Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012 ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị §4. Công thức Taylor §5. Quy tắ ……………………………………………………… §1. ĐẠO HÀM 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y f(x) xác định trong lân cận (a; b) của x0 ! (a; b). Giới hạn: lim f(x0 $"x)% f(x0) "x#0 "x#0 (nếu có) được gọi là đạo hàm của y f(x) tại x0. Ký hiệu là f &(x0) hay y&(x0). ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số c) Đạo hàm vô cùng • Nếu tỉ số "y # ( khi "x # 0 thì ta nói y f(x) có đạo hàm vô cùng tại x0. • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía. ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhận xét. Do "x x %x0 nên: f (x ) lim f(x)% f(x0). x#x0 0 b) Đạo hàm một phía Cho hàm số y f(x) xác định trong lân cận phải (x ; b) của x . Giới hạn lim f(x)% f(x0) (nếu có) x#x0 0 được gọi là đạo hàm bên phải của y f(x) tại x0. Ký hiệu là f &(x0 ). Tương tự, f &(x0 ). Nhận xét. Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f (x0) f (x0 ) f (x0 ). ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: (u )v)& u& )v&; (uv)& u v $uv&; *k+ %kv&, k ! ¡; *u+ u v %uv&. v v VD 1. Cho f(x) 3 x ` f (0) (, 2) Đạo hàm của hàm số hợp f(x) y[u(x)]: f(x) x ` f (0$) $(. f &(x) y&(u).u (x) hay y&(x) y&(u).u&(x). Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y y(x): Nếu f(x) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x0 thì tiếp tuyến tại x0 của đồ thị y f(x) song song với trục Oy. x&(y) 1 y&(x) ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1) x2 & 2.x2%1; 2) x & 1 ; 2 x 7) 0ex 1 ex ; 9) 0ln x 1 x ; 8) 0ax 1 ax.lna; 10) 0loga x 1 x.lna; 3) 0sinx1 5) 0tanx1 cosx; 1 cos2 x 1 $ tan2 x; 4) 0cosx1 6) 0cotx1 %sinx; 11) 0arcsinx1 = 1 ; % 1 ; 1%x2 sin x 13) arctanx & 1 ; 1$x 12)0arccosx1 = 14) 0arc cotx1 %1 ; 1%x2 %1 1$x2 1 10/13/2012 ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao VD 4. Cho hàm số f(x) sin2 x. Tính đạo hàm f(6)(0). • Giả sử f(x) có đạo hàm f (x) và f (x) có đạo hàm thì 0f (x)1 f &(x) là đạo hàm cấp hai của f(x). A. f(6)(0) 32; C. f(6)(0) %16; B. f(6)(0) %32; D. f(6)(0) 0. • Tương tự ta có: f(n)(x) 0f(n%1)(x)1 là đạo hàm cấp n của f(x). Giải. Ta có f (x) ` f &&(x) ` f(5)(x) Vậy f(6)(0) sin2x ` f &(x) 2cos2x %4sin2x ` f(4)(x) %8cos2x 16sin2x ` f(6)(x) 32cos2x. 32 ` A. ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN 2.1. Vi phân cấp một Hàm số y f(x) được gọi là khả vi tại x0 ! Df nếu "f(x0) f(x0 $ "x)% f(x0) có thể biểu diễn dưới dạng: "f(x0) A."x $ 0("x) với A là hằng số và 0("x) là VCB khi "x # 0. Khi đó, đại lượng A."x được gọi là vi phân của hàm ` "f(x0) 3333#A ` f (x0) A. `df(x0) f (x0)."x hay df(x) f &(x)."x. • Chọn f(x) x ` df(x) "x ` dx "x. Vậy df(x) f (x)dx hay dy y dx. VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f(x) x2e3x tại x0 %1. số y f(x) tại x0. Ký hiệu df(x0) hay dy(x0). Giải. Ta có f &(x) (2x $ 3x2)e3x ` f (% 1) e%3 Nhận xét • "f(x0) A."x $0("x)` "f(x0) 0("x) Vậy df(% 1) e%3dx. "x ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y arctan(x2 $1). VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y 2ln(arcsinx). Giải. Ta có y& (x2 $1)& 1$(x2 $1)2 2x Giải. Ta có y& 4ln(arcsinx)5& 2ln(arcsinx) ln2 1$(x2 $1)2 Vậy dy 2x dx. 1$(x $1) 1 2ln(arcsinx) ln2 1%x2 arcsinx ` dy 2ln(arcsinx) ln2 dx. 1%x2 arcsinx 2 10/13/2012 ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2.2. Vi phân cấp cao VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y e2x. Giả sử y f(x) có đạo hàm đến cấp n thì: Giải. Ta có y& 2e2x ` y&& 22e2x dny d(dn%1y) y(n) xn ` ... ` y(n) 2ne2x `dny 2ne2xdxn. được gọi là vi phân cấp n của hàm y f(x). VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y ln(sinx). Giải. Ta có y& cosx ` y&& % 1 . sin x Vậy d2y % dx2 . sin x ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức dny y(n dxn không còn đúng nữa. …………………………………………………………… VD 6. Tính vi phân cấp 2 của f(x) tanx tại x0 :. Giải. Ta có f &(x) 1 $ tan2 x ` f &&(x) 2tanx(1$ tan2 x) ` f &&*:+ 4 . / Vậy d2f *4+ 4dx2. ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số f(x) xác định trong (a;b) và có đạo hàm tại x0 !(a;b). Nếu f(x) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại x0 trong (a;b) thì f (x0) 0. 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số f(x) liên tục trong [a;b] và khả vi trong (a;b). Nếu f(a) f(b) thì ;c !(a;b) sao cho f (c) 0. ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trong [a;b], khả vi trong (a;b) và g (x) < 0,=x !(a;b). Khi đó, ;c !(a;b) sao cho: f(b)% f(a) f &(c) g(b)%g(a) g&(c) 3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số f(x) liên tục trong [a;b], khả vi trong (a;b). Khi đó, ;c !(a;b) sao cho: f(b)% f(a) f (c). ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §4. CÔNG THỨC TAYLOR 4.1. Công thức khai triển Taylor a) Khai triển Taylor với phần dư Peano Cho hàm f(x) liên tục trên [a; b] có đạo hàm đến cấp n $1 trên (a; b) với x, x0 !(a; b) ta có: f(x) n f(k)(x0)(x %x0) $O((x %x0)n ). k 0 3 10/13/2012 ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Khai triển Maclaurin VD 1. Khai triển Maclaurin của f(x) tanx đến x3. • Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x0 0 được gọi là khai triển Maclaurin. Vậy f(x) > f(k)(0)xk $O(xn). k 0 • Khai triển Maclaurin được viết lại: f(x) f(0)$ f (0)x $ f &(0)x2 $... ...$ f(n)(0)xn $O(xn ). ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ 1) 1%x 1$x $x2 $...$xn $ 0(xn ). 2 n 2) ex 1$ 1! $ 2! $...$ n! $ 0(xn ). 2 3 4 3) ln(1$x) 1 % 2 $ 3 % 4 $...$ 0(xn ). 2 4 6 4) cosx 1% 2! $ 4! % 6! $...$ 0(xn ). 3 5 7 5) sinx 1!% 3! $ 5! % 7! $...$ 0(xn ). ⮚Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Giải. Ta có: f(0) 0, f &(x) 1$ tan2 x ` f &(0) 1, f &&(x) 2tanx $2tan3 x ` f &&(0) 0, f &&&(x) 2(1$ tan2 x)$ 6tan2 x(1$ tan2 x) ` f &&&(0) 2. Vậ tanx f(0)+ f &(0)x+ f &&(0)x2+ f &&&(0)x3+0(x3) ... - tailieumienphi.vn