Xem mẫu
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
PHẦN II. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
TOÁN CAO C P C1 Chương 4. Đại số tuyến tính
CAO Đ NG Tài liệu tham khảo
PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp
(bậc Cao đẳng)
S ti t: 30 – ĐH Công nghiệp TP. HCM.
----- 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 1, 2
PHẦN I. GIẢI TÍCH (Dùng cho SV Cao đẳng)
–NXB Giáo dục.
Chương 1. Hàm số một biến số
Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên
ThS. Đoà
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số
T i Slide bài gi ng Toán C1 CĐ t i
Toá C1
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
§1. Bổ túc về hàm số – Nếu f (x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2 thì f là đơn ánh.
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh.
§4. Hàm số liên tục – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.
…………………………….
VD 1.
§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
a) Hàm số f : ℝ → ℝ thỏa y = f (x ) = 2x là đơn ánh.
1.1. Khái niệm cơ bản
b) Hàm số f : ℝ → [0; +∞) thỏa f (x ) = x 2 là toàn ánh.
1.1.1. Định nghĩa hàm số
• Cho X ,Y ⊂ ℝ khác rỗng. c) Hsố f : (0; +∞) → ℝ thỏa f (x ) = ln x là song ánh.
Ánh xạ f : X → Y với x ֏ y = f (x ) là một hàm số. • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu:
Khi đó: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df .
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là: • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu:
{
G = y = f (x ) x ∈ X . } f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df .
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
Nhận xét 1.1.3. Hàm số ngược
– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,
ký hiệu g = f −1 , nếu x = g(y ), ∀y ∈ G f .
1.1.2. Hàm số hợp
• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg ⊂ D f . Nhận xét
Khi đó, hàm số h(x ) = ( f g )(x ) = f [g(x )] được gọi là – Đồ thị hàm số y = f −1(x )
hàm số hợp của f và g. đối xứng với đồ thị của
hàm số y = f (x ) qua
Chú ý đường thẳng y = x .
(f g )(x ) ≠ (g f )(x ).
VD 2. Hàm số y = 2(x 2 + 1)2 − x 2 − 1 là hàm hợp của VD 3. Cho f (x ) = 2x thì
f (x ) = 2x 2 − x và g(x ) = x 2 + 1 . f −1(x ) = log2 x , mọi x > 0.
Toán cao c p C1 Cao đ ng 1
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.2. Hàm số y = arccos x
1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số y = cos x có hàm ngược trên [0; π] là
π π
• Hàm số y = sin x có hàm ngược trên − ; là f −1 : [−1; 1] → [0; π]
2 2
π π x ֏ y = arccos x .
f −1 : [−1; 1] → − ;
2 2 π
VD 5. arccos 0 = ;
x ֏ y = arcsin x . 2
arccos(−1) = π ;
VD 4. arcsin 0 = 0 ;
3 π −1 2π
π arccos = ; arccos = .
arcsin(−1) = − ; 2 6 2 3
2 Chú ý
3 π π
arcsin = . arcsin x + arccos x = , ∀x ∈ [−1; 1].
2 3 2
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
1.2.3. Hàm số y = arctan x 1.2.4. Hàm số y = arccot x
π π
• Hàm số y = tan x có hàm ngược trên − ; là
• Hàm số y = cot x có hàm ngược trên (0; π) là
π π 2 2
f : ℝ → − ;
−1
f −1 : ℝ → (0; π)
2 2
x ֏ y = arctan x . x ֏ y = arc cot x .
π
VD 6. arctan 0 = 0 ; VD 7. arc cot 0 = ;
π 2
arctan(−1) = − ; 3π
4 arc cot(−1) = ;
π 4
arctan 3 = . π
3 arc cot 3 = .
6
π π
Quy ước. arctan (+∞) = , arctan (−∞) = − . Quy ước. arc cot(+∞) = 0, arc cot(−∞) = π.
2 2
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ ,
2.1. Các định nghĩa
ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm
Định nghĩa 1 x →+∞
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x ) − L < ε .
hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu
• Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho
lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm được δ > 0 x →−∞
x →x 0 trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho
sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) − L < ε . khi x < N thì f (x ) − L < ε .
Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới • Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x → x 0 , ký hiệu
hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) = +∞ , nếu ∀ M > 0 lớn tùy ý cho trước ta
lim f (x ) = L , nếu mọi dãy {xn} trong (a ; b ) \ {x 0 } mà x →x0
x →x 0
tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì
x n → x 0 thì lim f (x n ) = L . f (x ) > M .
n →∞
Toán cao c p C1 Cao đ ng 2
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
• Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = − ∞ , nếu ∀ M < 0 có trị 2.2. Tính chất
x →x0
tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được δ > 0 sao cho Cho lim f (x ) = a và lim g (x ) = b . Khi đó:
x →x 0 x →x 0
khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) < M .
1) lim [C .f (x )] = C .a (C là hằng số).
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) x →x 0
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0 2) lim [ f (x ) ± g (x )] = a ± b .
x →x 0
với x > x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu
hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . 3) lim [ f (x )g (x )] = ab ;
x →x0 +0 x →x 0
x →x+
0
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0
f (x ) a
4) lim = , b ≠ 0;
với x < x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu g (x )
x →x 0 b
hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . 5) Nếu f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) thì a ≤ b .
x → x 0 −0 x →x−
0 6) Nếu f (x ) ≤ h (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) và
Chú ý. lim f (x ) = L ⇔ lim− f (x ) = lim+ f (x ) = L . lim f (x ) = lim g (x ) = L thì lim h (x ) = L .
x →x0 x →x x→x
0 0
x →x 0 x →x 0 x →x 0
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
Định lý an x n + an −1x n −1 + ... + a0
• Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì: 2) Xét L = lim , ta có:
x →x 0 x →x 0 x →∞ b x m
m
+ bm−1x m−1 + ... + b0
lim [u(x )]v (x ) = a b . an
x →x 0 a) L = nếu n = m ;
2x bn
2x x −1 b) L = 0 nếu n < m ;
VD 1. Tìm giới hạn L = lim
. c) L = ∞ nếu n > m .
x →∞ x + 3
sin αx tan αx
A. L = 9 ; B. L = 4 ; C. L = 1; D. L = 0 . 3) lim = lim = 1.
αx → 0 α x αx → 0 αx
4) Số e:
Các kết quả cần nhớ
x 1
1
1) lim = −∞, lim = +∞.
1 1 + 1 = lim (1 + x )x = e.
lim
− + x →±∞
x
x →0
x →0 x x →0 x
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
2x
3x §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
VD 2. Tìm giới hạn L = lim 1 +
.
x →∞
2x + 1
2
3.1. Đại lượng vô cùng bé
A. L = ∞ ; B. L = e 3 ; C. L = e 2 ; D. L = 1. a) Định nghĩa
• Hàm số α(x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)
1 khi x → x 0 nếu lim α(x ) = 0 (x0 có thể là vô cùng).
x →x 0
VD 3. Tìm giới hạn L = lim 1 + tan2 x
x →0 +
( ) 4x
.
A. L = ∞ ; B. L = 1; C. L = 4 e ; D. L = e . ( )
VD 1. α(x ) = tan3 sin 1 − x là VCB khi x → 1− ;
1
β(x ) = là VCB khi x → +∞ .
ln2 x
Toán cao c p C1 Cao đ ng 3
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
c) So sánh các VCB
b) Tính chất của VCB • Định nghĩa
1) Nếu α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 thì α(x )
Cho α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 , lim = k.
x →x 0 β(x )
α(x ) ± β(x ) và α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 .
Khi đó:
2) Nếu α(x ) là VCB và β(x ) bị chận trong lân cận x 0 – Nếu k = 0 , ta nói α(x ) là VCB cấp cao hơn β(x ),
thì α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) .
– Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) là VCB cấp thấp hơn β(x ).
3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), trong đó α(x ) là
x →x 0 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB
VCB khi x → x 0 . cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB
tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) .
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
VD 2. • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0
• 1 − cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x → 0 vì: 1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )).
x 2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) thì α(x ) ∼ γ(x ).
2 sin 2 3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2(x ) ∼ β2(x ) thì
1 − cos x 2 = 1.
lim = lim
x →0 x 2 x →0 x 2 2 α1(x )α 2 (x ) ∼ β1(x )β2(x ).
4
4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) thì α(x ) + β(x ) ∼ β(x ).
2
• sin2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 khi x → 1. • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Cho α(x ), β(x ) là tổng các VCB khác cấp khi x → x 0
α(x )
thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp
x →x 0 β(x )
nhất của tử và mẫu.
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
x 3 − cos x + 1 ln(1 − 2x sin2 x )
VD 3. Tìm giới hạn L = lim . VD 4. Tính giới hạn L = lim .
x →0 x4 + x2 x →0 sin x 2 . tan x
• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0
1) sin x ∼ x ; 2) tan x ∼ x ; VD 5. Tính L = lim
sin ( )
x + 1 − 1 + x 2 − 3 tan2 x
.
x →0 sin x 3 + 2x
3) arcsin x ∼ x ; 4) arctan x ∼ x Chú ý
x2 Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho
5) 1 − cos x ∼ ; 6) e − 1 ∼ x ;
x
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu
2
x tử hoặc mẫu của phân thức.
7) ln(1 + x ) ∼ x ; 8) n 1 + x − 1 ∼ . e x + e −x − 2 (e x − 1) + (e −x − 1)
n VD 6. lim = lim
x →0 x2 x →0 x2
Chú ý. Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta có thể thay x x + (−x )
bởi u(x ) trong 8 công thức trên. = lim = 0 (Sai!).
x →0 x2
Toán cao c p C1 Cao đ ng 4
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
3.2. Đại lượng vô cùng lớn b) So sánh các VCL
a) Định nghĩa • Định nghĩa
• Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) f (x )
khi x → x 0 nếu lim f (x ) = ∞ (x0 có thể là vô cùng). Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x → x 0 , lim =k.
x →x 0
x →x 0 g(x )
Khi đó:
cos x + 1 – Nếu k = 0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ).
VD 7. là VCL khi x → 0 ;
2x 3 − sin x
x3 + x −1 – Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ).
là VCL khi x → +∞ .
x 2 − cos 4x + 3 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
cùng cấp.
Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x → x 0 thì
– Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
1
là VCB khi x → x 0 . tương đương. Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) .
f (x )
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
VD 8. • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi x → x 0
3 1
• là VCL khác cấp với khi x → 0 vì: f (x )
3 3
x 2x + x thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất
x →x 0 g(x )
3 1 2x 3 + x x
lim :
= 3 lim = 3 lim = ∞. của tử và mẫu.
x →0
x 3 2x 3 + x
x →0 3 x →0 x 3
x
VD 9. Tính các giới hạn:
3
• 2 x + x − 1 ∼ 2 x khi x → +∞ . 3
x 3 − cos x + 1 x 3 − 2x 2 + 1
A = lim ; B = lim .
3
x →∞ 3x + 2x x →+∞
2 x 7 − sin2 x
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại
4.1. Định nghĩa x0 là hàm số liên tục tại x0.
• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.
• Số x 0 ∈ D f được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và
∃ε > 0 : ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) \ {x 0 } thì x ∉ Df . nhỏ nhất trên đoạn đó.
4.3. Hàm số liên tục một phía
• Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu lim f (x ) = f (x 0 ). • Định nghĩa
x →x 0
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu
• Hàm số f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi lim f (x ) = f (x 0 ) ( lim f (x ) = f (x 0 )).
− +
x →x 0 x →x 0
điểm x 0 ∈ X .
• Định lý
Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu
Quy ước
lim f (x ) = lim f (x ) = f (x 0 ).
− +
• Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cô lập của f(x). x →x 0 x →x 0
Toán cao c p C1 Cao đ ng 5
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s
3 tan2 x + sin2 x
4.4. Phân loại điểm gián đoạn
, x >0
VD 1. Cho hàm số f (x ) =
2x .
• Nếu hàm số f (x ) không liên tục tại x 0 thì x 0 được gọi
α, x ≤ 0
là điểm gián đoạn của f (x ).
Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là:
• Nếu tồn tại các giới hạn:
1 3
A. α = 0 ; B. α = ; C. α = 1; D. α = . − +
lim f (x ) = f (x 0 ), lim f (x ) = f (x 0 )
2 2 −
x →x 0 +
x →x 0
ln(cos x )
,x ≠0 nhưng −
f (x 0 ), +
f (x 0 )
và f (x 0 ) không đồng thời bằng
VD 2. Cho hàm số f (x ) = arctan2 x + 2x 2 .
nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một.
2α − 3, x = 0
Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là: Ngược lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai.
17 17 3 3 ……………………………………………………………………………
A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = .
12 12 2 2
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
§1. Đạo hàm Nhận xét. Do ∆x = x − x 0 nên:
§2. Vi phân
§3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f (x ) − f (x 0 )
§4. Công thức Taylor f ′(x 0 ) = lim .
§5. Quy tắc L’Hospital x →x 0 x − x0
………………………………………………………
§1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía
1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận phải
a) Định nghĩa đạo hàm f (x ) − f (x 0 )
(x 0 ; b ) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có)
Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận (a ; b) của +
x →x 0 x − x0
x 0 ∈ (a ; b ). Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của y = f (x ) tại x 0 .
∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) + −
lim = lim Ký hiệu là f ′(x 0 ). Tương tự, f ′(x 0 ).
∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x
(nếu có) được gọi là đạo hàm của y = f (x ) tại x 0 . Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi
− +
Ký hiệu là f ′(x 0 ) hay y ′(x 0 ). f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ).
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
∆y
• Nếu tỉ số → ∞ khi ∆x → 0 thì ta nói y = f (x ) có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:
∆x (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ; (uv )′ = u ′v + uv ′ ;
đạo hàm vô cùng tại x 0 .
k ′ u ′ u ′v − uv ′
• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng = −kv ′ , k ∈ ℝ ;
=
.
một phía.
v v 2
v
v2
VD 1. Cho f (x ) = 3 x ⇒ f ′(0) = ∞, 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]:
f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ . f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ).
Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y = y(x ):
Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp 1
x ′(y ) = .
tuyến tại x 0 của đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy . y ′(x )
Toán cao c p C1 Cao đ ng 6
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
′
Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp
( )
7) e x = ex ; ( )′ = a .ln a ;
8) a x x
( )′ = α.x
1) x α α−1
; 2) ( x )′ = 2 1x ;
(
9) ln x )′ = x ;
1
(
10) loga x )′ = x .ln a ;
1
3) (sin x )′ = cos x ; 4) (cos x )′ = − sin x ; −1
11) (arcsin x )′ = 12)(arccos x )′ =
1
; ;
1− x2 1 − x2
5) (tan x )′ = 6) (cot x )′ = −
1 1
;
2
cos x sin2 x −1
13) (arctan x )′ = 14) (arc cot x )′ =
1
= 1 + tan2 x ; ; .
1 + x2 1 + x2
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số 1.4. Đạo hàm cấp cao
• Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số • Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) và f ′(x ) có đạo hàm thì
x = x (t ), y = y(t ). Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược
( f ′(x ))′ = f ′′(x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ).
và hàm số ngược này có đạo hàm thì: • Tương tự ta có:
y ′(t ) y′ ′
y ′(x ) =
x ′(t )
′
hay yx = t .
x t′ ( )
f (n )(x ) = f (n −1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).
x = 2t 2 − 1
VD 2. Tính y ′(x ) của hàm số cho bởi , t ≠ 0. VD 4. Cho hàm số f (x ) = sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0).
y = 4t 3
A. f (6)(0) = 32 ; B. f (6)(0) = −32 ;
x = et
C. f (6)(0) = −16 ; D. f (6)(0) = 0 .
′
VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi .
2
y = t − 2t
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn
VD 5. Tính f (n )(x ) của hàm số f (x ) = (1 − x )n +1 .
• Cho phương trình F (x , y ) = 0 (*).
Nếu y = y(x ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó
sao cho khi thế y(x ) vào (*) ta được đồng nhất thức thì
y(x ) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*).
1
VD 6. Tính y (n ) của hàm số y = . • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được Fx′ + Fy′.yx = 0 .
′
2
x − 3x − 4
Fx′
′
Vậy yx = − , F ′ ≠ 0.
Fy′ y
y ′(x ) = yx được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn y(x ).
′
Toán cao c p C1 Cao đ ng 7
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
VD 7. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi xy − e x + e y = 0 . §2. VI PHÂN
Tính y ′(x ). 2.1. Vi phân cấp một
VD 8. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • Hàm số y = f (x ) được gọi là khả vi tại x 0 ∈ D f nếu
xy − e x + ln y = 0 (*). Tính y ′(0). ∆f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới
VD 9. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: dạng: ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )
y với A là hằng số và 0(∆x ) là VCB khi ∆x → 0 .
ln x 2 + y 2 = arctan . Tính y ′(x ).
x Khi đó, đại lượng A.∆x được gọi là vi phân của hàm số
Chú ý y = f (x ) tại x0. Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ).
Ta có thể xem hàm ẩn y(x ) như hàm hợp u(x ) và thực
hiện đạo hàm như hàm số hợp. Nhận xét
∆f (x 0 ) 0(∆x )
VD 10. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )⇒ =A+
∆x ∆x
y 3 + (x 2 + 1)y + x 4 = 0 . Tính y ′(x ).
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
∆f (x 0 ) 2.2. Vi phân cấp cao
⇒ →0 A ⇒ f ′(x 0 ) = A .
∆x
→
∆x • Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì
⇒ df (x 0 ) = f ′(x 0 ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x . d n y = d (d n −1y ) = y (n )dx n
• Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . được gọi là vi phân cấp n của hàm y = f (x ).
Vậy df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx . VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y = ln(sin x ).
VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x ) = x 2e 3x tại x 0 = −1. VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y = e 2x .
π
VD 6. Tính vi phân cấp 2 của f (x ) = tan x tại x 0 = .
VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y = arctan(x 2 + 1) . 4
Chú ý
VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = 2 ln(arcsin x )
. Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức
d ny = y (n )dx n không còn đúng nữa.
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI 3.1.3. Định lý Cauchy
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi
3.1. Các định lý trong (a;b ) và g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b).
Khi đó, ∃c ∈ (a;b) sao cho:
3.1.1. Bổ đề Fermat
Cho hàm số f (x ) xác định trong (a ;b ) và có đạo hàm tại f (b) − f (a ) f ′(c)
= .
x 0 ∈ (a ;b ). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) g(b) − g(a ) g ′(c)
tại x 0 trong (a ;b) thì f ′(x 0 ) = 0 . 3.1.4. Định lý Lagrange
Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong (a;b ).
3.1.2. Định lý Rolle
Khi đó, ∃c ∈ (a;b) sao cho:
Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ] và khả vi trong
f (b ) − f (a )
(a ;b ). Nếu f (a ) = f (b ) thì ∃c ∈ (a ;b ) sao cho f ′(c ) = 0 . = f ′(c ).
b −a
Toán cao c p C1 Cao đ ng 8
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
3.2. Cực trị của hàm số • Nếu f (x ) đơn điệu trong (a;b ) và liên tục trong (a;b ] thì
3.2.1. Hàm số đơn điệu f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trường hợp khác tương tự).
a) Định nghĩa b) Định lý
Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b ). Khi đó: Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a;b). Khi đó:
• f (x ) được gọi là tăng (đồng biến) trong (a;b ) nếu • Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a ;b ) thì f (x ) tăng trong (a;b ).
f (x1 ) − f (x 2 ) • Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b ) thì f (x ) giảm trong (a;b ).
> 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a ;b) và x1 ≠ x 2 .
x1 − x 2 VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của y = ln(x 2 + 1).
• f (x ) được gọi là giảm (nghịch biến) trong (a;b ) nếu x2 + 1
VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của f (x ) = .
f (x1 ) − f (x 2 ) (x − 1)2
< 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 . 1
x1 − x 2 VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của y = .
• f (x ) được gọi là đơn điệu trong (a;b ) nếu x 2 − 2x
x 3 −4
f (x ) tăng hay giảm trong (a;b ). VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của y = e .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
3.2.2. Cực trị 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
a) Định nghĩa
a) Định nghĩa
Nếu f (x ) liên tục trong (a ;b) chứa x 0 và f (x 0 ) < f (x )
Cho hàm số y = f (x ) có MXĐ D và X ⊂ D .
hay f (x 0 ) > f (x ), ∀x ∈ (a;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực tiểu • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f (x ) trên X nếu:
hay cực đại tại x 0 . ∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = M và f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X .
b) Định lý Ký hiệu là: M = max f (x ).
x ∈X
Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a ;b) chứa x 0
• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x ) trên X nếu:
thỏa f ′(x 0 ) = ... = f (2n −1)(x 0 ) = 0 và f (2n )(x 0 ) ≠ 0 . ∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = m và f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X .
• Nếu f (2n )(x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 . Ký hiệu là: m = min f (x ).
x ∈X
• Nếu f (2n )(x 0 ) < 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 . Chú ý
VD 5. Tìm cực trị (nếu có) của f (x ) = x , f (x ) = x . 4 3 • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X ⊂ D .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
• Nếu M = max f (x ) và m = min f (x ) thì: VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
x ∈X x ∈X
m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X . 3
f (x ) = x 4 − x 2 − x + 3 trên đoạn [0; 2].
2
b) Phương pháp tìm max – min Chú ý
Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] • Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b ] thì ta phải tìm MXĐ
Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ]. của hàm số trước khi làm bước 1.
Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước sau: • Có thể đổi biến số t = t (x ) và viết y = f (x ) = g(t (x )).
x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ]
Gọi T là miền giá trị của hàm t (x ) thì:
• Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n
max f (x ) = max g(t ), min f (x ) = min g(t ).
nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). x ∈X t ∈T x ∈X t ∈T
• Bước 2. Tính f (a ), f (x 1 ),..., f (x n ), f (b). VD 7. Tìm max, min của f (x ) = −x 2 + 5x + 6 .
• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã sin x + 1
tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm. VD 8. Tìm max, min của y = .
sin x + sin x + 1
2
Toán cao c p C1 Cao đ ng 9
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) 2) Nếu min{f (x 1 ),..., f (x n )} < min{L1, L2 } thì
Cho hàm y = f (x ) liên tục trên (a; b) (a, b có thể là ∞ ). min f = min{f (x 1 ),..., f (x n )} .
x ∈(a ;b )
Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước: 3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt
x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b )
• Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n max (hoặc min).
nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bước 2. Tính f (x 1 ),..., f (x n ) và hai giới hạn x3
f (x ) = 2 trên khoảng (1; +∞).
L1 = lim f (x ), L2 = lim f (x ). x −1
+
x →a −
x →b Chú ý
• Bước 3. Kết luận: Ta có thể lập bảng biến thiên của f (x ) thay cho bước 3.
1) Nếu max{f (x 1 ),..., f (x n )} > max{L1, L2 } thì x
VD 10. Tìm max, min của f (x ) = .
max f = max{f (x 1 ),..., f (x n )}. x + 2 −1
2
x ∈(a ;b ) ……………………………………………………………………
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
§4. CÔNG THỨC TAYLOR Vậy:
n
f (k )(0) k
4.1. Công thức khai triển Taylor f (x ) = ∑ x + O(x n ).
a) Khai triển Taylor với phần dư Peano k =0 k!
• Cho hàm f (x ) liên tục trên [a ; b ] có đạo hàm đến cấp
n + 1 trên (a ; b ) với x , x 0 ∈ (a ; b) ta có: • Khai triển Maclaurin được viết lại:
f / (0) f // (0) 2
n f (k )(x 0 ) f (x ) = f (0) + x+ x + ...
f (x ) = ∑ k!
(x − x 0 ) + O((x − x 0 ) ).
k n
1! 2!
(n )
k =0 f (0) n
... + x + O(x n ).
b) Khai triển Maclaurin n!
• Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x 0 = 0 được
gọi là khai triển Maclaurin. VD 1. Khai triển Maclaurin của f (x ) = tan x đến x 3 .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ Chú ý
1 • Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta thay x trong các
1) = 1 + x + x 2 + ... + x n + 0(x n ).
1−x công thức trên bởi u(x ).
x x2 xn
2) e x = 1 + + + ... + + 0(x n ). 1
1! 2! n! VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số y = đến x 6 .
2
x x2 x3 x4 1 + 3x
3) ln(1 + x ) = − + − + ... + 0(x n ).
1 2 3 4 VD 3. Khai triển Maclaurin của y = ln(1 − 2x 2 ) đến x 6 .
x2 x4 x6
4) cos x = 1 − + − + ... + 0(x n ).
2! 4 ! 6! VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số y = 2x đến x 4 .
x x3 x5 x7
5) sin x = − + − + ... + 0(x n ). VD 5. Cho hàm số f (x ) = x cos 2x . Tính f (7)(0).
1! 3! 5! 7 !
Toán cao c p C1 Cao đ ng 10
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
§5. QUY TẮC L’HOSPITAL x 2 − sin2 x
Định lý (quy tắc L’Hospital) VD 2. Tìm giới hạn L = lim .
Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm x 2 .arctan2 x
x →0
1 1
x 0 và g ′(x ) ≠ 0 trong lân cận của x 0 (có thể g ′(x 0 ) = 0 ). A. L = 0 ; B. L = ∞ ; C. L = ; D. L = .
2 3
f (x ) 0 ∞
Nếu lim có dạng hoặc thì:
x →x 0 g(x ) 0 ∞
lim
f (x )
= lim
f ′(x )
. x → 0+
( )
VD 3. Tìm giới hạn L = lim x 3 ln x (dạng 0 × ∞ ).
x →x 0 g (x ) x →x 0 g ′(x )
Chú ý 1
Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. VD 4. Tìm giới hạn L = lim x x −1 (dạng 1∞ ).
x →1
e x + e −x − 2
VD 1. Tìm giới hạn L = lim .
x →0 x2
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
§1. Tích phân bất định Tính chất
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định 1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ
§4. Tích phân suy rộng
………………………… 2) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH d
dx ∫
3) f (x )dx = f (x )
1.1. Định nghĩa
• Hàm số F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên 4) ∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx .
khoảng (a; b ) nếu F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b ).
MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
Ký hiệu ∫ f (x )dx (đọc là tích phân). 1) ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ
Nhận xét
• Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C cũng là x α+1
2) ∫ x αdx = + C , α ≠ −1
nguyên hàm của f (x ). α +1
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
dx dx x −a
3) ∫ x
= ln x + C ; 4) ∫ x
= 2 x +C 13)
dx
∫ x 2 −a2 =
1
ln +C
2a x + a
ax
∫ e dx = e + C ; ∫ a dx = ln a + C
x x x
5) 6) dx x
14) ∫ sin x
= ln tan + C
2
7) ∫ cos xdx = sin x + C ; 8) ∫ sin xdx = − cos x + C
dx dx dx x π
9) ∫ = tan x + C ; 10) ∫ = − cot x + C 15) ∫ = ln tan + + C
cos2 x sin2 x cos x 2 4
dx 1 x
11) ∫ x 2 + a 2 = a arctan a + C 16) ∫
dx
= ln x + x 2 + a + C
2
dx x x +a
12) ∫ = arcsin
a
+C, a > 0
a2 − x 2
Toán cao c p C1 Cao đ ng 11
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
dx 1.2. Phương pháp đổi biến
VD 1. Tính I = ∫
4 − x2
. a) Định lý
1 2+x 1 2−x Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C với ϕ(t ) khả vi thì:
A. I = ln +C ; B. I = ln +C ;
2−x 4 2+x
4
∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C .
1 x −2 1 x +2
C. I = ln +C ; D. I = ln +C . dx
2 x +2 2 x −2 VD 3. Tính I = ∫ x ln x + 1
.
dx
VD 4. Tính I = ∫ .
dx x 3 − ln 2 x
VD 2. Tính I = ∫ x2 − x − 6
.
dx
VD 5. Tính I = ∫ x (x 3 + 3)
.
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1.3. Phương pháp từng phần
a) Công thức
VD 8. Tính I = ∫ cos3 x esin xdx .
∫ u(x )v ′(x )dx = u(x )v(x ) − ∫ u ′(x )v(x )dx b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp
hay ∫ udv = uv − ∫ vdu. αx
• Đối với dạng tích phân ∫ P(x )e dx , ta đặt:
VD 6. Tính I = ∫ x ln xdx . u = P (x ), dv = e αx dx .
x α
VD 7. Tính I = ∫ 2x
dx . • Đối với dạng tích phân ∫ P(x )ln x dx , ta đặt:
Chú ý
u = lnα x , dv = P (x )dx .
Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước
khi lấy từng phần.
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất
b b
2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; b ].
Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ
a a
x 0 = a < x1 < ... < xn −1 < xn = b . b b b
Lấy điểm ξk ∈ [x k −1; x k ] tùy ý (k = 1, n ).
2) ∫ [ f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx
n a a a
Lập tổng tích phân: σ = ∑ f (ξk )(x k − x k −1 ).
a b a
k =1
3) ∫ f (x )dx = 0; ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx
a a b
Giới hạn hữu hạn (nếu có) I = lim σ được gọi b c b
max(x k −x k −1 )→ 0
k
là tích phân xác định của f (x ) trên đoạn [a ; b ].
4) ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx , c ∈ [a ; b ]
a a c
b b
Ký hiệu là I = ∫ f (x )dx . 5) f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ [a ; b ] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0
a a
Toán cao c p C1 Cao đ ng 12
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
b b
2.2. Công thức Newton – Leibnitz
6) f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a ; b ] ⇒ ∫ f (x )dx ≤ ∫ g(x )dx • Nếu f (x ) liên tục trên [a ; b ] và F (x ) là một nguyên hàm
a a
b b tùy ý của f (x ) thì:
7) a < b ⇒ ∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx b
b
a a ∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a ).
8) m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a; b ] a
b Nhận xét
⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) 1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1.
a 2) Hàm số f (x ) liên tục và lẻ trên [−α; α ] thì
9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì
α
∫
b
f (x )dx = 0 .
∃c ∈ [a; b ] : ∫ f (x )dx = f (c )(b − a ).
−α
a
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
3) Hàm số f (x ) liên tục và chẵn trên [−α; α ] thì: 3
dx
α α VD 1. Tính I = ∫ x 2 − 2x + 5 .
∫ f (x )dx = 2 ∫ f (x )dx . 1
−α 0
b
π
4) Để tính ∫ f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu của f (x ) để
VD 2. Tính I = ∫ x cos x dx .
a
0
tách f (x ) ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ.
Đặc biệt
1
b b
∫ f (x ) dx = ∫ f (x )dx nếu f (x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b). VD 3. Tính I = ∫ x 2 + 1.sin3 x dx .
−1
a a
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
• Công thức Walliss §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
π π (n − 1)!!
, n leû 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng
2 2 n !!
∫ sin
n
xdx = ∫ cos xdx =
n
a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát
π (n − 1)!!
.
0 0 , n chaün
2
n !!
Trong đó:
0 !! = 1 !! = 1 ; 2 !! = 2; 3 !! = 3; 4 !! = 2 .4 ;
5 !! = 1 .3 .5; 6 !! = 2 .4 .6; 7 !! = 1 .3 .5 .7; ...
π S S
2
7 !! π 105π
∫ sin
8
VD 4. x dx = . = .
8!! 2 768
0 π
b d
2
S = ∫ f2 (x ) − f1 (x ) dx S = ∫ g 2 (y ) − g1 (y ) dy
∫ (cos
3 2
VD 5. Tính I = x − 1)cos x dx .
0 a c
Toán cao c p C1 Cao đ ng 13
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường x = y 2 và y = x − 2 .
các đường y = x 2 và y = x 4 .
1 2
A. S = ; B. S =
15 15
4 8
C. S = ; D. S = .
15 15
VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường y = e x − 1, y = e 2x − 3 và x = 0 .
1 ln 4 − 1 1 − ln 2 1
A. ln 4 − ; B. ; C. ; D. ln 2 −
2 2 2 2
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số 3.2. Tính độ dài l của đường cong
Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình a) Đường cong có phương trình tổng quát
x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [α; β] thì: Cho cung AB có phương trình y = f (x ), x ∈ [a ; b ] thì:
β b
S = ∫ y(t ).x ′(t ) dt . l =∫ 1 + [ f ′(x )]2 dx .
AB
α a
x2
VD 5. Tính độ dài cung parabol y = từ gốc tọa độ
x2 y2 2
VD 4. Tính diện tích hình elip S : + ≤ 1.
1
a2 b2 O(0; 0) đến điểm M 1;
.
2
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
b) Đường cong có phương trình tham số 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay
Cho cung AB có phương trình tham số a) Vật thể quay quanh Ox
x = x (t ) Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
, t ∈ [α; β] thì: y = f (x ), y = 0 , x = a , x = b quay quanh Ox là:
y = y(t )
b
β V = π∫ [ f (x )]2 dx .
l = ∫ [x ′(t )]2 + [y ′(t )]2 dt . a
AB
α
VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi
VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình: y = ln x , y = 0 , x = 1, x = e quay xung quanh Ox.
x = t 2 + 1
, t ∈ 0; 1 .
y = ln t + t 2 + 1 VD 8. Tính V do (E ) :
x2
+
y2
= 1 quay quanh Ox.
a2 b2
Toán cao c p C1 Cao đ ng 14
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
b) Vật thể quay quanh Oy Giải. Phương trình parabol y = 2x − x 2 được viết lại:
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
y = 2x − x 2 ⇔ (x − 1)2 = 1 − y
x = g(y ), x = 0 , y = c và y = d quay quanh Oy là:
x = 1 + 1 − y , x ≥ 1
d
⇔ .
V = π ∫ [g(y )]2dy. x = 1 − 1 − y , x < 1
c
1 2
( ) − (1 − )
2
VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng Vậy V = π∫ 1 + 1 − y 1 − y dy
S giới hạn bởi y = 2x − x 2 , y = 0 0
quay xung quanh Oy. 1 1
8π 8π
= 4π∫ 1 − y dy = − (1 − y )3 = .
3 0 3
0
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
Chú ý §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
4.1. Tích phân suy rộng loại 1
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
4.1.1. Định nghĩa
y = f (x ), y = 0 , x = a và x = b quay xung quanh Oy
• Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; +∞), khả tích trên
còn được tính theo công thức:
mọi đoạn [a ; b ] (a < b ).
b
V = 2π ∫ xf (x )dx (*). b
a
Giới hạn (nếu có) của ∫ f (x )dx khi b → +∞ được gọi
a
là tích phân suy rộng loại 1 của f (x ) trên [a ; +∞).
VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Ký hiệu:
+∞ b
∫ f (x )dx = lim
b →+∞
∫ f (x )dx .
a a
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
+∞
• Định nghĩa tương tự: dx
b b VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = ∫ xα
.
∫ f (x )dx = lim
a →−∞
∫ f (x )dx ;
Giải • Trường hợp α = 1:
1
−∞ a b
+∞ b dx b
∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx .
I = lim
b →+∞
∫ x
= lim ln x = +∞ (phân kỳ).
b →+∞ 1
b →+∞ 1
−∞ a →−∞ a
• Trường hợp α khác 1:
b
1
dx b
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân I = lim ∫ xα =lim x 1−α
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. b →+∞ 1 − α b →+∞ 1
1
1
, α >1
( )
• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo 1
sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). = lim b1−α − 1 = − 1
α
1 − α b →+∞ + ∞, α < 1.
Toán cao c p C1 Cao đ ng 15
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
Chú ý
Vậy
• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (+∞), ta dùng công thức:
1 x →+∞
Với α > 1 : I = (hội tụ). +∞
α −1 +∞
Với α ≤ 1: I = +∞ (phân kỳ). ∫ f (x )dx = F (x )
a
.
a
• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (−∞), ta dùng công thức:
x →−∞
0 b
dx
VD 2. Tính tích phân I = ∫
b
−∞ (1 − x )
2
.
∫ f (x )dx = F (x )
−∞
.
−∞
• Tương tự:
+∞ +∞
dx +∞
VD 3. Tính tích phân I = ∫ 2
. ∫ f (x )dx = F (x )
−∞
.
−∞ 1 + x −∞
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ b) Tiêu chuẩn 2
a) Tiêu chuẩn 1 +∞ +∞
• Nếu 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞) và • Nếu ∫ f (x ) dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ (ngược lại
a a
+∞ +∞
không đúng).
∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ. • Các trường hợp khác tương tự.
a a
• Các trường hợp khác tương tự.
+∞
VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ e −x cos 3x dx .
+∞
10 1
VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ e −x dx .
1
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
c) Tiêu chuẩn 3 k = +∞
+∞
• Cho f (x ), g(x ) liên tục, luôn dương trên [a ; +∞) Nếu +∞
∫ g(x )dx phaân kyø
thì ∫ f (x )dx phân kỳ.
f (x )
a a
và lim = k . Khi đó:
x →+∞ g(x )
• Các trường hợp khác tương tự.
Nếu 0 < k < +∞ thì: +∞
dx
+∞ +∞ VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + x 2 + 2x 3
.
∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ. 1
a a Chú ý
+∞ +∞
• Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → +∞) thì
Nếu k = 0 và ∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ. +∞ +∞
a a ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx có cùng tính chất.
a a
Toán cao c p C1 Cao đ ng 16
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
+∞
dx 4.2. Tích phân suy rộng loại 2
VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + sin x + x
. 4.2.1. Định nghĩa
1 • Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; b ) và không xác định
+∞
tại b , khả tích trên mọi đoạn [a ; b − ε] (ε > 0).
dx
VD 8. Điều kiện của α để I = ∫ hội tụ là: b −ε
1
3
x . ln x + 1 α Giới hạn (nếu có) của ∫ f (x )dx khi ε → 0 được gọi là
3 1 a
A. α > 3 ; B. α > ; C. α > 2 ; D. α > . tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên [a ; b ).
2 2
Ký hiệu:
+∞ b b−ε
(x 2 + 1)dx
VD 9. Điều kiện của α để I = ∫ hội tụ? ∫ f (x )dx = lim
ε→0
∫ f (x )dx .
1 2x α + x 4 − 3 a a
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
• Định nghĩa tương tự:
b b
• Trường hợp α khác 1:
b b
b
∫ f (x )dx = lim
ε→ 0
∫ f (x )dx (suy rộng tại a );
I = lim ∫
dx
= lim ∫ x −αdx =
1
lim x 1−α
a a+ε ε→ 0 xα ε→ 0 1 − α ε→0
ε
b b −ε ε ε
b1−α
∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx (suy rộng tại a , b ).
a
ε→ 0
a+ε =
1
1−α
lim b
ε→0
1−α
(
−ε1−α
= 1 − α
, α 1.
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
b
dx Vậy
VD 10. Khảo sát sự hội tụ của I = ∫x α
, b > 0.
Với α < 1: I =
b1−α
(hội tụ).
0
Giải. • Trường hợp α = 1: 1−α
b
dx b Với α ≥ 1 : I = +∞ (phân kỳ).
I = lim ∫ = lim ln x = ln b − lim ln ε = +∞ .
+ ε
ε→ 0 +
x ε→0 ε→0+
ε
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1
3
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
3dx • Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1.
VD 11. Tính tích phân I = ∫ .
1 1 − 9x 2 Chú ý
6 b b
π π π
A. I = − ; B. I = ; C. I = ; D. I = +∞ .
• Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → b ) thì ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx
3 3 6 a a
có cùng tính chất (với b là cận suy rộng).
e
dx 1
x αdx
VD 12. Tính tích phân I = ∫ 3
. VD 14. Tích phân suy rộng I = ∫
1 x . ln 2 x 0 x (x + 1)(2 − x )
2 hội tụ khi và chỉ khi:
dx
VD 13. Tính tích phân I = ∫ x2 − x
. 1 1
A. α < −1; B. α < − ; C. α > − ; D. α ∈ ℝ .
1
2 2
Toán cao c p C1 Cao đ ng 17
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1 α
x +1 I → −∞ ( phaân kyø )
I
→ +∞ ( phaân kyø )
VD 15. Tích phân suy rộng I = ∫ dx 2) 1
hoặc 1
(x 2 + 1)sin x I 2 ≤ 0
I 2
≥0
0
phân kỳ khi và chỉ khi: thì I phân kỳ.
1 1
I → −∞ ( phaân kyø ) I
→ +∞ ( phaân kyø )
A. α ≤ −1; B. α ≤ − ; C. α ≥ − ; D. α ∈ ℝ . 3) 1
hoặc 1
2 2 I 2 > 0
I 2
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 4. Đ i s tuy n tính Chương 4. Đ i s tuy n tính
• Các ma trận vuông đặc biệt Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử
−1 0 0
nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng
Ma trận vuông có tất cả các
0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
phần tử nằm ngoài đường 0 5 0
1 0 −2 3 0 0
chéo chính đều bằng 0 được
0 0 0
gọi là ma trận chéo.
A = 0 −1 1 B = 4 1 0
0 0
0
−1 5 2
Ma trận chéo cấp n gồm tất 1
0 0
cả các phần tử trên đường
chéo chính đều bằng 1 được I 3 = 0 1 0
Ma trận vuông cấp n có tất cả 3 4 −1
các cặp phần tử đối xứng
gọi là ma trận đơn vị cấp n . 0
0 1
nhau qua đường chéo chính 4 1 0
Ký hiệu là I n .
bằng nhau (aij = a ji ) được
−1 0 2
gọi là ma trận đối xứng.
Chương 4. Đ i s tuy n tính Chương 4. Đ i s tuy n tính
b) Ma trận bằng nhau 1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ hai ma trận
Hai ma trận A = (aij ) và B = (bij ) được gọi là bằng
Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )m×n , ta có:
nhau, ký hiệu A = B , khi và chỉ khi chúng cùng
kích thước và aij = bij , ∀i, j . A ± B = (aij ± bij )m×n .
−1
0 2 2 0
2 1 0 4
1 x y
1 0 −1
VD 2.
+
5 −3 =
7 0 −3;
VD 1. Cho A =
và B =
z 2 t
2 u 3 .
2
3 −4
1
−1 0 2 2 0 2 −3 0 0
−
=
Ta có:
2
3 −4 5 −3
−3 6 −5 .
A = B ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 .
1
Nhận xét
Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.
Chương 4. Đ i s tuy n tính Chương 4. Đ i s tuy n tính
b) Phép nhân vô hướng c) Phép nhân hai ma trận
Cho ma trận A = (aij )m×n và λ ∈ ℝ , ta có: Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bjk )n×p , ta có:
λA = (λaij )m×n . AB = (cik )m×p .
−1 1 0 3
(i = 1, m; k = 1, p).
n
−3 0 Trong đó, cik = ∑ aijbjk
VD 3. −3
−2
=
6
;
0 −4
0 12 j =1
−1
2
6 4 1
3 2
= 2
−4
0 8
−2
.
0 4
(
VD 4. Thực hiện phép nhân 1 2 3 2 .
)
−5
Chú ý
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép 1 −1 0
cộng ma trận.
• Ma trận −1.A = −A được gọi là ma trận đối của A.
(
VD 5. Thực hiện phép nhân 1 2
)
−1 0 3.
Toán cao c p C1 Cao đ ng 19
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 4. Đ i s tuy n tính Chương 4. Đ i s tuy n tính
1 0 −1 −1 −2 1
1 1 −1 2 0
VD 7. Cho A = 2 −2 0 và B = 0 −3 1.
VD 6. Tính
1 −1.
−2 0 3
3 0 −3 2 −1 0
−1 3
Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA.
VD 8. Thực hiện phép nhân:
Tính chất 1 −1 2 0
3 2 −1 2 −1
1
1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; A = 2 −3 0−1 −2 1 1 0 −2 1 .
3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB); −1 1 4 2 −1 −3 3 1
0 −2
5) AI n = A = I m A , với A ∈ M m,n (ℝ). Chú ý
• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Chương 4. Đ i s tuy n tính Chương 4. Đ i s tuy n tính
• Đặc biệt, khi A = (aij )n và p ∈ ℕ* , ta có: 2 0
VD 10. Cho B =
1 0, giá trị của (I 2 − B ) là:
2009
In = In
p
và A0 = I n , Ap = (Ap−1 )A = A(Ap−1 ) −1 0 −1 0 −1 0 1
0
A.
−1 1
; B.
−1 −1
; C.
1 1
; D.
−1 −1
.
(lũy thừa ma trận).
1 −1 VD 11. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 100 có
VD 9. Cho ma trận A = 2010
0 1 , giá trị của A là:
các phần tử ở dòng thứ i là (−1)i .
−1 −2010 1 −2010
A.
;
B.
; Tìm phần tử b36 của ma trận B = A2 .
0
1 0
1
VD 12. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 40 có các
1 −2010 −1 −2010 phần tử aij = (−1)i + j . Phần tử a25 của A2 là:
C.
; D.
.
0
−1
0
−1
A. a25 = 0 ; B. a25 = −40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = −1.
Chương 4. Đ i s tuy n tính Chương 4. Đ i s tuy n tính
d) Phép chuyển vị Tính chất
Cho ma trận A = (aij )m×n . 1) (A + B)T = AT + BT; 2) (λA)T = λAT;
T T
3) (A ) = A; 4) (AB)T = BTAT;
Khi đó, AT = (a ji )n×m được gọi là ma trận chuyển vị 5) A = A ⇔ A đối xứng.
T
của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).
1 −1
0 1 −2
1 4
VD 14. Cho A = 0
2 , B =
−1 0 −3.
1 2 3
VD 13. Cho A = ⇒ AT = 2 5.
−3 −2
4 5 6
3 6
a) Tính (AB )T .
b) Tính BT AT và so sánh kết quả với (AB )T .
Toán cao c p C1 Cao đ ng 20
nguon tai.lieu . vn
