Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 2 - Phan Trung Hiếu

06/10/2017

Chương 2:

Đạo hàm và vi phân
hàm một biến
GV. Phan Trung Hiếu

§1. Đạo hàm của hàm một biến

§1. Đạo hàm của hàm một biến
§2. Hàm khả vi, vi phân của hàm số
§3. Đạo hàm và vi phân cấp cao
LOG
O

I. Đạo hàm cấp một:

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên
khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của
hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được
tính bởi

f ( x0 )  lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

2

Trong định nghĩa trên, nếu đặt
x  x  x0 : Số gia của biến số tại x0.
y  f ( x)  f ( x0 )
 f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0.
Khi đó
f ( x0 )  lim

x 0

nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được
gọi là khả vi tại x0.
3

Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số
tại x0  0.

 ln(1  x 2 )
khi x  0

f ( x)  
x
0
khi x  0


Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)

f ( x0 )  lim

f ( x )  f ( x0 )
x  x0


f ( x0 )  lim

y
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
x  0
x
x
f ( x0  h)  f ( x0 )
 lim
h 0
h
4

Định lý 1.5



f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L

Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số
f ( x)  x
tại x0  0.

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

x  x0

Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
x  x0

5

Định lý 1.6.
f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0.

6

1

06/10/2017

Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số

e ( x  x ) khi x  0
f ( x)  
khi x  0
m
x

2

khả vi tại x0  0.

Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số

3x 2  5 khi x  1
f ( x)  
ax  b khi x  1
có đạo hàm tại x0  1.
7

Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y  arctan x

2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.
2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có
( k .u )  k .u
(u  v)  u  v

(u.v)  u.v  u.v

 u  u.v  u.v
  
v2
v

2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó
 x
y( x)  yu .u
8

III. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:

3.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal):
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến
số kinh tế, gọi x0  D.

2
b) y  (arcsin x )
1 x
c) y 
1 x

Hàm số My  f ( x) được gọi là hàm biên tế (hàm cận
biên) của biến y.

x
x
2x
d) y  e arctan e  ln 1  e

e) y  ( x 2  1) x

II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:

Giá trị My ( x0 )  f ( x0 ) được gọi là biên tế (giá trị cận
biên) của hàm số f(x) tại điểm x0.

3

f) y  (1  x ) 2  x

2 3

3 x

3

9

3.2. Ý nghĩa của biên tế: My ( x0 ) cho biết xấp xỉ lượng

thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1
đơn vị. Cụ thể, ta có

My ( x0 )  0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ tăng
My ( x0 ) đơn vị.

My ( x0 )  0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ giảm
 My ( x0 ) đơn vị.

Ví dụ 1.6: Cho hàm tổng chi phí

C  0,1Q 2  0,3Q  100.

a) Tìm hàm chi phí biên tế.
b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng Q  120 đơn

vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.
11

10

3.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối:
Xét hàm số y = f(x). Khi biến số tăng từ x0 đến x thì ta có
-Độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại x0 là

x  x  x0

Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị
chọn để đo biến x.
-Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0 là

x
x0

Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào
đơn vị chọn để đo biến x.
12

2

06/10/2017

3.4. Hệ số co dãn: hệ số co dãn của biến y theo biến x tại
x0 là
x
 yx ( x0 )  y( x0 )  0
y ( x0 )
3.5. Ý nghĩa của hệ số co dãn:  yx ( x0 ) cho biết xấp xỉ

độ thay đổi tương đối của biến y khi biến x tăng
tương đối lên 1% tại x0. Cụ thể, ta có
 yx ( x0 )  0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x
tăng 1% thì y sẽ tăng  yx ( x0 )%.

 yx ( x0 )  0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x
tăng 1% thì y sẽ giảm  yx ( x0 )%.

Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:
 Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là co dãn tại x0 (hàm
số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi
đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm co dãn.
 Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0
Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn
(điểm co dãn đơn vị).
 Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là không co dãn tại

x0 (hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến
số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm không co
dãn.

13

14

Ví dụ 1.7: Cho hàm cầu Q  600  2 P. Tính hệ số co
dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 100; P =
200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.

§2. Vi phân của hàm số

15

16

Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì

I. Vi phân cấp một:

1) d (u  v)  du  dv.
2) d (k .u)  k .du.
3) d (u.v)  vdu  udv.

Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là

hay

df ( x)  f ( x) dx

dy  ydx

Ví dụ 2.1. Tìm vi phân của hàm số y  e x .

17

2

 u  vdu  udv
4) d   
.
v2
v

Ví dụ 2.2. Tính
a) d ( x 3  e x )

b) d ( x 3 e x )
 x3 
c) d  x 
e 

18

3

06/10/2017

III. Ứng dụng của vi phân:

Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.
Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là

§3. Đạo hàm và vi phân

f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x  o(x)
 f ( x0 )  f ( x0 ).x

cấp cao

Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),
điểm x0 và số gia x đủ nhỏ.

Ví dụ 2.3. Tính gần đúng giá trị của
3

2,0001.
19

20

I. Đạo hàm cấp cao:
Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp
một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)
là
y  f ( x)   f ( x) 
Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là

y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x) 



Ví dụ 3.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng
minh xy  2( y  sin x )  xy  0.
Ví dụ 3.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng
minh y 3 y  1  0.

Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và
v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó
k
(u.v)( n )   Cn u ( k )v ( nk )
n

k 0

Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp
kx
ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const.

Ví dụ 3.4. Tính y

II. Vi phân cấp cao:
Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến
cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là

III. Quy tắc L’Hospital:
Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong
lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu
i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay

(20)

21





d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n

Ví dụ 3.5. Cho y  (2 x  3)3 . Tính d 3 y.

22

x  x0

x  x0

lim f ( x)  lim g ( x)  
x  x0
f ( x) x x0
và lim
tồn tại
x  x0 g ( x )
thì

23

của hàm số
y  x 2e 2 x .

lim

x  x0

f ( x)
f ( x)
 lim
g ( x ) x x0 g ( x)
24

4

06/10/2017

Chú ý 1.2.
 Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc
L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định

0

hoặc .
0


 Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital
nhiều lần.

IV. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:

Dạng 0

0

Ví dụ 3.6. Tính các giới hạn sau
x2  5x  6
x 2 x  x 2  x  2
sin x
c) lim
x 0
x
a )lim

e)lim
x 0

25

Dạng 



Ví dụ 3.7. Tính các giới hạn sau
3x 2  2 x
a ) lim
x  x 2  1

x2  x
b) lim x
x  e  3

c) lim

d ) lim

ln 2 x
x  x 3

x 

0
0

Dạng 0.

.


f
1
g
f .g (0.)  
g
1
f

Ví dụ 3.8. Tính các giới hạn sau



b) lim  x   .tan x
 
2
x

a ) lim x.ln x
x 0

27

Dạng   


0
Ta đưa về dạng
hoặc .

0

Chú ý:

 
f 
 f 1  
g
 
  f

f  g   g   1
g
 


 f .g  1  1 



g f 

29

x

26

Ta đưa về dạng hoặc
Chú ý:

2  4  x2

x2  9  3
e 1
d )lim 3
x 0 x
ln(cos x)
f )lim
x 0 arctan 2 x  2 x 2
x 0

x  sin x
x3

x

1  x2

b)lim

3

2

28

Ví dụ 3.9. Tính các giới hạn sau
1 
 1
a )lim 


x 1  ln x
x 1

c )lim
x 0

b) lim (e x  x 2 )
x 

1  1
1
 

t an2x  sin x x 

30

5