Xem mẫu

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 26

NỘI DUNG
1

KHÁI NIỆM CHUNG

2

ĐỊNH NGHĨA

3

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

4

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 26

Một số ví dụ
Ví dụ 1. Nghiên cứu về dân số, người ta thấy rằng, tỷ số
giữa sự thay đổi dân số theo thời gian được cho như sau:
dP
= rP, P(0) = P0 , P, P0 > 0
(1)
dt
trong đó r là tỷ lệ tăng dân hằng năm.
Nhân hai vế của (1) cho 1/P, ta được
1 dP
=r
P dt
Tích phân hai vế, ta được

(2)

ln P = rt + C ⇒ P = e rt+C
Mặt khác, với P(0) = e

0+C

= P0 , thay vào (3) ta được
P(t) = P0 e rt

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

(3)

GIẢI TÍCH

(4)
Toán cao cấp - MS: MAT1006

2 / 26

Một số ví dụ
Kết quả ứng dụng
1. Dựa vào (4), nếu dân số thế giới năm 1990 là 5.8 tỉ và nếu tỉ lệ
r = 2.6% thì dân số thế giới năm 2013 là 10.8245 tỉ
2. Dân số Việt Nam năm 1990 là 63 triệu và tỉ lệ r = 2%, thì dân
số Việt Nam năm 2013 là 101.8 triệu.

Ví dụ 2. Năm 1946 Willard Libby, phát hiện rằng trong
tế bào của thực vật, động vật, người trong suốt thời gian
chúng sống, lượng carbon − 14 phóng xạ không đổi. Nếu
chúng chết, lượng carbon − 14 phóng xạ sẽ giảm do sự
phân rã hạt nhân. Và sự phân rã này tuân theo môt quy
luật cho bởi
dQ
= −rQ, Q(0) = Q0
(5)
dt
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

3 / 26

Một số ví dụ
Tương tự như ví dụ 1, ta cũng có kết quả sau
Q(t) = Q0 e −rt , với r = 0.0001238

(6)

Kết quả ứng dụng
Các nhà khảo cổ ở Châu phi tìm thấy bộ xương của người tiền sử,
với lượng carbon − 14 hiện diện là 10%. Khi đó, áp dụng (6), ta có
Q(t) = 0.1Q0 = Q0 e −0.0001238t
Suy ra, t =

ln 0.1
= 18.600 năm
−0.0001238

Qua hai ví dụ trên, ta thấy việt tìm ra các quy luật (Mô
hình) có ứng dụng rất mạnh trong thực tế. Đặc biệt là
trong lĩnh vực dự báo.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

4 / 26

nguon tai.lieu . vn