1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Bài giảng xác suất thống kê - Chương 3: Lý thuyết mẫu và ước lượng

Bài giảng xác suất thống kê - Chương 3: Lý thuyết mẫu và ước lượng

Khi nghiên cứu các vấn đề về kinh tế xã hội, cũng như nhiều vấn đề thuộc các lĩnh vực khác, người ta thường phải khảo sát một số dấu hiệu trên những phần tử thuộc một số đối tượng nào đó. BAØI GIAÛNG Khi nghieân cöùu ñaùm ñoâng theo moät daáu hieäu naøo ñoù, daáu hieäu ñoù thay ñoåi töø phaàn töû naøy sang phaàn töû khaùc cuûa ñaùm ñoâng XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ vaø do ñoù taïo neân moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân X. Vì vaäy, ta xem (GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009) ñaùm ñoâng nhö laø moät ñaïi löôïng ng

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 21

Ngày tạo 8/30/2018 4:08:29 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.30 M

Tên tệp

Tải Bài giảng xác suất thống kê - Chương 3: Lý thuyết ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. BAØI GIAÛNG Khi nghieân cöùu ñaùm ñoâng theo moät daáu hieäu naøo ñoù, daáu hieäu ñoù thay ñoåi töø phaàn töû naøy sang phaàn töû khaùc cuûa ñaùm ñoâng XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ vaø do ñoù taïo neân moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân X. Vì vaäy, ta xem (GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009) ñaùm ñoâng nhö laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñaëc tröng cho daáu hieäu cuûa caùc phaàn töû trong ñaùm ñoâng maø ta quan taâm. Taát nhieân X coù luaät phaân phoái nhöng vì chöa nghieân cöùu ñöôïc toaøn CHÖÔNG 3 boä ñaùm ñoâng neân xem nhö ta chöa bieát ñöôïc luaät phaân phoái cuûa X. LYÙ THUYEÁT MAÃU VAØ ÖÔÙC LÖÔÏNG Nhö vaäy, khi xeùt ñaùm ñoâng X thì moät maãu côõ n seõ nhö theá naøo? §1. Khaùi nieäm veà maãu Choïn ngaãu nhieân moät phaàn töû cuûa ñaùm ñoâng ñeå ño daáu hieäu maø ta quan taâm, goïi X1 laø keát quaû thu ñöôïc. Vì phaàn töû ñöôïc Khi nghieân cöùu caùc vaán ñeà veà kinh teá - xaõ hoäi, cuõng nhö nhieàu choïn ngaãu nhieân töø ñaùm ñoâng, neân X1 coù theå nhaän caùc giaù trò vaán ñeà thuoäc caùc lónh vöïc khaùc, ngöôøi ta thöôøng phaûi khaûo saùt moät khaùc nhau (gioáng nhö X), tuy nhieân vieäc X1 nhaän caùc giaù trò naøo, soá daáu hieäu treân nhöõng phaàn töû thuoäc moät soá ñoái töôïng naøo ñoù. vôùi xaùc suaát bao nhieâu phaûi tuaân theo luaät phaân phoái cuûa X (maëc Taäp hôïp toaøn boä caùc phaàn töû chöùa ñöïng thoâng tin veà caùc daáu hieäu duø, noùi chung ta chöa bieát luaät phaân phoái naøy!). Nhö vaäy X1 laø ñaïi caàn nghieân cöùu ñöôïc goïi laø ñaùm ñoâng hay toång theå. Ñeå nghieân cöùu löôïng ngaãu nhieân coù cuøng phaân phoái vôùi X. ñaùm ñoâng theo moät hay moät soá daáu hieäu naøo ñoù, thoâng thöôøng ta Choïn ngaãu nhieân tieáp theo moät phaàn töû cuûa ñaùm ñoâng ñeå ño khoâng theå nghieân cöùu toaøn boä caùc phaàn töû thuoäc ñaùm ñoâng vì daáu hieäu maø ta quan taâm (sau khi ñaõ hoaøn laïi phaàn töû ñaàu ñaõ nhieàu lyù do, chaúng haïn nhö: soá löôïng quaù lôùn, moät soá tröôøng hôïp choïn, hoaëc khoâng caàn hoaøn laïi neáu ñaùm ñoâng lôùn), goïi X2 laø keát caùc phaàn töû sau khi ñöôïc nghieân cöùu seõ bò maát phaåm chaát,… Vì quaû thu ñöôïc. Lyù luaän töông töï nhö treân cho thaáy X2 cuõng laø ñaïi nhöõng lyù do treân, ñeå nghieân cöùu ñaùm ñoâng ta thuôøng choïn ngaãu löôïng ngaãu nhieân coù cuøng phaân phoái vôùi X. Cöù tieáp tuïc nhö theá ta nhieân n phaàn töû naøo ñoù ñeå khaûo saùt. Ta goïi ñoù laø moät maãu côõ n. seõ choïn ñöôïc moät maãu côõ n. Nhö vaäy, coù theå noùi moät maãu côõ n laø Thoâng thöôøng, côõ maãu nhoû hôn nhieàu so vôùi soá löôïng phaàn töû cuûa moät boä goàm n ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp (X1,X2,…,Xn), trong ñoù ñaùm ñoâng, vì vaäy ta coù khaû naêng thöïc teá ñeå thu thaäp, xöû lyù vaø moãi Xi ñeàu coù cuøng phaân phoái vôùi X. Ta coøn goïi ñaây laø moät maãu khai thaùc thoâng tin maãu moät caùch nhanh choùng, toaøn dieän hôn. Töø toång quaùt côõ n. Moãi giaù trò (x1,x2,…,xn) cuûa maãu (X1,X2,…,Xn) ñöôïc nhöõng thoâng tin thu ñöôïc treân maãu, söû duïng lyù thuyeát xaùc suaát, goïi laø moät maãu cuï theå côõ n. Nhö vaäy moät maãu cuï theå côõ n ngöôøi ta seõ ñöa ra nhöõng keát luaän töông öùng veà ñaùm ñoâng. Ñoù chính laø moät boä n soá lieäu thu thaäp ñöôïc khi ta choïn ngaãu nhieân n chính laø muïc ñích cuûa phöông phaùp thoáng keâ. phaàn töû cuûa ñaùm ñoâng ñeå ño daáu hieäu maø ta quan taâm (ñaây chính Coù nhieàu phöông phaùp laáy maãu. Laáy maãu coù hoaøn laïi laø laáy laø maãu maø ta thöôøng duøng trong thöïc teá). ÖÙng vôùi moät maãu toång moät phaàn töû ñeå khaûo saùt, xong roài laïi traû vaøo ñaùm ñoâng roài môùi quaùt seõ coù nhieàu maãu cuï theå töông öùng. laáy tieáp phaàn töû khaùc, khi ñoù caùc keát quaû laáy ñöôïc seõ ñoäc laäp vôùi nhau. Coøn laáy khoâng hoaøn laïi hay laáy luoân moät laàn thì keát quaû seõ Ví duï: Moät loâ haøng raát lôùn coù tæ leä saûn phaåm toát laø p chöa phuï thuoäc. Trong thöïc teá, neáu ñaùm ñoâng khaù lôùn thì vieäc laáy maãu bieát. Daáu hieäu X maø ta quan taâm khi xem xeùt moät saûn phaåm laø coù hoaøn laïi hay khoâng hoaøn laïi cho ta keát quaû sai leäch khoâng chaát löôïng cuûa noù. Khi saûn phaåm toát ta ñaët X = 1, khi saûn phaåm ñaùng keå. Ñaëc bieät khi ñaùm ñoâng laø voâ haïn coøn côõ maãu höõu haïn khoâng toát ta ñaët X = 0. Nhö vaäy X coù phaân phoái Bernoulli X ∼ thì khoâng coù söï khaùc bieät giöõa hai phöông phaùp choïn maãu naøy. B(p) nhö sau: Trong phaàn baøi giaûng naøy, chuùng ta chæ xeùt vieäc choïn maãu cho ta X 0 1 caùc keát quaû ñoäc laäp. P q p 1 2 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  2. Moät maãu côõ n = 5 laø moät boä goàm 5 ñaïi löôïng ngaãu nhieân (X1, X2, - Khi cho X1 nhaän giaù trò x1; X2 nhaän giaù trò x2; ...; Xn nhaän X3, X4, X5) maø moãi Xi ñeàu coù cuøng phaân phoái Bernoulli vôùi X: Xi giaù trò xn thì maãu (X1, X2,..., Xn) nhaän giaù trò laø (x1, x2,..., xn) (ñaây ∼ B(p), nghóa laø chính laø maãu thoâng thöôøng trong thöïc teá). Xi 0 1 §2. Kyø voïng maãu P q p (i= 1, 2, 3, 4, 5). Neáu ta tieán haønh choïn ngaãu nhieân n = 5 saûn 2.1. Ñònh nghóa: Kyø voïng maãu hay Trung bình maãu cuûa ñaùm phaåm ñeå quan saùt vaø ñöôïc keát quaû: Saûn phaåm thöù nhaát toát, thöù ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu X n hay X laø ñaïi hai vaø thöù ba xaáu, thöù tö vaø thöù naêm toát. Khi ñoù X1 = 1, X2 = 0, löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: X3 = 0, X4 = 1, X5 = 1 vaø ta coù moät maãu cuï theå côõ n = 5: 1 n (x1, x2, x3, x4, x5) = (1, 0, 0, 1, 1). X= ∑ Xi n i =1 Chuù yù: Khi (X1,X2,…,Xn) nhaän giaù trò laø maãu cuï theå (x1, x2,…,xn) thì kyø voïng maãu X nhaän giaù trò cuï theå laø: • Ñaùm ñoâng (hay Toång theå): Taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû caàn khaûo 1 n saùt. Ñaëc ñieåm cuûa ñaùm ñoâng: raát nhieàu phaàn töû; khoù khaûo saùt heát;... x= ∑ xi n i=1 • Caùch khaûo saùt ñaùm ñoâng: Quan taâm ñeán moät tính chaát cuï theå naøo ñoù. Tính chaát naøy thay ñoåi töø phaàn töû naøy sang phaàn töû khaùc - Nhaän xeùt: Kyø voïng maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1,X2,…,Xn) ----> ñoàng nhaát ñaùm ñoâng vôùi vôùi moät ÑLNN X naøo ñoù. chính laø trung bình coäng cuûa X1, X2,…, Xn. • Ñeå khaûo saùt ñaùm ñoâng X ngöôøi ta choïn ngaãu nhieân n phaàn töû naøo ñoù cuûa ñaùm ñoâng ñeå khaûo saùt. Ta goïi ñoù laø moät maãu kích thöôùc 2.2. YÙ nghóa: Khi n→∞ kyø voïng maãu X n hoäi tuï veà kyø n (hay côõ n). Töø nhöõng thoâng tin thu ñöôïc treân maãu, duøng lyù voïng ñaùm ñoâng μ = M(X). Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ: thuyeát xaùc suaát ñeå ruùt ra nhöõng keát luaän töông öùng cho ñaùm ñoâng (ñaây laø muïc tieâu cuûa Thoáng keâ) μ = M (X ) ≈ Xn Ví duï: Xeùt ñaùm ñoâng X laø ñieåm moân XSTK cuûa SV Vieät Nam noùi 2.3. Caùc ñaëc soá cuaû kyø voïng maãu: chung. Taát nhieân X coù luaät phaân phoái (maø ta chöa bieát): Khaùc vôùi kyø voïng cuûa ñaùm ñoâng μ = M(X) laø moät haèng soá, X 0 0,5 ................ 9,5 10 kyø voïng maãu X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân maø giaù trò ñöôïc xaùc P ? ? ................ ? 0,1% ñònh khi ta bieát caùc giaù trò quan saùt cuï theå. Trong phaàn naøy, ta seõ Ñeå khaûo saùt X ta choïn moät maãu côõ n = 3. Caùc soá lieäu thu thaäp ñöôïc xaùc ñònh kyø voïng vaø phöông sai cuûa kyø voïng maãu X theo kyø voïng nhö sau: μ = M(X) vaø phöông sai σ2 = D(X) cuûa ñaùm ñoâng X. Maãu côõ 3 X1 X2 X3 Laáy maãu laàn 1 6,0 7,5 9,0 Kyø voïng Phöông sai Laáy maãu laàn 2 0,0 9,5 10,0 Ñaùm ñoâng X μ σ2 Laáy maãu laàn 3 1,0 2,0 3,0 Kyø voïng maãu X ? ?? Laáy maãu laàn 4 4,0 5,0 6,0 Moãi Xi coù cuøng phaân phoái vôùi X. Caùc Xi ñoäc laäp nhau. Nhö vaäy: - Kyø voïng cuûa X: - Moät maãu côõ n laø moät boä goàm n ÑLNN ñoäc laäp (X1, X2,..., Xn) maø moãi Xi coù cuøng phaân phoái vôùi X. 3 4 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  3. X 1 + X 2 + ... + X n M(X 1 + X 2 + ... + X n ) 3.1. Ñònh nghóa: Phöông sai maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi M(X) = M( )= n n 2 2 maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu Sn hay S , laø ñaïi löôïng ngaãu M(X 1 ) + M(X 2 ) + ... + M(X n ) = nhieân ñònh bôûi: n M(X) + M(X) + ... + M(X) = (do moãi X i coù cuøng phaân phoái vôùi X) n 2 1 n = M(X) = μ. S = ∑ (X i − X)2 n i =1 Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu laø S ñöôïc goïi laø ñoä leäch maãu. Vaäy kyø voïng cuûa kyø voïng maãu X baèng kyø voïng ñaùm ñoâng μ = Khi (X1,X2,…,Xn) nhaän giaù trò laø maãu cuï theå (x1, x2,…,xn) thì 2 M(X). Nghóa laø trong xaáp xæ μ = M ( X ) ≈ X n giaù trò trung bình phöông sai maãu S nhaän giaù trò cuï theå laø: cuûa nhöõng soá lieäu maø ta coù ñöôïc, duøng ñeå tính xaáp xæ kyø voïng ñaùm 2 1 n ñoâng (giaù trò maø ta caàn bieát) baèng ñuùng kyø voïng ñaùm ñoâng. s = ∑ (xi − x)2 n i =1 Trong phaàn sau, ta goïi xaáp xæ naøy laø öôùc löôïng khoâng cheäch. Nhaän xeùt: ÖÙng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), ta coù : - Phöông sai cuûa X: X1 + X 2 + ... + X n D(X1 + X 2 + ... + X n ) • (X1 - X , X2 - X ,…, Xn - X ) laø maãu ñoä leäch (so vôùi kyø voïng D(X) = D( )= maãu). n n2 D(X 1 ) + D(X 2 ) + ... + D(X n ) • ((X1 - X )2, (X2 - X )2,…, (Xn - X )2) laø bình phöông cuûa maãu ñoä = (do caùc X i ñoäc laäp) leäch (so vôùi kyø voïng maãu). n2 D(X) + D(X) + ... + D(X) 2 1 n = (do moãi X i coù cuøng phaân phoái vôùi X) Nhö vaäy, phöông sai maãu S = ∑ (X i − X)2 chính laø trung n i =1 n2 D(X) σ2 bình coäng (töùc trung bình maãu) cuûa bình phöông ñoä leäch maãu (so = = . vôùi kyø voïng maãu). n n Vaäy phöông sai cuûa kyø voïng maãu X baèng phöông sai ñaùm ñoâng chia cho côõ maãu. 3.2. Coâng thöùc tính phöông sai maãu: Toùm laïi: Töông töï nhö phöông sai ñaùm ñoâng, ta coù coâng thöùc tính phöông sai maãu nhö sau: Kyø voïng Phöông sai Ñaùm ñoâng X μ σ2 2 1 n 2 1 n 1 n Kyø voïng maãu X μ σ2/n S = ∑ X i − (X)2 = n ∑ X 2 − ( n ∑ X i )2 n i =1 i i =1 i =1 Thaät vaäy, Ñieàu ñoù chöùng toû caùc giaù trò cuûa kyø voïng maãu X coù trung bình baèng trung bình cuûa X nhöng caùc giaù trò naøy ñoàng ñeàu hôn caùc giaù trò cuûa X. §3. Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu 5 6 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  4. 2 1 n 1 n Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, S = ∑ (X i − X)2 = n ∑ (X i2 − 2XX i + X 2 ) n i =1 i =1 X2,…, Xn), kí hieäu S2 hay S2 laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 S2 = = ∑ X i2 − n ∑ 2XX i + n ∑ X 2 = n ∑ X i2 − 2X( n ∑ X i ) + n nX 2 n i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n −1 S Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu hieäu chænh laø S ñöôïc goïi laø ñoä 1 n 1 n = ∑ X i2 − 2XX + X 2 = n ∑ X i2 − X 2 n i =1 i =1 leäch maãu hieäu chænh. Coâng thöùc tính phöông sai maãu hieäu chænh nhö sau: 2 3.3. YÙ nghóa: Khi n→∞ phöông sai maãu Sn hoäi tuï veà 1 n 2 n 2 phöông sai ñaùm ñoâng σ = D(X). Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ: S2 = ∑ X i − n − 1 (X)2 n − 1 i =1 2 σ2 = D(X) ≈ Sn Nhaän xeùt: Vôùi ñònh nghóa nhö treân, ta coù: 3.4. Kyø voïng cuûa phöông sai maãu: n 2 n 2 n n −1 2 Khaùc vôùi phöông sai cuûa ñaùm ñoâng σ2 = D(X) laø moät haèng M(S2 ) = M( S )= M(S ) = . σ = σ2 . 2 n −1 n −1 n −1 n soá, phöông sai maãu Sn laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân maø giaù trò nghóa laø kyø voïng cuûa phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh baèng phöông ñöôïc xaùc ñònh khi ta bieát caùc giaù trò quan saùt cuï theå. sai ñaùm ñoâng. Kyø voïng Phöông sai §3. Tæ leä maãu Ñaùm ñoâng X μ σ2 3.1. Môû ñaàu: Trong phaàn naøy, ta xeùt ñaùm ñoâng vôùi tæ leä caùc Phöông sai maãu Sn 2 ? phaàn töû coù tính chaát A laø p. Daáu hieäu X maø ta quan taâm khi khaûo saùt moät phaàn töû cuûa ñaùm ñoâng laø noù coù tính chaát A hay khoâng: Neáu coù, ta ñaët X = 1; neáu khoâng, ta ñaët X = 0. Nhö vaäy, ñaùm Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng phöông sai maãu coù kyø voïng laø: ñoâng ñöôïc ñaëc tröng bôûi ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù phaân phoái Bernoulli X ∼ B(p) nhö sau: 2 n −1 2 M( Sn ) = σ . n X 0 1 2 2 P q p Nhö vaäy, trong xaáp xæ σ = D(X) ≈ Sn , giaù trò trung bình (q = 1-p). 2 2 cuûa Sn hôi leäch so vôùi σ moät ít, nghóa laø trung bình cuûa nhöõng Vôùi ñaùm ñoâng X nhö treân, moät maãu côõ n laø moät boä goàm n ñaïi soá lieäu maø ta coù ñöôïc, duøng ñeå tính xaáp xæ phöông sai ñaùm ñoâng löôïng ngaãu nhieân (X1, X2, …, Xn) maø moãi Xi ñeàu coù cuøng phaân phoái (giaù trò maø ta caàn bieát), khoâng baèng phöông sai ñaùm ñoâng maø Bernoulli vôùi X: Xi ∼ B(p), nghóa laø hôi leäch moät ít. Vì vaäy, ñeå coù ñöôïc öôùc löôïng khoâng cheäch nhö khi tính xaáp xæ kyø voïng ñaùm ñoâng, ngöôøi ta xaây döïng phöông sai maãu Xi 0 1 ñaõ hieäu chænh nhö sau: P q p Noùi caùch khaùc, moãi Xi chæ nhaän hai giaù trò: 0 (vôùi xaùc suaát q) vaø 1 (vôùi xaùc suaát p). 3.5. Phöông sai maãu hieäu chænh: 3.2. Ñònh nghóa: Tæ leä maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu Fn, laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: 7 8 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  5. 1 n Khi thu thaäp soá lieäu ta thöôøng laäp baûng soá lieäu theo caùc daïng Fn = ∑ Xi n i =1 sau: Khi (X1, X2,…, Xn) nhaän giaù trò laø maãu cuï theå (x1, x2,…,xn) thì tæ leä maãu Fn nhaän giaù trò cuï theå laø: Daïng 1: Lieät keâ döôùi daïng: n x1, x2,…, xn 1 fn = ∑ xi . n i =1 trong ñoù moãi soá lieäu coù theå laëp laïi nhieàu laàn. Daïng 2: Laäp baûng coù daïng: Nhaän xeùt: Theo ñònh nghóa, tæ leä maãu coù bieåu thöùc gioáng nhö kyø voïng maãu. Tuy nhieân, ôû ñaây caùc Xi chæ nhaän hai giaù trò 0 vaø 1 Xi x1 x2 ……………………….. xk tuøy theo phaàn töû thöù i maø ta quan saùt laø khoâng coù tính chaát A ni n1 n2 ………………………… nk hay coù tính chaát A. Nhö vaäy, caùc giaù trò cuûa tæ leä maãu chính laø tæ leä caùc phaàn töû coù tính chaát A trong caùc maãu cuï theå. trong ñoù x1 < x2
  6. 4.2. Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: 4.3. Höôùng daãn söû duïng phaàn meàm thoáng keâ trong caùc maùy tính boû tuùi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES,..) tính X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 caùc ñaëc tröng maãu: Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Ví duï. Xeùt laïi ví duï treân vôùi baûng soá lieäu: Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo Xi 13 17 21 25 29 33 37 loaïi B. Haõy xaùc ñònh kyø voïng maãu, phöông sai maãu, phöông sai ni 8 9 20 16 16 13 18 maãu hieäu chænh cuûa chæ tieâu X vaø tæ leä maãu saûn phaåm loaïi B. Giaûi Tröôùc heát ta thay caùc khoaûng xi-xi+1 baèng giaù trò trung bình cuûa a) Ñoái vôùi loaïi maùy tính CASIO 500 vaø 570MS: xi + xi +1 hai ñaàu muùt x'i = . 1) Vaøo MODE SD: Baám MODE (vaøi laàn...) vaø baám soá öùng vôùi 2 SD, treân maøn hình seõ hieän leân chöõ SD. 2) Xoùa boä nhôù thoáng keâ: Baám SHIFT MODE 1 (maøn hình Xi 13 17 21 25 29 33 37 hieän leân Stat clear) = AC . Kieåm tra laïi: Baám nuùt troøn ∇ ni 8 9 20 16 16 13 18 hoaëc Δ thaáy n = vaø ôû goùc soá 0 laø ñaõ xoùa. Ta coù: 3) Nhaäp soá lieäu: Trình töï baám nhö sau: xi SHIFT , ni M+ n = 100; ∑ X in i =2636; ∑ X i2ni =75028. (khi baám SHIFT , treân maøn hình hieän leân daáu ;). Cuï theå, ta baám: • Kyø voïng maãu cuûa X laø 1 3 SHIFT , 8 M+ 1 1 7 SHIFT , 9 M+ X= n ∑ X i ni = 26,36 (cm). 2 1 SHIFT , 2 0 M+ • Phöông sai maãu cuûa X laø: 2 5 SHIFT , 1 6 M+ 2 1 S = n ∑ X i2ni − X 2 =(7, 4452)2 = 55, 4304 (cm2 ). 2 9 SHIFT , 1 6 M+ 3 3 SHIFT , 1 3 M+ • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: 3 7 SHIFT , 1 8 M+ n 2 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám nuùt troøn ∇ ñeå kieåm tra S2 = S = (7, 4827)2 = 55, 9903 (cm 2 ). n −1 vieäc nhaäp soá lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå maøn hình ngay • Tæ leä maãu saûn phaåm loaïi B laø: soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ m 17 thay cho soá lieäu cuõ. Fn = = = 0,17 = 17%. n 100 Ví duï. Nhaäp sai 1 3 SHIFT , 7 M+ . Khi kieåm tra ta thaáy vì trong n = 100 saûn phaåm coù m = 8 + 9 = 17 saûn phaåm coù chæ treân maøn hình hieän ra: tieâu X nhoû hôn hay baèng 19 cm, nghóa laø coù 17 saûn phaåm loaïi B. 11 12 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  7. - x1 = 13 (sai). - Freq1 = 7 (sai) Söûa nhö sau: Ñeå maøn hình ôû Freq1 = 7, baám 8 = thì nhaän ñöôïc soá lieäu ñuùng Freq1 = 8. Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø xaùc suaát töông öùng) seõ bò xoùa. Chaúng haïn, nhaäp dö + 4 7 SHIFT , 1 8 M . Khi kieåm tra ta thaáy x8 = 47 (dö). Ta ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu dö (goàm giaù trò cuûa X = 47 vaø taàn soá töông öùng 18) seõ bò xoùa. Chuù yù. Sau khi kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu xong, phaûi baám AC ñeå xoùa maøn hình vaø thoùat khoûi cheá ñoä chænh söûa. 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám nuùt troøn ñeå kieåm tra vieäc 5) Ñoïc keát quaû: nhaäp soá lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå con troû ngay soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ. Ñaïi löôïng Thao taùc Keát quaû Ghi chuù Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå con troû ôû soá lieäu ñoù vaø baám caàn tìm DEL thì toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø taàn suaát töông Toång bình phöông SHIFT 1 1 = ∑X 2 = 75028 ∑X i 2 ni = ∑X 2 öùng) seõ bò xoùa. ∑X n i 2 i Chuù yù. Sau khi kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu xong, phaûi baám Toång ∑ X n i i SHIFT 1 2 = ∑ X = 2636 ∑X n i i = ∑X AC ñeå xoùa maøn hình vaø thoùat khoûi cheá ñoä chænh söûa. Trong quaù Côõ maãu n SHIFT 1 3 = n = 100 trình xuû lyù soá lieäu, muoán xem laïi baûng soá lieäu thì baám Kyø voïng M(X) SHIFT 2 1 = X = 26.36 M(X) = X SHIFT 1 2 Ñoä leäch maãu S SHIFT 2 2 = xσn = 7.4452 S = xσ n 5) Ñoïc keát quaû: Ñoä leäch maãu hieäu SHIFT 2 3 = xσn −1 = 7.4827 S = xσn −1 chænh S Ñaïi löôïng Thao taùc Keát quaû Ghi chuù • Phöông sai maãu S = (7, 4452) 2 2 caàn tìm • Phöông sai maãu hieäu chænh S2 = (7, 4827)2 Toång bình phöông SHIFT 1 4 1 = ∑X 2 = 75028 ∑X i 2 ni = ∑X 2 ∑X n i 2 i Toång ∑ X n i i SHIFT 1 4 2 = ∑ X = 2636 ∑X n i i = ∑X Côõ maãu n SHIFT 1 5 1 = n = 100 b) Ñoái vôùi loaïi maùy tính CASIO 500 vaø 570ES: Kyø voïng M(X) SHIFT 1 5 2 = X = 26.36 M(X) = X Ñoä leäch maãu S SHIFT 1 5 3 = xσn = 7.4452 S = xσ n 1) Khai baùo coät taàn soá: Baám SHIFT SETUP ∇ 4 1 (Baám ∇ baèng caùch baám nuùt troøn xuoáng) Ñoä leäch maãu hieäu SHIFT 1 5 4 = xσn −1 = 7.4827 S = xσn −1 chænh S 2) Vaøo Mode Thoáng keâ: Baám MODE 3 1 (hoaëc MODE 2 1 ) • Phöông sai maãu S = (7, 4452)2 2 (Treân maøn hình seõ hieän leân chöõ STAT) • Phöông sai maãu hieäu chænh S2 = (7, 4827)2 3) Nhaäp soá lieäu: Nhö trong baûng sau: 13 14 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  8. §5. Öôùc löôïng ñieåm Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. Haõy öôùc löôïng giaù trò trung bình, phöông sai cuûa chæ tieâu 5.1. Ñònh nghóa: Xeùt ñaùm ñoâng X coù ñaëc soá θ chöa bieát (θ laø X vaø tæ leä saûn phaåm loaïi B. kyø voïng, phöông sai hay tæ leä). Töø maãu (X1,X2,…, Xn), ta ñöa ra ñaïi Giaûi löôïng ngaãu nhieân θ = θ(X1 , X 2 ,..., X n ) ñeå tính xaáp xæ θ: θ ≈ θ. Trong Ví duï 4.2 ta ñaõ tìm ñöôïc: Ta goïi θ laø moät öôùc löôïng ñieåm cuûa θ. Öôùc löôïng naøy ñöôïc goïi laø • Kyø voïng maãu cuûa X laøX = 26,36 (cm). khoâng cheäch neáu ñaúng thöùc sau ñöôïc thoûa: • Phöông sai hieäu chænh cuûa X laø S = 55,9903 (cm ). 2 2 M(θ) = θ. • Tæ leä maãu saûn phaåm loaïi B laø Fn = 17%. Löu yù raèng trong öôùc löôïng ñieåm ta coù sai soá laø θ − θ . Trong öôùc löôïng khoâng cheäch ta coù sai soá trung bình cuûa öôùc löôïng laø: Ta öôùc löôïng : M(θ − θ) = M(θ) − M(θ) = θ − θ = 0. Nhö vaäy, öôùc löôïng khoâng cheäch laø öôùc löôïng coù sai soá trung bình • Giaù trò trung bình cuûa X laø baèng 0. Ñieàu naøy khoâng coù nghóa laø öôùc löôïng khoâng cheäch khoâng coù sai soá maø chæ cho thaáy raèng öôùc löôïng khoâng cheäch khoâng coù söï M(X) ≈ X = 26,36 (cm). sai leäch haún veà moät phía. • Phöông sai cuûa X laø 5.2. Öôùc löôïng ñieåm: Trong caùc muïc tröôùc, ta ñaõ tính xaáp xæ caùc ñaëc soá ñaùm ñoâng D(X) ≈ S 2 = 55,9903 (cm 2 ). bôûi caùc ñaëc tröng maãu. Nhöõng keát quaû ñaït ñöôïc cho thaáy: • Tæ leä saûn phaåm loaïi B laø • Kyø voïng maãu X laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa kyø voïng ñaùm ñoâng: μ = M (X ) ≈ X p ≈ Fn = 17%. • Phöông sai maãu hieäu chænh S2 laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa phöông sai ñaùm ñoâng: 5.4. Ví duï: Ñeå khaûo saùt troïng löôïng cuûa moät loaïi vaät nuoâi, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: σ = D( X ) ≈ S 2 2 • Tæ leä maãu Fn laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tæ leä ñaùm X(kg) 110-117 117-124 124-131 131-138 138-145 145-152 152-159 ñoâng: Soá con 28 29 35 46 36 7 8 p ≈ Fn 5.3. Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, Nhöõng con coù troïng löôïng töø 145kg trôû leân ñöôïc xeáp vaøo loaïi A. ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: a) Haõy öôùc löôïng troïng löôïng trung bình, phöông sai cuûa X vaø tæ leä con loaïi A. X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 b) Ñaët Z = -10X + 5. Haõy öôùc löôïng kyø voïng vaø phöông sai cuûa Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Z. 15 16 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  9. Giaûi • Kyø voïng: Tröôùc heát ta thay caùc khoaûng xi- xi+1 baèng giaù trò trung bình cuûa M(Z) = M(-10X + 5) = M(-10X) + M(5) = -10M(X) + 5 xi + xi +1 ≈ -10 X + 5 ≈ -10.130,6852 + 5 = -1301,852 (kg). hai ñaàu muùt x'i = : 2 • Phöông sai: D(Z) = D(-10X + 5) = D(-10X) + D(5) = (-10)2D(X) Xi 113,5 120,5 127,5 134,5 141,5 148,5 155,5 ≈ 100S2 ≈ 100.125,8538 = 12585,38 (kg2) ni 28 29 35 46 36 7 8 §6. Öôùc löôïng khoaûng Ta coù: n = 189; ∑X n i i =24699, 5; ∑X i 2 n i = 3251519, 25. 6.1. Ñònh nghóa: Xeùt ñaùm ñoâng X coù ñaëc soá θ chöa bieát (θ laø • Kyø voïng maãu cuûa X laø kyø voïng hay tæ leä). Vôùi moãi γ = 1 - α (0 < α < 1 khaù beù), töø maãu 1 (X1,X2,…, Xn), ta ñöa ra hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân X= n ∑ X in i = 130, 6852(kg). θ1 = θ1 (X1 , X 2 ,..., X n ) vaø θ2 = θ2 (X1 , X 2 ,..., X n ) sao cho xaùc suaát ñeå • Phöông sai maãu cuûa X laø: θ1 ≤ θ ≤ θ2 baèng γ: 2 1 S = n ∑ X i2ni − X 2 =(11,1887)2 = 125,1879(kg 2 ). P(θ1 ≤ θ ≤ θ2 ) = γ. • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: Minh hoïa: n 2 S2 = S = (11, 2185)2 = 125, 8538(kg 2 ). n −1 • Tæ leä maãu cuûa X laø m 15 Fn = = = 0, 0794 = 7, 94%. n 189 vì trong n = 189 con coù m = 7 + 8 = 15 con coù troïng löôïng töø 145kg trôû leân, nghóa laø coù 15 con loaïi A. Ta goïi (θ1 ; θ2 ) laø moät öôùc löôïng khoaûng cuûa θ vôùi ñoä tin caäy γ. a) Ta öôùc löôïng: Goïi θ laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa θ. Öôùc löôïng khoaûng ñoái • Troïng löôïng trung bình cuûa moät con vaät laø xöùng cuûa θ vôùi ñoä tin caäy γ laø moät öôùc löôïng khoaûng coù daïng M(X) ≈ X = 130, 6852(kg). (θ − ε; θ + ε) vôùi ε > 0, sao cho: • Phöông sai cuûa X laø P(θ − ε ≤ θ ≤ θ + ε) = γ. D(X) ≈ S2 = 125, 8538 (kg 2 ). • Tæ leä con loaïi A laø Minh hoïa: p ≈ Fn = 7, 94%. b) Vôùi Z = -10X + 5, ta coù : 17 18 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  10. Ví duï: Tra baûng phaân phoái Student ta coù: k α tα k 8 0,05 2,306 12 0,02 2,681 Trong öôùc löôïng khoaûng ñoái xöùng (θ − ε; θ + ε) , ta goïi ε laø ñoä 20 0,01 2,845 chính xaùc. Chuù yù raèng neáu ε caøng lôùn thì öôùc löôïng khoaûng caøng daøi, cung caáp cho ta ít thoâng tin veà ñaëc soá θ neân tính chính xaùc 6.3. Phaân phoái cuûa tæ leä maãu: caøng thaáp; ngöôïc laïi neáu ε caøng nhoû thì öôùc löôïng khoaûng caøng Xeùt ñaùm ñoâng X vôùi tæ leä p. Ta ñaõ bieát tæ leä maãu Fn laø ñaïi ngaén, cung caáp cho ta nhieàu thoâng tin veà ñaëc soá θ neân tính pq chính xaùc cuûa öôùc löôïng caøng cao. Nhö vaäy, trong öôùc löôïng khoaûng, löôïng ngaãu nhieân coù kyø voïng laø p vaø phöông sai laø . Ta chæ neáu ñoä chính xaùc ε caøng lôùn thì ñoä tin caäy γ caøng cao; neáu ñoä n chính xaùc ε caøng nhoû thì ñoä tin caäy γ caøng thaáp. xeùt tröôøng hôïp côõ maãu lôùn, do ñoù theo Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm, Fn coù phaân phoái chuaån, vì vaäy: 6.2. Phaân phoái cuûa kyø voïng maãu: pq Fn ∼ N ( p, ) n Xeùt ñaùm ñoâng X vôùi kyø voïng μ = M(X) vaø phöông sai σ2 = D(X). Ta ñaõ bieát kyø voïng maãu X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù 6.4. Öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng σ 2 1) Baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng ñoái xöùng: Xeùt ñaùm ñoâng X kyø voïng laø μ vaø phöông sai laø . Töø ñaây, ta coù luaät phaân phoái coù kyø voïng μ = M(X) chöa bieát. Vôùi moãi γ = 1−α (0 < α < 1 khaù beù), n haõy döïa vaøo maãu (X1, X2,…, Xn) ñeå ñöa ra öôùc löôïng khoaûng cho cuûa X nhö sau: kyø voïng μ coù daïng ( X − ε ; X + ε ) , ε > 0, vôùi ñoä tin caäy γ, Tröôøng hôïp Phöông sai σ2 nghóa laø Luaät phaân phoái cuûa X P( X − ε ≤ μ ≤ X + ε ) = γ . n ≥ 30 Ñaõ bieát σ2 X coù phaân phoái chuaån X ∼ N (μ , ) trong ñoù X laø kyø voïng maãu. n 2) Lôøi giaûi: Ta chia baøi toaùn thaønh 4 tröôøng hôïp tuyø theo Chöa bieát S2 X coù phaân phoái chuaån X ∼ N (μ , ) phaân phoái cuûa kyø voïng maãu X : n n < 30 Ñaõ bieát σ2 Tröôøng hôïp 1: n ≥ 30; σ2 ñaõ bieát. X coù phaân phoái chuaån X coù phaân phoái chuaån X ∼ N (μ , ) n Trong tröôøng hôïp naøy, X coù phaân phoái chuaån: Chöa bieát X −μ σ2 Tn−1 = coù phaân phoái Student X ∼ N (μ , ) S/ n n vôùi (n-1) baäc töï do Tra baûng giaù trò cuûa haøm Laplace ta tìm ñöôïc giaù trò zα thoaû 1−α γ Chuù yù: Neáu Tk coù phaân phoái Student vôùi k baäc töï do thì vôùi ϕ(zα ) = = . Khi ñoù theo Qui taéc k-sigma trong Chöông 2, veà 2 2 moãi α (0 < α < 1) vaø moät soá nguyeân k, ta tìm ñöôïc giaù trò k tα phaân phoái chuaån, baèng caùch choïn k = zα ta coù: sao cho: P(| Tk |> tα ) = α . k 19 20 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  11. σ σ σ 1−α γ P(| X − μ | zα ≤ ) = 2ϕ(zα ) = γ. (X − zα ; X + zα ) vôùi ϕ(zα ) = = n n n 2 2 Chuù yù raèng: Tröôøng hôïp 4: n < 30; X coù phaân phoái chuaån, σ2 chöa bieát. σ σ σ σ Trong tröôøng hôïp naøy | X − μ | zα ≤ ⇔| μ − X | zα ≤ ⇔ −zα ≤ μ − X ≤ zα n n n n X −μ Tn−1 = σ σ S/ n ⇔ X − zα ≤ μ ≤ X + zα n n coù phaân phoái Student vôùi k = n - 1 baäc töï do. Vôùi α = 1 - γ, tra baûng phaân phoái Student ta tìm ñöôïc giaù trò tα sao cho: k Do ñoù P(| Tk |> tα ) = α . k σ σ nghóa laø: P(X − zα ≤ μ ≤ X + zα ) = γ. n n P(| Tk | t α ) = 1 − α = γ ⇔ P( ≤ k | X − μ| k S ≤ t α ) = γ ⇔ P(| X − μ | ≤ t α k ) = γ. S/ n n Vaäy trong tröôøng hôïp naøy, ta coù öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α laø: Töø ñaây, lyù luaän hoaøn toaøn töông töï tröôøng hôïp 1 ta coù: S k S P( X − tα k ≤ μ ≤ X + tα ) = γ. σ σ 1−α γ (X − zα ; X + zα ) vôùi ϕ(zα ) = = n n n n 2 2 Vaäy trong tröôøng hôïp naøy, ta coù öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α laø: S k S Tröôøng hôïp 2: n ≥ 30; σ2 chöa bieát. k (X − t α ; X + tα ) n n trong ñoù tα ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = n – k Trong tröôøng hôïp naøy, X coù phaân phoái chuaån: S2 1 vaø α = 1 - γ. X ∼ N (μ , ) Toùm laïi, ta coù: n BAÛNG 1A vôùi S2 laø phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh. Do ñoù trong tröôøng hôïp ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG CHO KYØ VOÏNG μ = M(X) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1 - α) naøy, ta coù öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy Tröôøng hôïp Phöông sai σ2 Coâng thöùc γ = 1 - α töông töï nhö tröôøng hôïp 1 nhöng σ ñöôïc thay baèng S: n ≥ 30 Ñaõ bieát σ σ (X − zα ; X + zα ) n n S S 1−α γ Chöa bieát S S (X − zα ; X + zα ) vôùi ϕ(zα ) = = (X − zα ; X + zα ) n n 2 2 n n n < 30 vaø X coù phaân Ñaõ bieát σ σ (X − zα ; X + zα ) phoái chuaån n n 2 Tröôøng hôïp 3: n < 30; X coù phaân phoái chuaån, σ ñaõ bieát. Chöa bieát k S k S Trong tröôøng hôïp naøy, X coù phaân phoái chuaån gioáng nhö (X − t α ; X + tα ) n n tröôøng hôïp 1. Do ñoù ta coù öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) • zα thoaû ϕ(zα) = (1 - α)/2 = γ/2 tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α gioáng nhö tröôøng 1: k • t α vôùi k = n-1 vaø α = 1 - γ tra töø Baûng Phaân phoái Student 21 22 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  12. S S (X − zα ; X + zα ) n n Chuù yù: Tra Baûng giaù trò haøm Laplace ñeå xaùc dònh zα thoûa trong ñoù ϕ(zα) = γ/2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm 1−α γ Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. ϕ(zα ) = = ta ñöôïc: 2 2 Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: γ = 1-α ϕ(zα) = γ/2 zα 7,4827 7,4827 90% 0,45 1,65 (26,36 − 1,96 ; 26,36 + 1,96 ) = (24,89; 27,83). 100 100 91% 0,455 1,70 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X 92% 0,46 1,75 töø 24,89cm ñeán 27,83 cm. 93% 0,465 1,81 94% 0,47 1,88 b) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μB = M(XB) cuûa 95% 0,475 1,96 chæ tieâu X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α 96% 0,48 2,06 = 99% = 0,99. 97% 0,485 2,17 Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB: 98% 0,49 2,33 XBi 13 17 99% 0,495 2,58 nBi 8 9 Töø baûng treân ta tính ñöôïc: 3) Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi nB = 17; ∑ X Bi nBi =257; ∑ X Bi nBi =3.953. 2 ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 • Kyø voïng maãu cuûa XB laø Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 1 XB = nB ∑ X BinBi = 15,1176 (cm). Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. • Phöông sai maãu cuûa XB laø: a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä tin caäy 95%. b) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn 2 1 phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 99% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån). SB = nB ∑ X Bi2nBi − X B2 =(1, 9965)2 (cm2 ). Giaûi a) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa XB laø: tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Vôùi caùc soá lieäu treân, trong Ví duï 4.2, ta ñaõ tìm ñöôïc: nB 2 S2 = SB = (2, 0580)2 (cm 2 ). • Côõ maãu n = 100. B nB − 1 • X = 26,36 (cm). Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σB2 = D(XB) chöa bieát, neân • S = (7,4827) (cm ). 2 2 2 ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: 23 24 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  13. SB k S Chaúng haïn khi xeùt tröôøng hôïp n ≥ 30; σ2 ñaõ bieát, ta coù X coù phaân ( X B − tα k ; X B + tα B ) phoái chuaån: nB nB σ2 trong ñoù tα ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k X ∼ N (μ , ) n k = nB–1=16 vaø α = 1 - γ = 1 – 0,99 = 0,01. Tra baûng phaân phoái Tra baûng giaù trò cuûa haøm Laplace ta tìm ñöôïc giaù trò z2α thoaû Student ta ñöôïc tα = 2,921. k 1 − 2α ϕ(z2α ) = . Khi ñoù theo coâng thöùc veà giaù trò cuûa ÑLNN coù phaân Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: 2 phoái chuaån trong chöông 2, baèng caùch choïn k = z2α ta coù: 2,0580 2,0580 (15,1176 − 2,921 ; 15,1176 + 2,921 ) = (13,66; 16,58). σ 17 17 (μ − z2α )−μ σ σ n P(μ ≤ X + z2α ) = P(μ − z2α ≤ X) = ϕ(+∞) − ϕ( ) n n σ Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 99%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X n cuûa saûn phaåm loaïi B töø 13,66cm ñeán 16,58cm. 1 1 − 2α = ϕ(+∞) − ϕ(−z2α ) = ϕ(+∞ ) + ϕ(z2α ) = + =1−α = γ 2 2 4) Baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng beân traùi, beân phaûi: Xeùt ñaùm ñoâng X coù kyø voïng μ = M(X) chöa bieát. Vôùi moãi γ = 1 - α (0 Suy ra öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho kyø voïng μ vôùi ñoä tin caäy < α < 1 khaù beù), haõy döïa vaøo maãu (X1, X2,…, Xn) ñeå ñöa ra: γ = 1 - α laø: • Öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho kyø voïng μ coù daïng σ 1 − 2α (−∞; X + ε) , ε > 0, vôùi ñoä tin caäy γ, nghóa laø (−∞; X + z2α ) vôùi ϕ(z2α ) = P(μ ≤ X + ε) = γ. n 2 • Öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho kyø voïng μ coù daïng Töông töï, öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho kyø voïng μ vôùi ñoä tin (X − ε; +∞; ) , ε > 0, vôùi ñoä tin caäy γ, nghóa laø caäy γ = 1 - α laø: σ 1 − 2α P(μ ≥ X − ε) = γ. (X − z2 α ; +∞) vôùi ϕ(z2α ) = n 2 trong ñoù X laø kyø voïng maãu. Ñoái vôùi caùc tröôøng hôïp khaùc ta lyù luaän töông töï. Toùm laïi ta coù keát quaû sau: Chuù yù: BAÛNG 1B ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG BEÂN TRAÙI CHO KYØ VOÏNG μ = M(X) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1 - α) • Khi coù öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho kyø voïng μ vôùi ñoä tin Tröôøng hôïp Phöông sai σ2 Coâng thöùc caäy γ laø (−∞; X + ε) , ta noùi giaù trò toái ña cuûa kyø voïng μ ñoä tin caäy n ≥ 30 Ñaõ bieát σ (−∞; X + z2α ) γ laø X + ε . n • Khi coù öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho kyø voïng μ vôùi ñoä tin Chöa bieát S (−∞; X + z2α ) caäy γ laø (X − ε; +∞; ) , ta noùi giaù trò toái thieåu cuûa kyø voïng μ ñoä tin n n < 30 vaø X coù phaân Ñaõ bieát σ caäy γ laø X − ε . (−∞; X + z2α ) phoái chuaån n Chöa bieát k S 5) Lôøi giaûi: Ta chia baøi toaùn thaønh 4 tröôøng hôïp tuyø theo (−∞; X + t 2α ) n phaân phoái cuûa kyø voïng maãu X töông töï nhö tröôøng hôïp ñoái xöùng. • z2α thoaû ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 (α = 1 - γ) tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace k • t 2α vôùi k = n-1 vaø α = 1 - γ tra töø Baûng Phaân phoái Student 25 26 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  14. BAÛNG 1C • Côõ maãu n B = 17. ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG BEÂN PHAÛI CHO KYØ VOÏNG μ = M(X) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1 - α) • X B = 15,1176 (cm) . Tröôøng hôïp Phöông sai σ2 Coâng thöùc n ≥ 30 Ñaõ bieát σ • S2 = (2, 0580)2 (cm2 ). B (X − z2α ; +∞) n Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σB2 = D(XB) chöa bieát, neân Chöa bieát S ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho kyø voïng vôùi ñoä tin (X − z2α ; +∞) n caäy γ = 1 - α laø: n < 30 vaø X coù phaân Ñaõ bieát σ k S (X − z2α ; +∞) (X B − t 2α B ; +∞) phoái chuaån n nB Chöa bieát S k k (X − t 2α ; +∞) trong ñoù t 2α ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nB – n 1=16 vaø 2α = 0,02. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc • z2α thoaû ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 (α = 1 - γ) tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace k k t 2α = 2, 583 . • t 2α vôùi k = n-1 vaø α = 1 - γ tra töø Baûng Phaân phoái Student Vaäy giaù trò trung bình toái thieåu cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 99% laø: 6) Ví duï: Tieáp tuïc xeùt laïi Ví duï ôû treân. k S 2, 0580 c) Öôùc löôïng giaù trò trung bình toái ña cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä tin X B − t 2α B = 15,1176 − 2, 583 = 13, 8283(cm) nB 17 caäy 95%. d) Öôùc löôïng giaù trò trung bình toái thieåu cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 99% (Giaû söû X coù phaân phoái 6.5. Öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä chuaån). 1) Baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng ñoái xöùng: Xeùt ñaùm ñoâng X coù tæ leä p chöa bieát . Vôùi moãi γ = 1 - α (0 < α < 1 khaù beù), haõy Giaûi döïa vaøo maãu (X1, X2,…, Xn) ñeå ñöa ra öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä c) Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 - α = 95% = 0,95 (α = 0,05). p coù daïng ( Fn − ε ; Fn + ε ) , ε > 0, vôùi ñoä tin caäy γ, nghóa laø Ta ñaõ tìm ñöôïc: • Côõ maãu n = 100. P(Fn − ε ≤ p ≤ Fn + ε) = γ • X = 26,36 (cm). • S 2 = (7,4827) 2 (cm 2 ). trong ñoù Fn laø tæ leä maãu. 2 Vì n ≥ 30, σ = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho kyø voïng: 2) Lôøi giaûi: Ta chæ xeùt tröôøng hôïp côõ maãu khaù lôùn. Khi ñoù ôû S phaàn tröôùc ta ñaõ bieát tæ leä maãu Fn coù phaân phoái chuaån: (−∞; X + z2α ) n pq Fn ∼ N(p, ). trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45. Tra baûng giaù trò haøm n Laplace ta ñöôïc z2α = 1,65. Suy ra giaù trò trung bình toái ña cuûa chæ Tra baûng giaù trò cuûa haøm Laplace ta tìm ñöôïc giaù trò zα thoaû 1−α γ tieâu X vôùi ñoä tin caäy 95% laø: ϕ(zα ) = = . Khi ñoù theo Qui taéc k-sigma trong chöông 2 veà 2 2 S 7, 4827 X + z2α = 26, 36 + 1, 65 = 27, 5946(cm) phaân phoái chuaån, baèng caùch choïn k = zα ta coù: n 100 pq d) Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 - α = 99% = 0,99 ( α = 0,01). P(|Fn − p| zα ≤ ) = 2ϕ(zα ) = γ. n Ta ñaõ tìm ñöôïc: 27 28 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  15. Maø • Trong n = 189 con coù m = 7+8=15 con coù troïng löôïng töø pq pq pq pq 145kg trôû leân neân coù m = 15 con loaïi A. Do ñoù tæ leä maãu caùc con |Fn − p|≤ zα ⇔ |p − Fn | zα ≤ ⇔ -zα ≤ p − Fn ≤ zα n n n n loaïi A laø: Fn = m/n = 15/189 = 0,0794. pq pq ⇔ Fn - zα ≤ p ≤ Fn + zα n n Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: neân 0, 0794(1 − 0, 0794) 0, 0794(1 − 0, 0794) pq pq (0, 0794 − 2,17 ; 0, 0794 + 2,17 ) P(Fn − zα ≤ p ≤ Fn + zα ) = γ. 189 189 n n = (0, 0367; 0,1221) = (3, 67%; 12, 21%) Vì n khaù lôùn neân ta xaáp xæ p ≈ Fn vaø q ≈ 1- Fn. Khi ñoù Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 97%, tæ leä con loaïi A töø 3,67% ñeán 12,21%. Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) P(Fn − zα ≤ p ≤ Fn + zα n ) = γ. n n 4) Baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng beân traùi, beân phaûi: Xeùt ñaùm ñoâng X coù tæ leä p chöa bieát. Vôùi moãi γ = 1 - α (0 < α < 1 khaù Vaäy ta coù: beù), haõy döïa vaøo maãu (X1, X2,…, Xn) ñeå ñöa ra: BAÛNG 2A • Öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p coù daïng (−∞; Fn + ε) , ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG CHO TÆ LEÄ p = P(A) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1- α) Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ε > 0, vôùi ñoä tin caäy γ, nghóa laø (Fn − zα ; Fn + zα n ) P(μ ≤ Fn + ε) = γ. n n zα thoaû ϕ(zα) = (1 - α)/2 = γ/2 tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace • Öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p coù daïng (Fn − ε; +∞) , ε > 0, vôùi ñoä tin caäy γ, nghóa laø 3) Ví duï: Ñeå khaûo saùt troïng löôïng cuûa moät loaïi vaät nuoâi, P(μ ≥ Fn − ε) = γ. ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: Chuù yù: X(kg) 110-117 117-124 124-131 131-138 138-145 145-152 152-159 • Khi coù öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p vôùi ñoä tin caäy Soá con 28 29 35 46 36 7 8 γ laø (−∞; Fn + ε) , ta noùi giaù trò toái ña cuûa tæ leä p ñoä tin caäy γ laø Nhöõng con coù troïng löôïng töø 145kg trôû leân ñöôïc xeáp vaøo loaïi A. Fn + ε . Haõy öôùc tæ leä con vaät loaïi A vôùi ñoä tin caäy 97%. • Khi coù öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p vôùi ñoä tin caäy γ laø (Fn − ε; +∞) , ta noùi giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä p ñoä tin caäy γ laø Giaûi Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc con loaïi A vôùi Fn − ε . ñoä tin caäy γ = 1- α = 97% = 0,97. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : 5) Lôøi giaûi: Lyù luaän töông töï nhö khi öôùc löôïng kyø voïng ta coù: BAÛNG 2B Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG BEÂN TRAÙI CHO TÆ LEÄ P = P(A) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1- α) (Fn − zα ; Fn + zα n ) n n Fn (1 − Fn ) (−∞; Fn + z2α ) trong ñoù ϕ (zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,97/2 = 0,485. n • Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,17. z2α thoaû ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 (α = 1 - γ) tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace • Côõ maãu n = 189. 29 30 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  16. BAÛNG 2C §7. Caùc chæ tieâu chính cuûa baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng ñoái ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG BEÂN PHAÛI CHO TÆ LEÄ P = P(A) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1- α) xöùng Fn (1 − Fn ) (Fn − z2α ; +∞) 7.1. Môû ñaàu: Trong baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng coù 3 chæ tieâu n chính laø: z2α thoaû ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 (α = 1 - γ) tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace • Côõ maãu n. • Ñoä chính xaùc ε. 6) Ví duï: Tieáp tuïc xeùt laïi ví duï ôû treân. • Ñoä tin caäy γ = 1 - α. c) Öôùc löôïng tæ leä toái ña con loaïi A vôùi ñoä tin caäy 96%. d) Öôùc löôïng tæ leä toái thieåu con loaïi A vôùi ñoä tin caäy 98%. Neáu bieát ñöôïc 2 trong 3 chæ tieâu treân thì coù theå suy ra chæ tieâu coøn laïi. Giaûi Ta ñaõ tìm ñöôïc: 7.2. Tröôøng hôïp öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng • Côõ maãu n = 189. Ta xeùt tröôøng hôïp phoå bieán nhaát laø n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa • Tæ leä maãu con loaïi A laø: Fn = 0,0794. bieát. Khi ñoù, ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = c) Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 - α = 96% = 0,96 (α = 0,04). M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α: Coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p con loaïi A vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 0,96 laø: S S 1−α γ Fn (1 − Fn ) (X − zα ; X + zα ) vôùi ϕ(zα ) = = . (−∞; Fn + z2α ) n n 2 2 n trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,92/2 = 0,46. Tra baûng giaù trò haøm Do ñoù ta coù coâng thöùc ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø: Laplace ta ñöôïc z2α = 1,75. Suy ra tæ leä toái ña con loaïi A laø: S Fn (1 − Fn ) 0, 0794(1 − 0, 0794) ε = zα (1) Fn + z2α = 0, 0794 + 1,75 = 0,1138 = 11, 38% n n 189 . 1) Neáu bieát côõ maãu n vaø ñoä tin caäy γ thì ta tra baûng giaù d) Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 - α = 98% = 0,98 (α = 0,02). trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ(zα) = γ/2. Töø ñoù ta tìm ñöôïc ñoä Coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p con loaïi A vôùi chính xaùc ε theo (1). ñoä tin caäy γ = 1 - α = 0,98 laø: 2) Neáu bieát côõ maãu n vaø ñoä chính xaùc ε thì töø (1) ta suy ra Fn (1 − Fn ) ε n (Fn − z2α ; +∞ ) zα = n S trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta tìm ñöôïc ϕ(zα). Töø ñoù suy ra ñoä tin Laplace ta ñöôïc z2α = 2,06. Suy ra tæ leä toái thieåu con loaïi A laø: caäy γ = 2ϕ(zα). 3) Neáu bieát ñoä chính xaùc ε vaø ñoä tin caäy γ = 1- α thì töø (1) Fn (1 − Fn ) 0, 0794(1 − 0, 0794) ta suy ra: Fn − z2α = 0, 0794 − 2, 06 = 0, 0389 = 3, 89%. 2 n 189 ⎛z S⎞ n=⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ 31 32 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  17. ⎛z S⎞ 2 Giaûi Chuù yù raèng ⎜ α ⎟ coù theå khoâng laø soá nguyeân, hôn nöõa, ta ñaõ bieát ⎝ ε ⎠ Ta ñaõ tìm ñöôïc: trong öôùc löôïng, côõ maãu caøng lôùn thì öôùc löôïng caøng chính xaùc. Do • Côõ maãu n = 100. ñoù trong thöïc teá ta coù yeâu caàu: • X = 26,36 (cm). n ≥ n1 (2) • S 2 = (7,4827) 2 (cm 2 ). trong ñoù n1 = ⎡(zα S / ε)2 ⎤ laø soá nguyeân nhoû nhaát lôùn hôn hay baèng ⎢ ⎥ (zα S / ε)2 . Goïi n0 laø côõ maãu ñang xeùt, ta coù: a) Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α. Giaû thieát: - Öôùc khoûang cho kyø voïng cuûa X. • Neáu n1 ≤ n0 thì ta khoâng caàn ñieàu tra theâm vì côõ maãu - Ñoä chính xaùc ε = 1,8cm. ñang coù ñaõ thoûa (2). Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính • Neáu n1 > n0 thì ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø n1 - n0 soá xaùc cuûa öôùc löôïng: lieäu nöõa ñeå ñaûm baûo toång soá lieäu laø n1 thoaû (2). BAÛNG 3A S ε = zα XAÙC ÑÒNH CAÙC CHÆ TIEÂU CHÍNH TRÖÔØNG HÔÏP ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG CHO KYØ VOÏNG μ = M(X) n Chæ tieâu ñaõ bieát Chæ tieâu caàn tìm Coâng thöùc trong ñoù ϕ (zα) = (1- α)/2 = γ /2 . Suy ra - Côõ maãu n Ñoä chính xaùc ε S ε = zα ε n 1, 8. 100 - Ñoä tin caäy γ = 1- α n zα = = = 2, 41 S 7, 4827 - Côõ maãu n Ñoä tin caäy γ = 1- α ε n γ = 2ϕ( ) - Ñoä chính xaùc ε S - Ñoä tin caäy γ = 1- α Côõ maãu n 2 n ≥ ⎡( zα S / ε ) ⎤ Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø: - Ñoä chính xaùc ε ⎢ ⎥ • zα thoaû ϕ(zα) = (1 - α)/2 = γ/2 tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace ϕ(x) γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 41) = 2.0, 4920 = 98, 40%. 2 • ⎡( zα S / ε ) ⎤ laø soá nguyeân nhoû nhaát ≥ ( zα S / ε ) 2 ⎢ ⎥ Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 98,40%. Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta b) Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh côõ maãu. quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: Giaû thieát: - Öôùc khoûang cho kyø voïng cuûa X X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 - Ñoä chính xaùc ε = 1,5cm. Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 - Ñoä tin caäy γ = 1- α = 97% = 0,97. a) Neáu muoán öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính caäy laø bao nhieâu? xaùc cuûa öôùc löôïng: b) Neáu muoán öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa S loaïi saûn phaåm treân vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin caäy 97% thì ε = zα phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa? n trong ñoù ϕ (zα) = (1- α)/2 = 0,97/2 = 0, 485. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,17. Suy ra 33 34 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  18. 2 trong ñoù n1 = ⎡z2 Fn (1 − Fn ) / ε2 ⎤ laø soá nguyeân nhoû nhaát lôùn hôn hay ⎛z S⎞ ⎢ α ⎥ n=⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ baèng z2 Fn (1 − Fn ) / ε 2 . Goïi n0 laø côõ maãu ñang xeùt, ta coù: α Thöïc teá yeâu caàu: ⎛z S⎞ 2 ⎛ 2,17.7, 4827 ⎞ 2 • Neáu n1 ≤ n0 thì ta khoâng caàn ñieàu tra theâm vì côõ maãu n≥⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 117,18. ñang coù ñaõ thoûa (2). ⎝ ε ⎠ ⎝ 1, 5 ⎠ Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 118. Vì • Neáu n1 > n0 thì ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø n1 - n0 n1 = 118 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm soá lieäu nöõa ñeå ñaûm baûo toång soá lieäu laø n1 thoaû (2). ít nhaát laø 118 – 100 = 18 saûn phaåm nöõa. BAÛNG 3B 7.3. Tröôøng hôïp öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä XAÙC ÑÒNH CAÙC CHÆ TIEÂU CHÍNH TRÖÔØNG HÔÏP ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG CHO TÆ LEÄ p = P(A) Chæ tieâu ñaõ bieát Chæ tieâu caàn tìm Coâng thöùc Ta chæ xeùt tröôøng hôïp n khaù lôùn (n ≥ 30). Khi ñoù, ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α: - Côõ maãu n Ñoä chính xaùc ε Fn (1 − Fn ) - Ñoä tin caäy γ = 1- α ε = zα n Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) 1−α γ - Côõ maãu n Ñoä tin caäy γ = 1- α n (Fn − zα ; Fn + zα n ) vôùi ϕ(zα ) = = .. γ = 2ϕ(ε ) - Ñoä chính xaùc ε Fn (1 − Fn ) n n 2 2 Do ñoù ta coù coâng thöùc ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø: - Ñoä tin caäy γ = 1- α Côõ maãu n n ≥ ⎡z2 Fn (1 − Fn ) / ε 2 ⎤ ⎢ α ⎥ - Ñoä chính xaùc ε • zα thoaû ϕ(zα) = (1 - α)/2 = γ/2 tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace ϕ(x) Fn (1 − Fn ) 2 • ⎡ z2 Fn (1 − Fn ) / ε2 ⎤ laø soá nguyeân nhoû nhaát ≥ zα Fn (1 − Fn ) / ε 2 ε = zα (1) ⎢ α ⎥ n 1) Neáu bieát côõ maãu n vaø ñoä tin caäy γ thì ta tra baûng giaù Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ(zα) = γ/2. Töø ñoù ta tìm ñöôïc ñoä quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 chính xaùc ε theo (1). Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 2) Neáu bieát côõ maãu n vaø ñoä chính xaùc ε thì töø (1) ta suy ra n zα = ε Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo Fn (1 − Fn ) loaïi B. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta tìm ñöôïc ϕ(zα). Töø ñoù suy ra ñoä tin a) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 8% caäy γ = 2ϕ(zα). thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? 3) Neáu bieát ñoä chính xaùc ε vaø ñoä tin caäy γ = 1- α thì töø (1) b) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 9% ta suy ra: vaø ñoä tin caäy 96% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn z2 Fn (1 − Fn ) phaåm nöõa? n= α ε2 z2 Fn (1 − Fn ) Giaûi Chuù yù raèng α coù theå khoâng laø soá nguyeân, hôn nöõa, ta ε2 Ta coù: ñaõ bieát trong öôùc löôïng, côõ maãu caøng lôùn thì öôùc löôïng caøng chính • Côõ maãu n = 100. xaùc. Do ñoù trong thöïc teá ta coù yeâu caàu: • Tæ leä maãu saûn phaåm loaïi B laø Fn = m/n = 17/100 = 0,17. n ≥ n1 (2) a) Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α. 35 36 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  19. Giaû thieát: - Öôùc khoûang cho tæ leä saûn phaåm loaïi B. BAØI TAÄP CHÖÔNG 3 - Ñoä chính xaùc ε = 8% = 0,08. Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Baøi 3.1: Ñeå khaûo saùt troïng luôïng X cuûa moät loaïi vaät nuoâi trong noâng traïi, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau: Fn (1 − Fn ) X(kg) 36 42 48 54 60 66 72 ε = zα n Soá con 15 12 25 18 10 10 10 trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra a) Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa loaïi vaät nuoâi treân vôùi ñoä tin caäy 96%. n 100 b) Vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät zα = ε = 0, 08. = 2,13. Fn (1 − Fn ) 0,17(1 − 0,17) nuoâi treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø c) Nhöõng con vaät coù troïng löôïng töø 60kg trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng con “ñaït tieâu chuaån”. Haõy öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2,13) = 2.0, 4834 = 96, 68%. tin caäy 95%. d) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy 99% Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 96,68%. vaø ñoä chính xaùc 10% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu con vaät nöõa? b) Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh côõ maãu. e) Vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån toái ña cuûa loaïi vaät Giaû thieát: - Öôùc khoûang cho tæ leä saûn phaåm loaïi B. nuoâi treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? - Ñoä chính xaùc ε = 9% = 0,09. - Ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96. Baøi 3.2: Caân thöû 100 traùi quít cuûa moät vöôøn, ta coù baûng keát quaû sau : Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: X(g) 40 50 60 70 80 90 100 110 Soá traùi 3 10 12 15 28 16 11 5 Fn (1 − Fn ) trong ñoù X chæ troïng löôïng (ñôn vò tính gam). ε = zα n a) Haõy öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa moät traùi quít trong trong ñoù ϕ(zα) = (1- α) /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm vöôøn quít treân vôùi ñoä tin caäy 94%. Laplace ta ñöôïc zα = 2,06. Suy ra b) Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X > 75g laø traùi loaïi I. Haõy öôùc löôïng tæ leä traùi loaïi I trong vöôøn quít treân vôùi ñoä tin caäy 95%. z2 Fn (1 − Fn ) c) Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X < 65g laø traùi loaïi III. Haõy öôùc n= α ε2 löôïng troïng luôïng trung bình cuûa moät traùi quít loaïi III trong vöôøn Thöïc teá yeâu caàu: quít treân vôùi ñoä tin caäy 99% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån). z2 Fn (1 − Fn ) 2, 062.0,17(1 − 0,17) n≥ α = ≈ 73, 92. ε 2 0, 092 Baøi 3.3: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm cuûa xí Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 74. nghieäp I, ngöôøi ta quan saùt moät maãu trong kho vaø coù keát quûa sau: Vì n1 = 74 < 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta khoâng caàn ñieàu X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 tra theâm saûn phaåm nöõa. Soá sphaåm 8 9 20 16 16 13 18 a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân vôùi ñoä tin caäy 96%. 37 38 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
  20. b) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä tin caäy 95% ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? vaø ñoä chính xaùc 11% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu saûn c) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin phaåm nöõa? caäy 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa? d) Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø Baøi 3.5: Traùi caây cuûa moät chuû haøng ñöôïc ñöïng trong caùc soït, moãi nhöõng saûn phaåm loaïi B. Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu soït 100 traùi. Ngöôøi ta kieåm tra 50 soït thì thaáy coù 450 traùi khoâng X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 98% (GS X coù phaân ñaït tieâu chuaån. phoái chuaån). a) Öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån cuûa loâ haøng treân vôùi e) Haõy öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 92%. Baûng ñoä tin caäy 95%. soá lieäu treân ñöôïc choïn ngaãu nhieân töø moät kho trong ñoù coù 1000 b) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính saûn phaåm loaïi B. Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm trong kho vôùi ñoä tin xaùc 0,5% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? caäy 92%. c) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng sp loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 6% thì seõ xaùc 1% vaø ñoä tin caäy 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? soït nöõa? g) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 96% vaø ñoä chính xaùc 8% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu saûn Baøi 3.6: Ñeå nghieân cöùu nhu caàu cuûa moät loaïi haøng ôû moät khu vöïc, phaåm nöõa? ngöôøi ta khaûo saùt 400 hoä gia ñình. Keát quaû nhö sau: h) Giaû söû trong kho ñeå laãn 1000 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II vaø Nhu caàu (kg/thaùng/hoä) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 trong 100 saûn phaåm laáy töø kho coù 9 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II. Soá hoä 10 35 86 132 78 31 18 10 Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho vôùi ñoä tin Cho bieát trong khu vöïc coù 4000 hoä. caäy 82%. a) Öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc trong moät naêm vôùi ñoä tin caäy 95%. Baøi 3.4: Ñeå khaûo saùt chieàu cao X cuûa moät gioáng caây troàng, ngöôøi ta b) Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn quan saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau: khu vöïc trong moät naêm, neáu ta muoán ñaït ñöôïc ñoä tin caäy 99% vaø X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 ñoä chính xaùc laø 4,8taán thì caàn khaûo saùt ôû ít nhaát bao nhieâu hoä gia Soá caây 10 10 15 30 10 10 15 ñình? a) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin caäy 96%. Baøi 3.7: Ñeå bieát soá löôïng caù trong hoà lôùn ngöôøi ta baét leân 2000 con b) Neáu muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng ñaùnh daáu xong roài thaû chuùng xuoáng hoà. Sau ñoù ngöôøi ta baét leân 400 treân vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 4 cm thì caàn phaûi ñieàu tra con vaø thaáy coù 80 con ñöôïc ñaùnh daáu. theâm bao nhieâu caây nöõa? a) Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy öôùc löôïng soá caù coù trong hoà. c) Neáu öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân b) Öôùc löôïng soá caù toái ña coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 96%. vôùi ñoä chính xaùc 4,58cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? c) Öôùc löôïng soá caù toái thieåu coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 94%. d) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây “cao”. Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng caây “cao”vôùi ñoä tin caäy Baøi 3.8: Tröôùc kyø baàu cöû toång thoáng ngöôøi ta phoûng vaán ngaãu 95%. nhieân 1800 cöû tri thì thaáy coù 1180 ngöôøi uûng hoä cöû tri A. Vôùi ñoä e) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä chính xaùc tin caäy 99%, hoû öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái thieåu bao nhieâu 10% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? phaàn traêm soá phieáu baàu? Vaø toái ña laø bao nhieâu? 39 40 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học