Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 2 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn HAPPY NEW YEAR 2011 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 2 § 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì • Chuỗi với số hạng có dấu bất kì • Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối • Chuỗi đan dấu 1. Đặt vấn đề. 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì ¥ ¥ Định nghĩa: an được gọi là hội tụ tuyệt đối Û an n=1 n=1 là bán hội tụ Û ∑an phân kì và ∑an hội tụ. n=1 n=1 ¥ ¥ Định lý. an hội tụ ⇒ an hội tụ. n=1 n=1 Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau ¥ hội tụ. Chuỗi an được gọi n=1 ¥ n2+n a) −1 2 n ; n=1 c) ∑sin(π (2+ 3)n ) (HTTĐ) n=1 Hng dn. ¥ n2+n a) −1 2 n n=1 ¥ +) Xét n n=1 +) lim an+1 = 1 <1 n®¥ n +) ∑ n hội tụ n=1 n2+n +) ∑(−1) 2 n hội tụ n=1 b) ∑sinn2 n=1 d) ∑sinn (HTTĐ) n=1 ¥ b) sinn2 n=1 +) sinn2 ∈ +) Không có lim sinn2 = 0 Thật vậy, phản chứng có lim sinn2 = 0 ⇒ lim sin(2n +1) = 0 ⇒ lim sin(2n + 3) = 0 ⇒ lim cos(2n +1) = 0 ⇒ lim (sin2(2n +1)+cos2(2n +1))= 0 (vô lí) ¥ +) sinn2 phân kì. n=1 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Nhận xét. ¥ ¥ 1°/ Nếu an phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy ⇒ an phân kì n=1 n=1 2°/ ∑an phân kì ⇒ ∑an phân kì (đúng hay sai?) n=1 n=1 3. Chuỗi đan dấu Định nghĩa. ¥ (−1 n−1an, an > 0 được gọi là chuỗi đan dấu n=1 Chú ý. ∑(−1 n an, an > 0 cũng được gọi là chuỗi đan dấu. n=1 Định lí Leibnitz Dãy {an} giảm, an > 0, lim an = 0 ⇒ ¥ (−1 n−1an n=1 Chứng minh: +) n = 2m: hội tụ và có ¥ (−1 n−1an £ a1 n=1 • Có S2m = (a −a2)+ (a3 −a4)++(a2m−1 −a2m) ⇒ {S2m} tăng • S2m = a −(a2 −a3)−(a4 −a5)−−(a2m−2 −a2m−1)−a2m < a • Từ đó ∃ lim S2m = S và có S £ a +) n = 2m +1: • S2m+1 = S2m + a2m+1 • Do lim a2m+1 = 0 ⇒ lim S2m+1 = S. Địnhlíđượcchứngminh. Ví dụ 2. Xétsựhộitụtuyệtđốivàbánhộitụcủacácchuỗisốsau a) n=1(2n −1 (Bán HT) e) n=1(−1 n−1 2.5.8…(3n −1 (HTTĐ) b) ¥ (−1 n−1 (Bán HT) f) ¥ (−1 n−1 1.4.7…(3n − 2) (PK) n=1 n=1 c) ¥ (−1 n+1 (HTTĐ) g) ¥ (−1 n−1tan 1 (HTTĐ) n=1 2n −1 n=1 n−1 2 d) n=1 6n −5 (PK) h) n=1(− )n+1 n! (PK) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn i) ¥ (−1 n n (PK) n=1 2n +1 k) n=1(−1 n  n+ 2n (PK) l) ∑(−1 n−1ln2 n +1 (HTTĐ) n=1 Hng dn. m) ¥ (−1 n−1lnn (Bán HT) n=1 o) ¥ (n +1 sin(2nb), b ∈ (HTTĐ) n=1 n + 2n + 3 ¥ n p) n=1n −lnn (Bán HT) ¥ n−1 b) +) là chuỗi đan dấu n=1 ¥ n−1 d) +) n=1 6n −5 là chuỗi đan dấu +)  n  giảm và có lim n = 0 +) Hội tụ theo Leibnitz +) ¥ 1 phân kì ⇒ bán hội tụ n=1 4. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối ¥ +) lim 6n −5 = 6 ⇒ n=16n −5 phân kì +) ∃ lim (−1 n−1 6n −5 +) n=1(−1 n 6n −5 phân kì. ¥ a) an = S ⇒ chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số hạng n=1 và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S ¥ ¥ b) Cho an = S, an phân kì ⇒ có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó để n=1 n=1 chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kì. ¥ Định nghĩa. Cho an, n=1 ¥ bn , khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi: n=1  ¥  ¥  ¥ n  an  bn  = cn , ở đó cn = akbn+1−k n=1 n=1  n=1 k=1 ¥ ¥ c) an = S1, bn n=1 n=1 = S2 ⇒ ∑an ∑bn  = S1S2 n=1 n=1  ¥ ¥ Ví dụ 3.a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau: và n−1 . n=1 n=1 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn b) Xét sự hội tụ của chuỗi số ¥  n (−1 k−1tan 1 .ln2 n + 2− k  n=1k=1  Hng dn. ¥ a) +) hội tụ tuyệt đối n=1 ¥ +) n−1 hội tụ tuyệt đối n=1 +) n=1n1n .n=12n−1  hội tụ HAVE A GOOD UNDERSTANDING! ... - tailieumienphi.vn