Xem mẫu
10/3/2014
Chương 4. Phương trình vi phân cấp 2
4.1. Các phương trình vi phân có thể giảm cấp.
4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng.
Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y¢,y¢¢) = 0, (1)
trong đó y = f (x)xác định trên D Ì ℝ.
Nghiệm của (1)là một hàmy = f (x)xác định và khả vi cho đến cấp 2 trên tập sao cho
F(x, y(x), y¢(x), y¢¢(x)) = 0,∀x∈D.
4.1 Các phương trình vi phân cấp 2 có thể
giảm cấp
4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có
hệ số hằng
Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(x0) = y0, y¢(x0) = y0,
với x0,y0, y0 là những số cho trước.
4.1 Các PTVP cấp 2 có thể giảm cấp
1. Phương trình không chứa trực tiếp y, y¢
Dạng cơ bản
y¢¢ = f (x). (2)
Phương pháp giải
Lấy tích phân hai vế phương trình (2), ta được y¢ = f (x)dx +C1 =j(x)+C1.
y = [j(x)+C1 dx +C2 =y (x)+C1x +C2.
1
10/3/2014
Ví dụ 4.1 Giải PTVP y¢¢ = e2x với điều kiện 2. Phương trình không chứa trực tiếp y
y(0) = 7, y¢(0)= 3.
Dạng cơ bản
F(x,y¢,y¢¢) = 0 (3)
Ví dụ 4.2 Giải PTVP y¢¢ = cos2 x.
Ví dụ 4.3 Giải PTVP
y¢¢ = x x .
Ví dụ 4.4 Giải PTVP
(1+ x2)y¢¢+(y¢)2 +1= 0.
Thay vào (5), ta nhận được một PTVP cấp 1 theo ẩn hàm z:
F(y,z,dy z) = 0.
Giải phương trình này, ta được z = z(y,C1). Suy ra
dx = z = z(y,C1) x = z(y,C1) +C2.
Phương pháp giải
Đặt ẩn hàm phụ z = y¢, thì ta có phương trình
G(x,z,z¢) = 0, (4) Giải (4), ta tìm được z. Khi đó, y = zdx+C.
3. Phương trình không chứa biến độc lập x
Dạng cơ bản
F(y, y¢, y¢¢) = 0. (5)
Phương pháp giải
Đặt z = y . Ta coi y là biến độc lập và z là hàm số theo biến y.Ta có
dy¢ dz dz dy dz dz dx dx dy dx dy dy
Ví dụ 4.5 Giải PTVP (y¢)2 + yy¢¢ = 0, với điều kiện ban đầu:
y(1) = 2, y¢(1) = 1.
Ví dụ 4.6 Giải PTVP
y¢¢ = y ey.
2
10/3/2014
Bài tập 1 Giải các PTVP sau 4.2 PTVP tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng
1) xy¢¢ = y¢
2) yy¢¢ yy¢ln y= (y¢)2
1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Dạng cơ bản
y¢¢+ py¢+ qy = 0, (6)
3) yy¢¢+(y¢)2 =1
4) y¢¢+1 2y (y¢)2 = 0.
Phương pháp giải
Xét phương trình đặc trưng
k2 + pk + q = 0. (7)
• Nếu (7) có hai nghiệm thực phân biệt k1,k2 thì nghiệm tổng quát của (6) có dạng:
y = C1ek1x +C2ek2x.
• Nếu (7) có nghiệm kép k1 = k2 = k thì nghiệm tổng quát của (6) có dạng:
y = C1ekx +C2xekx.
• Nếu (7) có hai nghiệm phức k1 =a +ib,
k =a ib,thì nghiệm tổng quát của (6) có dạng:
y = eax (C cosbx+C2 sinbx).
Ví dụ 4.7 Giải PTVP
y¢¢ 3y+ 2y= 0.
2. PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
Dạng cơ bản
y¢¢+ py¢+ qy = f (x). (8)
Ví dụ 4.8 Giải PTVP
y¢¢ 4y+ 4y= 0.
Ví dụ 4.9 Giải PTVP
y¢¢+ y¢+ y = 0.
Nguyên tắc chồng chất nghiệm
Nếu y1,y2 lần lượt là nghiệm của ptvp sau y¢¢+ py¢+ qy = f1(x),
y¢¢+ py¢+ qy = f2(x) thì y1 + y2 là nghiệm của ptvp
y¢¢+ py¢+qy = f1(x)+ f2(x). (9)
3
10/3/2014
Phương pháp giải
Bước 1. Tìm nghiệm tổng quát y0 của phương trình thuần nhất
y¢¢+ py¢+ qy = 0.
Bước 2. Tìm một nghiệm riêng yr cho (8). Bước 3. Kết luận nghiệm tổng quát của (8) là
yTQ = y0 + yr.
Nghiệm riêng của (8) phụ thuộc vào dạng của
hàm f (x):
Trường hợp 1: f (x) = eaxP (x), với P (x) là đa thức bậc n.
Nếu a không là nghiệm của phương trình
đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng
yr = eaxQn(x).
Nếu a là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng
yr = xeaxQn (x).
Ví dụ 4.10 Giải PTVP
y¢¢ 5y+ 4y= 4x2.
Nếu a là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng
yr = x2eaxQn (x).
Ví dụ 4.11 Giải PTVP
y¢¢ 3y+ 2y= (2x+ 1)ex.
Ví dụ 4.12 Giải PTVP
y¢¢ 6y+ 9y= 4e3x.
Trường hợp 2:
f (x) = eax [P (x)cosbx+Qm(x)sinbx].
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn