Xem mẫu

10/3/2014 Chương 4. Phương trình vi phân cấp 2 4.1. Các phương trình vi phân có thể giảm cấp. 4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y¢,y¢¢) = 0, (1) trong đó y = f (x)xác định trên D Ì ℝ. Nghiệm của (1)là một hàmy = f (x)xác định và khả vi cho đến cấp 2 trên tập sao cho F(x, y(x), y¢(x), y¢¢(x)) = 0,∀x∈D. 4.1 Các phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp 4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0, y¢(x0) = y0, với x0,y0, y0 là những số cho trước. 4.1 Các PTVP cấp 2 có thể giảm cấp 1. Phương trình không chứa trực tiếp y, y¢ Dạng cơ bản y¢¢ = f (x). (2) Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế phương trình (2), ta được y¢ = f (x)dx +C1 =j(x)+C1. y = [j(x)+C1 dx +C2 =y (x)+C1x +C2. 1 10/3/2014 Ví dụ 4.1 Giải PTVP y¢¢ = e2x với điều kiện 2. Phương trình không chứa trực tiếp y y(0) = 7, y¢(0)= 3. Dạng cơ bản F(x,y¢,y¢¢) = 0 (3) Ví dụ 4.2 Giải PTVP y¢¢ = cos2 x. Ví dụ 4.3 Giải PTVP y¢¢ = x x . Ví dụ 4.4 Giải PTVP (1+ x2)y¢¢+(y¢)2 +1= 0. Thay vào (5), ta nhận được một PTVP cấp 1 theo ẩn hàm z: F(y,z,dy z) = 0. Giải phương trình này, ta được z = z(y,C1). Suy ra dx = z = z(y,C1) x = z(y,C1) +C2. Phương pháp giải Đặt ẩn hàm phụ z = y¢, thì ta có phương trình G(x,z,z¢) = 0, (4) Giải (4), ta tìm được z. Khi đó, y = zdx+C. 3. Phương trình không chứa biến độc lập x Dạng cơ bản F(y, y¢, y¢¢) = 0. (5) Phương pháp giải Đặt z = y . Ta coi y là biến độc lập và z là hàm số theo biến y.Ta có dy¢ dz dz dy dz dz dx dx dy dx dy dy Ví dụ 4.5 Giải PTVP (y¢)2 + yy¢¢ = 0, với điều kiện ban đầu: y(1) = 2, y¢(1) = 1. Ví dụ 4.6 Giải PTVP y¢¢ = y ey. 2 10/3/2014 Bài tập 1 Giải các PTVP sau 4.2 PTVP tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng 1) xy¢¢ = y¢ 2) yy¢¢ yy¢ln y= (y¢)2 1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất Dạng cơ bản y¢¢+ py¢+ qy = 0, (6) 3) yy¢¢+(y¢)2 =1 4) y¢¢+1 2y (y¢)2 = 0. Phương pháp giải Xét phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0. (7) • Nếu (7) có hai nghiệm thực phân biệt k1,k2 thì nghiệm tổng quát của (6) có dạng: y = C1ek1x +C2ek2x. • Nếu (7) có nghiệm kép k1 = k2 = k thì nghiệm tổng quát của (6) có dạng: y = C1ekx +C2xekx. • Nếu (7) có hai nghiệm phức k1 =a +ib, k =a ib,thì nghiệm tổng quát của (6) có dạng: y = eax (C cosbx+C2 sinbx). Ví dụ 4.7 Giải PTVP y¢¢ 3y+ 2y= 0. 2. PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất Dạng cơ bản y¢¢+ py¢+ qy = f (x). (8) Ví dụ 4.8 Giải PTVP y¢¢ 4y+ 4y= 0. Ví dụ 4.9 Giải PTVP y¢¢+ y¢+ y = 0. Nguyên tắc chồng chất nghiệm Nếu y1,y2 lần lượt là nghiệm của ptvp sau y¢¢+ py¢+ qy = f1(x), y¢¢+ py¢+ qy = f2(x) thì y1 + y2 là nghiệm của ptvp y¢¢+ py¢+qy = f1(x)+ f2(x). (9) 3 10/3/2014 Phương pháp giải Bước 1. Tìm nghiệm tổng quát y0 của phương trình thuần nhất y¢¢+ py¢+ qy = 0. Bước 2. Tìm một nghiệm riêng yr cho (8). Bước 3. Kết luận nghiệm tổng quát của (8) là yTQ = y0 + yr. Nghiệm riêng của (8) phụ thuộc vào dạng của hàm f (x): Trường hợp 1: f (x) = eaxP (x), với P (x) là đa thức bậc n. Nếu a không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng yr = eaxQn(x). Nếu a là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng yr = xeaxQn (x). Ví dụ 4.10 Giải PTVP y¢¢ 5y+ 4y= 4x2. Nếu a là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng yr = x2eaxQn (x). Ví dụ 4.11 Giải PTVP y¢¢ 3y+ 2y= (2x+ 1)ex. Ví dụ 4.12 Giải PTVP y¢¢ 6y+ 9y= 4e3x. Trường hợp 2: f (x) = eax [P (x)cosbx+Qm(x)sinbx]. ... - tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn