Xem mẫu

  1. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 I) ÑÒNH NGHÓA: *Ñaïi löôïng ngaãu nhieân (bieán ngaãu nhieân), vieát taét laø ÑLNN, coù theå ñöôïc xem nhö laø moät ñaïi löôïng maø caùc giaù trò soá cuûa noù laø keát quaû cuûa caùc thí nghieäm, thö ïc nghieäm ngaãu nhieân ; giaù trò cuûa CHÖÔNG 2: noù laø ngaãu nhieân, khoâng döï ñoaùn tröôùc ñöôïc. Ñaïi löôïng ngaãu ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN nhieân ñöôïc chia thaønh hai loaïi: ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc vaø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân luïc. ÑLNN rôøi raïc laáy caùc giaù trò höõu haïn hoaëc voâ haïn ñeám ñöôïc. ÑLNN lieân tuïc laáy baát kyø giaù trò treân moät soá khoaûng cuûa truïc soá thöïc. ÑLNN thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø X,Y,Z,… *Ñònh nghóa moät caùch chaët cheõ, ÑLNN X laø moät aùnh xaï thoûa: X: R , vôùi  laø khoâng gian maãu caùc bieán coá sô caáp.   X ( ) Taäp X ()  {X ( ) :   } laø taäp caùc giaù trò coù theå coù cuûa X. 1 2 I)Ñònh nghóa (tt) I)Ñònh nghóa VD5: Nghieân cöùu baõo ôû Vieät Nam trong naêm. VD1: tung moät ñoàng xu saáp ngöõa (ñoàng xu coù 2 maët, 1 maët saáp vaø 1 maët ngöõa) 2 laàn. Goïi X= soá côn baõo ñoå boä vaøo VN trong naêm. X laø Goïi X= soá laàn ñöôïc maët saáp. X coù laø ÑLNN? ÑLNN? VD2: Tung 1 con xuùc xaéc. VD6: Khaûo saùt tieàn löông cuûa 1 nhaân vieân nhaø nöôùc Goïi X= soá nuùt xuaát hieän cuûa con xuùc xaéc. X laø ÑLNN? trong naêm. Goïi X= tieàn löông cuûa ngöôøi naøy trong thaùng. X laø VD3: Ño chieàu cao cuûa 1 ngöôøi. ÑLNN? Goïi X= chieàu cao cuûa ngöôøi ñoù. X laø ÑLNN? VD7: Moät ngöôøi laáy vôï. Xeùt xem ngöôøi naøy laáy phaûi VD4: Khaûo saùt soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 ngaøy. ngöôøi vôï coù tính tình gioáng Taám hay Caùm (Taám maëc Goïi X= soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong ngaøy. X laø ÑLNN? aùo töù thaân chöù khoâng phaûi Taám maëc aùo 2 daây!). Goïi X= tính tình cuûa ngöôøi vôï naøy. X laø ÑLNN? 3 4 1
  2. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 VD8: Trong ñôøi 1 nam nhaân, coù ngöôøi khoâng bao giôø coù vôï, coù ngöôøi coù raát nhieàu vôï. Khaûo saùt 1 ngöôøi II)BIEÅU DIEÃN ÑLNN nam. Goïi X= soá vôï thöïc teá cuûa ngöôøi naøy. X laø ÑLNN?  ÑLNN rôøi raïc: duøng baûng phaân phoái xaùc suaát VD9: Trong ñôøi 1 ngöôøi, coù theå khoâng coù con hoaëc  ÑLNN lieân tuïc: duøng haøm maät ñoä xaùc suaát (moät coù raát nhieàu con. soá saùch duøng haøm phaân phoái xaùc suaát). Goïi X= soá con thöïc teá cuûa 1 ngöôøi nam. X laø ÑLNN? Goïi Y= soá con thöïc teá cuûa 1 ngöôøi nöõ. Y laø ÑLNN?  Phaàn quan troïng nhaát cuûa chöông naøy laø laäp ñöôïc baûng ppxs (luaät ppxs) cuûa ÑLNN rôøi raïc. VD10: Hoäp coù 10 bi, trong ñoù coù 6 bi Traéng. Laáy ngaãu nhieân 2 bi töø hoäp. Goïi X= soá bi Traéng laáy ñöôïc. X laø ÑLNN? 5 6 II)BIEÅU DIEÃN ÑLNN 1)ÑLNN rôøi raïc: Duøng baûng phaân phoái xaùc suaát: Traû lôøi: *xaùc ñònh caùc giaù trò coù theå coù xi cuûa X X x1 … xi … xn *Tính caùc xaùc suaát pi töông öùng vôùi caùc giaù trò xi P p1 … pi … pn xi (i=1...n) laø caùc giaù trò khaùc nhau coù theå coù cuûa X pi = P(X = xi) : xaùc suaát X nhaän giaù trò x i n Tính chaát: 0 pi  1 ,  pi =1 i1 Caâu hoûi: ñeå laäp ñöôïc baûng ppxs cuûa X ta caàn laøm gì? 7 8 2
  3. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 VD2: hoäp coù 6 bi, trong ñoù coù 4 bi T, 2 bi Ñ. laáy ngaãu II)Bieåu dieãn ÑLNN (rôøi raïc) nhieân 2 bi töø hoäp. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc. Laäp baûng ppxs VD1: tung moät ñoàng xu saáp ngöõa 2 laàn. Goïi X= soá laàn ñöôïc maët cho X? saáp. Laäp baûng ppxs cho X? Giaûi VD2: Giaûi VD1 : *X coù theå coù caùc giaù trò 0,1,2 *X coù theå coù caùc giaù trò: 0,1,2 *ta tính xaùc suaát nhö sau: *ta coù 4 tröôøng hôïp xaõy ra khi tung ñoàng xu SN 2 laàn: Ñaët A=bc laáy ñöôïc 0 bi T (2 bi Ñ) SS,SN,NS,NN B=bc laáy ñöôïc 1 bi T ; C=bc laáy ñöôïc 2 bi T P(X=0)= P(NN) = ¼ , P(X=1)= P(SN+NS )= 2/4 , P(X=0)= P(A)= C(2,2) /C(2,6) = 1/15. P(X=2)= P(SS)= ¼ P(X=1)= P(B)= C(1,4).C (1,2) /C(2,6) = 8/15 X0 1 2 P(X=2)= P(C)= C(2,4) /C(2,6) = 6/15 P ¼ 2/4 ¼ X0 1 2 Thoâng thöôøng ta ñaët ra caùc bieán coá roài tính xaùc suaát p i thoâng qua P 1/15 8/15 6/15 caùc bieán coá naøy. 9 10  Löu yù:  VD3: giaû thieát gioáng VD2, nhöng ta laáy ra 3 bi (chöù khoâng phaûi 2 bi). Laäp luaät ppxs cho X?  *ta phaûi kieåm tra laïi xem toång xaùc suaát coù baèng 1 khoâng  *khoâng ñöôïc laøm:  P(X=2)= 1-P(X=0)-P(X=1) ñeå tính P(X=2)  *khoâng ñöôïc tính xaùc suaát ra soá thaäp phaân neáu pheùp chia khoâng heát, neáu coù giaûn öôùc phaân soá thì ñeå cuøng maãu soá. 11 12 3
  4. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2  VD4: Coù 3 hoäp, trong ñoù coù 2 hoäp loaïi 1 vaø 1 hoäp loaïi 2. hoäp loaïi 1 coù: 3 bi T, 2 bi V. hoäp loaïi 2 coù: 3 bi Giaûi VD3: T, 3 bi V. choïn ngaãu nhieân 1 hoäp roài töø hoäp ñoù laáy X1 2 3 NN ra 2 bi. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc. Laäp baûng ppxs cho X? P C(1,4).C(2,2) /C(3,6) C(2,4).C(1,2) /C(3/6) C(3,4) /C(3/6) 13 14 Giaûi VD4 : Ñaët Hi=bc laáy ñöôïc hoäp loaïi i, i=1,2 P(H1)= 2/3 , P(H2)= 1/3  VD5: hoäp 1 coù: 2 bi T, 3 bi V. hoäp 2 coù: 3 bi T, 2 bi X0 1 2 V. laáy NN 2 bi töø hoäp 1 boû sang hoäp 2, roài laáy NN 2 P 2/15 9/15 4/15 bi töø hoäp 2 ra xem maøu. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc (trong 2 bi laáy ra töø hoäp 2). Laäp baûng ppxs cho X? P(X=0)= P(X=0/H1)P(H1)+P(X=0/H2)P(H2) = [C(2,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3)= 2/15 P(X=1)= P(X=1/H1)P(H1)+P(X=1/H2)P(H2) =[C(1,3).C(1,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(1,3).C(1,3)/C(2,6)].(1/3) = 9/15 P(X=2)= P(X=2/H1)P(H1)+P(X=2/H2)P(H2) = [C(2,3)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3) = 4/15 15 16 4
  5. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 Giaûi VD5: Ñaët Ai=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 1, i=0,1,2. VD6: P(A0)= C(2,3)/C(2,5)=3/10 , P(A1)= C(1,2).C(1,3)/C(2,5)= 6/10, P(A2)=C(2,2)/C(2,5)= 1/10 Coù 2 kieän haøng. Kieän 1 coù 3 saûn phaåm toát, 2 xaáu. Kieän X012 2 coù 2 saûn phaåm toát, 3 xaáu. Laáy ngaãu nhieân töø kieän 1 P ra 2 saûn phaåm vaø töø kieän 2 ra 1 saûn phaåm. Laäp luaät P(X=0)=P(X=0/A0)P(A0)+P(X=0/A1)P(A1)+P(X=0/A2)P(A2) ppxs cuûa soá sp toát trong 3 sp laáy ra. =[C(2,4)/C(2,7)].(3/10)+[C( 2,3)/C(2,7)].(6/10) +[C(2,2)/C(2,7)].(1/10) P(X=1)=P(X=0/A0)P(A0)+P(X=1/A1)P(A1)+P(X=1/A2)P(A2) =[C(1,3).C(1,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(1,4).C(1,3)/C(2,7)].(6/10) +[C(1,5).C(1,2)/C(2,7)].(1/10) P(X=2)=P(X=2/A0)P(A0)+P(X=2/A1)P(A1) +P(X=2/A2)P(A2) =[C(2,3)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,4)/C(2,7)].(6/10) +[C(2,5)/C(2,7)].(1/10) 17 18 Giaûi VD6:  Bình loaïn: Ña soá sinh vieân raát “ngaïi” khi gaëp daïng toaùn laäp baûng ppxs! Hoï khoâng bieát raèng ñaây laø moät daïng toaùn Ai=bc laáy ñöôïc i sp toát töø kieän 1, i=0,2 raát quen thuoäc maø hoï xem laø “chuyeän thöôøng ngaøy ôû Bi=bc laáy ñöôïc i sp toát töø kieän 2, i=0,1 huyeän”, ñoù laø daïng toaùn tính xaùc suaát cuûa bieán coá.  Baïn haõy töôûng töôïng C1 laø WindowsXP, coøn C2 chæ laø X=soá sp toát trong 3 sp laáy ra WinXP coù veû ngoaøi “haøo nhoaùng, hoaøng gia” cuûa P(X=0)= P(A0B0)= P(A0).P(B0)= C(2,2)/C(2,5). (3/5)= 0,06 Windows Vista maø thoâi (coù daïng P(X=k)), do coù caøi theâm Vista Transformation Pack. “Boä caùnh” hoaøng gia naøy P(X=1)= P(A1B0+A0B1)= P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1) khoâng che daáu ñöôïc baûn chaát queâ muøa, lam luõ, chòu = C(1,3)C(1,2)/C(2 ,5). (3/5) + C(2,2)/C(2,5). (2/5)= 0,4 thöông chòu khoù … cuûa WinXP (thöïc chaát btoaùn laäp baûng ppxs laø btoaùn tính xs cuûa bieán coá, nhöng xeùt cho taát caû caùc P(X=2)= P(A1B1+A2B0)= 0,42 ; P(X=3)= P(A2B1)= 0,12 tröôøng hôïp coù theå xaûy ra). Phaøm thì con ngöôøi ta deã bò veû X0 1 2 3 haøo nhoaùng beân ngoaøi laøm cho “khieáp sôï, kieâng deø”! P 0,06 0,40 0,42 0,12  Baïn haõy nhìn ra baûn chaát chôn chaát, thaät thaø, xuø xì, thoâ keäch,… cuûa C1 maø töø ñoù suy ra caùch laøm cho C2. 19 20 5
  6. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 II)Bieåu dieãn ÑLNN (lieân tuïc) Thí duï: Haøm maät ñoä Gauss f (x)   (x)  1 exp  1 x2    2  2   2)ÑLNN lieân tuïc: laø haøm maät ñoä cuûa phaân phoái chuaån taéc N(0,1). Ta duøng haøm maät ñoä ñeå bieåu dieãn. 1 Haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) laø haøm thoûa caùc ñieàu kieän sau: 2 1. f:IRIR 2. f(x)  0, x 1  3.  f ( x)dx   f ( x)dx  1 (tích phaân suy roäng).  IR x 0 x=– x=+ Tính chaát: YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñieàu kieän 3 : Dieän tích cuûa hình (giôùi x 2 haïn bôûi caùc ñöôøng: ñöôøng cong haøm maät ñoä f(x) vaø truïc P x  x  X  f x dx  2 1  x hoaønh, ñöôøng thaúng x=–, x=+) laø 1. 1 21 22 1, x [0, ] 1  YÙ nghóa hình hoïc cuûa tính chaát haøm maät ñoä xaùc suaát : VD: Cho f ( x)    0 , x [0, ] 1 Xaùc suaát ñeå ÑLNN X coù giaù trò naèm trong khoaûng ( x1, x2) chính   f(x) coù laø haøm maät ñoä cuûa moät ÑLNN lieân tuïc laø dieän tích cuûa vuøng ñöôïc toâ maøu trong hình X? Giaûi: x f(x) 2 *f:RR P x  X  x    f xdx   *f(x)>=0, x 1 2 x   0 1 1 *  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   0 1 x 0 1 x2 x1  1.dx  x1  1 0 0 Vaäy f laø haøm maät ñoä xaùc suaát. 23 24 6
  7. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 VD: X -1 0 1 3 III)HAØM PHAÂN PHOÁI P 0,1 0,3 0,4 0,2 1)ÑLNN RÔØI RAÏC x≤-1: F(x)= P(X
  8. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 Caùc tính chaát cuûa haøm phaân phoái: 1)0≤F(x)≤1 2)Haøm F(x) laø haøm khoâng giaûm Heä quaû: 1)P(a≤X
  9. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 Giaûi VD1:  Ñaët Ci=bc xh maët coù soá nuùt laø i ôû laàn tung 1. Di=bc xh maët coù soá nuùt laø i ôû laàn tung 2.  Khoâng gian maãu ={C1D1,C1D2,...,C1D6,  Thöïc haønh: ta thaáy keát quaû ôû laàn tung thöù 1 khoâng C2D1,... , C2D6, aûnh höôûng ñeán keát quaû ôû laàn tung thöù 2, vaø ngöôïc laïi .... neân X,Y ñoäc laäp. C6D1,... C6D6} X1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6  VD2: tung 1 ñoàng xu SN 2 laàn. Goïi X=soá laàn ñöôïc maët S. Goïi Y=soá laàn ñöôïc maët N. Y1 2 3 4 5 6  X,Y ñoäc laäp? P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 P(X=1,Y=1)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=1) P(X=1,Y=2)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=2) Töông töï: P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 33 34 Vaäy X,Y ñoäc laäp. IV)CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA ÑLNN Giaûi VD2 : 1)Kyø voïng: Kyø voïng cuûa X, kyù hieäu E(X), ñöôïc tính baèng coâng thöùc: X0 1 2 X x1 … xi … xn P ¼ 2/4 ¼ P p1 … pi … pn E(X) =  xipi (neáu X laø ÑLNN rôøi raïc),  Hoaëc E ( X )   x. f ( x)dx (neáu X laø ÑLNN lieân tuïc).  Y0 1 2 Kyø voïng toaùn coù caùc tính chaát: E(c)= c P ¼ 2/4 ¼ E(aX)= a.E(X) Ta thaáy X+Y = 2 neân X, Y khoâng ñoäc laäp. E(X±Y)= E(X)±E(Y) E(XY)= E(X).E(Y) neáu X, Y ñoäc laäp. vôùi a laø haèng soá, c laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng. 35 36 9
  10. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 Giaûi VD: 1) ñieåm tb x = (1/100).[0 *1+1*3+….+10*2] = 5,04 ñieåm 2) VD: Lôùp hoïc coù 100 sinh vieân. Ñieåm soá moân XSTK cuûa lôùp nhö X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sau: P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02 Ñieåm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 EX= 0*0,01+1*0,03+ 2*0,05+…+10*0,02 Soá sv 1 3 5 8 23 25 15 7 8 3 2 = (1/100)[0+1 *3+….+10*2] = 5,04 = x Vaäy EX chính laø ñieåm soá trung bình. 1) tính ñieåm trung bình moân XSTK cuûa lôùp? Töông töï : 2)Choïn NN 1 sinh vieân trong lôùp ra xem ñieåm thi. Goïi X laø Neáu X laø troïng löôïng thì EX laø troïng löôïng trung bình. ñieåm soá cuûa sv naøy. Laäp baûng ppxs cho X? tính kyø voïng EX? X laø chieàu cao thì EX laø chieàu cao trung bình. X laø naêng suaát thì EX laø naêng suaát tr ung bình, … 37 38 2)Phöông sai: Phöông sai xaùc ñònh baèng coâng thöùc: D(X)= var(X)= E X  E X 2 1,x[0,1]  VD: Cho f (x)  Vôùi ÑLNN rôøi raïc :    2 0,x[0,1] var(X)=   xi  E X  pi        i   0 1 Vôùi ÑLNN lieân tuïc : EX  xf (x)dx  xf (x)dx  xf (x)dx  xf (x)dx  var(X)   x  E X 2 . f ( x)dx   0 1  1 Ta cuõng coù theå aùp duïng coâng thöùc bieán ñoåi cuûa phöông sai: 1 x2  1   x.1.dx var(X)= E(X2)[E(X)]2 20 2  0 vôùi E(X2)= xi2pi hoaëc E ( X 2 )   x 2. f ( x)dx .  39 40 10
  11. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2  YÙ nghóa phöông sai:  Xeùt thí duï ñieåm soá ôû treân. Ta muoán xem lôùp coù hoïc Phöông sai coù caùc tính chaát sau: “ñeàu” khoâng, nghóa laø caùc ñieåm soá xi coù taäp trung gaàn var(c)= 0 ñieåm trung bình EX khoâng, ta xeùt |xi-EX|. Ñeå xeùt taát caû caùc giaù trò cuøng luùc ta xeùt |xi-EX|pi. Ta mong muoán noù var(X) ≥0, X ; var(X)=0 X=c caøng nhoû caøng toát. Tuy nhieân haøm |x| khoâng phaûi luùc var(aX)= a2.var(X) naøo cuõng coù ñaïo haøm, neân ta thay baèng haøm x2.  Vaäy ta xeùt: (xi-EX)2pi vaø mong muoán noù caøng nhoû var(X ± c)= var(X) caøng toát. var(X ± Y)= var(X) + var(Y), neáu X, Y ñoäc laäp.  Ta goïi varX=(xi-EX)2pi. Neáu varX nhoû thì ta noùi caùc xi taäp trung quanh EX, varX lôùn ta noùi caùc xi phaân taùn ra Vôùi c laø ÑLNN haèng, a laø haèng soá xa EX. 41 42 1, x[0,1] VD:  VD: Cho f (x)     X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0, x[0,1]    P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02  E( X 2)   x2 f (x)dx  E(X2)=02*0.01+12*0.03+…+102*0.02 = 29,26  0 1   x2 f (x)dx  x2 f (x)dx  x2 f (x)dx varX= E(X2)- (EX)2= 29,26-(5,04)2= 3,8584  0 1 1 1 3   x2.1.dx  x  1 Löu yù raèng ñôn vò ño cuûa phöông sai baèng ñôn vò ño 30 3 cuûa X bình phöông. Ta hay gaëp kyù hieäu cho giaù trò 0 varX= E(X2)-(EX)2 = (1/3)-(1/2)2 = 1/12 phöông sai laø 2. 43 44 11
  12. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 4)mode (giaù trò tin chaéc nhaát) cuûa X : 3) Ñoä leäch chuaån Giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X, kyù hieäu modX. *Ñoä leäch chuaån ñöôïc tính baèng caên baäc hai ÑLNN rôøi raïc : laø giaù trò xi öùng vôùi xaùc suaát pi lôùn nhaát trong cuûa phöông sai, vaø coù cuøng ñôn vò ño vôùi baûng phaân phoái xaùc suaát X. ÑLNN lieân tuïc: hoaëc laø giaù trò cuûa X öùng vôùi ñieåm cöïc ñaïi cuûa SD(X)= var X  =  haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X. VD : = 3,8584 = 1,9643 Giaù trò modX coù theå khoâng duy nhaát. VD1: X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 *Ñoä leäch chuaån coù yù nghóa gioáng phöông P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02 sai ta thaáy p6=0,25 lôùn nhaát neân modX= 5. 45 46 VD2: tung 1 ñoàng xu SN 3 laàn. Goïi X= soá laàn 5)Trung vò (median) ñöôïc maët S X0 1 2 3 X rôøi raïc hoaëc lieân tuïc P 1/8 3/8 3/8 1/8 m = med(X)  P(X < m)½ vaø P(X > m)½ modX= 1 hoaëc 2. ghi laø modX=1, 2 Vaäy med(X) laø ñieåm phaân ñoâi khoái löôïng xaùc VD3: haøm maät ñoä Gauss coù modX=0 1, x[0,1]  suaát thaønh 2 phaàn baèng nhau. VD4: Cho f (x)    0, x[0, ] 1   Löu yù: med(X) khoâng duy nhaát. modX laø moïi ñieåm naèm treân ñoaïn [0,1] 47 48 12
  13. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 VD2: X0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 VD1: *P(X1)= 3/8+1/8 = ½ X0 123 4 567 8 9 10 Vaäy medX= 1 P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02 *P(X2) = 1/8 < ½ P(X5)= 0.15+0.07+0.08+0.03+0.02 = 0.35 < ½ *m(1,2) P(Xm) = 3/8+1/8 = ½ Vaäy medX= m KL: medX= [1,2] 49 50 6. Moment baäc (caáp) k: Ñaët a=E(X) 7. Heä soá baát ñoái xöùng: *X rôøi raïc n mk = E(Xk) =  x k p : moment goác caáp k cuûa X t i1 i i S  3 , vôùi  ( X )  D( X ) n tk = E(X-a)k =  ( x  a) k p : moment quy taâm caáp k 3 i1 i i cuûa X S = 0: Phaân phoái ñoái xöùng *X lieân tuïc  S > 0: Phaân phoái leäch beân phaûi (so vôùi EX) mk = E(Xk) =  x k f ( x)dx S < 0: Phaân phoái leäch beân traùi  k  tk = E(X-a) =  ( x  a) k f ( x)dx  51 52 13
  14. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 8. Heä soá nhoïn (ñoä nhoïn) Baøi 1: Tung moät ñoàng xu saáp ngöõa 2 laàn ñoäc laäp. Goïi X laø soá laàn ñöôïc maët saáp. t t  E( X  a)4 K 4 , Tính heä soá baát ñoái xöùng, heä soá nhoïn. 4 4 Giaûi: K caøng lôùn thì phaân phoái coù ñoä nhoïn caøng lôùn X0 1 2 (thöôøng so saùnh K vôùi ñoä nhoïn cuûa phaân phoái chuaån P ¼ 2/4 1/4 taéc (coù haøm maät ñoä Gauss) , laø 3) K>3: phaân phoái laø nhoïn E(X) = 0.(1/4)+ 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1 K
  15. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 1) Giaûi VD1: |X| |-1| |0| |1| |2| VD1: Cho 1 3 1 2 P 7 7 7 7  Z=|X| 0 1 2 X -1 0 1 2 322 P 777 P 1/7 3/7 1/7 2/7 2) E(Z)= 0. 3 + 1. 2 + 2. 2 = 6 7 7 77 6 )2. 3 + (1– 6 )2. 2 + (2– 6 )2. 2 = 34/49 var(Z)= (0– 1) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho |X| 7 7 7 7 7 7 23 22 22 10 2 Caùch khaùc: E(Z )= 0 . + 1 . + 2 . = 2) Tính E(|X|), var(|X|). 7 7 77 2 10 6 )2 = 34/49 2 var(Z)= E(Z ) – (EZ) = –( 7 7 57 58 Giaûi VD2: VD2: Vôùi X ôû VD1. X -1 0 1 2 X2 (1)2 02 12 22  Z=X2 0 1 4 P1717 3 2 1 3 1 2 322 P P 7 7 7 7 7 7 777 1) Laäp baûng phaân phoái xaùc E(Z) = 0.3 + 1. 2 + 4. 2 = 10 7 7 77 suaát cho X 2 var(Z)=(0–10 ) . 7 +(1– 10 )2. 7 +(4–10 )2. 7 23 2 2 7 7 7 2) Tính E(X 2), var(X2)=D(X2). = 138/49 59 60 15
  16. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 Giaûi VD3: VD3: Cho X, Y ñoäc laäp. 1) Ta laäp baûng sau: Z = X + Y X0 1 Y0 1 2 Y 0 1 2 X P ½ ½ P ¼ 2/4 ¼ 0 Z=0 Z=1 Z=2 1 Z=1 Z=2 Z=3 1) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho X+Y. Caùc soá trong baûng laø toång cuûa 2 soá ôû doøng, coät 2) Tính E(X+Y) , D(X+Y). töông öùng 3) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X.Y X+Y 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 4) Tính E(X.Y), D(X.Y). 61 62 Giaûi VD3 (tt) Giaûi VD3 (tt) 2) E(Z) = 0. 1 + 1. 3 + 2. 3 + 3. 1 = 3/2 P(X + Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) .P(Y = 0) 88 8 8 = ½. ¼ = 1/8 3)2. 1+ (1– 3)2 3+(2– 3)2 3+(3– 3)2. 1 = ¾ D(Z) = (0 – P(X+Y = 1) = P [(X = 0,Y = 1) +(X = 1, Y = 0)] 2 .8 2 .8 28 28 21 23 23 21 = P(X =0,Y = 1) +P(X = 1,Y =0) 2 Caùch khaùc: E[Z ] = 0 . + 1 . + 2 . + 3 . = 3 8 8 8 8 = P(X = 0) P(Y = 1) + P(X =1) P(Y = 0) 3)2 = ¾ 2 2 D(Z) = E[Z ] – (EZ) = 3 – ( = ½. 2 + ½. ¼ = 3/8 2 4 Löu yù: Neáu ta aùp duïng tính chaát cuûa kyø voïng, phöông sai P(X + Y = 2) = P(X = 0) P(Y = 2) + P(X = 1) P(Y = 1) thì ta laøm nhö sau: = ½ . ¼ + ½ . 2 = 3/8 E(X + Y) = E(X) + E(Y) = ½ + 1 = 3/2 4 64 D(X + Y) = D(X) + D(Y) = ¼ + ½ = ¾ 63 P(X + Y = 3) = P(X = 1) P (Y = 2) = ½ . ¼ = 1/8 16
  17. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 Môøi gheù thaêm trang web: http://kinhteluong.ungdung.googlepages.com http://xacsuatthongke.googlepages.com http://toiuuhoa.googlepages.com http://diemthi.caopt.googlepages.com http://phamtricao.googlepages.com www37.websamba.com/phamtricao www.phamtricao.web1000.com 65 17
nguon tai.lieu . vn