- Trang Chủ
- Toán học
- Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 6: Hệ phương trình Cramer và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Xem mẫu
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER
BÀI 6
VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
Hướng dẫn học
Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:
Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia
thảo luận trên diễn đàn.
Đọc tài liệu:
1. Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại
học KTQD, 2012.
2. Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB
Thống kê.
3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB
Giáo dục.
4. Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third
edition, Mc. Graw–Hill, Inc.
5. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S,
2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts,
London, England.
Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc
qua email.
Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.
Nội dung
Hệ phương trình Cramer;
Phương pháp ma trận;
Quy tắc Cramer;
Ứng dụng trong phân tích kinh tế.
Mục tiêu
Sinh viên nắm được khái niệm và các tính chất của hệ phương trình Cramer.
Hiểu và áp dụng thành thạo việc giải hệ phương trình Cramer theo hai phương pháp:
phương pháp ma trận nghịch đảo và phương pháp Cramer.
Nắm được mô hình cân bằng thị trường. Áp dụng được vào bài tập.
Nắm được mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
68 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tình huống dẫn nhập
Xét thị trường hải sản gồm 2 mặt hàng cua và tôm. Ký hiệu p1 là giá 1kg cua, p2 là giá 1kg tôm
(đơn vị nghìn đồng).
Ký hiệu Qs1, Qs2 là lượng cua và lượng tôm mà người bán bằng lòng bán tại mỗi mức giá p1, p2.
Ký hiệu QD1, QD2, là lượng cua, lượng tôm mà người mua bằng lòng mua tại mỗi mức giá p1, p2,
Cụ thể Qs1, Qs2 , QD1, QD2 được cho theo quy tắc như sau:
QS1 = ─80 + p1, QD1 = 280 – 3p1 + 4p2
QS2 = ─70 + 3p2, QD2 = 130 + 2p1 – p2
Tìm mức giá cua, giá tôm mà người bán vừa bán hết hàng và người mua vừa mua
hết hàng trên thị trường.
TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 69
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
6.1. Hệ phương trình Cramer
Định nghĩa: Một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và định
thức của ma trận hệ số khác 0 gọi là hệ phương trình Cramer. Hệ phương trình Cramer
n ẩn số có dạng:
a11x1 +a12 x 2 + +a1n x n =b1
a x +a x + +a x =b
21 1 22 2 2n n 2
(6.1)
.........................................
a n1x1 +a n2 x 2 + +a nn x n =b n
Ma trận hệ số của hệ phương trình (6.1) là một ma trận vuông cấp n:
a11 a12 a1n
a a 22 a 2n
A= 21
a n1 a n2 a nn
Theo giả thiết về hệ phương trình Cramer thì ma trận A không suy biến, tức là d = |A| ≠ 0.
6.2. Phương pháp ma trận
Hệ phương trình (6.1) có thể viết dưới dạng phương trình ma trận:
AX = B (6.2)
Trong đó A là ma trận hệ số đã nói ở trên, còn X và B là các ma trận:
x1 b1
x b
X = 2, B = 2
xn bn
Ở dạng (6.2) các ma trận A và B là các ma trận cho trước, còn X là ma trận phải tìm.
Ma trận B được gọi là cột số hạng tự do, còn X được gọi là cột ẩn số.
Do d = |A| ≠ 0 nên ma trận A có ma trận nghịch đảo A–1. Nhân hai vế của phương
trình (6.2) với A–1 ta được hệ thức tương đương:
X = A–1B (6.3)
Như vậy, hệ phương trình Cramer có một nghiệm duy nhất được xác định theo công
thức (6.3).
Ví dụ: Giải hệ phương trình
x1 3x 2 2x 3 3
2x1 x 2 3x 3 6 (6.4)
3x x 4x 11
1 2 3
Ma trận hệ số của hệ phương trình này là:
1 3 2
A = 2 1 3
3 1 4
70 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Do |A| = 20 ≠ 0 nên hệ phương trình (6.4) là hệ Cramer. Ma trận nghịch đảo của ma
trận A là:
7 10 11
1
A = 1 10 7
-1
20
5 10 5
Áp dụng công thức (6.3) ta có:
x1 7 10 11 3 40 2
1 1
-1
X = x2 = A B = 1 10 7 6 = 20 = 1 .
20 20
x 3 5 10 5 11 20 1
Nghiệm duy nhất của hệ phương trình (6.4) là:
x1 = 2
x 2 = 1
x = 1
3
6.3. Quy tắc Cramer
Định lý sau đây được gọi là quy tắc Cramer:
Định lý: Nghiệm duy nhất của hệ phương trình Cramer n ẩn số x1, x2, …, xn được xác
định theo công thức:
d1 d2 dn
x1 , x 2 , , x n (6.5)
d d d
Trong đó d là định thức của ma trận hệ số, dj (j = 1, 2, …, n) là định thức có cột thứ j
là cột số hạng tự do, còn tất cả các cột còn lại như của định thức d.
Phương pháp xác định nghiệm của hệ Cramer theo quy tắc trên gọi là phương pháp
Cramer hay phương pháp định thức.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2x y 3z 1
3x 4y 2z 3
5x 2y z 2
Giải: Hệ phương trình có ma trận hệ số A và cột số hạng tự do B như sau
2 1 3 1
A = 3 4 2 , B = 3
5 2 1 2
Ta có:
2 1 3
d = A = 3 4 2 = 55
5 2 1
TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 71
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Thay cột thứ nhất của d bằng cột B ta được:
1 1 3
d1 = 3 4 2 = 9
2 2 1
Thay cột thứ hai của d bằng cột B ta được:
2 1 3
d2 = 3 3 2 = 56
5 2 1
Thay cột thứ ba của d bằng cột B ta được:
2 1 1
d3 = 3 4 3 = 43
5 2 2
Theo quy tắc Cramer ta tìm được nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho:
d1 9 d 56 d 43
x , y 2 , z 3
d 55 d 55 d 55
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn số x, y, z, cho biết ma trận mở rộng
2 3 4 2
A 3 2 5 0
5 6 9 1
Chú ý rằng ba cột đầu của ma trận mở rộng A là các cột của ma trận hệ số A, còn cột
cuối là cột số hạng tự do B, do đó:
2 3 4 2 3 4
d 3 2 5 = 2, d1 = 0 2 5 31
5 6 9 1 6 9
2 2 4 2 3 2
d 2 3 0 5 = – 6, d 3 = 3 2 0 21
5 1 9 5 6 1
Theo quy tắc Cramer ta tìm được nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho:
d1 31 d d 21
x= = , y = 2 = 3, z = 3 =
d 2 d d 2
6.4. Ứng dụng trong phân tích kinh tế
6.4.1. Mô hình cân bằng thị trường
6.4.1.1. Thị trường một loại hàng hóa
Khi phân tích hoạt động của thị trường hàng hóa, các nhà kinh tế học sử dụng hàm
cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá hàng
hóa (với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi). Dạng tuyến tính của hàm cung và
hàm cầu như sau:
72 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Hàm cung: Qs = −a0 + a1p,
Hàm cầu: Qd = b0 − b1p,
c11 p1 + c12 p 2 = c10
(6.6)
c 21 p1 + c 22 p 2 = c 20
Giải hệ phương trình tuyến tính (6.6) ta xác định được giá cân bằng của cả 2 hàng hóa,
sau đó thay vào hàm cung hoặc hàm cầu ta xác định được lượng cân bằng.
Trong đó Qs là lượng cung, tức là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán; Qd là
lượng cầu, tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua; p là giá hàng hóa; a0,
a1, b0, b1 là các hằng số dương.
Mô hình cân bằng thị trường có dạng:
Q s a 0 a 1p Q s a 0 a 1p
Qd b 0 b1p Q d b 0 b1p
Q Q a a p b b p
s d 0 1 0 1
Giải hệ phương trình này ta tìm được:
a b0
Giá cân bằng: p 0
a1 b1
a1b0 a 0 b1
Lượng cân bằng: Q Qs Qd
a1 b1
6.4.1.2. Thị trường nhiều hàng hóa
Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến
lượng cung và lượng cầu của các hàng hóa khác. Để cho đơn giản ta xét mô hình cân
bằng thị trường 2 hàng hóa liên quan. Ta ký hiệu các biến số như sau:
Qsi là lượng cung hàng hóa i,
Qdi là lượng cầu đối với hàng hóa i,
Pi là giá hàng hóa i.
Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng:
Hàm cung hàng hóa i:
Qsi = ai0 + ailp1 + ai2p2 (i = 1, 2)
Hàm cầu đối với hàng hóa i:
Qdi = bi0 + bilp1 + bi2p2 (i = 1, 2)
Mô hình cân bằng thị trường hai hàng hóa có dạng như sau:
Qs1 = a10 + a11p1 + a12 p 2
Q = b + b p + b p
d1 10 11 1 12 2
Qs2 = a 20 + a 21p1 + a 22 p 2
Qd2 = b 20 + b 21p1 + b 22 p 2
Q s1 = Qd1
Qs2 = Qd2
TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 73
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Từ hệ phương trình này ta suy ra hệ phương trình xác định giá cân bằng:
a10 + a11p1 + a12 p 2 = b10 + b11p1 + b12 p 2
a 20 + a 21p1 + a 22 p 2 = b 20 + b 21p1 + b 22 p 2
Đặt cik = aik – bik với (i, k = 0, 1, 2) ta được hệ phương trình:
c11p1 + c12 p 2 = c10
(6.6)
c 21p1 + c 22 p 2 = c 20
Giải hệ phương trình tuyến tính (4.1) ta xác định được giá cân bằng của cả 2 hàng hóa,
sau đó thay vào hàm cung hoặc hàm cầu ta xác định được lượng cân bằng.
Ví dụ 1: Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng là hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung
và hàm cầu như sau
Hàng hóa 1: Qsl = −2 + 3p1 ; Qdl = 10 – 2p1 + p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2 ; Qd2 = 15 + p1 – p2
Hệ phương trình xác định giá cân bằng:
2 + 3p1 = 10 2p1 + p 2 5p1 p 2 = 12
1 + 2p 2 = 15 + p1 p 2 p1 + 3p 2 = 16
Giải hệ phương trình này ta tìm được giá cân bằng của mỗi mặt hàng:
26 46
Hàng hóa 1: p1 = ; Hàng hóa 2: p 2 =
7 7
Thay giá cân bằng vào các biểu thức hàm cung ta xác định được lượng cân bằng:
64
Hàng hóa 1: Q1 = 2 + 3p1 =
7
85
Hàng hóa 2: Q 2 = 1 + 2p 2 =
7
6.4.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
Ở dạng đơn giản, ta xét mô hình cân bằng đối với một nên kinh tế đóng (không có
quan hệ kinh tế với nước ngoài).
Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income) và E là tổng chi tiêu kế hoạch (Planned
Ependiture) của nền kinh tế, trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình:
Y=E
Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ nền kinh tế gồm các
thành phần sau:
C: Tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình;
G: Chi tiêu của chính phủ (Government);
I : Chỉ tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất (Investment).
Phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là:
Y=C+G+I
74 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa của chính
phủ cố định: G = G0, còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới
dạng hàm bậc nhất (gọi là hàm tiêu dùng):
C = aY + b (0 < a < 1, b > 0)
Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm $1 thu nhập, được gọi
là xu hướng tiêu dùng cận biên (marginal propensity to consume), còn b là mức tiêu
dùng tối thiểu, tức là mức tiêu dùng khi không có thu nhập.
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô trong trường hợp này quy về hệ phương trình tuyến tính:
Y=C+I 0 +G 0 Y C=I 0 +G 0
C=aY+b aY+C = b
Giải hệ phương trình này ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng
cân bằng của nền kinh tế:
b + I 0 + G0 b + a(I0 + G 0 )
Y= ; C=
1 a 1 a
Trên đây là mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô dạng đơn giản. Độ phức tạp của mô hình
sẽ tăng lên nếu ta tính đến các yếu tố khác, chẳng hạn như thuế, xuất nhập khẩu... Nếu
tính thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi như sau:
C = aYd + b
Trong đó Yd là thu nhập sau thuế, hay còn gọi là thu nhập khả dụng (disponsable income):
Yd = Y – T ( T là thuế thu nhập)
Gọi tỷ lệ thuế thu nhập là t ( biểu diễn ở dạng thập phân), ta có:
Yd = Y – tY = (1 − t )Y, C= a(1− t)Y + b
Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng là:
b + I0 + G 0 b + a(1 t)(I0 + G 0 )
Y= ;C=
1 a(1 t) 1 a(1 t)
Ví dụ: Nếu C = 200 + 0,75Y; I0 = 300; G0 = 400 (tính bằng triệu USD) thì ta tính
được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng là
200 + 300 + 400
Y= = 3600 (Triệu USD)
1 0,75
200 + 0.75(300 + 400)
C= = 2900 (Triệu USD)
1 0,75
Nếu Nhà nước thu thuế thu nhập ở mức 20% thì t = 0,2. Khi đó mức cân bằng như sau:
200 + 300 + 400
Y= = 2250 (Triệu USD)
1 0,75.(1 0,2)
200 + 0.75(1 0.2)(300 + 400)
C= = 1550 (Triệu USD)
1 0,75(1 0,2)
TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 75
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tóm lược cuối bài
Một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số
khác 0 gọi là hệ phương trình Cramer.
Tính chất: Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất.
Phương pháp ma trận để giải hệ Cramer: Nghiệm được tìm theo công thức: X = A–1B .
Phương pháp định thức: Tìm nghiệm duy nhất của hệ phương trình Cramer n ẩn số x1, x2, …,
d d d
xn theo công thức x1 1 , x 2 2 , , x n n
d d d
Mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hóa:
Q s a 0 a 1p
Q d b 0 b1p
Q Qd
s
a b0
Giá cân bằng: p 0
a1 b1
a1b0 a 0 b1
Lượng cân bằng: Q Qs Qd
a1 b1
Mô hình cân bằng thị trường hai hàng hóa:
Qs1 = a10 + a11p1 + a12 p 2
Q = b + b p + b p
d1 10 11 1 12 2
Qs2 = a 20 + a 21p1 + a 22 p 2
Qd2 = b 20 + b 21p1 + b 22 p 2
Q s1 = Qd1
Qs2 = Qd2
Chuyển hệ phương trình đó thành hệ phương trình tuyến tính hai phương trình, hai ẩn p1, p2
suy ra giá cân bằng. Thay giá cân bằng vào hàm cung hoặc hàm cầu của hai mặt hàng, tính
được lượng cân bằng.
Y = C + I0 + G 0
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô:
C = aY + b
Giải hệ phương trình này ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân
bằng của nền kinh tế:
b + I 0 + G0 b + a(I0 + G 0 )
Y= ; C=
1 a 1 a
76 TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226
- Bài 6: Hệ phương trình Cramer
và các ứng dụng trong phân tích kinh tế
Câu hỏi ôn tập
1. Thế nào là hệ phương trình Cramer?
2. Có mấy phương pháp giải hệ Cramer?
3. Hãy viết dạng ma trận của hệ phương trình Cramer.
4. Nêu nội dung của phương pháp ma trận nghịch đảo.
5. Nêu nội dung của phương pháp Cramer.
6. Nếu giải hệ Cramer bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp thì hệ kết thúc ở dạng tam giác hay
hình thang?
7. Nêu mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hóa và cách tìm giá cân bằng.
8. Nêu mô hình cân bằng thị trường hai loại hàng hóa và cách tìm giá cân bằng, lượng cân bằng.
9. Nêu cách xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng trong mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
trường hợp không có thuế thu nhập.
10. Nêu cách xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng trong mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
trường hợp có thuế thu nhập.
TXTOCB02_Bai6_v1.0014104226 77
nguon tai.lieu . vn
