Xem mẫu
- BÀI GI NG TOÁN CAO C P C1
Đoàn H ng Chương1
1 B môn Toán - TKKT, Đ i h c Kinh T - Lu t
- Toán cao c p C1
Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M T BI N
§1. Gi i h n dãy s
1.1 Dãy s
Đ nh nghĩa 1.1. Dãy s là m t t p h p các s x1, x2, . . . , xn, . . . đư c vi t theo
m t th t nh t đ nh. Kí hi u (xn).
• x1, x2, . . . : s h ng. • xn : s h ng t ng quát.
Cách cho m t dãy s
• Cho công th c s h ng t ng quát.
• Cho công th c truy h i.
• Mô t .
Ví d 1.1. Cho các dãy s
• (xn) : xn = 2n + n2, n = 1, 2, . . .
Trang 1
- Toán cao c p C1
• (xn) : x1 = 1, xn+1 = 2xn + 3, n = 1, 2, . . .
• (xn) là dãy các s nguyên t .
Đ nh nghĩa 1.2. Cho dãy s (xn).
• (xn) đư c g i là dãy s tăng n u
xn < xn+1, ∀n ∈ N
• (xn) đư c g i là dãy s gi m n u
xn > xn+1, ∀n ∈ N
Ví d 1.2. Xét tính tăng gi m c a các dãy s
n n+1
1. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = , n = 1, 2, . . .
n+1 n
Gi i.
1. Ta có
n+1 n (n + 1)2 − n(n + 2) 1
xn+1 − xn = − = = > 0, ∀n ∈ N,
n+2 n+1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)
Trang 2
- Toán cao c p C1
nên xn+1 > xn, ∀n ∈ N. V y (xn) là dãy s tăng.
2. Ta có
n+2 n+1 (n + 1)2 − n(n + 2) 1
xn+1 − xn = − =− =− < 0, ∀n ∈ N,
n+1 n n(n + 1) n(n + 1)
nên xn+1 < xn, ∀n ∈ N. V y (xn) là dãy s gi m.
Đ nh nghĩa 1.3. Cho dãy s (xn).
• (xn) đư c g i là b ch n trên n u t n t i s th c M sao cho
xn ≤ M, ∀n ∈ N.
• (xn) đư c g i là b ch n dư i n u t n t i s th c m sao cho
xn ≥ m, ∀n ∈ N.
• (xn) đư c g i là b ch n n u nó b ch n trên và b ch n dư i, nghĩa là t n t i
các s th c m và M sao cho
m ≤ xn ≤ M, ∀n ∈ N.
Ví d 1.3. Xét tính b ch n c a các dãy s
Trang 3
- Toán cao c p C1
2n n
1. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = 2+1
, n = 1, 2, . . .
n+1 n
1.2 Gi i h n dãy s
Đ nh nghĩa 1.4. S th c a đư c g i là gi i h n c a dãy s (xn) n u:
∀ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho |xn − a| < , ∀n > n0. (1.1)
Kí hi u: lim xn = a.
n→∞
• N u dãy s (xn) có gi i h n thì ta nói (xn) h i t .
• N u dãy s (xn) không có gi i h n thì ta nói (xn) phân kì.
Ví d 1.4. Tìm gi i h n c a các dãy s
n+1 1
1. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = n
, n = 1, 2, . . .
n 2
Gi i.
n+1
1. Ta d đoán lim = 1, do đó, t đ nh nghĩa suy ra v i m i > 0,
n→+∞ n
Trang 4
- Toán cao c p C1
n+1
ta c n tìm n0 ∈ N đ b t đ ng th c − 1 < , đúng v i m i n > n0.
n
n+1 1 1 1 1
T −1 = < suy ra n > . Ch n n0 = + 1 thì n0 > . Do đó
n n
n+1
− 1 < , ∀n > n0. V y
n
1 n+1
∀ > 0, ∃n0 = + 1 sao cho − 1 < , ∀n > n0.
n
n+1
Đi u này ch ng t lim = 1.
n→∞ n
1
2. Ta d đoán lim n = 0, do đó, t đ nh nghĩa suy ra v i m i > 0, ta
n→+∞ 2
1
c n tìm n0 ∈ N đ b t đ ng th c n − 0 < , đúng v i m i n > n0. T
2
1 1 1 1 1
− 0 = n < suy ra n > log2 . Ch n n0 = log2 + 1 thì n0 > log2 . Do
2n 2
1
đó n − 0 < , ∀n > n0. V y
2
1 1
∀ > 0, ∃n0 = log2 + 1 sao cho n − 0 < , ∀n > n0.
2
Trang 5
- Toán cao c p C1
1
Đi u này ch ng t lim n = 0.
n→+∞ 2
Dãy s d n đ n vô cùng
n
3 n − 2n2
Ví d 1.5. 1. lim = +∞. 2. lim = −∞.
2 n+1
1.3 Các tính ch t
Đ nh lý 1.1. Gi i h n c a dãy s (n u có) là duy nh t.
Đ nh lý 1.2. N u dãy s (xn) có gi i h n thì nó b ch n.
Đ nh lý 1.3 (Đ nh lý k p). Cho 3 dãy s (xn), (yn), (zn). N u
yn ≤ xn ≤ zn, ∀n ∈ N và lim yn = lim zn = a,
thì lim xn = a.
1 1 1
Ví d 1.6. Tìm gi i h n lim √ + √ + ... + √ .
n→∞ n2+1 n2+2 n2+n
Gi i.
Trang 6
- Toán cao c p C1
T
1 1
√ ≥√ ,
n2 +1 n2 +n
1 1
√ ≥√ ,
n2 +2 n2 +n
...
1 1
√ ≥√ ,
n2 +n n2 +n
suy ra
n 1 1 1
√ ≤√ +√ + ... + √ .
n2+n n 2+1 n2+2 n2+n
B ng cách tương t , ta có
1 1 1 n
√ +√ + ... + √ ≤√ .
n 2+1 n2+2 n 2+n n 2+1
n n
Thêm n a lim √ = lim √ = 1. Do đó
n→∞ n 2+1 n→∞ n 2+n
1 1 1
lim √ +√ + ... + √ = 1.
n→∞ n2+1 n2+2 n 2+n
Trang 7
- Toán cao c p C1
Đ nh lý 1.4 (Đ nh lý h i t b ch n). Dãy tăng và b ch n trên (ho c dãy gi m
và b ch n dư i) thì h i t .
√
Ví d 1.7. Tìm gi i h n c a dãy s (xn) cho b i công th c x1 = 2, xn+1 =
√
2 + xn, n = 1, 2, . . ..
Gi i.
Trư c tiên ta ch ng minh dãy s (xn) b ch n. Th t v y, b ng qui n p, ta có
√ √ √
x1 = 2 < 2, x2 = 2 + x1 < 2 + 2 = 2.
√ √
Gi s xn < 2. Khi đó xn+1 = 2 + xn < 2 + 2 = 2. V y
xn < 2, ∀n ∈ N.
Ti p theo ta ch ng minh (xn) là dãy tăng. Ta có
x2 − x2 = x2 − xn − 2 = (xn − 2).(xn + 1)
n n+1 n
Chú ý r ng xn > 0, ∀n ∈ N và xn < 2, ∀n ∈ N, do đó x2 − x2 < 0, ∀n ∈ N.
n n+1
K t h p v i xn > 0, ∀n ∈ N, suy ra xn < xn+1, ∀n ∈ N.
Trang 8
- Toán cao c p C1
V y (xn) là dãy tăng và b ch n trên, do đó h i t . Đ t lim xn = a. T gi
√ n→∞
thi t xn+1 = 2 + xn, cho n → ∞, ta có phương trình
√
a = 2 + a.
Phương trình có 2 nghi m a = 2 và a = −1. Nghi m a = −1 lo i vì xn >
0, ∀n ∈ N. V y
lim xn = 2.
n→∞
B ng m t s gi i h n cơ b n
1 n
1
1. lim = 0. 3. lim 1 + = e.
n n
√
2. lim q n = 0, v i |q| < 1. 4. lim n n = 1.
Trang 9
- Toán cao c p C1
BÀI T P
Bài t p 1.1. Tìm gi i h n c a các dãy s sau
n
3n2 + 4n + 2 n+2
1. lim 2 . 6. lim .
n − 2n + 3 n+1
√
2. lim( n2 + n − n).
√ n
2n + 1
3. lim( 3 n − n3 + n). 7. lim n .
2 −1
3 + 4n
4. lim .
1 + 3.4n 3n2
2
2n + 5.6n n +1
5. lim n . 8. lim .
3 + 6n n2 + 2
Bài t p 1.2. Tìm gi i h n c a các dãy s sau
2n 1
1. lim . 3. x1 = , xn+1 = xn(2 − xn), n ∈ N.
n! 2
2n xn
2. lim . 4. x1 = 1, xn+1 = , n ∈ N.
(n + 2)! 2 + xn
Trang 10
- Toán cao c p C1
§2. Gi i h n hàm s
2.1 Gi i h n hàm s
Đ nh nghĩa 2.1. Cho hàm s f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). S th c L đư c g i là
gi i h n c a hàm s f khi x d n t i x0 n u và ch n u
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b)\{x0}, |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − L| < . (2.1)
Kí hi u: lim f (x) = L.
x→x0
Đ nh nghĩa 2.2. Cho hàm s f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b).
• S th c L đư c g i là gi i h n bên ph i c a hàm s f khi x d n t i x0 n u
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b), 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − L| < . (2.2)
Kí hi u: lim f (x) = L.
x→x+
0
• S th c L đư c g i là gi i h n bên trái c a hàm s f khi x d n t i x0 n u
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b), 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − L| < . (2.3)
Kí hi u: lim f (x) = L.
x→x−
0
Trang 11
- Toán cao c p C1
Ví d 2.1. Tìm các gi i h n
√
1 + cos x 0 x3 + x2 0
1. lim (d ng vô đ nh ). 2. lim (d ng vô đ nh ).
x→π sin x 0 x→0± x 0
Gi i. x x
2
1 + cos x 2 cos cos
1. Ta có lim = lim 2 = lim 2 = 0.
x→π sin x x→π x x x→π x
2 sin cos sin
√ √ 2 √2 2
x3 + x2 |x| 1 + x 1 + x, khi x > 0
2. Ta có = = √ .
x x − 1 + x, khi x < 0
Do đó
√ √
x 3 + x2 x3 + x2
lim = 1 và lim − 1.
x→0 + x x→0 − x
Gi i h n d n đ n vô cùng và gi i h n t i vô cùng
Ví d 2.2. Tìm các gi i h n sau
2x − 3 2. lim 2 x−1 .
1
1. lim x . x→1±
x→±∞ 2 + 3
Trang 12
- Toán cao c p C1
Gi i.
1. Ta có
3
2x − 3 1− x
lim x = lim 2 = 1 (do lim 3 = 0).
x→+∞ 2 + 3 x→+∞ 3 x→+∞ 2x
1+ x
x
2
2 −3
lim x = −1 (do lim 2x = 0).
x→−∞ 2 + 3 x→−∞
2. Ta có
1 1
lim 2 x−1 = +∞ (do lim = +∞).
x→1+ x→1 + x−1
1 1
lim 2 x−1 = 0 (do lim = −∞).
x→1− x→1 − x−1
2.2 Các tính ch t
Đ nh lý 2.1. Gi i h n c a hàm s (n u có) là duy nh t.
Đ nh lý 2.2. Cho f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R và x0 ∈ (a, b). N u
lim f (x) = M, lim g(y) = N
x→x0 y→M
Trang 13
- Toán cao c p C1
thì
lim g ◦ f (x) = N.
x→x0
Đ nh lý 2.3. Cho f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b).
lim f (x) = L ⇔ v i m i dãy (xn), n u xn → x0 thì dãy f (xn) h i t đ n L .
x→x0
Đ nh lý 2.4 (Đ nh lý k p). Cho các hàm s f (x), g(x), h(x) xác đ nh trên (a, b)
và x0 ∈ (a, b).
Nu
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), ∀x ∈ (a, b) và lim g(x) = lim h(x) = L,
x→x0 x→x0
thì
lim f (x) = L.
x→x0
sin x
Ví d 2.3. Tính gi i h n lim .
x→0 x
Gi i.
Xét đư ng tròn lư ng giác tâm O, bán kính OA = 1 và x là góc lư ng giác
c a cung AC.
Trang 14
- Toán cao c p C1
π 1 1 1
N u 0 < x < , thì S∆AOC = sin x, Shình qu t AOC = x, S∆AOB = tan x.
2 2 2 2
Do đó
sin x < x < tan x.
Suy ra
sin x π
cos x < < 1, ∀x ∈ 0, .
x 2
π
Vì sin(−x) = − sin x và cos(−x) = cos x nên, khi x ∈ − , 0 , theo b t đ ng
2
th c trên ta có
sin x
cos x < < 1.
x
Trang 15
- Toán cao c p C1
Vy
sin x π π
cos x < < 1, ∀x ∈ − , \{0}.
x 2 2
sin x
Áp d ng đ nh lý k p, suy ra lim = 1.
x→0 x
Đ nh lý 2.5. Cho hàm s f : (x, b) → R và x0 ∈ (a, b).
lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = L .
x→x0 x→x−
0 x→x+
0
B ng m t s gi i h n cơ b n
1 ex − 1
1. lim α = 0, v i α > 0. 5. lim = 1.
x→+∞ x x→0 x
sin x ax − 1
2. lim = 1. 6. lim = ln a(0 < a = 1).
x→0 x x→0 x
tan x ln(1 + x)
3. lim = 1. 7. lim = 1.
x→0 x x→0 x
x
1 log (1 + x) 1
4. lim 1 + = e. 8. lim a = (0 < a = 1).
x→±∞ x x→0 x ln a
Trang 16
- Toán cao c p C1
BÀI T P
Bài t p 2.1. Tính các gi i h n sau
x2 − 9 1 − cos x
1. lim 2 . 5. lim .
x→3 x − 7x + 12 x→0 x sin x
√
4x 6. lim ( x2 + x − x).
2. lim √ . x→±∞
x→0 9+x−3 √3 3
2x − x 2 x +1−1
3. lim . 7. lim .
x→2 x − 2 x→0 x
sin 3x π
4. lim . 8. lim − x tan x.
x→0 tan 5x x→ 2 2
π
Bài t p 2.2. Tính các gi i h n sau
1. lim x. cot x. 3x+4
x→0
x+2
√ 4. lim .
x→+∞ x − 3
ln x2 + 1
2. lim √ . 5. lim (1 + tan x)cot x.
x→0 x 2+1−1
x→0
ln(cos x) ln x − 1
3. lim . 6. lim .
x→0 ln(x2 + 1) x→e x − e Trang 17
- Toán cao c p C1
§3. Vô cùng bé - Vô cùng l n
3.1 Đ nh nghĩa
Đ nh nghĩa 3.1 (Vô cùng bé). Cho hàm s f (x) xác đ nh trên kho ng (a, b) và
x0 ∈ (a, b). Ta nói f (x) là đ i lư ng vô cùng bé, vi t t t là VCB, khi x → x0 n u
lim f (x) = 0. (3.1)
x→x0
Đ nh nghĩa 3.2 (Vô cùng l n). Cho hàm s f (x) các đ nh trên kho ng (a, b) và
x0 ∈ (a, b). Ta nói f (x) là đ i lư ng vô cùng l n, vi t t t là VCL, khi x → x0 n u
lim |f (x)| = +∞. (3.2)
x→x0
Ví d 3.1. Bi u th c nào sau đây là VCB, VCL?
√
1. f (x) = 5 1 − x − 1 khi x d n đ n 0.
tan x
3 π−
2. f (x) = khi x d n đ n .
2 2
1
3. f (x) = (cos x) x2 khi x d n đ n 0.
Trang 18
- Toán cao c p C1
3.2 So sánh các VCB và các VCL
Đ nh nghĩa 3.3 (So sánh các VCB). Cho f (x) và g(x) là các VCB khi x → x0.
• Ta nói f (x) là VCB c p cao hơn g(x) n u
f (x)
lim = 0. (3.3)
x→x0 g(x)
• Ta nói f (x) là VCB c p th p hơn g(x) n u
f (x)
lim = ∞. (3.4)
x→x0 g(x)
Đ nh nghĩa 3.4 (VCB tương đương). Cho f (x) và g(x) là các VCB khi x → x0.
Ta nói f (x) và g(x) là hai VCB tương đương khi x → x0, kí hi u f (x) ∼ g(x), n u
f (x)
lim = 1. (3.5)
x→x0 g(x)
Ví d 3.2. Hãy so sánh c p c a các VCB sau
1. f (x) = ln(1 + x2), g(x) = x2 khi x → 0.
Trang 19
nguon tai.lieu . vn
