Xem mẫu

  1. PHÁÖN II : BAÌI TÁÛP DAO ÂÄÜNG VAÌ SOÏNG CÅ
  2. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông bµi tËp ch−¬ng 1 : Dao ®éng tö ®iÒu hßa ghÐp hiÖn t−îng lan truyÒn dao ®éng @ Bµi tËp I: Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng cã lùc c¶n cña hÖ mét bËc tù do: XÐt mét dao ®éng tö mét bËc tù do nh− h×nh vÏ. Hai lß xo cã cïng ®é cøng lµ K. Qu¶ cÇu cã khèi l−îng lµ M. Gäi ψ (t ) lµ dÞch chuyÓn cña cÇu so víi vÞ trÝ c©n b»ng. Gi¶ sö bá qua mäi lùc c¶n t¸c dông lªn qu¶ cÇu. ⎛ dψ ⎞ 1) Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu, hÖ chÞu mét kÝch thÝch cã d¹ng: ψ (0) = 0 ; ⎜ ⎟ = v0 . H·y ⎝ dt ⎠t =0 thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do vµ x¸c ®Þnh tÇn sè gãc ω cña dao ®éng tù do cña qu¶ cÇu. Suy ra biÓu thøc cña dÞch chuyÓn ψ (t ) cña qu¶ cÇu. 2) B©y giê nhê mét c¬ cÊu tay quay con tr−ît, ®Çu A cña qu¶ cÇu chÞu mét dÞch chuyÓn d−íi d¹ng: ξ (t ) = ξ 0 cos ω t . H·y x¸c ®Þnh dÞch chuyÓn cña qu¶ cÇu trong chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn ®Þnh. VÏ ®å thÞ cña biªn dé dao ®éng c−ìng bøc A(ω ) cña qu¶ cÇu theo tÇn sè gãc cña lùc kÝch thÝch ( ω gäi lµ tÇn sè kÝch thÝch). øng víi gi¸ trÞ nµo cña ω , hiÖn t−îng céng h−ëng sÏ x¶y ra ? M K K A B x ψ (t ) A M K K B x ξ (t ) ψ (t ) K H−íng dÉn: Ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña hÖ: ψ + ω12 .ψ = 0 víi ω1 = . DÞch chuyÓn M π v0 F0 1 víi F0 = Kξ 0 cña qu¶ cÇu: ψ (t ) = cos(ω1t + ) . Biªn ®é dao ®éng: A(ω ) = ω1 M ω 1 −ω 2 2 2 Céng h−ëng x¶y ra khi ω = ω1 (tÇn sè kÝch thÝch ω b»ng tÇn sè riªng ω1 cña hÖ) @ Bµi tËp II: Dao ®éng c−ìng bøc cã lùc c¶n nhít cña hÖ mét bËc tù do: XÐt mét dao ®éng tö mét bËc tù do nh− h×nh vÏ. §Çu A x A cña lß xo ®−îc kÝch thÝch bëi mét c¬ cÊu tay quay con K M tr−ît, t¹o nªn mét dÞch chuyÓn cã d¹ng: ξ (t ) = ξ 0 cos ω t cña ®Çu A. ψ Lß xo cã ®é cøng K b»ng h»ng sè. Qña cÇu B cã khèi l−îng lµ M. Gäi ψ lµ dÞch chuyÓn cña cÇu so víi vÞ trÝ c©n ξ (t ) b»ng. Gi¶ sö qu¶ cÇu chÞu t¸c dông cña mét lùc c¶n nhít: 52
  3. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ω1M Fc = −h ψ , trong ®ã h lµ hÖ sè c¶n nhít cña m«i tr−êng (h = h»ng sè). Gäi Q= víi h K ω12 = . (Q ®−îc gäi lµ hÖ sè phÈm chÊt) M 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña dao ®éng tö. 2) Chóng ta chØ nghiªn cøu chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn ®Þnh. H·y x¸c ®Þnh biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc A(ω ) cña dao ®éng tö nãi trªn, b»ng c¸ch biÓu diÔn ψ (t ) vµ F (t ) = K .ξ (t ) d−íi d¹ng phøc. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña A(ω ) theo tÇn sè gãc ω cña lùc kÝch thÝch trong 1 1 . Tõ ®ã suy ra ®iÒu kiÖn ®Ó cã céng h−ëng vµ gi¸ trÞ cña ω tr−êng hîp Q > vµ Q < 2 2 khi x¶y ra céng h−ëng. ω F (t ) H−íng dÉn: Ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña hÖ: ψ + 1 ψ + ω12 .ψ = víi F (t ) = K ξ (t ) . Q M F0 1 1 Biªn ®é dao ®éng: A(ω ) = . A(ω ) cùc ®¹i khi ω = ω1 1 − víi 2Q 2 M 2 2 ⎛ω ω ⎞ (ω −ω 2 ) +⎜ 1 ⎟ 2 1 ⎝Q⎠ 1 ®iÒu kiÖn Q > (®iÒu kiÖn ®Ó cã céng h−ëng). 2 @ Bµi 1 (Trang 28): Dao ®éng cña hai phao: Hai phao h×nh trô gièng nhau (tiÕt diÖn s TiÕt diÖn s H×nh bµi 1 vµ khèi l−îng m) cã thÓ dao ®éng trong n−íc cña mét b×nh chøa cã tiÕt diÖn S. Gäi ρ lµ khèi l−îng riªng cña n−íc. VÞ trÝ cña c¸c phao ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c dÞch chuyÓn x1 vµ x2 cña chóng theo ph−¬ng th¼ng ®øng so víi vÞ trÝ c©n b»ng. 1) T×m hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng cña hai phao (thõa nhËn r»ng mÆt tho¸ng cña n−íc n»m ngang vµ cã thÓ ¸p dông ®Þnh lý ArchimÌde). 2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, gi¶ sö r»ng TiÕt diÖn S TiÕt diÖn S t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu, hai phao ®Òu n»m ë vÞ trÝ c©n b»ng, víi vËn tèc ban ®Çu lµ 2v0 ®èi víi phao thø nhÊt vµ v0 ®èi víi phao thø hai. Bµi gi¶i : C©u 1 : Khi phao dÞch chuyÓn theo ph−¬ng th¼ng ®øng ⇒ mùc n−íc trong b×nh bÞ thay ®æi. Gäi x lµ dÞch chuyÓn cña mÆt tho¸ng chÊt láng so víi vÞ trÝ lóc c¸c phao c©n b»ng; x1 vµ x2 lµ dÞch chuyÓn cña hai phao so víi vÞ trÝ c©n b»ng. Khi hai phao næi lªn so víi vÞ trÝ c©n b»ng (x1 > 0, x2 > 0), mùc n−íc trong b×nh sÏ h¹ xuèng : x < 0. ( x + x )s Do thÓ tÝch n−íc trong b×nh kh«ng ®æi, nªn : ( x1 + x2 ).s = - x( S - 2s) ⇒ x = − 1 2 S − 2s ¸p dông ®Þnh lý vÒ ®éng l−îng cho c¸c phao : ⎧mx1 = − mg + ρ ⎣V0,chim − ( x1 − x) s ⎦ g ⎡ ⎤ ⎪ ⎨ ⎪mx2 = − mg + ρ ⎡V0,chim − ( x2 − x) s ⎤ g ⎣ ⎦ ⎩ Víi : V0, chim : thÓ tÝch phÇn ch×m trong n−íc cña mçi phao lóc phao c©n b»ng : V0,chim ρ g = mg 53
  4. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ⎧mx1 = −( x1 − x) s ρ g ( x + x )s (1) víi : x = − 1 2 Suy ra : ⎨ ⎩mx2 = −( x2 − x) s ρ g S − 2s (2) sρ g ( x + x )s ⎞ ⎛ ( x1S − 2sx1 + sx1 + sx2 ) Tõ (1) suy ra : mx1 = − ⎜ x1 + 1 2 ⎟ s ρ g = − S − 2s ⎠ S − 2s ⎝ sρ g s ρ g (S − s) s2 ρ g [ x1 (S − s) + sx2 ] ⇒ x1 = − ⇒ mx1 = − x1 − x2 m ( S − 2s ) m ( S − 2s ) S − 2s s ρ g ( S − s) s2 ρ g §Æt : ω12 = (Chó ý r»ng : ω1 > ω2 ) ; ω12 = 2 m ( S − 2s ) m ( S − 2s ) x1 = −ω12 x1 − ω2 x2 2 Suy ra : s2 ρ g s ρ g (S − s) T−¬ng tù, tõ (2) suy ra : x2 = − x1 − x2 m ( S − 2s ) m ( S − 2s ) x2 = −ω2 x1 − ω12 x2 2 Hay : Tãm l¹i, hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng cña hai phao : ⎪ x1 = −ω1 x1 − ω2 x2 ⎧ 2 2 ⎨ (3) ⎪ x2 = −ω2 x1 − ω1 x2 2 2 ⎩ C©u 2 : Céng vÕ theo vÕ cña hÖ ph−¬ng tr×nh (3) : x1 + x2 = −ω12 x1 − ω12 x2 − ω2 x2 − ω2 x1 ⇒ x1 + x2 = −ω12 ( x1 + x2 ) − ω2 ( x1 + x2 ) 2 2 2 x1 + x2 = −(ω12 + ω2 )( x1 + x2 ) ⇒ x1 + x2 = −Ω1 ( x1 + x2 ) víi Ω1 = ω12 + ω2 ⇒ 2 2 2 2 T−¬ng tù, trõ vÕ theo vÕ cña hÖ ph−¬ng tr×nh (3) : x1 − x2 = −(ω12 − ω2 )( x1 − x2 ) ⇒ x1 − x2 = −Ω 2 ( x1 − x2 ) víi Ω 2 = ω12 − ω2 2 2 2 2 ⎧ A B ⎪ x1 = 2 sin Ω1 t + 2 sin Ω 2t ⎧ x1 + x2 = −Ω1 ( x1 + x2 ) ⎧ x1 + x2 = A sin Ω1 t ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ Suy ra : ⎨ ⎪ x1 − x2 = −Ω 2 ( x1 − x2 ) ⎪ x1 − x2 = B sin Ω 2t 2 ⎪ x = A sin Ω t − B sin Ω t ⎩ ⎩ ⎪2 2 ⎩ 1 2 2 A B A B Ta cã : x1 = Ω1 cos Ω1 t + Ω 2 cos Ω 2t . T¹i t = 0, x1 = 2v 0 ⇒ 2v 0 = Ω1 + Ω 2 (4) 2 2 2 2 A B A B Ta cã : x2 = Ω1 cos Ω1 t − Ω 2 cos Ω 2t . T¹i t = 0, x2 = v0 ⇒ v 0 = Ω1 − Ω 2 (5) 2 2 2 2 3v 0 v0 Tõ (4) vµ (5), suy ra : A= ; B= Ω1 Ω2 ⎧ v0 ⎛ 3 ⎞ 1 ⎪ x1 = ⎜ sinΩ1 t + sin Ω 2t ⎟ 2 ⎝ Ω1 Ω2 ⎪ ⎠ Tãm l¹i : ⎨ ⎪ x = v0 ⎛ 3 sinΩ t − 1 sin Ω t ⎞ ⎪ 2 2 ⎜Ω 2⎟ Ω2 1 ⎝1 ⎠ ⎩ @ Bµi 2 (Trang 28): TriÖt tiªu dao ®éng: XÐt dao ®éng tö nh− trªn h×nh vÏ (h×nh a). DÞch chuyÓn cña ®Çu A cña lß xo cã d¹ng h×nh sin: y (t ) = y0 sin Ω t (gi¶ sö K1 ≠ m1Ω 2 ). 1) X¸c ®Þnh dÞch chuyÓn x1(t) cña dao ®éng tö so víi vÞ trÝ c©n b»ng trong chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn ®Þnh. 54
  5. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 2) Mét dao ®éng tö thø 2 ®−îc ®Æt nèi tiÕp dao ®éng tö trªn, nh− s¬ ®å trªn h×nh vÏ (h×nh b). §Çu A cña lß xo thùc hiÖn dÞch chuyÓn h×nh sin nh− ®· nãi trªn ®©y. Víi c¸c ®iÒu kiÖn nµo cña K2 vµ m2, dÞch chuyÓn x1 trong chÕ ®é c−ìng bøc æn ®Þnh sÏ b»ng 0 ? (a) (b) A m1 K1 A m1 K1 x m2 K2 x y (t ) x1 (t ) y (t ) x1 (t ) x2 (t ) H×nh bµi 2 Bµi gi¶i : C©u 1 : Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m1 cã d¹ng : K1 m1 x1 = −( x1 − y ) K1 ⇒ x1 + ω12 x1 = ω12 y víi ω1 = ⇒ x1 + ω12 x1 = ω12 y0 sin Ω t (1) m1 NghiÖm riªng x1(t) cña ph−¬ng tr×nh (1) biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc cña khèi l−îng m1 cã d¹ng : x1 (t ) = A(Ω) sin Ω t ⇒ x1 = ΩA cos Ω t ⇒ x1 = −Ω 2 A sin Ω t = −Ω 2 x1 Thay tÊt c¶ vµo (1) : −Ω 2 x1 + ω12 x1 = ω12 y0 sin Ω t ⇒ (ω12 − Ω 2 ) x1 = ω12 y0 sin Ω t ω12 ⇒ x1 = y0 sin Ω t ω12 − Ω 2 ω12 y0 . Céng h−ëng x¶y ra khi : Ω = ω1 , khi ®ã |A| Biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc : A(Ω) = 2 ω1 − Ω 2 →∞ C©u 2 : Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ hai dao ®éng tö liªn kÕt m1, m2 : ⎧m1 x1 = − K1 ( x1 − y ) + K 2 ( x2 − x1 ) ⎨ ⎩m2 x2 = − K 2 ( x2 − x1 ) Khi x1 = 0, ph−¬ng tr×nh trªn trë thµnh : ⎧0 = K1 y + K 2 x2 ⎨ (2) ⎩m2 x2 = − K 2 x2 NghiÖm riªng x2 cña ph−¬ng tr×nh (2) biÓu diÔn chÕ ®é c−ìng bøc æn ®Þnh cña khèi l−îng m2 ⎧ K1 K ⎪ x2 = − y = − 1 y0 sin Ωt K2 K2 víi : Ω2 = ⇒ Ω= cã d¹ng : ⎨ K2 K2 m2 m2 ⎪ x = A sin Ω t ⎩2 2 K2 Nh− vËy, víi ®iÒu kiÖn Ω = th× dÞch chuyÓn x1(t) trong chÕ ®é c−ìng bøc æn ®Þnh tháa m2 m·n x1(t) = 0. HÖ lß xo nh− trªn ®−îc øng dông vµo viÖc thiÕt kÕ hÖ thèng c¸ch rung trong kü thuËt. 55
  6. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông @ Bµi 8 (Trang 30): Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng Klein-Gordon: Kh¶o s¸t sù lan truyÒn cña sãng däc theo Oz mét chuçi c¸c con l¾c ®¬n gièng nhau, khèi l−îng M, chiÒu dµi L, liªn kÕt víi nhau b»ng c¸c lß xo cã ®é cøng K, nh− trªn h×nh vÏ. K g Ký hiÖu: ω 0 = vµ: Ω0 = M L 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh lan truyÒn liªn hÖ c¸c dÞch chuyÓn bÐ ψ n ≈ L.θ n , ψ n −1 vµ ψ n +1 cña c¸c ®Çu tù do cña c¸c con l¾c. ViÕt hÖ thøc t¸n x¹ cña c¸c sãng ch¹y ®¬n s¾c ®Æc tr−ng H×nh bµi 8 : cho sù lan truyÒn nµy. 2) BiÓu diÔn hÖ thøc t¸n x¹ vµ chØ râ d¶i tÇn cho phÐp cña c¸c tÇn sè gãc cña c¸c dao ®éng tù do cña chuçi c¸c con l¾c liªn kÕt. 3) ChØ râ d¹ng cña c¸c kÕt qña nãi trªn trong phÐp gÇn ®óng cho c¸c m«i tr−êng liªn tôc. Bµi gi¶i : C©u 1 : Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn : ¸p dông ®Þnh lý momen ®éng l−îng cho con l¾c thø n ®èi víi trôc Oz vu«ng gãc víi mÆt dLOz = ∑ M Oz ( Fi e ) víi LOz = J θ n ; J = ML2 ph¼ng chuyÓn ®éng cña hÖ : dt i ⇒ ML θ n = − K (ψ n −ψ n −1 ) L cos θ n − MgL sin θ n + K (ψ n +1 −ψ n ) L cos θ n 2 Víi gãc lÖch θn coi nh− rÊt bÐ ⇒ cos θ n ≈ 1; sin θ n ≈ θ n ;ψ n ≈ Lθ n ⇒ ML2θ n = − MgLθ n + − KL2 (θ n −1 − 2θ n + θ n +1 ) (1) K g §Æt : ω0 = vµ Ω 0 = M L Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn sãng däc(1) trong chuçi con l¾c trë thµnh : θ n = −Ω0θ n + ω02 (θ n−1 − 2θ n + θ n+1 ) 2 (2) Trong ®ã : Ω 0 lµ tÇn sè riªng cña dao ®éng tù do cña con l¾c ®¬n. NghiÖm h×nh sin cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng : ë ®©y ta sö dông ph−¬ng ph¸p kh¸c víi ph−¬ng ph¸p tr×nh bµy trong phÇn lý thuyÕt. §Ó t×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh lan truyÒn (2), tr−íc hÕt ta t×m c¸c nghiÖm θ n (t ) cña ph−¬ng tr×nh (2), sau ®ã nghiÖm tæng qu¸t θ n (t ) ®−îc t×m d−íi d¹ng mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c nghiÖm θ n (t ) . Sö dông ký hiÖu phøc : θ n (t ) = An eiωt víi An = An .eiϕ ⇒ θ n (t ) = Aniω eiωt ⇒ θ n = An ( iω ) eiωt = −ω 2θ n 2 Thay vµo ph−¬ng tr×nh lan truyÒn (2) : −ω 2 An eiωt = −Ω 0 An eiωt + ω0 ( An −1eiωt − 2 An eiωt + An +1eiωt ) 2 2 (3) ⇒ ω02 An −1 + (ω 2 − 2ω0 − Ω 0 ) An + ω0 An +1 = 0 2 2 2 56
  7. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông On (+) θn M Fn +1 = K (ψ n +1 −ψ n ) Fn −1 = K (ψ n −ψ n −1 ) Mg ψn Chóng ta t×m An d−íi d¹ng An = r n , suy ra : An −1 = r n −1 vµ An +1 = r n +1 HÖ thøc (3) trë thµnh : ω0 r n −1 + (ω 2 − 2ω02 − Ω 0 ) r n + ω0 r n +1 = 0 2 2 2 Hay : ω0 r 2 + (ω 2 − 2ω0 − Ω 0 ) r + ω02 = 0 2 2 2 (4) BiÖt sè cña ph−¬ng tr×nh bËc hai (4) : ∆ = (ω 2 − 2ω0 − Ω 0 ) − 4ω02ω0 ⇒ ∆ = (ω 2 − 2ω0 − Ω 0 − 2ω02 ) (ω 2 − 2ω02 − Ω 0 + 2ω0 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ∆ = (ω 2 − Ω 0 − 4ω0 ) (ω 2 − Ω 0 ) 2 2 2 NÕu ∆ > 0 (hay ω ∉ (Ω0 , Ω1 ) trong ®ã Ω1 = 4ω0 + Ω0 ), nghiÖm cña (4) lµ nghiÖm thùc. 2 2 Do tÝch sè cña hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (4) lµ r1 vµ r2 nghiÖm ®óng hÖ thøc r1.r2 = 1 ⇒ Mét trong hai nghiÖm thùc sÏ lín h¬n 1. Khi ®ã, c¸c nghiÖm An , tæ hîp tuyÕn tÝnh cña r1n vµ r2n sÏ ph©n kú. §iÒu nµy vÒ ph−¬ng diÖn vËt lý lµ kh«ng thÓ chÊp nhËn ®−îc ®èi víi mét chuçi v« h¹n c¸c dao ®éng tö lý t−ëng. Do ®ã, ph¶i cã ∆ < 0 hay Ω 0 < ω < Ω1 ⇒ C¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do sÏ n»m trong miÒn Ω 0 < ω < Ω1 tøc lµ Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 . §©y chÝnh lµ d¶i tÇn cho phÐp cña 2 2 c¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do cña chuçi con l¾c liªn kÕt. Ta cã : Ω 0 < ω 2 < 4ω0 + Ω 0 ⇒ 0 < ω 2 − Ω 0 < 4ω02 . 2 2 2 2 Do ®ã, cã thÓ ®Æt : ⎛Φ⎞ ω 2 − Ω 0 = 4ω02 sin 2 ⎜ ⎟ , víi Φ ∈ (0, π ) . Ph−¬ng tr×nh (4) trë thµnh: 2 ⎝2⎠ ⎛ ⎛Φ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Φ ⎞⎞ ω02 r 2 + ⎜ 4ω02 sin 2 ⎜ ⎟ − 2ω02 ⎟ r + ω02 = 0 ⇒ r 2 − 2 ⎜ 1 − 2 sin 2 ⎜ ⎟ ⎟ r + 1 = 0 ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ r 2 − 2r cos Φ +1 = 0 (5) Hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5) lµ r1 vµ r2, lµ hai sè phøc liªn hîp vµ tÝch cña chóng: r1.r2 = 1. Φ ± iΦ Ta cã : ∆ = cos 2 Φ − 1 = i 2 sin 2 ( ) , do ®ã : r1, 2 = cos Φ ± i sin Φ ⇒ r1, 2 = e 2 Φ §Æt k = , trong ®ã na x¸c ®Þnh vÞ trÝ c©n b»ng cña vËt dao ®éng thø (n), suy ra: a ± ika ⇒ θ n (t ) = e ± inka eiωt r1,2 = e Do ®ã, c¸c sãng h×nh sin lan truyÒn däc theo chuçi c¸c con l¾c liªn kÕt cã d¹ng (d−íi d¹ng tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c nghiÖm θ n (t ) = e ± inka eiωt ): 57
  8. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông θ n (t ) = A+ e − inka eiωt + A− einka eiωt ⇒ θ n (t ) = A+ ei (ωt − nka +ϕ ) + A− ei (ωt + nka +ϕ 0− ) 0+ Dao ®éng cña c¸c con l¾c ®¬n ®−îc viÕt d−íi d¹ng thùc nh− sau: θ n (t ) = A+ cos(ωt − nka + ϕ0+ ) + A− cos(ωt + nka + ϕ0− ) HÖ thøc t¸n x¹ : Tõ ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng, ta suy ®−îc hÖ thøc: Φ ⎛Φ⎞ ω 2 − Ω 0 = 4ω02 sin 2 ⎜ ⎟ víi Φ ∈ (0, π ) vµ k = a 2 ⎝2⎠ ⎛ ka ⎞ ⇒ ω 2 = 4ω0 sin ⎜ ⎟ + Ω 0 2 2 (5) ⎝ 2⎠ HÖ thøc (5) ®−îc gäi lµ hÖ thøc t¸n x¹. HÖ thøc t¸n x¹ (c¸ch chøng minh gièng nh− trong phÇn lý thuyÕt): NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) d−íi d¹ng phøc nh− sau : θ n (t ) = A exp [i(ωt − kxn )] víi A = A exp(iϕ0 ) , víi A lµ sè thùc d−¬ng, cßn ϕ0 lµ mét sè thùc nµo ®ã, ω lµ mét sè thùc d−¬ng. TÝnh θ n (t ) vµ θ n (t ) : θ n (t ) = iω A exp [i (ωt − kxn )] ; θ n (t ) = −ω 2 A exp [i (ωt − kxn )] Thay vµo (2), ®ång thêi l−u ý r»ng xn = n.a , suy ®−îc : θ n = −Ω0θ n + ω02 (θ n−1 − 2θ n + θ n+1 ) 2 −ω 2 exp i (−kna) = −Ω0 exp(−ikna) + ω0 [ exp i (−kna + ka) − 2. exp i (− kna) + exp i (− kna − ka)] 2 2 −ω 2 = −Ω0 + ω0 [ exp(ika) − 2 + exp(−ika)] ⇒ 2 2 −ω 2 = −Ω0 + ω0 [ cos(ka) + i sin(ka) − 2 + cos(ka) − i sin(ka)] ⇒ 2 2 ⎛ ka ⎞ ω 2 − Ω0 = 2ω02 [ cos(ka) − 1] ω 2 − Ω 0 = 4ω02 . sin 2 ⎜ ⇒ ⇒ 2 2 ⎟ ⎝2⎠ ⎛ ka ⎞ ω 2 = 4ω02 . sin 2 ⎜ ⎟ + Ω0 ⇒ 2 ⎝2⎠ HÖ thøc nµy cho mèi liªn hÖ gi÷a k vµ ω vµ ®−îc gäi lµ hÖ thøc t¸n x¹. ⎛ ka ⎞ Do 0 ≤ sin 2 ⎜ ⎟ ≤ 1 ⇒ Ω 0 ≤ ω 2 − Ω 0 ≤ 4ω0 ⇒ ⇒ Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 2 2 2 2 2 ⎝2⎠ ⇒ C¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do sÏ n»m trong miÒn : Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 2 2 C©u 2 : §å thÞ cña ω ( k ) nh− h×nh vÏ, chØ cÇn ®−îc vÏ trong vïng : 2π π π − < k < , bëi v× c¸c gi¸ trÞ k vµ k + øng víi cïng mét a a a nghiÖm vËt lý θ ( x, t ) . T¹i k = 0 ⇒ ω = Ω 0 π π ⇒ ω 2 = 4ω02 + Ω 0 = Ω1 ⇒ ω = Ω1 T¹i k = − hay k = 2 2 a a ⎛ ka ⎞ ka cos ⎜ ⎟ dω ⎝ 2 ⎠ . Khi k = 0 vµ k = ± 2π ⇒ = §¹o hµm theo k : ⎛ ka ⎞ dk a 4sin ⎜ ⎟ + Ω0 2 ⎝2⎠ dω = 0 ⇒ ®å thÞ nhËn ®−êng th¼ng n»m ngang lµm tiÕp tuyÕn. dk C¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do sÏ n»m trong miÒn : 58
  9. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 2 2 C©u 3 : Trong phÐp gÇn ®óng cho m«i truêng liªn tôc (a
  10. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 3) Nh÷ng ®¹i l−îng t−¬ng tù nh− nh÷ng h»ng sè ω0 (tÇn sè gãc cña dao ®éng cña thanh) vµ c (vËn tèc lan truyÒn) lµ nh÷ng ®¹i l−îng nµo ? Bµi gi¶i : C©u 1 : ¸p dông ®Þnh lý momen ®éng l−îng ®èi víi trôc (Ox) cho dL thanh thø n : Ox = ∑ M Ox ( Fi e ) O dt i ∑M Víi : LOx = Jθ n vµ ( Fi ) = M n −1 + M n +1 ; M n −1 : momen e Ox i xo¾n tõ con l¾c thø n -1 t¸c dông lªn con l¾c thø n : M n −1 = −C (θ n − θ n −1 ) ; M n +1 : momen xo¾n tõ con l¾c thø n -1 θ n −1 M n −1 t¸c dông lªn con l¾c thø n : M n +1 = −C (θ n +1 − θ n ) a ⇒ Jθ n = −C (θ n − θ n −1 ) − C (θ n +1 − θ n ) θn M n +1 ⇒ Jθ n = C (θ n −1 − 2θ n + θ n +1 ) §©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh lan truyÒn dao ®éng xo¾n trong θ n +1 chuçi c¸c thanh liªn kÕt tõng ®«i mét. C©u 2 : x Trong phÐp gÇn ®óng cho m«i tr−êng liªn tôc (a
  11. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông @ Bµi 5 (Trang 28): Ma s¸t trong chuyÓn ®éng tù do cña hai dao ®éng tö liªn kÕt: Chóng ta quan t©m ®Õn ¶nh h−ëng cña ma s¸t nhít yÕu lªn chuyÓn ®éng tù do cña hai dao ®éng tö liªn kÕt, cã khèi l−îng M nh− trªn h×nh vÏ. Lß xo gi÷a cã ®é cøng K, vµ hai lß xo kia cã ®é cøng 4K. Ký hiÖu: f1 = - λ.vi lµ c¸c lùc do ma s¸t nhít t¸c dông lªn vËt thø i ( b»ng h»ng sè, d−¬ng vµ vi lµ vËn tèc cña vËt thø i). M ω0 K §Æt: ω 2 = vµ Q = víi Q > 1. λ M 1) ThiÕt lËp c¸c ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña hai vËt. dψ dψ 2 2) Lóc ®Çu, hÖ ®−îc kÝch thÝch ë tr¹ng th¸i ψ 1 = ψ 0 ; 1 = 0 ;ψ 2 = 0 ; = 0 . H·y viÕt biÓu dt dt thøc cña c¸c dÞch chuyÓn ψ1(t) vµ ψ2(t) cña hai vËt. 3) Sö dông phÇn mÒm MAPLE, h·y vÏ c¸c ®å thÞ cña ψ1(t) vµ ψ2(t) cho tr−êng hîp: ψ 0 = 1mm ; ω 0 = 1rad .s −1 ; Q = 10. 4K K 4K x Bµi gi¶i : C©u 1 : Ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña hai vËt : Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña dao ®éng tù do cña hai vËt : ⎧ Mψ 1 = −5Kψ 1 + Kψ 2 − λψ 1 ⎧ Mψ 1 = −4 Kψ 1 − K (ψ 1 −ψ 2 ) − λψ 1 ⇒⎨ ⎨ (1) ⎩ Mψ 2 = −5Kψ 2 + Kψ 1 − λψ 2 ⎩ Mψ 2 = −4 Kψ 2 − K (ψ 2 −ψ 1 ) − λψ 2 C©u 2 : BiÓu thøc cña c¸c dÞch chuyÓn ψ1(t) vµ ψ2(t) cña hai vËt.: u+v ⎧ ⎪ψ 1 = 2 ⎧u = ψ 1 +ψ 2 ⎪ ⇒⎨ §Æt : ⎨ ⎩ v = ψ 1 −ψ 2 ⎪ψ = u − v ⎪2 ⎩ 2 ⎛u+v⎞ ⎛u+v⎞ ⎛u−v⎞ ⎛u+v⎞ ⎟−λ⎜ ⎟ = −5 K ⎜ ⎟+ K⎜ Thay vµo (1) : M ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⇒ Mu + Mv = −5Ku − 5Kv+Ku - Kv − λu − λ v ⇒ Mu + Mv = − ( λu + 4 Ku ) − ( λ v+6 Kv ) λ ⎧ 4K ⎪u + M u + M u = 0 ⎧ Mu + λ u + 4 Ku = 0 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎩ Mv+λ v+6 Kv = 0 ⎪ v+ λ v+ 6 K v = 0 ⎪M ⎩ M ⎧ ω0 ⎪u + Q u + 4ω0 u = 0 (2) 2 M ω0 ⎪ K Víi : ω0 = ; Q= (Q > 1), suy ra : ⎨ 2 ⎪ v+ ω0 v+6ω 2 v = 0 (3) λ M ⎪Q 0 ⎩ (Ghi chó : Q gäi lµ hÖ sè phÈm chÊt; khi Q cµng nhá, th× hÖ sè ma s¸t nhít λ cµng lín). Ph−¬ng tr×nh (2) ®−îc gi¶i nh− sau : ω0 r + 4ω0 = 0 . Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng : r 2 + 2 Q 2 ⎛ω ⎞ 2⎛ 1 ⎞ BiÖt sè : ∆ = ⎜ 0 ⎟ − 16ω0 = 4ω0 ⎜ 2 − 4 ⎟ < 0 do Q > 1. 2 ⎝Q⎠ ⎝ 4Q ⎠ ω 1 Suy ra : r1,2 = − 0 ± jω1 víi : ω1 = ω0 4 − 4Q 2 2Q 61
  12. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ω0 − t Suy ra : u (t ) = e 2Q ( A cos ω1t + B sin ω1t ) §iÒu kiÖn ban ®Çu : + T¹i t = 0 th× ψ 1 = ψ 0 ;ψ 2 = 0 ⇒ u = ψ1 + ψ2 = ψ0. ThÕ mµ : u (t = 0) = A ⇒ A = ψ 0 dψ 1 dψ 2 du dψ 1 dψ 2 =0 ⇒ = = + =0 + T¹i t = 0 th× dt dt dt dt dt ω0 ω ω0 − 2 Q t − 0t du ( A cos ω1t + B sin ω1t ) + e ( −ω1 A sin ω1t + ω1 B cos ω1t ) =− 2Q ThÕ mµ : e dt 2Q ω ω ωA ωψ du = − 0 A + ω1 B ⇒ − 0 A + ω1 B = 0 ⇒ B = 0 ⇒ ⇒ B= 0 0 2Q ω1 2Q ω1 dt t =0 2Q 2Q ω0 ω0 sin ω1t ⎞ ⎛ − t ⎜ψ 0 cos ω1t + ψ 0 Tãm l¹i : u (t ) = e 2Q ⎟ 2Q ω1 ⎠ ⎝ Ph−¬ng tr×nh (3) ®−îc gi¶i nh− sau : 2 ω0 ⎛ω ⎞ ⎛1 ⎞ Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng : r + r + 6ω = 0 ⇒ ∆ = ⎜ 0 ⎟ − 24ω0 = 4ω02 ⎜ 2 − 6 ⎟ < 0 do Q 2 2 2 0 ⎝Q⎠ ⎝ 4Q ⎠ Q > 1. ω0 ⎛ 1⎞ ± jω2 víi : ω2 = ω0 ⎜ 6 − Suy ra : r1,2 = − ⎟ 4Q 2 ⎠ ⎝ 2Q ω0 − t ( C cos ω2t + D sin ω2t ) ⇒ v(t ) = e 2Q §iÒu kiÖn ban ®Çu : + T¹i t = 0 th× ψ 1 = ψ 0 ;ψ 2 = 0 ⇒ v = ψ1 - ψ2 = ψ0 T−¬ng tù nh− trªn : C = ψ 0 dψ 1 dψ 2 du dψ 1 dψ 2 =0 ⇒ = = − =0 + T¹i t = 0 th× dt dt dt dt dt ω0 ω ω0 − 2 Q t − 0t dv ( C cos ω2t + D sin ω2t ) + e ( −ω2C sin ω2t + ω2 D cos ω2t ) =− 2Q ThÕ mµ : e dt 2Q ω ω ωC ωψ dv = − 0 C + ω2 D ⇒ − 0 C + Dω2 = 0 ⇒ D = 0 ⇒ ⇒ D= 0 0 2Q ω2 2Q ω2 dt t =0 2Q 2Q ω0 ω0 sin ω2t ⎞ ⎛ − t ⎜ψ 0 cos ω2t +ψ 0 Suy ra : v(t ) = e 2Q ⎟ 2Q ω2 ⎠ ⎝ ω0 ψ0 ⎡ ω0 ⎛ sin ω1t sin ω2t ⎞ ⎤ − 2Q t ψ 1 (t ) = ⎢ cos ω1t + cos ω2t + + ⎟⎥ e ⎜ Tãm l¹i : 2Q ⎝ ω1 ω2 ⎠ ⎦ 2⎣ ω0 ψ0 ⎡ ω ⎛ sin ω1t sin ω2t ⎞ ⎤ − 2Q t ψ 2 (t ) = cos ω1t − cos ω2t + 0 ⎜ − ⎢ ⎟⎥ e 2Q ⎝ ω1 ω2 ⎠ ⎦ 2⎣ C©u 3 : §å thÞ biÓu diÓn ψ1(t) vµ ψ2(t) øng víi ψ0 = 1mm, ω0 = 1rad/s, Q = 10 cho trªn h×nh vÏ. Biªn ®é suy gi¶m d−íi d¹ng hµm mò. C¬ n¨ng cña c¸c hÖ dao ®éng tö gi¶m xuèng vµ c¬ n¨ng biÕn thµnh nhiÖt n¨ng. 62
  13. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông @ Bµi 6 (Trang 29): Ma s¸t trong chuyÓn ®éng c−ìng bøc h×nh sin cña hai dao ®éng tö liªn kÕt: Lµm thªm : Nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña hai dao ®éng tö liªn kÕt (h×nh vÏ) trong chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin. ChÕ ®é qu¸ ®é x¶y ra trong mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh vµ chóng ta chØ nghiªn cøu chÕ ®é dao ®éng c−ìng bøc æn ®Þnh. (Ghi chó : Trong chÕ ®é qu¸ ®é, cã sù chång chÊt cña dao ®éng tù do vµ dao ®éng c−ìng bøc; sau kho¶ng thêi gian nãi trªn, dao ®éng tù do mÊt ®i, chØ cßn l¹i thµnh phÇn biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc) HÖ ®−îc kÝch thÝch b»ng c¸ch ¸p ®Æt mét dÞch chuyÓn: ε (t ) = ε 0 cos ω t vµo ®Çu lß xo thø nhÊt. M ω0 K (Q ®−îc gäi lµ hÖ sè phÈm chÊt); fi = −λ.vi lµ lùc ma s¸t nhít Gäi: ω 0 = vµ Q = 2 λ M t¸c dông lªn vËt thø i, trong ®ã: vi lµ vËn tèc cña vËt thø i. 4K K 4K x 1) ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ. 2) BiÓu diÔn d−íi d¹ng phøc c¸c biªn ®é ψ 10 , ψ 20 cña dÞch chuyÓn cña hai vËt . ψ 10 ψ 20 3) VÏ c¸c ®å thÞ biÔu diÔn sù biÕn thiªn cña c¸c mo®un vµ cña c¸c biªn ®é dao ®éng ε0 ε0 ω cña hai vËt theo X = , trong tr−êng hîp Q = 1; Q= 2; Q = 10. H·y b×nh luËn c¸c ®å thÞ thu ω0 ®−îc ®èi víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña Q. (Ghi chó : Sö dông phÇn mÒm MAPLE ®Ó gi¶i c©u 2) vµ c©u 3)). Bµi gi¶i : C©u 1 : Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ : λ ⎧ 5K K 4K ⎪ψ 1 = − M ψ 1 + M ψ 2 − M ψ 1 − M ε ⎧ Mψ 1 = −4 K (ψ 1 − ε ) + K (ψ 1 −ψ 2 ) − λψ 1 ⎪ (1) ⇒ ⎨ ⎨ Mψ 2 = −4 Kψ 2 − K (ψ 2 −ψ 1 ) − λψ 2 ⎪ψ = − 5K ψ + K ψ − λ ψ ⎩ ⎪2 ⎩ 2 1 2 M M M M ω0 K Trong ®ã : ω 0 = vµ Q = 2 λ M 63
  14. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ω0 ω0 ⎧ ⎧ ⎪ψ 1 + Q ψ 1 + 5ω0ψ 1 − ω0ψ 2 = −4ω0 ε ⎪ψ 1 = −5ω0ψ 1 + ω0ψ 2 − Q ψ 1 − 4ω0 ε 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎨ Suy ra : ⎪ψ + ω0 ψ + 5ω 2ψ − ω 2ψ = 0 ω0 ⎪ψ = −5ω ψ + ω ψ − ψ 2 2 ⎪2 Q 2 ⎪2 02 01 02 01 2 ⎩ ⎩ Q (2) C©u 2 : NghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh (2) biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc cã d¹ng : ⎧ψ 1 (t ) = ψ 10 cos(ωt + ϕ1 ) ⎨ ⎩ψ 2 (t ) = ψ 20 cos(ωt + ϕ1 ) BiÓu diÓn d−íi d¹ng phøc : ε (t ) = ε 0 eiωt ; ψ 1 (t ) = ψ 10 eiωt víi ψ 10 = ψ 10eiϕ1 ;ψ 2 (t ) = ψ 20 eiωt víi ψ 20 = ψ 20 eiϕ2 Trong ®ã : ψ 10 vµ ψ 20 lµ biªn ®é phøc cña dÞch chuyÓn cña hai vËt. ψ 1 = ψ 10iωeiωt ; ψ 1 = ψ 10 (iω )2 eiωt = −ω 2ψ 10eiωt Ta cã : ψ 2 = ψ 20iωeiωt ; ψ 2 = ψ 20 (iω )2 eiωt = −ω 2ψ 20 eiωt T−¬ng tù : Thay vµo (2), suy ra hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ c¸c dÞch chuyÓn ψ 1 (t );ψ 2 (t ) cña hai vËt : ⎧⎛ 2 iωω0 2⎞ ⎪⎜ −ω + + 5ω0 ⎟ψ 10 − ω0ψ 20 = 4ω0 ε 0 2 2 ⎪⎝ ⎠ Q ⎨ (3) ⎛ 2 iωω0 ⎞ ⎪ −ω 2ψ + −ω + + 5ω0 ⎟ψ 20 = 0 2 ⎜ ⎪ 10 ⎝ ⎠ ⎩ Q Sö dông phÇn mÒm Maple ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh (3), suy ra: ⎧ ⎛ iωω0 ω 2 ⎞ 5+ − 2⎟ ⎪ ⎜ ω0 ⎠ ⎝ Q ⎪ψ = 4ε ⎪ iω ω ⎛ ω3 ω4 1⎞ 10 0 2 24 + 10 − 2 ⎜10 + 2 ⎟ − 2i +4 ⎪ Qω0 ω0 ⎝ Qω0 ω0 ⎨ 3 Q⎠ ⎪ 1 ⎪ψ 20 = 4ε 0 iωω0 ω ⎛ ω3 ω4 1⎞ ⎪ 2 24 + 10 − 2 ⎜10 + 2 ⎟ − 2i +4 ⎪ ω0 ⎝ Qω0 ω0 3 Q⎠ ⎩ Q C©u 3 : ψ 10 ψ 20 ; Sö dông Maple ®Ó vÏ ®å thÞ biÓu diÔn sù biÕn thiªn cña c¸c mo®un cña c¸c biªn ®é ε0 ε0 ω dao ®éng theo X = øng víi Q =1, Q =2 vµ Q =10 (H×nh vÏ). Chóng ta nhËn thÊy r»ng : ω0 Khi Q lín (Q =10) hay ma s¸t nhít rÊt nhá ⇒ tån t¹i 2 biªn ®é céng h−ëng kh¸ lín øng víi X = 2 vµ X = 2,45. Khi Q → ∞ th× 2 biªn ®é céng h−ëng nãi trªn øng víi ω1 = 2ω0 vµ ω2 = 6ω0 . Xung quanh vïng céng h−ëng, sù mÊt m¸t n¨ng l−îng do ma s¸t nhít sÏ lín, do ®ã c¸c vïng céng h−ëng lµ vïng hÊp thô n¨ng l−îng. Khi Q nhá h¬n hay ma s¸t nhít t−¬ng ®èi lín ⇒ còng nhËn thÊy 2 biªn ®é céng h−ëng nh−ng t−¬ng ®èi nhá vµ sù ph©n biÖt hai biªn ®é nµy kh«ng râ nÐt. Khi Q kh¸ bÐ ⇒ kh«ng cã céng h−ëng x¶y ra. 64
  15. Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 65
nguon tai.lieu . vn