Xem mẫu

ÝØJLÒÙ îæ ÞßH× ÌÑßGÒ OÑ_× ÒÙß]¸ Ì‚›ò Ò„«§»=† Ý–>†„ Ìfi3 `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH CHÖÔNG 2 TUYEÁN TÍNH ÑOÁI NGAÃU 1.CAÙCH THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TTUYEÁN TÍNH ÑOÁI NGAÃU Coâng Trí 2.CAÙC ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU (Xem) 3.THUAÄT GIAÛI ÑÔN HÌNH ÑOÁI NGAÃU (Xem) 4.MOÄT SOÁÁ ÖÙNG DUÏNG CUÛA LYÙÙ THUYEÁT ÑOÁI NGAÃU TRONG BAØI TOAÙN QHTT (Xem) Ths. Nguyeãn Coâng Trí 5.BAØI TAÄP Copyright 2001em) THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Xeùt baøi toaùn QHTT (P) döôùi daïng chính taéc fP (x) ctx min P Ax b I x 0. Vôùi x = (x1, x2,... , xn) n, b = (b1, b2,... , bm) m Giaû söûû baøi toaùn (P) coù P.A.T.U laø xopt vaø goïi x0 laøø moät P.A cuûa baøi toaùn (P), ta coù ctxopt ctx0. Goïi x = (x1, x2,... , xn) n, vôùi x 0 sao cho Ax – b 0 Baøi toaùn töông ñöông: L(x, y) ct x yt b Ax min THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Muïc ñích vaø yùù nghóa Vôùi baøi toaùn QHTT, baøi toaùn goác, kyù hieäu laø P (Primal), chuùng ta coùù theå thieát laäp baøi toaùn QHTT khaùc, baøi toaùn ñoái ngaãu, kyù hieäu laøø D (Dual), sao cho töø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn naøy ta coù theåå thu thaäp ñöôïc thoâng tin veà lôøi giaûi cuûa baøi toaùn kia. Ñeå coùù thoâng tin caàn thieát veàà baøi toaùn goác, coù theåå nghieân cöùu treân baøi toaùn ñoái ngaãu cuûa noù. Hôn nöõa, khi phaân tích ñoàng thôøi caûû hai baøi toaùn goác vaøø ñoái ngaãu, chuùng ta coùù theå ruùt ra caùc keát luaän coù giaù trò veà maët toaùn hoïc laãn veà maët yù nghóa kinh teá. THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Goïi g(y) laø haøm muïc tieâu cuûa baøi toaùn (II), ta coù g(y) = min{ctx + yt(b – Ax)}, vôùi x 0. ctx + yt(b – Ax), vôùi x 0. Neáu x laø P.A cuûa baøi toaùn (I) thì b – Ax = 0 vaø g(y) ctx. Vaäy g(y) laø moät caän döôùi baát kyøø cuûa haøm muïc tieâu. Ta tìm caän döôùi lôùn nhaát Max{g(y)}, thaät vaäy g(y) = min{ctx + yt(b – Ax)}, vôùi x 0. = min{ctx + ytb – ytAx}, vôùi x 0. P x 0 II = min{ytb + (ct – ytA)x}, vôùi x 0. y Rm. = ytb + min{ (ct – ytA)x}, vôùi x 0. THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Xeùt t t 0 khi ct yt A 0 x 0 khi ct yt A 0 Vaäy ta ñöôïc g(y) = ytb Suy ra baøi toaùn ñoái ngaãu coùù daïng g(y) ytb max g(y) ytb max D ct yt A 0 yt A ct y Rm. y Rm. Hay baøi toaùn töông ñöông g(y) ytb max D At y c THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Ví duïï 2.1. Baøi toaùn ñoái ngaãu cuûa baøi toaùn QHTT sau ñaây f (x) 2x 8x4 6x5 min 2 1 x3 x5 4 2x2 x5 4 x2 2x3 3x4 13 xj 0 j 1,5 laøø baøi toaùn fD (y) 4y 4y2 13y3 max 2 1 2 2y2 y3 0 1 2y3 0 3y3 8 y Rm. y y2 6 ‚‹‹°ææ憉‹fi•ò‰–ò‰‰ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ÝØJLÒÙ îæ ÞßH× ÌÑßGÒ OÑ_× ÒÙß]¸ Ì‚›ò Ò„«§»=† Ý–>†„ Ìfi3 `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Baøi toaùn goác (P) Haøm muïc tieâu n fP (x) cj xj min j 1 Raøng buoäc thöù i n aijxj b i 1,m j 1 AÅn thöùù j Baøi toaùn ñoái ngaãu (D) Haøm muïc tieâu m fD (y) b yi max i 1 Raøng buoäc thöù j m aij yi cj, j 1,n i 1 AÅn thöùù i Ví duï 2.2. Vieát baøi toaùn ñoái ngaãu vaø chæ ra caùc caëp raøng buoäc ñoái ngaãu cuûa baøi toaùn QHTT f (x) x 2x2 x3 2x4 min fBaøi toaùn ñoái ngaãumax x1 x2 2x3 2x4 1 y1 3y2 2y3 1 3x1 x2 x3 3 y1 y2 3y3 2 2x1 3x2 x3 x4 4 2y1 y2 y3 1 xj 0 j 1,2 2y1 y3 2 Caùc caëp ñoái ngaãu y 0, y2 0 1 0, y1 3y2 2y3 1 1 xj 0, j 1,n yi 0,i 1,m khoâng raøngbuoäc khoâng raøng buoäc VD2.2 VD2.3 VD2.4 VD2.5 VD2.6 VD2.7 x2 0, 1 y2 3y3 2 2 x x2 2x3 2x4 1, y1 0 3 3 1 x2 x3 3, y2 0 4 THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Ví duï 2.3. Vieát baøi toaùn ñoái ngaãu vaø chæ ra caùc caëp raøng buoäc ñoái ngaãu cuûa baøi toaùn QHTT f (x) 2x x2 8x3 max Baøi toaùn ñoái ngaãu 7x 4x2 2x3 28 fD(y) 28y 10y2 15y3 min 3x x2 3x3 10 7y1 3y2 2y3 2 2x 3x2 x3 15 4y1 y2 3y3 1 x 0 j 1,2 2y1 3y2 y3 8 y 0, y 0 Caùc caëp ñoái ngaãu x 0, 7y1 3y2 2y3 2 1 x2 0, 4y y2 3y3 1 2 7 1 4x2 2x3 28, y1 0 3 2x 3x2 x3 15, y3 0 4 THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Ví duï 2.5. Vieát baøi toaùn ñoái ngaãu vaø chæ ra caùc caëp raøng buoäc ñoái ngaãu cuûa baøi toaùn QHTT f (x) 2x 5x max Baøi toaùn ñoái ngaãu 1 0 4 f D ( y ) 4 y1 3 y2 8 y3 m in 0 1 1 3 1 0 1 y1 2 1 2 2 8 0 1 2 2 5 xj 0; j 1,2 3 Raøng buoäc ñoái ngaãu y j 0 j 1,3 x 0, y1 y3 2 1 x2 0, y2 2y3 5 2 x 4, y 0 3 x2 3, y2 0 4 1 2x2 8, y3 0 5 THAØNH LAÄP BAØI TOAÙN ÑOÁI NGAÃU Ví duï 2.4. Vieát baøi toaùn ñoái ngaãu vaø chæ ra caùc caëp raøng buoäc ñoái ngaãu cuûa baøi toaùn QHTT f (x) 4x1 3x2 8x3 min 1 0 1 x1 2 0 1 2 x2 5 Baøi toaùn ñoái ngaãu x 0, Caùc raøng buoäc ñoái ngaãu fD (y) 2y1 5y2 max x 0, y 3 2 1 0 y1 4 x3 0, y1 2y2 8 3 y2 x1 x3 2, y1 0 4 yj 0; j 1,2 x2 2x3 5, y2 0 5 CAÙC ÑÒNH LYÙ ÑOÁI NGAÃU ÑÒNH LYÙÙ 1. Neáu moät trong hai baøi toaùn ñoái ngaãu nhau coù P.A.T.Ö thì baøi toaùn kia cuõng coù P.A.T.Ö vaøø giaù trò haøm muïc tieâu cuûa chuùng baèng nhau. HEÄ QUAÛ 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuûû ñeåå cho caùc baøi toaùn ñoái ngaãu nhau coù phöông aùn toái öu laøø moãi baøi toaùn coù ít nhaát moät phöông aùn. HEÄ QUAÛÛ 2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuûû ñeåå cho caùc baøi toaùn ñoái ngaãu nhau khoâng coù P.A.T.Ö laøø moät baøi toaùn coù P.A coøn baøi toaùn kia khoâng coùù P.A. ‚‹‹°ææ憉‹fi•ò‰–ò‰‰ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ÝØJLÒÙ îæ ÞßH× ÌÑßGÒ OÑ_× ÒÙß]¸ Ì‚›ò Ò„«§»=† Ý–>†„ Ìfi3 `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` CAÙC ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU ÑÒNH LYÙÙ 2.(ÑÒNH LYÙ ÑOÄ LEÄCH BUØØ YEÁU) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeåå caëp baøi toaùn ñoái ngaãu nhau coù P.A.T.Ö. laø trong caëp raøng buoäc ñoái ngaãu, neáu raøng buoäc naøy xaûy ra vôùi daáu baát ñaúng thöùc ngaët (“>” hoaëc “<“) thì raøng buoäc kia xaûy ra vôùi daáu ñaúng thöùc. Nghóa laø, vôùi Xopt = (x1opt, x2opt, ..., xnopt), Yopt = (y1opt, y2opt, ..., ymopt) laàn löôït laø P.A.T.Ö. cuûa baøi toaùn goác vaøø baøi toaùn ñoái ngaãu, ta coù m Neáu xjopt > 0 thì aij yi pt cj n , i 1 Neáu aij xjpt i thì yiopt = 0 j 1 AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU Ví duïï 2.6. Cho baøi toaùn QHTT f (x) 4x1 3x2 8x3 min 1 0 1 x1 2 0 1 2 2 5 3 xj 0, j 1,3 coù P.A.T.Ö cuûa baøi toaùn ñoái ngaãu laø yopt = (2, 3) vaø f(yopt) = 19. Haõy tìm P.A.T.Ö cuûa baøi toaùn treân. Baøi toaùn ñoái ngaãu fD (y) 2y1 5y2 max 1 0 4 0 1 1 3 1 2 2 8 AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU Ví duïï 2.7. Cho1baøi toaùn QHTT max 5x1 x2 x3 6x4 50 3x1 x3 2x4 16 4x1 3x3 x4 23 x 0 j 1,4 Coù P.A.T.Ö laø xoptt = (0,14, 6, 5) vaøø f(xoptt) = 54. Haõy tìm P.A.T.Ö cuûa baøi toaùn ñoái ngaãu. Baøi toaùn ñoái ngaãu f D ( y ) 5 0 y 1 1 6 y 2 2 3 y 3 m i n 5 y 1 3 y 2 4 y 3 2 y 1 2 y 1 y 2 3 y 3 1 6 y 1 2 y 2 y 3 4 y 2 0 ; y 3 0 CAÙC ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU ÑÒNH LYÙÙ 3.(ÑÒNH LYÙ ÑOÄÄ LEÄCH BUØ MAÏNH) Neáu caëp baøi toaùn ñoái ngaãu nhau coùù P.A.T.Ö. thì toàn taïi moät caëp phöông aùn sao cho trong caùc caëp ñoái ngaãu, neáu raøng buoäc naøy xaûy ra vôùi daáu ñaúng thöùc thì raøng buoäc kia xaûy ra vôùi daáu baát ñaúng thöùc ngaët. Nghóa laø, vôùi Xopt = (x1opt, x2opt, ..., xnopt), Yopt = (y1opt, y2opt, ..., ymopt) laàn löôït laøø P.A.T.Ö. cuûa baøi toaùn goác vaøø baøi toaùn ñoái ngaãu, ta coù m Neáu xjopt = 0 thì toàn taïi ij yi pt cj n i 1 Neáu aij xjpt bi thì toàn taïi yiopt 0 (> hoaëc <). j 1 AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU Caùc caëp raøng buoäc ñoái ngaãu x1 0 vaø y1 4 (1) x2 0 vaø y2 3 (2) x3 0 vaø y1 + 2y2 8 (3) Thay yoptt = (2, 3) vaøo caùc raøng buoäc Töøø (1): y1 = 2 < 4 x1 = 0 (ñònh lyùù 2). Thay x1 = 0 vaøo hpt cuûa baøi toaùn goác 1 0 1 0 2 x3 2 x 1; x 2 0 1 2 x3 5 2 3 Vaäy, P.A.T.Ö cuûa baøi toaùn goác laø xopt= (0,1,2) vaø f(xopt) = fD(yopt) = 19. AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU Caùc caëp raøng buoäc ñoái ngaãu x1 0 vaø 5y1 – 3y2 + 4y3 2 (1) x2 0 vaø y1 2 (2) x3 0 vaø y1 + y2 + 3y3 1 (3) x4 0 vaø 6y1 + 2y2 + y3 4 (4) -3x1 + x3 + 2x4 16 vaøø y2 0 (5) 4x1 + 3x3 + x4 23 vaøø y3 0 (6) Thay xopt = (0, 14, 6, 5) vaøo caùc raøng buoäc Töøø (2): x2 = 14 > 0 y1 = 2. Töø (3): x3= 6 > 0 y1 + y2 + 3y3 = 1 Töø (4): x4= 5 > 0 6y1 + 2y2 + y3 = 4 Giaûi heä phöông trình treân, ta coù y1 = 2; y2 = -23/5; y3 = 6/5. Vaäy, P.A.T.Ö cuûa baøi toaùn ñoái ngaãu laø yopt= (2, -23/5, 6/5) vaøø fD(yopt) = 54. ‚‹‹°ææ憉‹fi•ò‰–ò‰‰ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ÝØJLÒÙ îæ ÞßH× ÌÑßGÒ OÑ_× ÒÙß]¸ Ì‚›ò Ò„«§»=† Ý–>†„ Ìfi3 `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU Ví duï 2.8. Cho baøi toaùn QHTT f (x) x 2x2 x3 Max x 3x2 x4 5 x x2 3 3 1 x3 x4 2 xj 0 j 1,4 Xeùt caùc vectô sau X = (3, 0, 11, 0), Y = (2, 1, 8, 0), Z = (-4, 2, 0, 10) vaøø T = (1, 2, 1, 2). Vectô naøo laø P.A.T.Ö. cuûa baøi toaùn? Caùch giaûi. 1. Kieåm tra caùc vectô coùù phaûi laø P.A hay khoâng? 2. Vieát baøi toaùn ñoái ngaãu, 3. Kieåm tra caùc P.A coù phaûi laø P.A.T.Ö.? AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU 1. Kieåm tra tröïc tieáp, ta thaáy X, Y, vaø T laø P.A cuûa baøi toaùn. Vì Z khoâng thoûa maõn caùc raøng buoäc neân Z khoâng laøø P.A cuûa baøi toaùn. 2. Baøi toaùn ñoái ngaãu fD(y) 5y 3y2 2y3 min y1 y2 3y3 1 3y1 y2 2 y3 1 y1 y3 0 y1 0; y2 0; y3 0 Ta coù 7 caëp raøng buoäc ñoái ngaãu AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU x1 0 vaø y1 + y2 – 3y3 -1 (1) x2 0 vaø 3y1 + y2 2 (2) x3 0 vaø y3 1 (3) x4 0 vaø – y1 + y3 0 (4) x1 + 3x2 – x4 5 vaø y1 0 (5) x1 + x2 3 vaøø y2 0 (6) -3x1 + x3 + x4 2 vaøø y3 0 (7) 3. Kieåm tra X, Y, T laøø P.A.T.Ö Deã daøng kieåm tra vectô X*= (0, 2, 1) thoûa caùc raøng buoäc cuûa baøi toaùn ñoái ngaãu. Hôn nöõa, fD(X*)= f(X)= 8 neân X laøø P.A.T.Ö. cuûa baøi toaùn goác. Do Y = (2, 1, 8, 0) laøø P.A cuûa baøi toaùn goác vaø f(X) = f(Y)= 8 neân Y cuõng laø P.A.T.Ö. Giaûû söû X = (3, 0, 11, 0) laø P.A.T.Ö cuûa baøi toaùn. Töø (1): x1 = 3 > 0 y1 + y2 – 3y3 = -1 Töøø (3): x3=11 > 0 y3 = 1 Töøø (5): 3 + 0 + 0 + 0 = 3 < 5 y1 = 0 Giaûi heää phöông trình, ta ñöôïc X*= (0, 2, 1). AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU Vôùi T = (1, 2, 1, 2), ta coùù f(T)= 4 fmax = 8 Vaäy T khoâng phaûi laøø P.A.T.Ö. maø T chæ laøø phöông aùn cuûa baøi toaùn. AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙÙ ÑOÁI NGAÃU ... - tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn