ng l−îng sãng ©m : eS = eK + eP = ρ 0 ( f 2 + g 2 )
Vect¬ mËt ®é n¨ng th«ng : Π = pv = ρ 0 cS ( f − g )( f + g )ex ⇒ Π = ρ 0 cS ( f 2 − g 2 )ex
∂e
BiÓu thøc c©n b»ng n¨ng l−îng côc bé : divΠ + S = 0 . Tr−êng hîp sãng ©m lan truyÒn
∂t
∂Π ∂eS
+ =0
theo ph−¬ng Ox (mét chiÒu), ta cã:
∂x ∂t
DÔ dµng kiÓm tra l¹i biÓu thøc c©n b»ng n¨ng l−îng côc bé :
⎡1 1⎤
∂Π ∂f ∂g
= ρ0 cS (2 f − 2 g ) = 2 ρ0cS ⎢ − f − g ⎥ = −2 ρ0 ( f + g )
Ta cã : (1)
∂x ∂x ∂x ⎣ cS cS ⎦
∂eS
= 2 ρ0 ( f ' f + g ' g ) = 2 ρ0 ( f + g )
Vµ : (2)
∂t
∂Π ∂eS
+ =0
Tõ (1) vµ (2) suy ra :
∂x ∂t
@ ¸p dông 4 : Ph¶n x¹ vµ truyÒn qua c¸c sãng ©m trªn bÒ mÆt tiÕp gi¸p gi÷a hai èng
dÉn: (Trang 112)
Kh¶o s¸t sù ph¶n x¹ vµ sù truyÒn qua cña c¸c sãng ©m ph¼ng trªn bÒ mÆt tiÕp gi¸p cña hai èng
dÉn cã tiÕt diÖn S1 vµ S2 (h×nh a vµ h×nh b).
1) Chøng minh r»ng cã sù liªn tôc cña ¸p suÊt t¹i x = x0 :
p1 ( x0 , t ) = p2 ( x0 , t )
2) Chøng minh r»ng cã sù liªn tôc cña l−u l−îng khèi (l−u l−îng thÓ tÝch) trªn bÒ mÆt tiÕp gi¸p:
Dv1 ( x0 , t ) = S1v1 ( x0 , t ) = Dv2 ( x0 , t ) = S2 v 2 ( x0 , t )
ρc
Cho biÕt trë kh¸ng ©m cña mét èng dÉn cã tiÕt diÖn S ®−îc x¸c ®Þnh bëi tû sè : Z = 0 S
S
71
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
3) ViÕt biÓu thøc cña c¸c hÖ sè ph¶n x¹ vµ hÖ sè truyÒn qua vÒ biªn ®é ®èi víi l−u l−îng khèi
vµ ¸p suÊt d− theo c¸c trë kh¸ng ©m cña c¸c èng dÉn.
4) Tõ ®ã rót ra hÖ sè ph¶n x¹ R vµ hÖ sè truyÒn qua T vÒ n¨ng l−îng.
5) §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc thu ®−îc khi c¸c èng dÉn chøa cïng mét chÊt l−u vµ cã diÖn tÝch
kh¸c nhau. X¸c ®Þnh T vµ R khi S2 → ∞. B×nh luËn kÕt qu¶ nhËn ®−îc.
@ Bµi gi¶i :
C©u 1 :
XÐt mét “pÝtt«ng” (mét líp chÊt l−u) cã khèi l−îng M, bÒ dµy kh«ng ®¸ng kÓ, n»m trªn bÒ mÆt
tiÕp gi¸p cña hai èng dÉn. D−íi t¸c dông cña ¸p suÊt d− p1(x0,t) vµ p2(x0,t), ph−¬ng tr×nh chuyÓn
®éng cña pÝtt«ng cã d¹ng : Ma(t ) = S[ p1 ( x0 , t ) - p2 ( x0 , t )] trong ®ã a(t) lµ gia tèc cña pÝtt«ng.
Khi M → 0, do gia tèc a(t) lµ h÷u h¹n, nªn : p1 ( x0 , t ) = p2 ( x0 , t )
Nh− vËy, cã sù liªn tôc cña ¸p suÊt t¹i x = x0 (trªn bÒ mÆt tiÕp gi¸p gi÷a hai èng).
( 2 ) ( ρ 2 , c2 )
C©u 2 :
(1) ( ρ1 , c1 )
ChiÒu dµi L cña rèi lo¹n nhá cña chÊt l−u khi cã
Sãng ph¶n x¹
sãng ©m truyÒn qua lµ bÐ h¬n nhiÒu so víi b−íc
sãng λ cña sãng ©m : L
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
f 2 ⎡ ρ1c1S2 -S1 ρ 2c2 ⎤ f 2 ⎛ Z1 − Z 2 ⎞ S2
Vµ : g1 = ⎥ ⇒ g1 = ⎜ ⎟
⎢
ρ1c1S1
2⎣ ⎦ 2 ⎝ Z1 ⎠ S1
Z − Z2
Suy ra : r12 ( DV ) = 1
Z1 + Z 2
T−¬ng tù, hÖ sè ph¶n x¹ vÒ biªn ®é ®èi víi ¸p suÊt d− :
−ρ c g Z − Z2
p g
r12 ( p ) = phanxa = 1 1 1 = − 1 = − 1 = − r12 ( DV )
ρ1c1 f1 Z1 + Z 2
ptoi f1
(L−u ý dÊu (-) trong biÓu thøc cña ¸p suÊt d− ph¶n x¹).
HÖ sè truyÒn qua vÒ l−u l−îng khèi :
D Sv Sf
τ 12 ( DV ) = V ,truyenqua = 2 truyenqua = 2 2
DV ,toi S1 vtoi S1 f1
2 Z1
f2 2 Z1 S1
⇒ τ 12 ( DV ) =
=
Tõ (3) suy ra :
Z1 + Z 2
f1 Z1 + Z 2 S2
T−¬ng tù, hÖ sè truyÒn qua vÒ biªn ®é ®èi víi ¸p suÊt d− :
ρ 2 c2 f 2 ρ 2 c2 2 Z1 S1 Z1 2 Z1 Z
τ 12 ( p ) = = 1 τ 12 ( DV )
= =
ρ1c1 f1 ρ1c1 Z1 + Z 2 S 2 Z 2 Z1 + Z 2 Z 2
o HÖ sè ph¶n x¹ vµ hÖ sè truyÒn qua vÒ n¨ng l−îng :
Π phanxa S1ex Π phanxa S2ex
R= vµ T =
Π toi S1ex Π toi S1ex
Π toi = ptoi .vtoi = ρ1c1 f12
Víi :
Π phanxa = p phanxa .v phanxa = − ρ1c1 g12
Π truyenqua = ptruyenqua .vtruyenqua = ρ2 c2 f 22
2
⎛ Z − Z2 ⎞
ρ1c1 g12
⇒ R=⎜ 1
Suy ra : R = ⎟
ρ1c1 f12 ⎝ Z1 + Z 2 ⎠
2
ρ 2c2 S 2 g12 ρ 2 c2 S2 ⎛ S1 ⎞ 4 Z12 4 Z12 4 Z1Z 2
Z2
⇒T=
T= = =
⎜⎟
( Z1 + Z 2 )
ρ1c1S1 ⎝ S2 ⎠ ( Z1 + Z 2 ) Z1 ( Z1 + Z 2 )
ρ1c1S1 f1 2
2 2
2
Ta thÊy : R + T = 1
C©u 5 :
Khi èng dÉn chøa cïng mét chÊt l−u th× : ρ1 = ρ2
ρ c /S
Z S
Ta cã : 2 = 1 1 1 = 2
Z1 ρ 2 c2 / S 2 S1
S −S
r12 ( DV ) = 2 1 = − r12 ( p )
⇒
S 2 + S1
2 S1 S
τ 12 ( DV ) = = 2 τ 12 ( p )
S1 + S 2 S1
2
⎛S −S ⎞ 4 S 2 S1
R=⎜ 2 1⎟ T =
( S2 + S1 )
⎝ S 2 + S1 ⎠
2
Khi S2 → ∞ th× R → 1, T → 0. N¨ng l−îng sãng ©m bÞ ph¶n x¹ hoµn toµn vµ gÇn nh−
kh«ng truyÒn ®−îc qua bÒ mÆt tiÕp gi¸p gi÷a hai èng.
73
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
4 S 2 S1
> S1 th× T =
( S2 + S1 )
2
mÆt tiÕp gi¸p rÊt bÐ. V× vËy, khi nãi tr−íc ®¸m ®«ng, ta ph¶i dïng tay lµm loa hoÆc dïng loa th×
n¨ng l−îng sãng ©m truyÒn tõ miÖng truyÒn ra bªn ngoµi míi lín ®−îc.
@ Bµi tËp 1: Giã mang ©m thanh (Trang 129)
Nghiªn cøu mét dßng kh«ng khÝ cã vËn tèc kh«ng ®æi u0 (theo ph−¬ng chiÒu trôc Ox víi u0 > 0
t¹i mäi ®iÓm. Trong dßng ch¶y ®ã, cã mét sãng ©m ph¼ng ch¹y truyÒn theo ph−¬ng cña trôc
Ox.
1) H·y dïng c¸c ký hiÖu ®· häc, h·y viÕt ph−¬ng tr×nh lan truyÒn ¸p suÊt d− p(x,t) trong ph¹m
vi phÐp gÇn ®óng ©m häc.
2) Mét sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c, lan truyÒn trong dßng ch¶y. D−íi d¹ng phøc, p ®−îc viÕt nh−
sau: p = p0 ei (ωt −kx ) . H·y t×m hÖ thøc t¸n x¹ cho mèi liªn hÖ gi÷a k vµ ω, vµ gi¶i thÝch kÕt qu¶
nhËn ®−îc. C©u “giã mang ©m thanh” nãi lªn ®iÒu g×?
Bµi gi¶i : C©u 1 :
VËn tèc cña mét phÇn tö chÊt l−u khi giã chuyÓn ®éng víi vËn tèc u0 :
u0 + v( x, t ) víi v( x, t )
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
⎛ ∂v ⎞
( )
ρ⎜ ⎟ + ρ (u0 + v) grad v = − grad p
⎝ ∂t ⎠
∂v
ρ + ρ (u0 grad ) v+ρ (v grad )v = − grad p
⇒
∂t
∂v ∂v ∂v
; ®ång thêi l−u ý r»ng ρ ≈ ρ0
Trong phÐp gÇn ®óng ©m häc, ta cã : (v grad )v
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
⎛ 1 ∂ 2 p u0 ∂ 2 p ⎞
1 ∂ 2 p u0 ∂ 2 p ∂2 p
− −2 + u0 ⎜ − 2 − 2 2 ⎟=− 2
c 2 ∂t 2 c ∂x∂t ⎝ c ∂x∂t c ∂x ⎠ ∂x
∂2 p ∂2 p ∂2 p
( c − u ) ∂x2 = ∂t 2 + 2u0 ∂x∂t
⇒ 2 2
0
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh lan truyÒn ¸p suÊt d− p(x,t) trong dßng ch¶y.
C©u 2 :
Víi sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c p(x,t) cã d¹ng : p = p0 ei (ωt −kx )
∂2 p ∂2 p ∂2 p
= p(−iω )2 = −ω 2 p ; = p (−iω )(−ik ) = ω kp
= p (−ik ) 2 = − k 2 p ;
⇒
∂x 2 ∂t 2 ∂t∂x
Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn ¸p suÊt d− p trë thµnh :
−(c 2 − u0 )k 2 = −ω 2 + 2u0ω k (ω 2 − 2ωu0 k + u0 k 2 ) − c 2 k 2 = 0
⇒
2 2
(ω − u0 k ) 2
k2 =
(ω − u0 k ) 2 = ( kc ) 2
⇒ ⇒
c2
ω = k (u0 ± c)
ω − u0 k = ± kc
⇒ ⇒
§©y chÝnh lµ hÖ thøc t¸n x¹ cÇn t×m.
ω
NÕu ®Æt c ' = u0 ± c ⇒ ω = kc ' , ta l¹i t×m thÊy mét hÖ thøc quan hÖ cã d¹ng : k = .
c'
Nh− vËy, vËn tèc truyÒn ©m khi cã giã chÝnh b»ng c ' = u0 ± c . NÕu sãng truyÒn theo chiÒu dßng
ch¶y th× c ' = u0 + c > c ⇒ sãng ©m lan truyÒn trong dßng kh«ng khÝ sÏ nhanh h¬n lan truyÒn
trong kh«ng khÝ yªn tÜnh, do ®ã cã thÓ nãi r»ng “giã mang ©m thanh”.
Tµi liÖu tham kh¶o :
[1] Sãng, N¨m thø hai, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette SupÐrieure, Nxb. Gi¸o dôc Hµ Néi 2002
[2] Ondes, DeuxiÌme annÐe, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette SupÐrieure, 2000
[3] L−¬ng Duyªn B×nh, Ng« C«ng TrÝ, NguyÔn H÷u Hå, VËt lý ®¹i c−¬ng, TËp II : Dao ®éng
vµ sãng c¬, Nxb. Gi¸o dôc Hµ Néi 1998
76
nguon tai.lieu . vn