Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 1 - Phan Trung Hiếu

22/09/2017

TOÁN CAO CẤP
C1
GV. Phan Trung Hiếu

45 tiết
LOG
O

Kiểm tra, đánh giá kết quả:

-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1
điểm.
Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần.
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ
trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,
-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5
điểm/lần.
4

Trang web môn học:

SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng
tuần, điểm quá trình trên trang web sau:
https://sites.google.com/site/sgupth

2

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.

3

5

Nội dung:

Chương 1:
Chương 2:
một biến.
Chương 3:
Chương 4:
Chương 5:

Hàm số một biến số.
Đạo hàm và vi phân hàm

Tích phân.
Hàm nhiều biến.
Phương trình vi phân.
6

1

22/09/2017

Tài liệu học tập:

[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Lê Văn Hốt, Toán cao cấp (Phần 2: Giải
tích), Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, NXB
Giáo dục.

§1. Các khái niệm cơ bản

về hàm số một biến số

7

Dụng cụ hỗ trợ học tập:

Máy tính FX 500MS, FX 570MS,
FX 570ES, FX 570ES Plus.

10

I. Biến số:

Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một
số bất kì thuộc tập số X   cho trước ( X   ).
Tập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) và
mỗi số thực x0  X được gọi là một giá trị của biến
số đó.
Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái:
x, y, z, …

8

11

Các biến số kinh tế:

Chương 1:

Hàm số một biến số
GV. Phan Trung Hiếu

§1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Hàm số liên tục

LOG
O

Ký
hiệu



(pi)

C

D
R
S

X

Ý
nghĩa

Lợi
nhuận
Chi
phí
Cầu

Doanh
thu
Cung
Xuất
khẩu

Tiếng
Anh

Ký
hiệu

Ý
nghĩa

Profit

P

Đơn
giá
Sản
lượng
Lượng
cầu
Lượng
cung
Thuế

Q

Cost

QD

Demand

QS

Revenue

T

Supply
Export
12

Y

Thu
nhập

Tiếng Anh
Price
Quantity
Quantity
Demanded
Quantity
Supplied
Tax

Income

2

22/09/2017

3.2. Hàm cho bằng biểu thức giải tích:

II. Hàm số:

Một hàm số f xác định trên một tập hợp D   là
một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một số
thực y xác định duy nhất

f :D
x  y  f ( x)

D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.
x: biến độc lập (biến số).
y: biến phụ thuộc (hàm).
f(x): giá trị của hàm số f tại x.
f ( D)  { y   y  f ( x), x  D}: Tập giá trị (TGT)
của hàm số f.
13

Chú ý 2.1:
-Nếu cho hàm số y=f(x) mà không nói gì về
TXĐ của hàm số thì TXĐ của nó là tập hợp
những điểm x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
-TGT của hàm số y=f(x) là tập hợp các giá trị
y để pt y=f(x) có nghiệm x  D.
Ví dụ 2.1: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số

y  x 2  1.

14

III. Một số phương pháp cho hàm số:

Tính: (1100);  (1400).

1100

1200

1300

1400

27

28

31

27

15

3.3. Hàm số xác định từng khúc:
Ví dụ 3.3: Cho hàm số

 x2
neáu x  1,

f ( x)  
2 x  1 neáu x  1.


Tính f(-2); f(1); f(3).

16

Ví dụ 3.4: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá
3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100
km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì
ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả
thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và
C(x) là chi phí thuê xe.
a) Viết hàm số C(x).
b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy
được 50km.
c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy
được 150km.
17

3.1. Liệt kê tập hợp các cặp:
Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp muốn biết lợi nhuận
có quan hệ như thế nào với sản lượng nên lập bảng
theo dõi và có được kết quả sau
Sản lượng Q
1000
(kg)
Lợi nhuận 
25
(triệu đồng)

Ví dụ 3.2: Cho hàm số y  x 2  2 x  3. Tính y(1).

IV. Đồ thị của hàm một biến số:

Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x,y)
của mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bất
kỳ lấy từ TXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương
ứng của hàm số tại điểm x.
Chú ý: Hình chiếu của đồ thị lên trục hoành chính là
TXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT.
TGT

18

TXĐ

3

22/09/2017

V. Các hàm số cơ bản:

5.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản:
Hàm hằng: y  C .

Hàm lũy thừa: y  x (  ).
x
Hàm mũ: y  a (0  a  1).
Hàm logarit: y  log a x (0  a  1).
Hàm lượng giác:

y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x.

Hàm lượng giác ngược:

y  arcsin x, y  arccos x, y  arctan x, y  arccot x
19

5.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo
thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản.
Ví dụ 5.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp các
dạng hàm số sơ cấp sau
Hàm đa thức (hàm nguyên):

y  an x n  an1 x n1  ...  a0 .

Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):
P( x )
y
Q( x )
P(x) và Q(x) là các đa thức.
20

5.3. Hàm hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của
biến số u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến
số x. Khi đó
y = f(u) = f(g(x))
là hàm số hợp của biến số x thông qua biến số
trung gian u. Ký hiệu là ( f  g )( x )  f  g ( x )  .
Ví dụ 5.2: Cho y  f (u )  sin u ,

5.4. Hàm ngược: Cho hàm số y = f(x) có TXĐ là X
và TGT là Y. Nếu với mỗi giá trị y0  Y chỉ tồn tại duy
nhất một giá trị x0  X sao cho f ( x0 )  y0 , nghĩa là
pt f ( x )  y0 chỉ có 1 nghiệm trong tập X thì từ hệ
thức y = f(x) ta có thể xác định được một hệ thức
tính được x theo y, ký hiệu là x  f 1 ( y ).
Khi đó hàm số x  f 1 ( y ), y  Y được gọi là hàm
ngược của hàm số y  f ( x ), x  X .
Ví dụ 5.3:
a) Hàm số y  x  2 có hàm ngược là x  y  2.
2
b) Hàm số y  x không có hàm ngược.
c) Tìm hàm ngược của hàm số y  x 2 , x    .
d) Tìm hàm ngược của hàm số y  x 2 , x    .
22

5.5. Một số hàm số một biến số trong kinh tế:

Hàm sản xuất: Q  f ( L ) , Q: sản lượng, L: lao động.
Hàm doanh thu:R  R(Q ).
Hàm chi phí:C  C (Q ).

Hàm lợi nhuận:   (Q ).
Hàm cung: Qs  S ( P ).
Hàm cầu: QD  D ( P ).

23

§2. Giới hạn của hàm số

u  g ( x)  x 2  4 x  5.

Khi đó, hàm số hợp

y  ( f  g )( x )  f ( g ( x))  sin( x 2  4 x  5).
21

24

4

22/09/2017

I. Định nghĩa về giới hạn của hàm số:

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập
D và x0  D hoặc x0  D. Ta nói hàm số f(x) có
giới hạn là L khi x  x0 (L, x0 hữu hạn),
ký hiệu là
lim f ( x )  L

   0,   0 : x  D, 0  x  x0    f ( x)  L   .
x  x0

Định nghĩa 1.2
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L (L có thể là  ) khi
x  x0 (x0 hữu hạn) và x  x0 thì ta nói f(x) có
giới hạn bên phải tại x0. Ký hiệu

lim f ( x )  L.


x  x0

▪ Nếu f(x) có giới hạn là L (L có thể là  ) khi
x  x0 (x0 hữu hạn) và x  x0 thì ta nói f(x) có
giới hạn bên trái tại x0. Ký hiệu

lim f ( x)  L.


x  x0
25

Ngoài ra, ta còn có các định nghĩa giới hạn mở rộng
sau

lim f ( x)  L

x

   0, M  0 : x  D, x  M  f ( x )  L   .

lim f ( x)  L

x

   0, m  0 : x  D, x  m  f ( x)  L   .

lim f ( x)  

x  x0

 M  0,   0 : x  D,0  x  x0    f ( x)  M .

lim f ( x)  

x  x0

 M  0,   0 : x  D,0  x  x0    f ( x)   M .
26

lim f ( x)  

x 

 P  0, M  0 : x  D, x  M  f ( x)  P.

lim f ( x)  

x 

 P  0, M  0 : x  D, x  M  f ( x)   P.

lim f ( x)  

x

 P  0, M  0 : x  D, x   M  f ( x)  P.

lim f ( x)  

x 

 P  0, M  0 : x  D, x   M  f ( x)   P.
27

28

Chú ý 1.1:
 x  x0  x  x0 .

 x  x0  x  x0 và x  x0 .

 x  x0  x  x0 và x  x0 .



lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L.

x  x0

x  x0

x  x0

lim f ( x)  L1 


lim f ( x)  L2   lim f ( x) không tồn tại.
x  x0
 x x0
L1  L2



x  x0

29

II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản:

2.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ:
Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm x0 thuộc
TXĐ của nó được tính theo công thức
lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0

Ví dụ 2.1: Tính các giới hạn sau

a) lim( x 2  x  2).
x 1

sin x  3
.
cos x
c) lim x  2.
b) lim
x 0

x 2

30

5