- Trang Chủ
- Kinh tế học
- Bài giảng Xác suất & thống kê đại học - Chương 5: Định lý giới hạn trong xác suất
Xem mẫu
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
§1. Một số loại hội tụ trong xác suất và các định lý
§2. Các loại xấp xỉ phân phối xác suất
………………………………………………………………………
§2. CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2.1. Xấp xỉ phân phối Siêu bội bởi Nhị thức
2.2. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson
2.3. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi phân phối Chuẩn
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
2.1. Xấp xỉ phân phối Siêu bội bởi Nhị thức
Xét BNN X có phân phối Siêu bội H (N ; N A ; n ) .
NA
• Nếu p cố định, N ® ¥ và ® p = 1 - q thì:
N
C N C N-- kN
k n
d
A A k k n- k
¾ ¾® Cn p q .
n
CN
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
ỨNG DỤNG
Nếu N khá lớn và n rất nhỏ so với N thì
NA
X : B (n ; p ), p = .
N
Chú ý
Khi cỡ mẫu n khá nhỏ so với kích thước N (khoảng
5%N ) của tổng thể thì việc lấy mẫu có hoàn lại hay
không hoàn lại là như nhau.
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
Đỏ: X Î H (10.000; 4.000; 10) ,
Xanh: X Î B (10; 0, 4) .
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
VD 1. Một vườn lan có 10.000 cây sắp nở hoa, trong đó
có 1.000 cây hoa màu đỏ.
1) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 20 cây lan thì
được 5 cây có hoa màu đỏ.
2) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 50 cây lan thì
được 10 cây có hoa màu đỏ.
3) Có thể tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 200 cây
lan thì có 50 cây hoa màu đỏ được không ?
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
2.2. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson
Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B (n ; p) .
• Khi n ® ¥ , nếu p ® 0 và np ® l thì:
k k n- k d e - l .l k
Cn p q ¾ ¾® .
k!
• Ứng dụng, đặt l = np .
Nếu n đủ lớn và p gần bằng 0 (hoặc gần bằng 1) thì:
X : P (l ).
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
Xanh: X Î B (1.000; 0, 005) ,
Đỏ: X Î P (5) .
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
VD 2. Một lô hàng thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu
có chứa 0,4% bị nhiễm khuẩn. Tìm xác suất để khi
chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lô hàng này có:
1) không quá 2 gói bị nhiễm khuẩn;
2) đúng 34 gói bị nhiễm khuẩn.
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
VD 3. Giải câu 3) trong VD 1.
Giải
Ta có: X Î H (10.000; 1.000; 200) .
Ta xấp xỉ X : B (200; 0, 1) , với p = 0, 1.
Tiếp tục xấp xỉ X : P (20) , với l = np = 20 .
50
- 20 20 - 9
Vậy P ( X = 50) » p50 = e . = 7, 6.10 .
50 !
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
Tóm tắt các loại xấp xỉ rời rạc
NA
p=
N
X Î H (N , N A , n ) X Î B (n , p )
(n < 5%N ) é < 5
np
ê
NA ê < 5
l = n. nq
ê
N ë
Sai số rất lớn l = np
X Î P (l )
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
2.3. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi phân phối Chuẩn
a) Định lý giới hạn địa phương Moivre – Laplace
Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B (n ; p) .
k - np
Với k = 0, 1,..., n bất kỳ và x = , ta có :
npq
npq .Pn (X = k )
lim 2
= 1.
n® ¥ x
1 -
e 2
2p
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
b) Định lý giới hạn tích phân Moivre – Laplace
Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B (n ; p) .
Với mọi a, b Î ¡ và a < b , ta có:
b- np
npq x2
1 -
lim P (a £ X £ b) = ò e 2 dx .
n® ¥ 2p a - np
npq
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
c) Ứng dụng xấp xỉ
Cho X Î B (n ; p) . Nếu n khá lớn, np ³ 5 và nq ³ 5
2 2
thì X : N ( m s ) với m= np, s = npq .
;
Khi đó:
1 æ - mö
çk ÷.
P ( X = k ) = .f ç ÷
÷
s è ç s ø ÷
(giá trị được cho trong bảng A với f (- x ) = f (x ) ).
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
æ - mö
k2 æ - mö
ç
P ( k1 £ X £ k 2 ) = j ç ÷- j çk1
÷ ÷.
÷
ç s ÷÷ ç
ç s ÷
ç
è ø ç
è ÷
ø
(giá trị được cho trong bảng B với j (- x ) = - j (x ) ).
Chú ý
Khi k = m ta sử dụng công thức hiệu chỉnh:
,
P ( X = k ) » P (k - 0, 5 £ X £ k + 0, 5).
- Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
Xanh: X Î B (30; 0, 6),
Đỏ: X Î N (18; 7, 2).
nguon tai.lieu . vn
