Xem mẫu
- BÀI 5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn
1
v1.0
- LÝ THUYẾT
1. Khái niệm phương trình vi phân (ptvp), cấp của phương trình, nghiệm của
phương trình.
2. Các khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích
phân riêng, bài toán Cauchy của ptvp cấp 1 và cấp 2.
3. Cách giải một số phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2.
2
v1.0
- VÍ DỤ 1
Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình xy ' 2y ?
a. y 4x 2
b. y x 3
c. y x 2 4
d. y Cx 4 , C const
3
v1.0
- VÍ DỤ 1 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem mục 5.1.1.3 (tr.96)
4
v1.0
- VÍ DỤ 1 (tiếp theo)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình xy ' 2y ?
a. y 4x 2 y 4x2 y' 8x xy' 8x2 2y
b. y x 3 y x3 y' 3x2 xy' 3x3 2y
c. y x 2 4 y x2 4 y' 2x xy' 2x2 2y
d. y Cx 4 , C const y Cx4 y' 4Cx3 xy' 4Cx4 2y
Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Tính đạo hàm và thực hiện các phép toán không đúng.
5
v1.0
- VÍ DỤ 2
Hàm số y xe x là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình
sau đây?
a. y' y ex
b. y' y ex
c. y' y ex
d. y' y ex
6
v1.0
- VÍ DỤ 2 (tiếp theo)
Hàm số y xe x là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình
sau đây?
a. y' y ex
b. y' y ex y xe x y ' e x xe x
y ' y e x xe x xe x e x
c. y' y ex y ' y e xe xe e 2xe
x x x x x
d. y' y ex
Hướng dẫn: Kiểm tra xem hàm số đó thỏa mãn phương trình nào.
7
v1.0
- VÍ DỤ 3
Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình y '' y 0 ?
a. y sin2 x
b. y sin x cos x
c. y sin x 2 cos x
d. y e x
8
v1.0
- VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình y '' y 0 ?
a. y sin2 x
b. y sin x cos x
c. y sin x 2 cos x
d. y e x
9
v1.0
- VÍ DỤ 4
Phương trình x 2 dx sin y.dy là phương trình loại nào?
a. Phương trình phân li biến số.
b. Phương trình thuần nhất.
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
d. Phương trình vi phân toàn phần.
10
v1.0
- VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem dạng của các Phương trình vi phân cấp 1
11
v1.0
- VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
Phương trình x 2 dx sin y.dy là phương trình loại nào?
a. Phương trình phân li biến số.
b. Phương trình thuần nhất.
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
d. Phương trình vi phân toàn phần.
Chú ý: Thông thường ta phải biến đổi một vài bước, mới ra được dạng của
Phương trình vi phân.
12
v1.0
- VÍ DỤ 5
Phương trình xydx (1 x )(1 y )dy 0 là phương trình loại nào?
2 2
a. Phương trình phân li biến số.
b. Phương trình thuần nhất.
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
d. Phương trình vi phân toàn phần.
13
v1.0
- VÍ DỤ 5 (tiếp theo)
Phương trình xydx (1 x 2 )(1 y 2 )dy 0 là phương trình loại nào?
a. Phương trình phân li biến số. xydx (1 x2 )(1 y2 )dy 0
x (1 y2 )
b. Phương trình thuần nhất. dx dy
1 x 2
y
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
d. Phương trình vi phân toàn phần.
14
v1.0
- VÍ DỤ 6
Sử dụng phép đổi biến y(x) xu(x) , phương trình y ' y tg y trở thành
phương trình nào đối với hàm số u(x) ? x x
a. xu ' tgu
b. xu ' cotgu
c. x 2ux u ' tgu
d. x 2ux u ' cotgu
15
v1.0
- VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
Hướng dẫn:
dy du
• Xác định dạng của phương trình. Lưu ý: y ' , u'
dx dx
• Xem cách giải của dạng phương trình đó.
16
v1.0
- VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
Sử dụng phép đổi biến y(x) xu(x) , phương trình y ' y tg y trở thành
phương trình nào đối với hàm số u(x) ? x x
a. xu ' tgu Đặt y(x) = xu(x) → y’ = u +xu’
Phương trình trở thành:
b. xu ' cotgu u + xu’ – u = tgu ↔ xu’ = tgu
c. x 2ux u ' tgu
d. x 2ux u ' cotgu
Chú ý: Nhiều khi phải biến đổi một số bước, mới đưa được về phương trình
vi phân thuần nhất.
17
v1.0
- VÍ DỤ 7
y
Sử dụng phép đổi biến y(x) xu(x) , phương trình xy ' y x tg
x
trở thành phương trình nào đối với hàm số u(x) ?
a. xu ' tgu
b. xu ' cotgu
c. x 2ux u' tgu
d. x 2ux u ' cotgu
18
v1.0
- VÍ DỤ 7 (tiếp theo)
y
Sử dụng phép đổi biến y(x) xu(x) , phương trình xy ' y x tg
x
trở thành phương trình nào đối với hàm số u(x) ?
a. xu ' tgu
b. xu ' cotgu
c. x 2ux u' tgu
d. x 2ux u ' cotgu
y y y
Hướng dẫn: Lưu ý xy ' y x tg y ' tg
x x x
19
v1.0
- VÍ DỤ 8
Tìm tất cả các nghiệm có dạng y Ax 2 Bx C (A 0)
của phương trình (x 2 1)y '' 2y 0
a. y A(x 2 1), A 0
b. y A(x 2 1), A 0
c. y A(x 2 x 1), A 0
d. y A(x 2 x 1), A 0
20
v1.0
nguon tai.lieu . vn