Xem mẫu
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
( )( )
G i A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các i m c c tr c a th hàm s thì x 1, x 2 là
a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1
nghi m c
nh lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1.x 2 = −2m
Theo
(
) + (2x + m + 2)
2 2
Theo bài toán : y CÑ + yCT = y1 + y2 = 2x 1 + m + 2
2 2 2 2
2
( ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2)
2
y1 + y2 = 4 x 12 + x 22
2 2
1 2
y1 + y 2 = 4 x 1 + x 2 ) − 2x x + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 )
(
2 2
2 2
12 1 2
( ) ( ) ( )
2
y1 + y2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2 = 2m 2 + 16m + 8
2 2
1 1
() ()
Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > − , f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > −
2 2
1 1 1 1
() ()
ng bi n trên kho ng m ∈ − ; +∞ và f m > f − = , m ∈ − ; +∞
Do ó hàm s f m
2 2 2 2
1
1
V y y CÑ + yCT > , m ∈ − ; +∞
2 2
2 2
4m 3
( )
{} và y = mx + 1 + m≠0
nh trên D = » \ −m
5. Hàm s ã cho xác
x +m
mx 2 + 2m 2x − 3m 3
Ta có : y ' = , x ≠ −m
( )
2
x +m
( )
G i A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các th hàm s thì x 1, x 2 x 1 < x 2 là nghi m c a phương
i m c c tr c a
1 1 2 2
trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m
2 2 3
(II ) và
th c a hàm s có m t i m c c tr thu c góc ph n tư th
(IV ) c
m t i m c c tr thu c góc ph n tư th a m t ph ng t a khi
(1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0 ⇔ −3m < 0 ⇔ m ≠ 0 (a ) 4
(2 ) ⇔ th c a hàm s không c t tr c Ox ⇔ mx + (m ) (x ≠ −m ) vô nghi m
+ 1 x + 4m 3 + m = 0
2 2
m ≠ 0
m ≠ 0
⇔ ⇔
( ) ( )
2
−15m − 2m + 1 < 0
4 2
∆ = m + 1 − 4m 4m + m < 0
2 3
1
m < −
m ≠ 0
()
5
⇔ 2 1⇔ b
1
m>
m >
5
5
( 3 ) ⇔ m < 0 (c )
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
1
(a ) (b ) (c ) suy ra m < −
T là giá tr c n tìm.
5
{}
nh trên D = » \ 1
6. Hàm s ã cho xác
x 2 − 2x − 2m − 1
()
o hàm f ' x = ,x ≠ 1
Ta có
( )
2
x −1
Cách 1:
()
i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t
Hàm s có c c
()
x ≠ 1 hay phương trình g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m
∆ ' > 0
2m + 2 > 0
( 1)
phân bi t x ≠ 1 , khi ó ⇔ ⇔ m > −1
()
−2m − 2 ≠ 0
g 1 ≠ 0
( )( ) th hàm s thì x 1, x 2
G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 là các i m c c tr c a
là nghi m c a g ( x ) = 0
x = 1 − 2m + 2 ⇒ y = 1 − m − 2 2m + 2
Khi ó: y ' = 0 ⇔ 1 1
x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 − m + 2 2m + 2
)( )
(
Hai giá tr c c tr cùng d u khi y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0
( ) ( )
2
⇔ 1−m − 4 2m + 2 > 0
(2)
⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2
(1) và (2 ) suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨m > 5+4 2
T
Cách 2 :
x 2 − 2x − 2m − 1
()
{} o hàm f ' x = ,x ≠ 1
nh trên D = » \ 1 và có
Hàm s ã cho xác
(x − 1)
2
()
i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t
Hàm s có c c
()
x ≠ 1 hay phương trình g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m
∆ ' > 0 2m + 2 > 0
phân bi t ⇔ ⇔ ⇔ m > −1
()−2m − 2 ≠ 0
g 1 ≠ 0
th c a hàm s y = 0 c t tr c hoành t i
Hai giá tr c c tr cùng d u khi
( ) (x ≠ 1) có hai nghi m phân bi t
hai i m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0
x ≠ 1.
∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0
( ) ( )
2
m − 10m − 7 > 0
T c là ⇔ ⇔
( )
2m + 2 ≠ 0
1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
m < 5 − 4 2
⇔ m > 5 + 4 2
m ≠ −1
−1 < m < 5 − 4 2
So v i i u ki n suy ra là giá tr c n tìm .
m > 5 + 4 2
7. Hàm s cho xác nh trên » .
1.
() ( ) ( )
Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 .
()
Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ » nên phương trình f ' x = 0 luôn có hai nghi m phân bi t . Do ó th
i , m t c c ti u v i m i giá tr c a tham s m .
c a hàm s luôn có m t c c
2.
() ()
m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1
i M ( x ; y ) là to () (C )
a ). G ti p i m c a ư ng th ng d và th
0 0
() x
⇒ y 0 = x 0 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 0 − 3 . ư ng th ng d vuông góc v i ư ng th ng y =
3 2
khi
3
1
y 0 ' = −1 ⇔ 3x 0 − 3 = −3 ⇔ x 0 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1
2 2
3
() (C ) t i i m ( 0; −1) .
V y ư ng th ng d : y = −3x − 1 và ti p xúc v i th
() ( ) c ti u là B (1; −3 ) . Do ó ư
i là A −1;1 , i m c
b). ng th ng qua AB là :
th C có i m c c
y = −2x − 1 .
D ng 4 : ng d ng c c tr c a hàm s trong bài toán is .
Ví d : Tìm t t c các giá tr th c c a m phương trình sau có m t s l
2 2
nghi m th c: (3x − 14x + 14) − 4(3x − 7)(x − 1)(x − 2)(x − 4) = m .
Gi i :
( )( )( )
f (x ) = x − 1 x − 2 x − 4 = x − 7x + 14x − 8 3 2
( ) ( )
2
g(x ) = 3x 2 − 14x + 14 − 4 3x − 7 f (x )
g ( x ) là a th c b c 4 v i h s c a x là −3 .
4
f '(x ) = 3x 2 − 14x + 14
( )( ) ( )
g '(x ) = 2 3x 2 − 14x + 14 6x − 14 − 12 f (x ) − 4 3x − 7 f '(x ) = −12 f (x )
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
g '(x ) = 0 ⇔ x = 1; x = 2; x = 4.
g(1) = 9; g (2) = 4; g(4) = 36.
B ng bi n thiên c a g (x ) .
−∞ +∞
x 1 2 4
g '(x ) + +
0− −
0 0
36
9
g (x )
−∞
4
−∞
T b ng bi n thiên cho th y phương trình g(x ) = m có m t s l nghi m
khi và ch khi: m = 4; m = 9; m = 36.
Bài 3 : GIÁ TR L N NH T
GIÁ TR NH NH T C A HÀM S .
3.1 TÓM T T LÝ THUY T
1. nh nghĩa: Cho hàm s xác nh trên D
• S M g i là giá tr l n nh t (GTLN) c a hàm s y = f (x ) trên D
f (x ) ≤ M ∀x ∈ D
nu , ta kí hi u M = max f (x ) .
∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M x ∈D
f (x ) ≥ M ∀x ∈ D
• S m g i là giá tr nh nh t (GTNN) c a hàm s y = f (x ) trên D n u , ta kí
∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m
hi u m = min f (x ) .
x ∈D
2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN c a hàm s
tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f (x ) trên D ta tính y ' , tìm các i m mà t i
Phương pháp chung:
ó o hàm tri t tiêu ho c không t n t i và l p b ng bi n thiên. T b ng bi n thiên ta suy ra GTLN, GTNN.
Chú ý:
• N u hàm s y = f (x ) luôn tăng ho c luôn gi m trên a; b
thì max f (x ) = max{f (a ), f (b)}; min f (x ) = min{f (a ), f (b)} .
[a;b] [a;b]
a; b thì luôn có GTLN, GTNN trên o n ó và
N u hàm s y = f (x ) liên t c trên
• tìm GTLN,
GTNN ta làm như sau
* Tính y ' và tìm các i m x1, x 2 ,..., x n mà t i ó y ' tri t tiêu ho c hàm s không có o hàm.
* Tính các giá tr f (x1 ), f (x 2 ), ..., f (x n ), f (a ), f (b ) .Khi ó
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
()
+ max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b
x ∈a ;b x ∈a ;b
min f ( x ) = min {f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )}
+ 1 2 i
x ∈a ;b x ∈a ;b
• N u hàm s y = f (x ) là hàm tu n hoàn chu kỳ T thì tìm GTLN, GTNN c a nó trên D ta ch c n tìm
GTLN, GTNN trên m t o n thu c D có dài b ng T .
* Cho hàm s y = f (x ) xác nh trên D . Khi t n ph t = u(x ) , ta tìm ư c t ∈ E v i ∀x ∈ D , ta có
y = g (t ) thì Max, Min c a hàm f trên D chính là Max, Min c a hàm g trên E .
* Khi bài toán yêu c u tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t mà không nói trên t p nào thì ta hi u là tìm
GTLN, GTNN trên t p xác nh c a hàm s .
* Ngoài phương pháp kh o sát tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp mi n giá tr hay B t ng th c
tìm Max, Min.
3.2 D NG TOÁN THƯ NG G P
Ví d 1 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s :
3x − 1
trên o n 0;2 .
1. y =
x −3
2. y = (x − 6) x 2 + 4 trên o n 0; 3 .
( )
3
trên o n −1;1 .
3. y = x 6 + 4 1 − x 2
−x 2 + 5x + 6 trên o n [ −1; 6] .
4. y =
Gi i :
3x − 1
1. y =
x −3
nh trên o n 0;2 .
Hàm s ã cho xác
−8
() < 0, ∀x ∈ 0;2
Ta có f ' x =
(x − 3 )
2
B ng bi n thiên
0 2
x
() −
f' x
1
()
fx
3
−5
1
() ()
T b ng bi n thiên suy ra : max f x = khi x = 0 min f x = −5 khi x = 2
3
0;2 0;2
2. y = (x − 6) x 2 + 4
Hàm s y = (x − 6) x 2 + 4 liên t c trên o n 0; 3 .
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
2x 2 − 6x + 4
, x ∈ 0; 3
Ta có : y ' =
x2 + 4
x = 1
y' = 0 ⇔
x = 2
y(1) = −5 5
max y = −3 13
y(0) = −12 x ∈0;3
⇒
y(2) = −8 2 xmin y = −12
∈0;3
y(3) = −3 13
V y max y = −3 13 khi x = 3 , min y = −12 khi x = 0 .
x ∈0;3
x ∈ 0;3
( )
3
3. y = x 6 + 4 1 − x 2
nh trên o n −1;1 .
Hàm s ã cho xác
t t = x , x ∈ −1;1 ⇒ t ∈ 0;1
2
( )
() ( ) () ( )
3 2
ã cho vi t l i f t = t 3 + 4 1 − t , t ∈ 0;1 và f ' t = 3t 2 − 12 1 − t = 3 −3t 2 + 8t − 4
Hàm s
2 2 4
t = , f =
()
f' t =0⇔ 3 3 9
t = 2
() ()
f 0 = 4, f 1 = 1
B ng bi n thiên
2
0 1
x
3
() +
− 0
f' x
f (x ) 4 1
4
9
4 2
() ()
T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 4 khi x = 0 min f x = khi x = ±
9 3
−1;1 −1;1
−x 2 + 5x + 6
4. y =
−x 2 + 5x + 6 liên t c trên o n [ −1; 6] .
Hàm s y =
−2x + 5
y' =
2 −x 2 + 5x + 6
5
y ' = 0 ⇔ x = ∈ [ −1; 6]
2
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
5 7
y(−1) = y ( 6 ) = 0, y = .
2 2
7 5
V y : min y = 0 khi x = −1, x = 6 và max y = khi x = .
2 2
x ∈ −1;6
x ∈ −1;6
x + 1 + 9x 2
Ví d 2 : Tìm giá tr l n nh t c a các hàm s : y = ,x > 0 .
8x 2 + 1
Gi i :
( )
nh trên kho ng 0; +∞
Hàm s ã cho xác
x + 9x 2 + 1 9x 2 + 1 − x 2 1
y= = =
)
(
8x 2 + 1 9x 2 + 1 − x
(8x 2 + 1) 9x 2 + 1 − x
( 0; +∞ ) khi hàm s
Hàm s t giá tr l n nh t trên kho ng
9x
()
f' x = −1
( ) 9x + 1
2
f (x ) = 9x + 1 − x t giá tr nh nh t trên kho ng 0; +∞ . Ta có :
2
x > 0
1
()
f ' x = 0 ⇔ 9x 2 + 1 = 9x ⇔ ⇔x =
72x = 1
2
62
22 1 1 32 1
()
min f x = khi x = ⇒ maxy = = khi x = .
3 4
x >0 x >0
62 22 62
3
Ví d 3: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s :
1. y = x + 4 − x 2 trên o n −2;2 .
x +1
trên o n x ∈ −1;2 .
2. y =
x +1
2
Gi i :
1. y = x + 4 − x 2
nh trên o n −2;2 .
Hàm s ã cho xác
4 − x2 − x
( )
x
Ta có y ' = 1 − = , x ∈ −2;2
4−x 4−x 2 2
4−x −x = 0 4−x = x
2 2
y' = 0 ⇔ ⇔
( ) ( )
x ∈ −2;2 x ∈ −2;2
0 < x < 2 0 < x < 2
⇔ ⇔ 2 ⇔x = 2
4 − x = x x = 2
2 2
B ng bi n thiên
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
−2
x 2 2
+
−
y' 0
y −2 2
22
() ()
T b ng bi n thiên , ta ư c max f x = 2 2 khi x = 2 min f x = −2 khi x = −2
x ∈ −2;2 x ∈ −2;2
x +1
trên o n x ∈ −1;2 .
2. y =
x2 + 1
Hàm s ã cho xác nh trên o n −1;2 .
−x + 1
Ta có y ' = ⇒y' = 0 ⇔ x =1
( )
3
x +1
2
B ng bi n thiên .
−1 1 2
x
+0 −
y'
2
y
35
0
5
T b ng bi n thiên , ta ư c max y = 2 khi x = 1 min y = 0 khi x = −1
x ∈ −1;2 x ∈ −1;2
Ví d 4 : Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s
y = x 3 − 3x 2 + 1 trên o n −2;1 .
Gi i :
nh trên −2;1 .
Hàm s ã cho xác
()
t g x = x − 3x + 1, x ∈ −2;1
3 2
()
g ' x = 3x 2 − 6x .
x = 0
()
g' x = 0 ⇔
x = 2 ∉ −2;1
() () () () ()
g −2 = −19, g 0 = 1, g 1 = −1 , suy ra max g x = 1, min g x = −19 .
−2;1 −2;1
() () ()
x ∈ −2;1 ⇒ g x ∈ −19;1 ⇒ f x = g x ∈ 0;19 .
()
() () ()
g 0 .g 1 < 0 ⇒ ∃ x 1 ∈ 0;1 sao cho g x 1 = 0.
() ()
V y max f x = 19, min f x = 0.
−2;1 −2;1
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
Ví d 5:
giá tr l n nh t c a hàm s y = x 2 + 2x + a − 4 trên o n
1. Tìm a
−2;1 t giá tr nh nh t .
giá tr l n nh t c a hàm s y = x 2 + px + q trên o n
2. Tìm giá tr p, q
−1;1 là bé nh t .
Gi i :
nh trên −2;1 .
1. Hàm s ã cho xác
( )
2
y = x 2 + 2x + a − 4 = x + 1 + a − 5
()
2
t t = x + 1 , x ∈ −2;1 ⇒ t ∈ 0; 4
Ta có f (t ) = t + a − 5 , t ∈ 0; 4
max y ⇔ max f (t ) = max {f ( 0 ) , f {4}} = max { a − 5 , a − 1 }
x ∈ −2;1 t ∈ 0;4 t ∈ 0;4 t ∈ 0;4
• a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ max f (t ) = a − 5 = 5 − a
t ∈ 0;4
• a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ max f (t ) = a − 1 = a − 1
t ∈0;4
5 − a ≥ 5 − 3 = 2, ∀a ≤ 3
()
⇒ max f t ≥ 2, ∀a ∈ »
M t khác
a − 1 ≥ 3 − 1 = 2, ∀a ≥ 3 t ∈ 0;4
()
V y giá tr nh nh t c a max f t = 2 khi a = 3
t ∈ 0;4
() ()
o n −1;1 ⇒ y = f x
2. Xét hàm s f x = x 2 + px + q xác nh trên
f ( − 1) = 1 − p + q, f ( 0 ) = q , f ( 1) = 1 + p + q
Gi s max y = f (α )
⇒ f (1) + f (0) ≥ f (1) − f (0) = 1 + p , f (−1) + f (0) ≥ f (−1) − f (0) = 1 − p
1
f (1) >
2⇒f α >1 ()
•p > 0 ⇒ 1 + p > 1 ⇒
f (0) > 1 2
2
1
f (−1) >
2⇒f α >1 ()
•p < 0 ⇒ 1 − p > 1 ⇒
f (0) > 1 2
2
p
max y = max f (− ) ; f (−1) ; f (1)
2
x ∈ −1;1
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
p
() () () ()
• p = 0 ⇒ f x = x 2 + q , f 0 = f − = q , f −1 = f 1 = 1 + q
2
Giá tr l n nh t c a y là m t trong hai giá tr q ; 1 + q
1 1 1 1
⇒ 1 + q > ⇒ f (±1) > ⇒ f (α ) >
•q > −
2 2 2 2
1 1 1 1
•q < − ⇒ q > ⇒ f (0) > ⇒ f (α ) >
2 2 2 2
1 11 1
()
•q = − ⇒ f x = x 2 − ≤ ⇒ max f (x ) = ⇔ x = 0; x = ±1
2 22 2
()
cũng là giá tr nh nh t c a f α .
1
V y p = 0, q = − tho mãn bài toán .
2
ax + b
Ví d 6 : Tìm các giá tr a, b sao cho hàm s y = có giá tr l n nh t
x2 + 1
b ng 4 và có giá tr nh nh t b ng −1 .
Gi i :
Hàm s ã cho xác nh trên » .
• Hàm s có giá tr l n nh t b ng 4 khi và ch khi
ax + b
≤ 4, ∀x ∈ »
2 2
4x − ax + 4 − b ≥ 0, ∀x ∈ »
x + 1
⇔ 2
ax 0 + b
4x − ax 0 + 4 − b = 0 : coù nghieäm x 0
∃x 0 ∈ » : 2 =4 0
x0 + 1
( )
∆ = a 2 − 16 4 − b ≤ 0
()
⇔ ⇔ a 2 + 16b − 64 = 0 *
( )
∆ = a − 16 4 − b ≥ 0
2
• Hàm s có giá tr nh nh t b ng 1 khi và ch khi
ax + b
≥ −1, ∀x ∈ »
2
x + ax + b + 1 ≥ 0, ∀x ∈ »
x2 + 1
⇔ ⇔ 2
ax 0 + b
x 0 + ax 0 + b + 1 = 0 : coù nghieäm x 0
∃x 0 ∈ » : 2 = −1
x0 + 1
( )
∆ = a 2 − 4 b + 1 ≤ 0
()
⇔ ⇔ a 2 − 4b − 4 = 0 * *
( )
∆ = a − 4 b + 1 ≥ 0
2
()
2 2
a + 16b − 64 = 0 * a = −4 a = 4
a = 16
() () ⇔⇔ ⇔ ∨
* và * * ta có h 2
T
() b = 3 b = 3
b = 3
a − 4b − 4 = 0 * *
a = −4 a = 4
∨
V y giá tr a, b c n tìm là :
b = 3 b = 3
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
Ví d 7 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s :
1. y = sin 4 x + cos2 x + 2
π
2. y = x − sin 2x trên o n − ; π
2
sin x + 1
3. y =
sin x + sin x + 1
2
sin 6 x cos x + cos6 x sin x
4. y =
sin x + cos x
Gi i :
1. y = sin 4 x + cos2 x + 2
y = sin 4 x + cos2 x + 2 = sin 4 x − sin2 x + 3
Hàm s ã cho xác nh trên » .
t t = sin2 x , 0 ≤ t ≤ 1
()
Xét hàm s f t = t 2 − t + 3 liên t c trên o n 0;1
()
Ta có f ' t = 2t − 1 , t ∈ 0;1
1
()
f' t =0⇔t =
2
1 11
() ()
f 0 =f 1 =3 , f =
2 4
11 3
() ()
min y = min f t = =2 max y = m a x f t = 3
4 4
t ∈ 0;1 t ∈ 0;1
π
2. y = x − sin 2x trên o n − ; π
2
π
Hàm s ã cho xác nh trên o n − ; π
2
π
()
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
π π
min y = − khi x = −
2 2
π
x ∈ − ;π
2
sin x + 1
3. y =
sin x + sin x + 1
2
t +1
t t = sin x ⇒ f ( t ) = , t ∈ [ −1; 1]
t +t +1
2
t +1
f (t ) = liên t c trên o n [ −1; 1]
t +t +1
2
−t 2 − 2t
f (t ) = 2
/
(t + t + 1)2
f / ( t ) = 0 ⇔ t = 0 ∈ [ −1; 1]
2
f (−1) = 0, f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = .
3
V y:
π
min f ( x ) = min f ( t ) = 0 khi sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ Z
2
t ∈ −1;1
max f ( x ) = max f ( t ) = 1 khi sin x = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Z .
t ∈ −1;1
sin x cos x + cos6 x sin x
6
4. y =
sin x + cos x
Vì sin x + cos x ≥ sin2 x + cos2 x = 1, ∀x
sin x cos x sin x + cos x
5 5
sin6 x cos x + cos6 x sin x
Nên y = =
sin x + cos x sin x + cos x
( )
y = sin x cos x 1 − sin x cos x − sin2 x cos2 x
−1 1 1
2
y= sin 3 x − sin 2x + sin 2x
8 4 2
t t = sin 2x ; 0 ≤ t ≤ 1
−1 3 1 2 1
t − t + t liên t c trên o n 0;1 .
Xét hàm s : f (t ) =
8 4 2
−3 2 1 1 2
t − t + , ∀t ∈ 0;1 và f '(t ) = 0 ⇔ t =
Ta có : f '(t ) =
8 2 2 3
2 5 1
f (0) = 0; f = ; f (1) =
3 27 8
kπ
V y : min y = min f (t ) = f (0) = 0 khi sin 2x = 0 ⇔ x =
2
t ∈0;1
2 5 1 kπ
2 1 1
max y = maxf (t ) = f = khi sin 2x = ⇔ cos 4x = ⇔ x = ± arc cos +
3 27 3 9 4 9 2
t ∈0;1
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
Ví d 8 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s :
1
1. y =
sin x + cos x
2. y = 1 + sin x + 1 + cos x
Gi i :
1
1. y =
sin x + cos x
π
Xét hàm s g(x ) = sin x + cos x liên t c trên o n 0;
2
π
cos x cos x − sin x sin x
cos x sin x
Ta có : g '(x ) = − = , x ∈ 0;
2
2 sin x
2 cos x 2 sin x . cos x
cos x = sin x
π π
g '(x ) = 0, x ∈ 0; ⇔ π ⇔x =
x ∈ 0; 2
2 4
π π 1
g(0) = 1; g( ) = 4 8; g ( ) = 1 ⇒ 1 ≤ g (x ) ≤ 4 8 ⇒ ≤y ≤1
4 2 4
8
1
V y min y = , max y = 1
4
8
2. y = 1 + sin x + 1 + cos x
1 + sin x ≥ 0
nh khi
Hàm s ã cho xác
1 + cos x ≥ 0
()
y > 0 ⇒ y 2 = sin x + cos x + 2 + 2 sin x + cos x + sin x cos x + 1 *
π t2 − 1
t t = sin x + cos x = 2 sin x + , − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
4 2
( )
() 12
()
Khi ó * vi t l i f t = t + 2 + 2 t + 2t + 1 = t + 2 + 2 t + 1
2
)
(
1− 2 t + 2 − 2, neáu − 2 ≤ t ≤ −1
()
f t =
2 )t + 2 +
( 2, neáu − 1 ≤ t ≤ 2
1+
1 − 2 < 0, neáu − 2 ≤ t < −1
()
f' t =
2 > 0, neáu − 1 < t ≤ 2
1 +
() o hàm t i i m t = −1
Hàm s f t không có
B ng bi n thiên
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
−1
−2 2
x
() +
−
f' t
f (t ) 4−2 2 4+2 2
1
() ()
T b ng bi n thiên , ta ư c max f x = 4 + 2 2 min f x = 1
x ∈» x ∈»
)
(
Ví d 9: g(x ) = f (sin2 x )f cos2 x trong ó hàm f th a mãn:
f (cot x ) = sin 2x + cos 2x ∀x ∈ [0; π ]
Gi i :
t t = cot x
t2 − 1
2 ta n x 2 cot x 2t
⇒ sin 2x = = = ; cos 2x =
1 + t a n2 x 1 + cot2 x 1 + t2 t2 + 1
t 2 + 2t − 1
⇒ f (t ) =
t2 + 1
(sin 4 x + 2 sin2 x − 1)(cos4 x + 2 cos2 x − 1)
⇒ g(x ) =
(sin 4 x + 1)(cos4 x + 1)
sin 4 x cos4 x + 8 sin2 x cos2 x − 2 u 2 + 8u − 2
g(x ) = = = h(u ) .
sin 4 x cos4 x − 2 sin2 x cos2 x + 2 u 2 − 2u + 2
1
trong ó u = sin2 x cos2 x ; 0 ≤ u ≤ .
4
1
−5u 2 + 4u + 6
⇒ h '(u ) = 2 >0 ∀u ∈ 0; .
4
(u 2 − 2u + 2)2
1 1
1
⇒ hàm s h(u ) luôn tăng trên 0; nên max h(u ) = h = min h(t ) = h(0) = −1 .
4 25 u∈0; 1
4 1
u∈0;
4 4
1
V y max g(x ) = ; min g(x ) = −1
25
Ví d 10: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s trên : −1;2 , bi t
()
f 0 = 1
2
() ()
f x .f ' x = 1 + 2x + 3x
2
Gi i :
3
f (x )
x .f ' x = 1 + 2x + 3x ⇔ = x + x 2 + x 3 + c, c : h ng s .
() ()
2 2
f
3
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
1
()
f 0 =1⇒c =
3
Do ó f (x ) = 3 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1
()
Xét hàm s : g x = 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 liên t c trên o n x ∈ −1;2 .
()
Ta có g ' x = 9x 2 + 6x + 3
x = −1
()
g' x = 0 ⇔
x = − 1
3
1 2
() () () ()
g −1 = −2, g 2 = 40, g − = ⇒ m a x g x = 40, min g x = −2
3 9 x ∈ −1;2 x ∈ −1;2
()
m a x f x = 3 40 khi x = 2
x ∈−1;2
Vy
()
xmin f x = −2 khi x = −1
3
∈ −1;2
Ví d 11 : Cho a, b là các s dương tho mãn ab + a + b = 3 . Tìm GTLN c a
3a 3b ab
bi u th c: P = + + − a 2 − b 2 (D b i h c- 2005 ) .
b +1 a +1 a +b
Gi i :
(a + b )2
T ab + a + b = 3 ⇒ 3 − (a + b) = ab ≤ ⇔ a +b ≥ 2.
4
3a(a + 1) + 3b(b + 1) ab
Ta có: P = + − (a + b)2 + 2ab
(b + 1)(1 + a ) a +b
(a + b )2 − 2ab + (a + b) ab
P =3 + − (a + b)2 + 2ab
ab + a + b + 1 a +b
3 − (a + b)
3
P = (a + b)2 + 3(a + b) − 6 + − (a + b)2 + 6 − 2(a + b)
a +b
4
1
12
P = −(a + b)2 + (a + b) + + 2 .
a +b
4
12
t t = a + b ≥ 2 . Xét hàm s g(t ) = −t 2 + t + +2 v i t ≥2
t
12 3
Ta có: g '(t ) = −2t + 1 −
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z )(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) và i u ki n ta có:
P = (x + y + z )(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx )
(x + y + z )2 − 2
= (x + y + z ) 2 −
2
t t = x +y +z ⇒ − 6 ≤t ≤ 6
t2 − 2 t3
Ta có: P = t(2 − ) = − + 3t = f (t )
2 2
Xét hàm s f (t ) v i − 6 ≤ t ≤ 6 .
32
Ta có: f '(t ) = (−t + 2) ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = ± 2
2
⇒ max f (t ) = f ( 2) = 2 2; f (t ) = f (− 2) = −2 2
min
− 6; 6 − 6; 6
t ư c khi x = 2; y = z = 0
V y max P = 2 2
t ư c khi x = − 2; y = z = 0 .
min P = −2 2
( )
Ví d 13: Cho hai s x , y ≠ 0 thay i th a mãn x + y xy = x 2 + y 2 − xy
1 1
Tìm GTLN c a bi u th c : A = + i h c Kh i A – 2006 ).
(
x3 y3
G i i:
Cách 1 :
( )
t: u = x + y, v = xy ⇒ x + y xy = x 2 + y 2 − xy ⇔ uv = u 2 − 3v
u2
( ) ( )
⇔ u + 3 v = u2 ⇔ v = do u ≠ −3 .
u+3
)=u
(
u u 2 − 3v 2
u + 3
x 3 + y3 u 3 − 3uv 2
1 1
V yA= + = = = =
(xy ) v3 v2 u
x3 y3 3
v3
u −1
4u 2 4
≥ 0 ( ây ta lưu ý u ≠ 0 ) ⇔ u ≥ 1 ∨ u < −3
Vì u 2 ≥ 4v ⇒ u 2 ≥ ⇔ ≤1⇔
u+3 u+3 u+3
u+3 u+3 −3
() ()
⇒ > 0 . Xét hàm f u = ⇒f' u =
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
1
a + b = a 2 + b 2 − ab ≥ (a + b)2 ⇔ 0 ≤ a + b ≤ 4
4
Và A = a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 + b 2 − ab) = (a + b)2 ≤ 16
1
ng th c x y ra ⇔ a = b = 2 ⇔ x = y = .
2
i và th a mãn h th c x 2 + y 2 = 1 .
Ví d 14 : Cho hai s th c x , y thay
2(x 2 + 6xy )
Tìm GTLN, GTNN c u bi u th c: P =
1 + 2xy + 2y 2
i h c Kh i B – 2008).
(
Gi i:
Cách 1 :
2(x 2 + 6xy ) 2(x 2 + 6xy )
Ta có: P = =
1 + 2xy + 2y 2 x 2 + 2xy + 3y 2
* N u y = 0 ⇒ P = 1.
2(t 2y 2 + 6ty 2 ) 2(t 2 + 6t )
()
N u y ≠ 0 thì t : x = ty ⇒ P = = = 2f t
t 2y 2 + 2ty 2 + 3y 2 t 2 + 2t + 3
Xét hàm s f (t ) , ta có :
−4t 2 + 6t + 18
()
() () 3
, lim f t = 1
f' t = , f ' t = 0 ⇔ t1 = 3, t2 = −
)
(t 2 t →±∞
2
+ 2t + 3
2
L p b ng bi n thiên ta ư c: GTLN P = 3 và GTNN P = −6 .
Cách 2 :
2(x 2 + 6xy ) 2x 2 + 12xy
P= =
1 + 2xy + 2y 2 x 2 + 2xy + 3y 2
2x 2 + 12xy −(x − 3y )2
⇒P −3 = −3= ≤0
x 2 + 2xy + 3y 2 x 2 + 2xy + 3y 2
3
x = ±
x = 3y
2.
ng th c x y ra ⇔ 2 ⇔
⇒ P ≤ 3.
x + y2 = 1 1
y = ±
2
2x 2 + 12xy 2(2x + 3y )2
P +6 = +6= ≥0
x 2 + 2xy + 3y 2 x 2 + 2xy + 3y 2
nguon tai.lieu . vn
