Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 6 - Dương Minh Đức

CHÖÔNG SAÙU H AØ M S OÁ L I EÂ N T UÏ C Chuùng ta ñaõ bieát neáu {a } laø moät daõy hoäi tuï veà a , theo lyù thuyeát veà daõy soá chuùng ta coù theå duøng {an} ñeå xaáp xæ a2 . Nay chuùng ta ñaët f (t) = t2 vôùi moïi soá thöïc t . Ta coù theå dieån taû vieäc treân nhö laø “coù theå duøng daõy soá thöïc {f(an)} ñeå xaáp xæ f(a)”. Chuùng ta seõ xeùt moät moâ hình toaùn hoïc veà caùc aùnh xaï f coù tính chaát sau: neáu {an} laø moät daõy hoäi tuï veà a , thì {f(an)} laø moät daõy hoäi tuï veà f(a). Ñoù laø khaùi nieäm haøm soá lieân tuïc. 260 Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa — vaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo —, ta noùi f laø moät haøm soá thöïc treân A. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät taäp hôïp con khaùc troáng A cuûa — vaø x ∈ A, ta noùi f lieân tuïc taïi x neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông  ta tìm ñöôïc moät soá thöïc döông (x, ) sao cho |f(x) - f(y) | <  ∀ y ∈ A vôùi |y - x | <  (x, ). Neáu f lieân tuïc taïi moïi ñieåm x ∈ A ta noùi f lieân tuïc treân A 261 Vôùi moïi soá döông  cho |f(x) - f(y) | <  ta tìm ñöôïc moät soá döông (x, ) sao ∀ y ∈ A vôùi |y -x | <  (x,). x f(x) f(x)- f(x)+ x f(x)  x-(x,) y x+(x,) x (x,) f(x)- f(x)+ f(x) f(y)  262 263 Baøi toaùn 51. Cho c laø moät soá thöïc vaø ñaët f (x ) = c vôùi moïi x ∈ — . Chöùng minh f lieân tuïc treân — . Chöùng minh f lieân tuïc taïi moïi x trong — . " x ∈ — , " e > 0 $ d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | < e " y ∈ — , | y - x | < d(x, e ) Cho x ∈ — vaø cho e > 0 , tìm $ d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | < e " y ∈ — , | y - x | < d(x, e ) | f ( y ) - f ( x ) | = | c - c | = 0 d(x, e ) = 1 | f ( y ) - f ( x ) | = 0 < e " y ∈ — , | y - x | < d(x, 6e ) ... - tailieumienphi.vn