Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

02/11/2017

Chương 3:
Tích phân
GV. Phan Trung Hiếu

§1. Tích phân bất định

§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Tích phân suy rộng
LOG
§4. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế
O
2

I. Nguyên hàm:
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên
khoảng D.
Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D
 F ( x )  f ( x ), x  D.
Ví dụ 1.1:

Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên
D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D
đều có dạng F(x) + C.

 x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 )  2 x.
 x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  3)  2 x.
 x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của
2x, vì ( x 2  C )  2 x.
3

II. Tích phân bất định:
Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm
số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất
cả các nguyên hàm của f trên D.
Tích phân bất định của f được ký hiệu là

4

Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2
thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có

 f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)
Ví dụ 2.1.  2x dx  x 2  C vì ( x 2 )  2 x.

 f ( x )dx ,
trong đó

 : dấu tích phân.
x : biến lấy tích phân.
f ( x ) : hàm lấy tích phân.
f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân.
5

6

1

02/11/2017

III. Tính chất:

IV. Bảng tích phân cơ bản:

  k . f ( x )dx  k  f ( x )dx với k là hằng số.
   f ( x )  g( x )  dx   f ( x )dx   g( x )dx.


Xem Bảng 3.

  f ( x )dx  f ( x )  C .


  f ( x )dx   f ( x).
7

8

I. Công thức Newton-Leibniz:

§2. Tích phân xác định

Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích
phân xác định của f từ a đến b là
b

 f ( x)dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a )

a

9

10

II. Tính chất:

III. Các phương pháp tính tích phân:
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách dùng các
công thức tích phân cơ bản, công thức
Newton-Leibniz.

a



 f ( x)dx  0
a

a

b

   f ( x )dx   f ( x )dx
b
a



a

b

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx

b
b

với k là hằng số

a

b

b

   f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx


a

b




a

a

c

a

b

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
a

với c nằm giữa a và b

c

Ví dụ 3.1. Tính
a )  x 5dx
3

dx
x2
2

c) 

20

b)   2 x  1 dx
0

dx
1 2x
1

d )

b

 f ( x )  0 trên [a,b]   f ( x )dx  0.
a

11

12

2

02/11/2017

Dạng 2: Tính tích phân bằng cách biến đổi
hàm dưới dấu tích phân, đưa về tích phân cơ
bản. Các phép biến đổi hay dùng là
Tíchnhân phân phối  Tổng.


Các tính chất của tích phân bất định và xác
định.
Hằng đẳng thức.
Biến đổi lượng giác.
Nhân, chia lượng liên hiệp.

a b a b
 
c
c c
m

 n x m  x n ; x a .x b  x ab ;

xa
1
 x a b ; b  x  b .
xb
x
13

14

Ví dụ 3.2. Tính

1

x
1 

a)   7 x 2  
 dx
5 cos 2 x 


2

b)  ( x  1) xdx
0


c) 

(1  e x ) 2
dx
e3 x

2
x
d )  2cos 2 dx
2
0

7

f )

e)  tan 2 xdx
2

g) 

3

x 1  1 x

3

2

1  x4

dx
x  2  x 3

h)

dx

x

2

1

dx
 3x  2

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp
đổi biến số loại 1
Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp
sao cho t  biểu thức còn lại trong hàm số.
Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi
hàm số.
Tích phân dạng: I   f u ( x) u( x)dx
B1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx
B2 (thay vào tích phân):
I   f (t ) dt  F (t )  C  F u ( x)   C

15

Tích phân dạng:

b

I   f u ( x) u ( x) dx
a

B1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx
a
b
B2 (đổi cận): x
t u(a) u(b)
B3 (thay vào tích phân):

16

Dấu hiệu đặt thông thường:
Có
ax + b
căn



f (t ) dt

u (a )

t  e x  ,   const

ex
ln x và

u (b)

I

Đặt
t = ax + b
t = căn

1
x

và

1
x

1
x2

t  ln x

t

1
x

(cận mới, biến mới).
17

18

3

02/11/2017

Dấu hiệu đặt khi gặp biểu thức lượng giác:
Dạng

Đặt

1
có tan x và
cos 2 x
1
có cot x và
sin 2 x
1

có arcsinx và
có arccosx và

Dạng

t = tanx
t = cotx
t = arcsinx

1 x 2
1

 f (cos x)sinx dx

t  cos x

20

Đặt

Dạng
sin x   sin x
Thay 
 cos x   cos x

Ví dụ 3.3. Tính

Thay sin x   sin x

f đổi dấu
Thay cos x   cos x

f đổi dấu
Tổng quát

t  tan x

e x dx
ex  1

t  cos x

e)

d)

1

x

1/2

2

1
sin   dx
x 

4

f)

u ( x)  a

2

t  sin x

u2 ( x)  a2

e tan x
dx
2
x

g) 

arccos x
1 x

2

2

dx

h)  e 2sin x cos xdx
0

x
t  tan
2
22

   
u ( x )  a sin t , t   ; 
 2 2
u ( x) 

x)

 cos
0

Chú ý: Khi tính tích phân hàm chứa căn, ta
ưu tiên đặt t = căn hoặc nhân liên hiệp trước.
Nếu không được thì ta mới nghĩ đến đổi biến
loại 2.
Ví dụ 3.4. Tính
1

1

b)  x 2  x 2 dx

a)  x2 4  x2

0

0
2

2



Đặt

a  u ( x)

dx

 x (2  ln


1

Dạng 4: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
số loại 2
Phương pháp (đổi biến):
Đặt x  u(t )  dx  u(t )dt
Dấu hiệu đặt thông thường:

2

b)  x 3 1 x 2 dx
0

c) 

21

2

1

a )  x (1  x )20 dx

f không đổi dấu

Có

t = arccotx
t  sin x

19

 f (sin x, cos x)dx

t = arctanx

 f (sin x)cosx dx

t = arccosx

1 x 2

Đặt

1
có arctanx và
1 x 2
1
có arccotx và
1 x 2

a
     
, t   0;   
;0 
sin t
 2  2 

   
u ( x)  a tan t , t  
; 
 2 2
23

24

4

02/11/2017

Dạng 5: Tính tích phân hàm hữu tỉ
P ( x)

 Q( x) dx, P(x), Q(x) là các đa thức.
Phương pháp:
Bậc tử  bậc mẫu: chia đa thức.
Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t =
một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta
làm như sau

n

Mẫu có (ax  b) : Đặt t  ax  b.
2
Mẫu là tam thức bậc hai ax  bx  c :

Vô nghiệm và tích phân có dạng

 ax

2

dx
, ta
 bx  c

biến đổi ax 2  bx  c  a 2  u 2 ( x ) , rồi đặt

u ( x )  a tan t .
( px  q)dx
Vô nghiệm và tích phân có dạng  2
ta tìm
ax  bx  c
hệ số A, B sao cho

px  q
A.(Maâ~ u)
B
 2
 2
ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c
2

25

Có nghiệm kép x0 , ta phân tích

ax 2  bx  c  a ( x  x0 ) 2
P( x )
P( x )
 2

.
ax  bx  c a( x  x0 )2
Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích
2

ax  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ).

26

Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích
mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay
lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các
hệ số như sau
P( x)
A
B
C



( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) x  x1 x  x2 x  x3

Tìm hệ số A, B sao cho

P( x)
A
B
C



2
( x  x1 )( x  x2 )
x  x1 x  x2 ( x  x2 ) 2

P( x )
A
B


.
a( x  x1 )( x  x2 ) x  x1 x  x2

P( x)
A
Bx  C


( x  x0 )(ax 2 + bx + c ) x  x0 ax 2  bx  c
trong đó ax 2  bx  c  0 vô nghiệm.

27

P( x)
A
B
Cx  D


 2
2
2
( x  x0 ) ( ax + bx + c ) x  x0 ( x  x0 ) ax  bx  c

28

Ví dụ 3.5. Tính

2

P ( x)
A
Bx  C
Dx  E

 2
 2
2
2
( x  x0 )(ax + bx + c) x  x0 ax  bx  c (ax  bx  c)2
trong đó ax 2  bx  c  0 vô nghiệm.
Đặc điểm:
-Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng.
2
-Mẫu là lũy thừa của tam thức ax  bx  c vô nghiệm: Tử
là nhị thức.
Cách tìm các hệ số: Có bao nhiêu hệ số thì lần lượt cho
x nhận bấy nhiêu giá trị thuộc TXĐ để lập hệ phương
trình. Từ đó, ta giải tìm các hệ số.
29

1

a) 

sin 3 x
dx
2  cos x

b) 

c) 

xdx
(2 x  1)3

d)

4x  3
dx
2x  1
0
4

3

2

e) 

( x  1)
dx
x  3x 2  4 x  12

g) 

( x  1)dx
x 2  3x  2
( x  2) 2
dx
x( x  1) 2

2 x 2  3 x  11
dx
x3  x 2  3x  5

f )

3

30

5