Xem mẫu
10/3/2014
Chương 3. Phương trình vi phân cấp 1
3.1. Các ví dụ thực tế dẫn đến phương trình vi phân.
3.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1.
3.3. Phương trình vi phân có dạng tách biến.
3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
2
1. Các khái niệm cơ bản
Phương trình vi phân (PTVP) cấp 1 là phương trình có dạng
F(x, y, y¢) = 0, (1) trong đó
y¢ = dx .
Ví dụ 3.1
Nếu giải phương trình (1) theo y¢, ta được y¢ = f (x, y). (2)
Nghiệm của PTVP (1) hoặc (2) trên khoảng (a,b) là hàm số y = y(x) xác định trên (a,b)
sao cho khi thay vào PTVP ta được một đẳng thức đúng.
y¢ + 2y = 2x; (x + y)dy 2ydx= 0.
3
Nghiệm y = y(x) có thể cho ở dạng tường minh hoặc dạng ẩn.
4
Đồ thị của nghiệm y = y(x)được gọi là đường cong tích phân của (1).
Bài toán Cauchy (Côsi) (bài toán đầu)
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của PTVP (1)hoặc (2)thỏa mãn điều kiện đầu
y(x0) = y0 (3)
hay nói cách khác là tìm một đường cong tích phân của (1) hoặc (2) đi qua điểm (x0, y0).
5
Hàm số y = j(x,C) được gọi là nghiệm tổng quát của PTVP cấp 1 trong miền D Ì ℝ2 nếu
với mọi điểm 0 0 tồn tại duy nhất một số sao cho là nghiệm của
bài toán Cauchy với điều kiện đầu 0 0
Điều đó có nghĩa là tồn tại duy nhất C sao cho i) y = j(x,C ) là nghiệm trong lân cận x
ii) y0 = j(x0,C0).
6
1
10/3/2014
Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số C một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị.
7
Ví dụ 3.2 Giải PTVP
y = cosx
Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(0) = 1.
Ta có y = cosxdx+ C = sin x + C, với C là hằng số tùy ý, là tất cả các nghiệm của phương trình.
Vì 1 = y(0) = sin0 + C, nên C = 1 và nghiệm riêng cần tìm là
8
2. Một số dạng PTVP cấp 1
2.1 Phương trình tách biến (có biến phân li)
Dạng cơ bản
f (x)dx = g(y)dy (4)
Phương pháp giải
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (4), ta được
f (x)dx = g(y)dy + C,
Ví dụ 3.3 Giải PTVP
xdx y2dy= 0.
với C là hằng số tùy ý.
9 10
Chú ý
1. Phương trình dạng
f1(x)g1(y)dx = f2(x)g2(y)dy (5)
có thể đưa về dạng (4): trước hết cần lưu ý - Nếu g1(y) = 0 tại b thì y = b là nghiệm
của (5).
- Nếu f2(x) = 0 tại a thì x = a là nghiệm của (5) .
- Các nghiệm khác tìm được bằng cách chia hai vế cho g1(y)f2(x) rồi lấy tích phân
f1(x)dx = g2(y)dy + C. 2 1
2. Phương trình
y¢ = f (ax + by + c)
có thể đưa về biến phân ly bằng cách đổi biến
11 12
2
10/3/2014
Ví dụ 3.4 Giải PTVP
x(1+ y2)dx + y(1+ x2)dy = 0.
Bài tập 1 Giải các PTVP sau
1. x(1+ y2)2 dx + y(1+ x2)2 dy = 0.
2. (x2 +1)y¢ = xy.
Ví dụ 3.5 Giải PTVP
y¢ = xy(y + 2).
3. (x2 yx2)y+
4. (x y2x)dx
y+ xy2 0.
(y x2 y)dy 0.
5. ydx = (x2 a2)dy.
13
Bài tập 2 Tìm nghiệm của PTVP thỏa mãn điều kiện ban đầu
1. y¢ = xy2+ 3x , y(2) = 2.
2. y¢ + cos(x + 2y) = cos(x 2y), y(0)= 4 . 3. x(y6 +1)dx + y2(x4 +1)dy = 0, y(0) = 1.
14
2.2 Phương trình tuyến tính cấp 1 Dạng cơ bản
y¢ + p(x)y = q(x) (6)
Phương pháp giải
Bước 1: Giải phương trình thuần nhất
y¢ + p(x)y = 0
4. e1+x2 tan ydx
2x
x 1dy= 0, y(1)=
π .
15
được nghiệm
y = C.e p(x)dx.
16
Bước 2: Tìm nghiệm của (6) ở dạng
y = C(x).e p(x)dx (7) Thế (7) vào (6), ta được
C¢(x) = q(x).e p(x)dx
C(x) = C + q(x).e p(x)dxdx (8)
với C là hằng số tùy ý. Thế (8) vào (7), ta được nghiệm của (6)
y = e p(x)dx.C1 + q(x).e p(x)dxdx
Ví dụ 3.6 Giải PTVP y¢ + y = 4x.
Ví dụ 3.7 Giải PTVP
(x2 +1)y¢ + xy = 2.
17 18
3
10/3/2014
Ví dụ 3.8 Giải PTVP
y¢ x2 y= 0,y(3)= e9.
Ví dụ 3.9 Giải PTVP
y¢+ ycosx = e sin x.
19
4
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn