Xem mẫu
- Chương 5:
HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN
SỐ LIÊN TỤC
Giảng viên: Ths. Đào Thị Thu Thủy
- Chương 5:
HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
5.1 Đáp ứng tần số của hệ thống LTI
5.2 Đáp ứng tần số của hệ thông ghép nối
5.3 Đáp ứng ra của hệ thống đối với tín
hiệu hàm mũ
5.4 Đáp ứng ra của hệ thống đối với tín
hiệu hàm sin, cos
5.5 Đáp ứng tần số phát biểu theo các hệ số
lọc
CNDT_DTTT 2
- 5.1 Đáp ứng tần số của hệ thống LTI
h(n) F H(ω): gọi là đáp ứng tần số của hệ thống LTI
∞
Y (ω )
H (ω ) = H (ω ) = ∑ h(n). e − jω .n
X (ω ) n=−∞
∞
X (ω ) = ∑
∞
x (n). e − jω .n
CNDT_DTTT
Y (ω ) = ∑ y (n). e − jω .n
3
n=−∞
n=−∞
- • H(ω) thường là số phức nên ta viết:
H (ω ) = H R (ω ) + jH I (ω )
• Nếu H(ω) biểu diễn dạng môdun và pha:
H(ω) = H(ω) e jφ( ω ) H (ω ) - Đáp ứng biên độ
φ(ω) - Đáp ứng pha
H (ω ) = H R (ω ) + H I (ω )
2 2
H I (ω )
φ H (ω ) = arctg
H R (ω )
CNDT_DTTT 4
- • Đáp ứng tần số H(ω) tồn tại nếu hệ thống là ổn định
BIBO
∞
⇔ ∑ h (n ) < ∞
n =−∞
• Khi đáp ứng xung h(n) là thực thì :
- đáp ứng biên độ |H(ω)| là hàm chẵn
- đáp ứng pha φH(ω) là hàm lẻ.
• Đáp ứng biên độ phát biểu theo decibel (dB)
H (ω) dB = 20 log 10 H (ω)
CNDT_DTTT 5
- Ví dụ 5.1: Tìm H(ω), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
h(n)=rect3(n)
Giải:
Biến đổi Fourier của h(n):
∞ 2
1 − e − j 3ω
H (ω ) = ∑ rect 3 ( n )e − jω n = ∑ e − jωn =
1 − e − jω
n = −∞ n= 0
e − j 3ω / 2 ( e j 3ω / 2 − e − j 3ω / 2 ) sin( 3ω / 2) − jω
= − jω / 2 jω / 2 = e
e (e −e − jω / 2
) sin(ω / 2)
sin( 3ω / 2)
H (ω ) =
sin(ω / 2)
⎧ − ω : A( ω) > 0 sin(3ω / 2)
φ(ω) = ⎨ Với A(ω ) =
⎩ − ω + π : A( ω) < 0
CNDT_DTTT
sin(ω / 2) 6
- /H(ω)/ argH(ω)
1 π/2
-π -2π/3 0 2π/3 π ω
-π/2
-π -2π/3 0 2π/3 π ω
CNDT_DTTT 7
- 5.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp
x(n) h1(n) h2(n) y(n)
≡
Miền n:
x(n) h(n)=h1(n)*h2(n) y(n)
Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) F H1(ω)H2(ω)
X(ω) H1(ω) H2(ω) Y(ω)
Miền ω : ≡
X(ω) H(ω)=H1(ω)H2(ω) Y(ω)
CNDT_DTTT 8
- b. Ghép song song
h1(n)
x(n) + y(n)
h2(n)
Miền n:
≡
x(n) h1(n)+h2(n) y(n)
H1(ω)
X(ω) + Y(ω)
H2(ω)
Miền ω:
≡
X(ω) H1(ω)+H2(ω) Y(ω)
CNDT_DTTT 9
- 5.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejωn
∞
y ( n ) = x ( n ) * h( n ) = h( n ) * x ( n ) = ∑ h( m ) x ( n − m )
m = −∞
∞ ∞
y( n) = ∑ h( m )Ae jω ( n − m ) = Ae
jωn
∑ h( m )e − jωm = x( n )H ( ω )
m = −∞ m = −∞
•Hàm riêng và trị riêng
Tín hiệu x(n) vào sao cho : y(n) = βx(n)
x(n): hàm riêng
β : trị riêng.
⇒ Đối với các mạch lọc số: ejωn: hàm riêng
H(ω): trị riêng
CNDT_DTTT 10
- π n
j n ⎛1⎞
Ví dụ 5.2: Tìm y(n) biết: x( n) = 2e 3 h( n) = ⎜ ⎟ u( n)
⎝ 2⎠
⎛ ⎞ π
j n
π ⎜ ⎟
j n 1 e 3
y( n) = x ( n) H (ω ) = 2e 3 ⎜ ⎟ =2 π
⎜ 1 − 1 e − jω ⎟
⎟ω = π 1 −j
⎜ 1− e 3
⎝ 2 ⎠
3 2
CNDT_DTTT 11
- 5.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos, sin
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:
x ( n ) = A cos( ω 0 n ) =
A jω 0 n
2
e (+ e − jω 0 n )
Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:
H ( ω ) = H ( ω ) e jφ ( ω )
A
[
y(n ) = x(n )H(ω0 ) = H(ω0 )e jω0n + H( − ω0 )e − jω0 n
2
]
A
[ ] {
y(n ) = H(ω0 )e jω0n + H * (ω0 )e− jω0n = A. Re H(ω0 )e jω0n
2 CNDT_DTTT
} 12
- y(n) = A. Re{H( ω )e } = A H( ω ) cos[ω n + φ(ω )]
0
j ω0n
0 0 0
Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:
x ( n ) = A sin( ω 0 n ) =
2j
e (
A jω 0 n
− e − jω 0 n )
Ta cũng được kết quả:
{ }
y(n ) = A. Im H( ω0 )e jω0n = A H( ω0 ) sin[ω0n + φ(ω0 )]
CNDT_DTTT 13
- 5.4 Đáp ứng tần số phát biểu theo các hệ số lọc
• Đối với lọc lọc phi đệ quy (FIR) có phương trình hiệu số là
M
y (n) = ∑ br x (n − r )
r =0
Trong đó bk là hệ số của lọc. Với x(n)= ejωn
M
⎡M − jωr ⎤ jωn
y(n) = ∑ b r e jω(n − r ) = ⎢∑ br e ⎥ e
r =0 ⎣ r =0 ⎦
M
⇒ H(ω) = ∑ b r e − jωr
r =0
CNDT_DTTT 14
- • Đối với lọc đệ quy (lọc IIR), gọi H(ω) là đáp ứng
tần số của lọc thì:
M N
y (n) = ∑ br x (n − r ) − ∑ ak y (n − k ) : a 0 = 1
r =0 k =1
y(n ) = H(ω)e jωn
M N
H(ω)e jωn = ∑ b r e jω(n − r) − ∑ a k H(ω)e jω(n − k )
r =0 k =1
M
∑ b r e − jωr
⇒ H(ω) = r =0
N
1 + ∑ a k e − jωk
k =1
CNDT_DTTT 15
- Bài tập
1. Hệ thống có đáp ứng xung: h(n) = 0.8nu(n)
Xác định và vẽ HR(ω), HI(ω), |H(ω)|, φH(ω).
2. Cho bộ lọc có đáp ứng xung:
h(n) = (0.5)n u(n)
Tìm tín hiệu ra khi biết tín hiệu vào:
a. x(n) = 2.5e jnπ/2
b. x(n) = 10 – 5sin(nπ/2) + 20cos(nπ)
CNDT_DTTT 16
nguon tai.lieu . vn
