Hình Học 10 Đại Cương Về Vectơ - Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
Bài tập chọn lọc hình học 10
Vấn đề 1: Các bài toán về phép cộng và phép trừ
→ −
→
−
→ −
→ −
Bài 1: Cho ∆ ABC đều cạnh a. Tính AB + AC ; AB − AC .
−
→ −
→ −
−
→
Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AC + AD .
G
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi A , B , C lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng
minh rằng
−→ − → −→ →
−
−
−
−
AA + BB + CC = 0
Bài 4: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng
D
Ũ
N
−
→ −
−
→ −
→ →
−
GA + GB + GC = 0
(sử dụng công thức này cho các bài sau)
Bài 5: Các tam giác ABC và A B C có trọng tâm lần lượt là G và G . Chứng minh rằng:
C
−→ 1 −→ − → −→
−
−
−
−
GG =
AA + BB + CC
3
N
N
G
Ọ
Bài 6: Cho lục giác ABCDEF . Gọi M , N , P , Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, DE, EF , F A. Chứng minh rằng hai tam giác M P R và N QS có cùng trọng tâm.
Bài 7: Cho tứ giác M N P Q. Chứng minh:
−
→ − → −→ − →
−
−
−
1. P Q + M N = P N + M Q
2. Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh M N , N P , P Q, QN . Chứng minh
− → −→ −→ −
−
−
−
→ →
−
a. M B + N C + P D + QA = 0
b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh
YỄ
−
→ −
−
→ −
→ −→ →
−
−
OA + OB + OC + OD = 0
G
U
Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Điểm K là
điểm đối xứng của M qua N . Chứng minh
−→ −
−
−
→ −
−
→
1. M K = AD + BC
−→ −
−
→ −→
−
2. M K = AC + BD
Bài 9: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F . Chứng minh rằng
N
−
−
→ −
−
→ −
→ −
→ −
−
→ −→ −
−
→ −→ −
−
−
→
AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE
Bài 10: Tam giác ABC là tam giác gì nếu thỏa mãn:
−
→ −
→
−
→ −
→
1. AB + AC = AB − AC
−
→ −
→
−
→ −
→
2. AB + AC vuông góc với AB + CA.
Vấn đề 2: Chứng minh đẳng thức vectơ
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi K là điểm đối xứng của B qua trọng tâm G. Chứng minh
→ 1 − −→
→ −
→ −
→
−→ 2 −
−
1 −
AK = AC − AB, CK = − AB + AC
3
3
3
GV chuyên toán tại Quận 7
Đăng kí học: 0976071956
Page 1 of 3
Hình Học 10 Đại Cương Về Vectơ - Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
N C = 2N A. Gọi K là trung điểm của M N .
→ 1−
→
−→ 1 −
−
1. Chứng minh rằng AK = AB + AC
4
6
−→ 1 −
−
→ 1−
→
2. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh KD = AB + AC
4
3
Bài 3: Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh BC sao cho M B = 2M C. Chứng minh rằng
−→ 1 −
−
→ 2−
→
AM = AB + AC
3
3
D
Ũ
C
Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho
−→
−
−→
−
−→ →
−
−
a) M A + 2M B + 3M C = 0
−→
−
−→
−
−→ →
−
−
b) M A + 2M B − 3M C = 0
−→
−
−→
−
−→
−
−
→
c) M A − 2M B + 4M C = 2AC
−→
−
−→
−
−→ −
−
→
d) −M A − 2M B + 5M C = AC
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức
N
G
Vấn đề 3: Xác định một điểm thỏa hệ thức vectơ. Tìm tập hợp
điểm
Ọ
−→ − → − → − → →
−
−
−
−
−
MA + MB + MC + MD = 0
G
Bài 3*: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
N
−→ − → − →
−
−
−
−→
−
−→
−
−→
−
2 M A + M B + M C = M A + 2M B + 3M C
N
Bài 4: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:
− → −→
−
−
−→ − →
−
−
a) M A + M B = M B + M C
−→ − →
−
−
−→ − →
−
−
b) M A − M B = M A + M C
YỄ
Bài 5: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa
G
U
−→ − → − →
−
−
−
−
→
M A + M B + M C = AB
Vấn đề 4: Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ khác
N
Bài 1: Cho ∆ABC, M là trung điểm BC.
−→
−
− −
→ →
a) Tính AN theo AB, AC.
−→
−
−→
−
−→
−
− −
→ →
b) Lấy N thỏa N B = k N C, (k = 1). Tính AN theo AB, AC.
Bài 2: Cho ∆ABC, trọng tâm G, gọi D là điểm đối xứng của A qua B và E là điểm trên cạnh AC
2
sao cho AE = AC.
−→ −→
− −5
− −
→ →
a) Tính DE, DG theo AB, AC.
b) Chứng minh D, G, E thẳng hàng.
−→ −→
−
−
−→
−
−→
−
c) Gọi K thỏa KA + KB + 3KC = 2KD. Chứng minh KG, CD song song.
−
−
→
→
3−
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm định bởi AD = AC, I là trung điểm của DB. M là
4
−→
−
−
−
→
điểm thỏa: BM = xBC, (x ∈ R).
−
→
− −
→ →
a) Tính AI theo AB, AC.
GV chuyên toán tại Quận 7
Đăng kí học: 0976071956
Page 2 of 3
Hình Học 10 Đại Cương Về Vectơ - Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
−→
−
− −
→ →
b) Tính AM theo x và AB, AC.
c) Tìm x sao cho A, I, M thẳng hàng.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. M , N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB =
3AM , CD = 2CN .
−→
−
− −
→ →
a) Tính AN theo AB, AC.
−
→
− −
→ →
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác M N B, tính AG theo AB, AC.
BC
.
c) AG cắt đường thẳng BC tại I. Tính
BI
G
Vấn đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và 3 đường thẳng đồng
quy
N
G
U
YỄ
N
N
G
Ọ
C
D
Ũ
N
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng trung
điểm các đoạn thẳng AB, CD và M N thẳng hàng.
AM
=
Bài 2*: Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi M , N lần lượt trên các đoạn AC và AE sao cho
CM
EN
= k. Tìm k để B, M , N thẳng hàng.
AN
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi A1 , B1 , C1 , D1 là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD và
ABC. Chứng minh các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 , DD1 đồng quy tại G và G là trọng tâm của
tứ giác.
Bài 4: Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng trung
điểm BC, trung điểm AD và I thẳng hàng.
Chú ý:
−
→ −
→
Chứng minh hai điểm trùng nhau: AC = AC ⇔ M ≡ M
− −
→ →
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: AB, AC cùng phương khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng.
−
→ −
−
→ −
→
Qui tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B, C ta luôn có AB + BC = AC
−
→ −
−
→ −
→
Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD. Khi đó ta có AB + AD = AC
−
→ −
→
−
→
Qui tắc trung điểm: Cho 3 điểm A, B, C; I là trung điểm BC. Khi đó ta có AB + AC = 2AI
GV chuyên toán tại Quận 7
Đăng kí học: 0976071956
Page 3 of 3
nguon tai.lieu . vn