- Trang Chủ
- Vật lý
- Bài tập cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 1
Xem mẫu
- PHÁÖN II :
BAÌI TÁÛP DAO ÂÄÜNG VAÌ SOÏNG CÅ
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
bµi tËp ch−¬ng 1 :
Dao ®éng tö ®iÒu hßa ghÐp
hiÖn t−îng lan truyÒn dao ®éng
@ Bµi tËp I: Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng cã lùc c¶n cña hÖ mét bËc tù do:
XÐt mét dao ®éng tö mét bËc tù do nh− h×nh vÏ. Hai lß xo cã cïng ®é cøng lµ K. Qu¶ cÇu cã
khèi l−îng lµ M. Gäi ψ (t ) lµ dÞch chuyÓn cña cÇu so víi vÞ trÝ c©n b»ng. Gi¶ sö bá qua mäi
lùc c¶n t¸c dông lªn qu¶ cÇu.
⎛ dψ ⎞
1) Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu, hÖ chÞu mét kÝch thÝch cã d¹ng: ψ (0) = 0 ; ⎜ ⎟ = v0 . H·y
⎝ dt ⎠t =0
thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do vµ x¸c ®Þnh tÇn sè gãc ω cña dao ®éng tù do cña qu¶
cÇu. Suy ra biÓu thøc cña dÞch chuyÓn ψ (t ) cña qu¶ cÇu.
2) B©y giê nhê mét c¬ cÊu tay quay con tr−ît, ®Çu A cña qu¶ cÇu chÞu mét dÞch chuyÓn d−íi
d¹ng: ξ (t ) = ξ 0 cos ω t . H·y x¸c ®Þnh dÞch chuyÓn cña qu¶ cÇu trong chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin
æn ®Þnh. VÏ ®å thÞ cña biªn dé dao ®éng c−ìng bøc A(ω ) cña qu¶ cÇu theo tÇn sè gãc cña lùc
kÝch thÝch ( ω gäi lµ tÇn sè kÝch thÝch). øng víi gi¸ trÞ nµo cña ω , hiÖn t−îng céng h−ëng sÏ
x¶y ra ?
M
K K
A B x
ψ (t )
A M
K K B x
ξ (t ) ψ (t )
K
H−íng dÉn: Ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña hÖ: ψ + ω12 .ψ = 0 víi ω1 = . DÞch chuyÓn
M
π
v0 F0 1
víi F0 = Kξ 0
cña qu¶ cÇu: ψ (t ) = cos(ω1t + ) . Biªn ®é dao ®éng: A(ω ) =
ω1 M ω 1 −ω 2
2
2
Céng h−ëng x¶y ra khi ω = ω1 (tÇn sè kÝch thÝch ω b»ng tÇn sè riªng ω1 cña hÖ)
@ Bµi tËp II: Dao ®éng c−ìng bøc cã lùc c¶n nhít cña hÖ mét bËc tù do:
XÐt mét dao ®éng tö mét bËc tù do nh− h×nh vÏ. §Çu A
x
A
cña lß xo ®−îc kÝch thÝch bëi mét c¬ cÊu tay quay con K M
tr−ît, t¹o nªn mét dÞch chuyÓn cã d¹ng: ξ (t ) = ξ 0 cos ω t
cña ®Çu A.
ψ
Lß xo cã ®é cøng K b»ng h»ng sè. Qña cÇu B cã khèi
l−îng lµ M. Gäi ψ lµ dÞch chuyÓn cña cÇu so víi vÞ trÝ c©n ξ (t )
b»ng. Gi¶ sö qu¶ cÇu chÞu t¸c dông cña mét lùc c¶n nhít:
52
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
ω1M
Fc = −h ψ , trong ®ã h lµ hÖ sè c¶n nhít cña m«i tr−êng (h = h»ng sè). Gäi Q= víi
h
K
ω12 = . (Q ®−îc gäi lµ hÖ sè phÈm chÊt)
M
1) ViÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña dao ®éng tö.
2) Chóng ta chØ nghiªn cøu chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn ®Þnh. H·y x¸c ®Þnh biªn ®é dao
®éng c−ìng bøc A(ω ) cña dao ®éng tö nãi trªn, b»ng c¸ch biÓu diÔn ψ (t ) vµ F (t ) = K .ξ (t )
d−íi d¹ng phøc. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña A(ω ) theo tÇn sè gãc ω cña lùc kÝch thÝch trong
1 1
. Tõ ®ã suy ra ®iÒu kiÖn ®Ó cã céng h−ëng vµ gi¸ trÞ cña ω
tr−êng hîp Q > vµ Q <
2 2
khi x¶y ra céng h−ëng.
ω F (t )
H−íng dÉn: Ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña hÖ: ψ + 1 ψ + ω12 .ψ = víi F (t ) = K ξ (t ) .
Q M
F0 1 1
Biªn ®é dao ®éng: A(ω ) = . A(ω ) cùc ®¹i khi ω = ω1 1 − víi
2Q 2
M 2
2 ⎛ω ω ⎞
(ω −ω 2 ) +⎜ 1 ⎟
2
1
⎝Q⎠
1
®iÒu kiÖn Q > (®iÒu kiÖn ®Ó cã céng h−ëng).
2
@ Bµi 1 (Trang 28): Dao ®éng cña hai phao:
Hai phao h×nh trô gièng nhau (tiÕt diÖn s TiÕt diÖn s H×nh bµi 1
vµ khèi l−îng m) cã thÓ dao ®éng trong
n−íc cña mét b×nh chøa cã tiÕt diÖn S.
Gäi ρ lµ khèi l−îng riªng cña n−íc. VÞ
trÝ cña c¸c phao ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c
dÞch chuyÓn x1 vµ x2 cña chóng theo
ph−¬ng th¼ng ®øng so víi vÞ trÝ c©n b»ng.
1) T×m hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶
chuyÓn ®éng cña hai phao (thõa nhËn
r»ng mÆt tho¸ng cña n−íc n»m ngang vµ
cã thÓ ¸p dông ®Þnh lý ArchimÌde).
2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, gi¶ sö r»ng TiÕt diÖn S TiÕt diÖn S
t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu, hai phao ®Òu n»m
ë vÞ trÝ c©n b»ng, víi vËn tèc ban ®Çu lµ
2v0 ®èi víi phao thø nhÊt vµ v0 ®èi víi phao thø hai.
Bµi gi¶i : C©u 1 :
Khi phao dÞch chuyÓn theo ph−¬ng th¼ng ®øng ⇒ mùc n−íc trong b×nh bÞ thay ®æi.
Gäi x lµ dÞch chuyÓn cña mÆt tho¸ng chÊt láng so víi vÞ trÝ lóc c¸c phao c©n b»ng; x1 vµ x2 lµ
dÞch chuyÓn cña hai phao so víi vÞ trÝ c©n b»ng.
Khi hai phao næi lªn so víi vÞ trÝ c©n b»ng (x1 > 0, x2 > 0), mùc n−íc trong b×nh sÏ h¹ xuèng :
x < 0.
( x + x )s
Do thÓ tÝch n−íc trong b×nh kh«ng ®æi, nªn : ( x1 + x2 ).s = - x( S - 2s) ⇒ x = − 1 2
S − 2s
¸p dông ®Þnh lý vÒ ®éng l−îng cho c¸c phao :
⎧mx1 = − mg + ρ ⎣V0,chim − ( x1 − x) s ⎦ g
⎡ ⎤
⎪
⎨
⎪mx2 = − mg + ρ ⎡V0,chim − ( x2 − x) s ⎤ g
⎣ ⎦
⎩
Víi : V0, chim : thÓ tÝch phÇn ch×m trong n−íc cña mçi phao lóc phao c©n b»ng : V0,chim ρ g = mg
53
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
⎧mx1 = −( x1 − x) s ρ g ( x + x )s
(1)
víi : x = − 1 2
Suy ra : ⎨
⎩mx2 = −( x2 − x) s ρ g S − 2s
(2)
sρ g
( x + x )s ⎞
⎛
( x1S − 2sx1 + sx1 + sx2 )
Tõ (1) suy ra : mx1 = − ⎜ x1 + 1 2 ⎟ s ρ g = −
S − 2s ⎠ S − 2s
⎝
sρ g s ρ g (S − s) s2 ρ g
[ x1 (S − s) + sx2 ] ⇒ x1 = −
⇒ mx1 = − x1 − x2
m ( S − 2s ) m ( S − 2s )
S − 2s
s ρ g ( S − s) s2 ρ g
§Æt : ω12 = (Chó ý r»ng : ω1 > ω2 )
; ω12 =
2
m ( S − 2s ) m ( S − 2s )
x1 = −ω12 x1 − ω2 x2
2
Suy ra :
s2 ρ g s ρ g (S − s)
T−¬ng tù, tõ (2) suy ra : x2 = − x1 − x2
m ( S − 2s ) m ( S − 2s )
x2 = −ω2 x1 − ω12 x2
2
Hay :
Tãm l¹i, hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng cña hai phao :
⎪ x1 = −ω1 x1 − ω2 x2
⎧ 2 2
⎨ (3)
⎪ x2 = −ω2 x1 − ω1 x2
2 2
⎩
C©u 2 :
Céng vÕ theo vÕ cña hÖ ph−¬ng tr×nh (3) :
x1 + x2 = −ω12 x1 − ω12 x2 − ω2 x2 − ω2 x1 ⇒ x1 + x2 = −ω12 ( x1 + x2 ) − ω2 ( x1 + x2 )
2 2 2
x1 + x2 = −(ω12 + ω2 )( x1 + x2 ) ⇒ x1 + x2 = −Ω1 ( x1 + x2 ) víi Ω1 = ω12 + ω2
⇒ 2 2
2 2
T−¬ng tù, trõ vÕ theo vÕ cña hÖ ph−¬ng tr×nh (3) :
x1 − x2 = −(ω12 − ω2 )( x1 − x2 ) ⇒ x1 − x2 = −Ω 2 ( x1 − x2 ) víi Ω 2 = ω12 − ω2
2
2 2
2
⎧ A B
⎪ x1 = 2 sin Ω1 t + 2 sin Ω 2t
⎧ x1 + x2 = −Ω1 ( x1 + x2 ) ⎧ x1 + x2 = A sin Ω1 t ⎪
2
⎪ ⎪
⇒⎨ ⇒⎨
Suy ra : ⎨
⎪ x1 − x2 = −Ω 2 ( x1 − x2 ) ⎪ x1 − x2 = B sin Ω 2t
2
⎪ x = A sin Ω t − B sin Ω t
⎩ ⎩
⎪2 2
⎩
1 2
2
A B A B
Ta cã : x1 = Ω1 cos Ω1 t + Ω 2 cos Ω 2t . T¹i t = 0, x1 = 2v 0 ⇒ 2v 0 = Ω1 + Ω 2 (4)
2 2 2 2
A B A B
Ta cã : x2 = Ω1 cos Ω1 t − Ω 2 cos Ω 2t . T¹i t = 0, x2 = v0 ⇒ v 0 = Ω1 − Ω 2 (5)
2 2 2 2
3v 0 v0
Tõ (4) vµ (5), suy ra : A= ; B=
Ω1 Ω2
⎧ v0 ⎛ 3 ⎞
1
⎪ x1 = ⎜ sinΩ1 t + sin Ω 2t ⎟
2 ⎝ Ω1 Ω2
⎪ ⎠
Tãm l¹i : ⎨
⎪ x = v0 ⎛ 3 sinΩ t − 1 sin Ω t ⎞
⎪ 2 2 ⎜Ω 2⎟
Ω2
1
⎝1 ⎠
⎩
@ Bµi 2 (Trang 28): TriÖt tiªu dao ®éng:
XÐt dao ®éng tö nh− trªn h×nh vÏ (h×nh a). DÞch chuyÓn cña ®Çu A cña lß xo cã d¹ng h×nh sin:
y (t ) = y0 sin Ω t (gi¶ sö K1 ≠ m1Ω 2 ).
1) X¸c ®Þnh dÞch chuyÓn x1(t) cña dao ®éng tö so víi vÞ trÝ c©n b»ng trong chÕ ®é c−ìng bøc
h×nh sin æn ®Þnh.
54
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
2) Mét dao ®éng tö thø 2 ®−îc ®Æt nèi tiÕp dao ®éng tö trªn, nh− s¬ ®å trªn h×nh vÏ (h×nh b).
§Çu A cña lß xo thùc hiÖn dÞch chuyÓn h×nh sin nh− ®· nãi trªn ®©y. Víi c¸c ®iÒu kiÖn nµo
cña K2 vµ m2, dÞch chuyÓn x1 trong chÕ ®é c−ìng bøc æn ®Þnh sÏ b»ng 0 ?
(a) (b)
A m1
K1 A m1
K1
x m2
K2
x
y (t ) x1 (t )
y (t ) x1 (t ) x2 (t )
H×nh bµi 2
Bµi gi¶i : C©u 1 :
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m1 cã d¹ng :
K1
m1 x1 = −( x1 − y ) K1 ⇒ x1 + ω12 x1 = ω12 y víi ω1 = ⇒ x1 + ω12 x1 = ω12 y0 sin Ω t (1)
m1
NghiÖm riªng x1(t) cña ph−¬ng tr×nh (1) biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc cña khèi l−îng m1 cã
d¹ng : x1 (t ) = A(Ω) sin Ω t ⇒ x1 = ΩA cos Ω t ⇒ x1 = −Ω 2 A sin Ω t = −Ω 2 x1
Thay tÊt c¶ vµo (1) : −Ω 2 x1 + ω12 x1 = ω12 y0 sin Ω t ⇒ (ω12 − Ω 2 ) x1 = ω12 y0 sin Ω t
ω12
⇒ x1 = y0 sin Ω t
ω12 − Ω 2
ω12 y0
. Céng h−ëng x¶y ra khi : Ω = ω1 , khi ®ã |A|
Biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc : A(Ω) = 2
ω1 − Ω 2
→∞
C©u 2 :
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ hai dao ®éng tö liªn kÕt m1, m2 :
⎧m1 x1 = − K1 ( x1 − y ) + K 2 ( x2 − x1 )
⎨
⎩m2 x2 = − K 2 ( x2 − x1 )
Khi x1 = 0, ph−¬ng tr×nh trªn trë thµnh :
⎧0 = K1 y + K 2 x2
⎨ (2)
⎩m2 x2 = − K 2 x2
NghiÖm riªng x2 cña ph−¬ng tr×nh (2) biÓu diÔn chÕ ®é c−ìng bøc æn ®Þnh cña khèi l−îng m2
⎧ K1 K
⎪ x2 = − y = − 1 y0 sin Ωt K2 K2
víi : Ω2 = ⇒ Ω=
cã d¹ng : ⎨ K2 K2
m2 m2
⎪ x = A sin Ω t
⎩2 2
K2
Nh− vËy, víi ®iÒu kiÖn Ω = th× dÞch chuyÓn x1(t) trong chÕ ®é c−ìng bøc æn ®Þnh tháa
m2
m·n x1(t) = 0. HÖ lß xo nh− trªn ®−îc øng dông vµo viÖc thiÕt kÕ hÖ thèng c¸ch rung trong kü
thuËt.
55
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
@ Bµi 8 (Trang 30): Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng Klein-Gordon:
Kh¶o s¸t sù lan truyÒn cña sãng däc theo Oz
mét chuçi c¸c con l¾c ®¬n gièng nhau, khèi
l−îng M, chiÒu dµi L, liªn kÕt víi nhau b»ng
c¸c lß xo cã ®é cøng K, nh− trªn h×nh vÏ.
K g
Ký hiÖu: ω 0 = vµ: Ω0 =
M L
1) ViÕt ph−¬ng tr×nh lan truyÒn liªn hÖ c¸c
dÞch chuyÓn bÐ ψ n ≈ L.θ n , ψ n −1 vµ ψ n +1 cña
c¸c ®Çu tù do cña c¸c con l¾c. ViÕt hÖ thøc
t¸n x¹ cña c¸c sãng ch¹y ®¬n s¾c ®Æc tr−ng
H×nh bµi 8 :
cho sù lan truyÒn nµy.
2) BiÓu diÔn hÖ thøc t¸n x¹ vµ chØ râ d¶i tÇn
cho phÐp cña c¸c tÇn sè gãc cña c¸c dao ®éng tù do cña chuçi c¸c con l¾c liªn kÕt.
3) ChØ râ d¹ng cña c¸c kÕt qña nãi trªn trong phÐp gÇn ®óng cho c¸c m«i tr−êng liªn tôc.
Bµi gi¶i : C©u 1 :
Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn :
¸p dông ®Þnh lý momen ®éng l−îng cho con l¾c thø n ®èi víi trôc Oz vu«ng gãc víi mÆt
dLOz
= ∑ M Oz ( Fi e ) víi LOz = J θ n ; J = ML2
ph¼ng chuyÓn ®éng cña hÖ :
dt i
⇒ ML θ n = − K (ψ n −ψ n −1 ) L cos θ n − MgL sin θ n + K (ψ n +1 −ψ n ) L cos θ n
2
Víi gãc lÖch θn coi nh− rÊt bÐ ⇒ cos θ n ≈ 1; sin θ n ≈ θ n ;ψ n ≈ Lθ n
⇒ ML2θ n = − MgLθ n + − KL2 (θ n −1 − 2θ n + θ n +1 ) (1)
K g
§Æt : ω0 = vµ Ω 0 =
M L
Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn sãng däc(1) trong chuçi con l¾c trë thµnh :
θ n = −Ω0θ n + ω02 (θ n−1 − 2θ n + θ n+1 )
2
(2)
Trong ®ã : Ω 0 lµ tÇn sè riªng cña dao ®éng tù do cña con l¾c ®¬n.
NghiÖm h×nh sin cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng :
ë ®©y ta sö dông ph−¬ng ph¸p kh¸c víi ph−¬ng ph¸p tr×nh bµy trong phÇn lý thuyÕt.
§Ó t×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh lan truyÒn (2), tr−íc hÕt ta t×m c¸c nghiÖm θ n (t )
cña ph−¬ng tr×nh (2), sau ®ã nghiÖm tæng qu¸t θ n (t ) ®−îc t×m d−íi d¹ng mét tæ hîp tuyÕn tÝnh
cña c¸c nghiÖm θ n (t ) .
Sö dông ký hiÖu phøc : θ n (t ) = An eiωt víi An = An .eiϕ
⇒ θ n (t ) = Aniω eiωt ⇒ θ n = An ( iω ) eiωt = −ω 2θ n
2
Thay vµo ph−¬ng tr×nh lan truyÒn (2) :
−ω 2 An eiωt = −Ω 0 An eiωt + ω0 ( An −1eiωt − 2 An eiωt + An +1eiωt )
2 2
(3)
⇒ ω02 An −1 + (ω 2 − 2ω0 − Ω 0 ) An + ω0 An +1 = 0
2 2 2
56
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
On
(+)
θn
M
Fn +1 = K (ψ n +1 −ψ n )
Fn −1 = K (ψ n −ψ n −1 )
Mg
ψn
Chóng ta t×m An d−íi d¹ng An = r n , suy ra : An −1 = r n −1 vµ An +1 = r n +1
HÖ thøc (3) trë thµnh : ω0 r n −1 + (ω 2 − 2ω02 − Ω 0 ) r n + ω0 r n +1 = 0
2 2 2
Hay : ω0 r 2 + (ω 2 − 2ω0 − Ω 0 ) r + ω02 = 0
2 2 2
(4)
BiÖt sè cña ph−¬ng tr×nh bËc hai (4) :
∆ = (ω 2 − 2ω0 − Ω 0 ) − 4ω02ω0 ⇒ ∆ = (ω 2 − 2ω0 − Ω 0 − 2ω02 ) (ω 2 − 2ω02 − Ω 0 + 2ω0 )
2
2 2 2 2 2 2 2
⇒ ∆ = (ω 2 − Ω 0 − 4ω0 ) (ω 2 − Ω 0 )
2 2 2
NÕu ∆ > 0 (hay ω ∉ (Ω0 , Ω1 ) trong ®ã Ω1 = 4ω0 + Ω0 ), nghiÖm cña (4) lµ nghiÖm thùc.
2 2
Do tÝch sè cña hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (4) lµ r1 vµ r2 nghiÖm ®óng hÖ thøc r1.r2 = 1 ⇒
Mét trong hai nghiÖm thùc sÏ lín h¬n 1. Khi ®ã, c¸c nghiÖm An , tæ hîp tuyÕn tÝnh cña r1n vµ
r2n sÏ ph©n kú. §iÒu nµy vÒ ph−¬ng diÖn vËt lý lµ kh«ng thÓ chÊp nhËn ®−îc ®èi víi mét chuçi
v« h¹n c¸c dao ®éng tö lý t−ëng.
Do ®ã, ph¶i cã ∆ < 0 hay Ω 0 < ω < Ω1 ⇒ C¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do sÏ
n»m trong miÒn Ω 0 < ω < Ω1 tøc lµ Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 . §©y chÝnh lµ d¶i tÇn cho phÐp cña
2 2
c¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do cña chuçi con l¾c liªn kÕt.
Ta cã : Ω 0 < ω 2 < 4ω0 + Ω 0 ⇒ 0 < ω 2 − Ω 0 < 4ω02 .
2 2 2 2
Do ®ã, cã thÓ ®Æt :
⎛Φ⎞
ω 2 − Ω 0 = 4ω02 sin 2 ⎜ ⎟ , víi Φ ∈ (0, π ) . Ph−¬ng tr×nh (4) trë thµnh:
2
⎝2⎠
⎛ ⎛Φ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Φ ⎞⎞
ω02 r 2 + ⎜ 4ω02 sin 2 ⎜ ⎟ − 2ω02 ⎟ r + ω02 = 0 ⇒ r 2 − 2 ⎜ 1 − 2 sin 2 ⎜ ⎟ ⎟ r + 1 = 0
⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠
⎝ ⎠ ⎝
⇒ r 2 − 2r cos Φ +1 = 0 (5)
Hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5) lµ r1 vµ r2, lµ hai sè phøc liªn hîp vµ tÝch cña chóng: r1.r2 = 1.
Φ ± iΦ
Ta cã : ∆ = cos 2 Φ − 1 = i 2 sin 2 ( ) , do ®ã : r1, 2 = cos Φ ± i sin Φ ⇒ r1, 2 = e
2
Φ
§Æt k = , trong ®ã na x¸c ®Þnh vÞ trÝ c©n b»ng cña vËt dao ®éng thø (n), suy ra:
a
± ika
⇒ θ n (t ) = e ± inka eiωt
r1,2 = e
Do ®ã, c¸c sãng h×nh sin lan truyÒn däc theo chuçi c¸c con l¾c liªn kÕt cã d¹ng (d−íi d¹ng tæ
hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c nghiÖm θ n (t ) = e ± inka eiωt ):
57
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
θ n (t ) = A+ e − inka eiωt + A− einka eiωt ⇒ θ n (t ) = A+ ei (ωt − nka +ϕ ) + A− ei (ωt + nka +ϕ 0− )
0+
Dao ®éng cña c¸c con l¾c ®¬n ®−îc viÕt d−íi d¹ng thùc nh− sau:
θ n (t ) = A+ cos(ωt − nka + ϕ0+ ) + A− cos(ωt + nka + ϕ0− )
HÖ thøc t¸n x¹ :
Tõ ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng, ta suy ®−îc hÖ thøc:
Φ
⎛Φ⎞
ω 2 − Ω 0 = 4ω02 sin 2 ⎜
⎟ víi Φ ∈ (0, π ) vµ k = a
2
⎝2⎠
⎛ ka ⎞
⇒ ω 2 = 4ω0 sin ⎜ ⎟ + Ω 0
2 2
(5)
⎝ 2⎠
HÖ thøc (5) ®−îc gäi lµ hÖ thøc t¸n x¹.
HÖ thøc t¸n x¹ (c¸ch chøng minh gièng nh− trong phÇn lý thuyÕt):
NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) d−íi d¹ng phøc nh− sau : θ n (t ) = A exp [i(ωt − kxn )] víi
A = A exp(iϕ0 ) , víi A lµ sè thùc d−¬ng, cßn ϕ0 lµ mét sè thùc nµo ®ã, ω lµ mét sè thùc d−¬ng.
TÝnh θ n (t ) vµ θ n (t ) : θ n (t ) = iω A exp [i (ωt − kxn )] ; θ n (t ) = −ω 2 A exp [i (ωt − kxn )]
Thay vµo (2), ®ång thêi l−u ý r»ng xn = n.a , suy ®−îc :
θ n = −Ω0θ n + ω02 (θ n−1 − 2θ n + θ n+1 )
2
−ω 2 exp i (−kna) = −Ω0 exp(−ikna) + ω0 [ exp i (−kna + ka) − 2. exp i (− kna) + exp i (− kna − ka)]
2 2
−ω 2 = −Ω0 + ω0 [ exp(ika) − 2 + exp(−ika)]
⇒ 2 2
−ω 2 = −Ω0 + ω0 [ cos(ka) + i sin(ka) − 2 + cos(ka) − i sin(ka)]
⇒ 2 2
⎛ ka ⎞
ω 2 − Ω0 = 2ω02 [ cos(ka) − 1] ω 2 − Ω 0 = 4ω02 . sin 2 ⎜
⇒ ⇒
2 2
⎟
⎝2⎠
⎛ ka ⎞
ω 2 = 4ω02 . sin 2 ⎜
⎟ + Ω0
⇒ 2
⎝2⎠
HÖ thøc nµy cho mèi liªn hÖ gi÷a k vµ ω vµ ®−îc gäi lµ hÖ thøc t¸n x¹.
⎛ ka ⎞
Do 0 ≤ sin 2 ⎜ ⎟ ≤ 1 ⇒ Ω 0 ≤ ω 2 − Ω 0 ≤ 4ω0 ⇒ ⇒ Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 2 2
2 2 2
⎝2⎠
⇒ C¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do sÏ n»m trong miÒn : Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0
2 2
C©u 2 :
§å thÞ cña ω ( k ) nh− h×nh vÏ, chØ cÇn ®−îc vÏ trong vïng :
2π
π π
− < k < , bëi v× c¸c gi¸ trÞ k vµ k + øng víi cïng mét
a
a a
nghiÖm vËt lý θ ( x, t ) .
T¹i k = 0 ⇒ ω = Ω 0
π π
⇒ ω 2 = 4ω02 + Ω 0 = Ω1 ⇒ ω = Ω1
T¹i k = − hay k = 2 2
a a
⎛ ka ⎞
ka cos ⎜ ⎟
dω ⎝ 2 ⎠ . Khi k = 0 vµ k = ± 2π ⇒
=
§¹o hµm theo k :
⎛ ka ⎞
dk a
4sin ⎜ ⎟ + Ω0 2
⎝2⎠
dω
= 0 ⇒ ®å thÞ nhËn ®−êng th¼ng n»m ngang lµm tiÕp tuyÕn.
dk
C¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do sÏ n»m trong miÒn :
58
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0
2 2
C©u 3 :
Trong phÐp gÇn ®óng cho m«i truêng liªn tôc (a
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
3) Nh÷ng ®¹i l−îng t−¬ng tù nh− nh÷ng h»ng sè ω0 (tÇn sè gãc cña dao ®éng cña thanh) vµ c
(vËn tèc lan truyÒn) lµ nh÷ng ®¹i l−îng nµo ?
Bµi gi¶i : C©u 1 :
¸p dông ®Þnh lý momen ®éng l−îng ®èi víi trôc (Ox) cho
dL
thanh thø n : Ox = ∑ M Ox ( Fi e )
O
dt i
∑M
Víi : LOx = Jθ n vµ ( Fi ) = M n −1 + M n +1 ; M n −1 : momen
e
Ox
i
xo¾n tõ con l¾c thø n -1 t¸c dông lªn con l¾c thø n :
M n −1 = −C (θ n − θ n −1 ) ; M n +1 : momen xo¾n tõ con l¾c thø n -1 θ n −1
M n −1
t¸c dông lªn con l¾c thø n : M n +1 = −C (θ n +1 − θ n ) a
⇒ Jθ n = −C (θ n − θ n −1 ) − C (θ n +1 − θ n )
θn
M n +1
⇒ Jθ n = C (θ n −1 − 2θ n + θ n +1 )
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh lan truyÒn dao ®éng xo¾n trong
θ n +1
chuçi c¸c thanh liªn kÕt tõng ®«i mét.
C©u 2 :
x
Trong phÐp gÇn ®óng cho m«i tr−êng liªn tôc (a
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
@ Bµi 5 (Trang 28): Ma s¸t trong chuyÓn ®éng tù do cña hai dao ®éng tö liªn kÕt:
Chóng ta quan t©m ®Õn ¶nh h−ëng cña ma s¸t nhít yÕu lªn chuyÓn ®éng tù do cña hai dao
®éng tö liªn kÕt, cã khèi l−îng M nh− trªn h×nh vÏ. Lß xo gi÷a cã ®é cøng K, vµ hai lß xo kia
cã ®é cøng 4K. Ký hiÖu: f1 = - λ.vi lµ c¸c lùc do ma s¸t nhít t¸c dông lªn vËt thø i ( b»ng
h»ng sè, d−¬ng vµ vi lµ vËn tèc cña vËt thø i).
M ω0
K
§Æt: ω 2 = vµ Q = víi Q > 1.
λ
M
1) ThiÕt lËp c¸c ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña hai vËt.
dψ dψ 2
2) Lóc ®Çu, hÖ ®−îc kÝch thÝch ë tr¹ng th¸i ψ 1 = ψ 0 ; 1 = 0 ;ψ 2 = 0 ; = 0 . H·y viÕt biÓu
dt dt
thøc cña c¸c dÞch chuyÓn ψ1(t) vµ ψ2(t) cña hai vËt.
3) Sö dông phÇn mÒm MAPLE, h·y vÏ c¸c ®å thÞ cña ψ1(t) vµ ψ2(t) cho tr−êng hîp:
ψ 0 = 1mm ; ω 0 = 1rad .s −1 ; Q = 10.
4K K 4K
x
Bµi gi¶i :
C©u 1 : Ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña hai vËt :
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña dao ®éng tù do cña hai vËt :
⎧ Mψ 1 = −5Kψ 1 + Kψ 2 − λψ 1
⎧ Mψ 1 = −4 Kψ 1 − K (ψ 1 −ψ 2 ) − λψ 1
⇒⎨
⎨ (1)
⎩ Mψ 2 = −5Kψ 2 + Kψ 1 − λψ 2
⎩ Mψ 2 = −4 Kψ 2 − K (ψ 2 −ψ 1 ) − λψ 2
C©u 2 : BiÓu thøc cña c¸c dÞch chuyÓn ψ1(t) vµ ψ2(t) cña hai vËt.:
u+v
⎧
⎪ψ 1 = 2
⎧u = ψ 1 +ψ 2 ⎪
⇒⎨
§Æt : ⎨
⎩ v = ψ 1 −ψ 2 ⎪ψ = u − v
⎪2
⎩ 2
⎛u+v⎞ ⎛u+v⎞ ⎛u−v⎞ ⎛u+v⎞
⎟−λ⎜
⎟ = −5 K ⎜ ⎟+ K⎜
Thay vµo (1) : M ⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠
⇒ Mu + Mv = −5Ku − 5Kv+Ku - Kv − λu − λ v ⇒ Mu + Mv = − ( λu + 4 Ku ) − ( λ v+6 Kv )
λ
⎧ 4K
⎪u + M u + M u = 0
⎧ Mu + λ u + 4 Ku = 0 ⎪
⇒⎨ ⇒⎨
⎩ Mv+λ v+6 Kv = 0 ⎪ v+ λ v+ 6 K v = 0
⎪M
⎩ M
⎧ ω0
⎪u + Q u + 4ω0 u = 0 (2)
2
M ω0 ⎪
K
Víi : ω0 = ; Q= (Q > 1), suy ra : ⎨
2
⎪ v+ ω0 v+6ω 2 v = 0 (3)
λ
M
⎪Q 0
⎩
(Ghi chó : Q gäi lµ hÖ sè phÈm chÊt; khi Q cµng nhá, th× hÖ sè ma s¸t nhít λ cµng lín).
Ph−¬ng tr×nh (2) ®−îc gi¶i nh− sau :
ω0
r + 4ω0 = 0 .
Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng : r 2 + 2
Q
2
⎛ω ⎞ 2⎛ 1 ⎞
BiÖt sè : ∆ = ⎜ 0 ⎟ − 16ω0 = 4ω0 ⎜ 2 − 4 ⎟ < 0 do Q > 1.
2
⎝Q⎠ ⎝ 4Q ⎠
ω 1
Suy ra : r1,2 = − 0 ± jω1 víi : ω1 = ω0 4 −
4Q 2
2Q
61
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
ω0
− t
Suy ra : u (t ) = e 2Q ( A cos ω1t + B sin ω1t )
§iÒu kiÖn ban ®Çu :
+ T¹i t = 0 th× ψ 1 = ψ 0 ;ψ 2 = 0 ⇒ u = ψ1 + ψ2 = ψ0.
ThÕ mµ : u (t = 0) = A ⇒ A = ψ 0
dψ 1 dψ 2 du dψ 1 dψ 2
=0 ⇒
= = + =0
+ T¹i t = 0 th×
dt dt dt dt dt
ω0 ω
ω0 − 2 Q t − 0t
du
( A cos ω1t + B sin ω1t ) + e ( −ω1 A sin ω1t + ω1 B cos ω1t )
=− 2Q
ThÕ mµ : e
dt 2Q
ω ω ωA ωψ
du
= − 0 A + ω1 B ⇒ − 0 A + ω1 B = 0 ⇒ B = 0
⇒ ⇒ B= 0 0
2Q ω1 2Q ω1
dt t =0 2Q 2Q
ω0
ω0 sin ω1t ⎞
⎛ − t
⎜ψ 0 cos ω1t + ψ 0
Tãm l¹i : u (t ) = e 2Q
⎟
2Q ω1 ⎠
⎝
Ph−¬ng tr×nh (3) ®−îc gi¶i nh− sau :
2
ω0
⎛ω ⎞ ⎛1 ⎞
Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng : r + r + 6ω = 0 ⇒ ∆ = ⎜ 0 ⎟ − 24ω0 = 4ω02 ⎜ 2 − 6 ⎟ < 0 do Q
2 2
2
0
⎝Q⎠ ⎝ 4Q ⎠
Q
> 1.
ω0 ⎛ 1⎞
± jω2 víi : ω2 = ω0 ⎜ 6 −
Suy ra : r1,2 = − ⎟
4Q 2 ⎠
⎝
2Q
ω0
− t
( C cos ω2t + D sin ω2t )
⇒ v(t ) = e 2Q
§iÒu kiÖn ban ®Çu :
+ T¹i t = 0 th× ψ 1 = ψ 0 ;ψ 2 = 0 ⇒ v = ψ1 - ψ2 = ψ0
T−¬ng tù nh− trªn : C = ψ 0
dψ 1 dψ 2 du dψ 1 dψ 2
=0 ⇒
= = − =0
+ T¹i t = 0 th×
dt dt dt dt dt
ω0 ω
ω0 − 2 Q t − 0t
dv
( C cos ω2t + D sin ω2t ) + e ( −ω2C sin ω2t + ω2 D cos ω2t )
=− 2Q
ThÕ mµ : e
dt 2Q
ω ω ωC ωψ
dv
= − 0 C + ω2 D ⇒ − 0 C + Dω2 = 0 ⇒ D = 0
⇒ ⇒ D= 0 0
2Q ω2 2Q ω2
dt t =0 2Q 2Q
ω0
ω0 sin ω2t ⎞
⎛
− t
⎜ψ 0 cos ω2t +ψ 0
Suy ra : v(t ) = e 2Q
⎟
2Q ω2 ⎠
⎝
ω0
ψ0 ⎡ ω0 ⎛ sin ω1t sin ω2t ⎞ ⎤ − 2Q t
ψ 1 (t ) = ⎢ cos ω1t + cos ω2t + + ⎟⎥ e
⎜
Tãm l¹i :
2Q ⎝ ω1 ω2 ⎠ ⎦
2⎣
ω0
ψ0 ⎡ ω ⎛ sin ω1t sin ω2t ⎞ ⎤ − 2Q t
ψ 2 (t ) = cos ω1t − cos ω2t + 0 ⎜ −
⎢ ⎟⎥ e
2Q ⎝ ω1 ω2 ⎠ ⎦
2⎣
C©u 3 :
§å thÞ biÓu diÓn ψ1(t) vµ ψ2(t) øng víi ψ0 = 1mm, ω0 = 1rad/s, Q = 10 cho trªn h×nh vÏ.
Biªn ®é suy gi¶m d−íi d¹ng hµm mò. C¬ n¨ng cña c¸c hÖ dao ®éng tö gi¶m xuèng vµ c¬ n¨ng
biÕn thµnh nhiÖt n¨ng.
62
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
@ Bµi 6 (Trang 29):
Ma s¸t trong chuyÓn ®éng c−ìng bøc h×nh sin cña hai dao ®éng tö liªn kÕt: Lµm thªm :
Nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña hai dao ®éng tö liªn kÕt (h×nh vÏ) trong chÕ ®é c−ìng bøc h×nh
sin.
ChÕ ®é qu¸ ®é x¶y ra trong mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh vµ chóng ta chØ nghiªn cøu chÕ ®é
dao ®éng c−ìng bøc æn ®Þnh.
(Ghi chó : Trong chÕ ®é qu¸ ®é, cã sù chång chÊt cña dao ®éng tù do vµ dao ®éng c−ìng bøc;
sau kho¶ng thêi gian nãi trªn, dao ®éng tù do mÊt ®i, chØ cßn l¹i thµnh phÇn biÓu diÔn dao
®éng c−ìng bøc)
HÖ ®−îc kÝch thÝch b»ng c¸ch ¸p ®Æt mét dÞch chuyÓn: ε (t ) = ε 0 cos ω t vµo ®Çu lß xo thø nhÊt.
M ω0
K
(Q ®−îc gäi lµ hÖ sè phÈm chÊt); fi = −λ.vi lµ lùc ma s¸t nhít
Gäi: ω 0 = vµ Q =
2
λ
M
t¸c dông lªn vËt thø i, trong ®ã: vi lµ vËn tèc cña vËt thø i.
4K K 4K
x
1) ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ.
2) BiÓu diÔn d−íi d¹ng phøc c¸c biªn ®é ψ 10 , ψ 20 cña dÞch chuyÓn cña hai vËt .
ψ 10 ψ 20
3) VÏ c¸c ®å thÞ biÔu diÔn sù biÕn thiªn cña c¸c mo®un vµ cña c¸c biªn ®é dao ®éng
ε0 ε0
ω
cña hai vËt theo X = , trong tr−êng hîp Q = 1; Q= 2; Q = 10. H·y b×nh luËn c¸c ®å thÞ thu
ω0
®−îc ®èi víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña Q.
(Ghi chó : Sö dông phÇn mÒm MAPLE ®Ó gi¶i c©u 2) vµ c©u 3)).
Bµi gi¶i : C©u 1 :
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ :
λ
⎧ 5K K 4K
⎪ψ 1 = − M ψ 1 + M ψ 2 − M ψ 1 − M ε
⎧ Mψ 1 = −4 K (ψ 1 − ε ) + K (ψ 1 −ψ 2 ) − λψ 1 ⎪
(1) ⇒
⎨ ⎨
Mψ 2 = −4 Kψ 2 − K (ψ 2 −ψ 1 ) − λψ 2 ⎪ψ = − 5K ψ + K ψ − λ ψ
⎩
⎪2
⎩
2 1 2
M M M
M ω0
K
Trong ®ã : ω 0 = vµ Q =
2
λ
M
63
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
ω0
ω0 ⎧
⎧
⎪ψ 1 + Q ψ 1 + 5ω0ψ 1 − ω0ψ 2 = −4ω0 ε
⎪ψ 1 = −5ω0ψ 1 + ω0ψ 2 − Q ψ 1 − 4ω0 ε
2 2 2
2 2 2
⎪
⎪
⇒ ⎨
⎨
Suy ra :
⎪ψ + ω0 ψ + 5ω 2ψ − ω 2ψ = 0
ω0
⎪ψ = −5ω ψ + ω ψ − ψ
2 2
⎪2 Q 2
⎪2 02 01
02 01 2
⎩
⎩ Q
(2)
C©u 2 :
NghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh (2) biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc cã d¹ng :
⎧ψ 1 (t ) = ψ 10 cos(ωt + ϕ1 )
⎨
⎩ψ 2 (t ) = ψ 20 cos(ωt + ϕ1 )
BiÓu diÓn d−íi d¹ng phøc :
ε (t ) = ε 0 eiωt ; ψ 1 (t ) = ψ 10 eiωt víi ψ 10 = ψ 10eiϕ1 ;ψ 2 (t ) = ψ 20 eiωt víi ψ 20 = ψ 20 eiϕ2
Trong ®ã : ψ 10 vµ ψ 20 lµ biªn ®é phøc cña dÞch chuyÓn cña hai vËt.
ψ 1 = ψ 10iωeiωt ; ψ 1 = ψ 10 (iω )2 eiωt = −ω 2ψ 10eiωt
Ta cã :
ψ 2 = ψ 20iωeiωt ; ψ 2 = ψ 20 (iω )2 eiωt = −ω 2ψ 20 eiωt
T−¬ng tù :
Thay vµo (2), suy ra hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ c¸c dÞch chuyÓn ψ 1 (t );ψ 2 (t ) cña hai vËt :
⎧⎛ 2 iωω0 2⎞
⎪⎜ −ω + + 5ω0 ⎟ψ 10 − ω0ψ 20 = 4ω0 ε 0
2 2
⎪⎝ ⎠
Q
⎨ (3)
⎛ 2 iωω0 ⎞
⎪ −ω 2ψ + −ω + + 5ω0 ⎟ψ 20 = 0
2
⎜
⎪ 10
⎝ ⎠
⎩ Q
Sö dông phÇn mÒm Maple ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh (3), suy ra:
⎧ ⎛ iωω0 ω 2 ⎞
5+ − 2⎟
⎪ ⎜
ω0 ⎠
⎝ Q
⎪ψ = 4ε
⎪ iω ω ⎛ ω3 ω4
1⎞
10 0 2
24 + 10 − 2 ⎜10 + 2 ⎟ − 2i +4
⎪
Qω0 ω0 ⎝ Qω0 ω0
⎨
3
Q⎠
⎪ 1
⎪ψ 20 = 4ε 0
iωω0 ω ⎛ ω3 ω4
1⎞
⎪ 2
24 + 10 − 2 ⎜10 + 2 ⎟ − 2i +4
⎪ ω0 ⎝ Qω0 ω0
3
Q⎠
⎩ Q
C©u 3 :
ψ 10 ψ 20
;
Sö dông Maple ®Ó vÏ ®å thÞ biÓu diÔn sù biÕn thiªn cña c¸c mo®un cña c¸c biªn ®é
ε0 ε0
ω
dao ®éng theo X = øng víi Q =1, Q =2 vµ Q =10 (H×nh vÏ). Chóng ta nhËn thÊy r»ng :
ω0
Khi Q lín (Q =10) hay ma s¸t nhít rÊt nhá ⇒ tån t¹i 2 biªn ®é céng h−ëng kh¸ lín øng
víi X = 2 vµ X = 2,45. Khi Q → ∞ th× 2 biªn ®é céng h−ëng nãi trªn øng víi ω1 = 2ω0 vµ
ω2 = 6ω0 .
Xung quanh vïng céng h−ëng, sù mÊt m¸t n¨ng l−îng do ma s¸t nhít sÏ lín, do ®ã c¸c vïng
céng h−ëng lµ vïng hÊp thô n¨ng l−îng.
Khi Q nhá h¬n hay ma s¸t nhít t−¬ng ®èi lín ⇒ còng nhËn thÊy 2 biªn ®é céng h−ëng
nh−ng t−¬ng ®èi nhá vµ sù ph©n biÖt hai biªn ®é nµy kh«ng râ nÐt.
Khi Q kh¸ bÐ ⇒ kh«ng cã céng h−ëng x¶y ra.
64
- Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
65
nguon tai.lieu . vn