PHƯƠNG BÁCH KHOA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌCPHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử Döïng - BM KTTNN
Khoa Kyõ Thuaät Xaâythanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
NỘI DUNG MÔN HỌC
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr
Web: http://www4.hcmut.edu.vn/~nguyenthong/
1
PGS. TS. Nguyễn Thống
Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719
CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn
CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán
CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán
CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.
CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.
CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.
CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.
CHƯƠNG 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến
dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu
2
uốn)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS.
Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999
2. Water Resources systems analysis. Mohamad
Karamouz and all. 2003
3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học.
Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT
1997
6. The Finite Element Method in Engineering. S. S.
RAO 1989.
3
7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng.
PGS. TS. Nguyễn Thống
LÝ THUYẾT
CƠ BẢN VỀ DẦM
4
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Xét dầm đơn chịu tải phân bố q(x):
y
x
x
y
d
PGS. TS. Nguyễn Thống
q(x)
Đoạn dầm chiều dài
vi phân dx chịu uốn
5
Trục trung hòa, dx
khoảng cách từ trục trung hoà đến tâm
O của cung cong vi phân.
Chiều dài cung cong vi phân ds tại vị trí y
bất kỳ:
ds = ( - y)d
Biến dạng dài dọc trục tương đối do uốn:
x
ds dx y d d
y
dx
d
6
PGS. TS. Nguyễn Thống
1
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Quan hệ giữa chuyển vị dv(x) và góc
xoay :
Quan hệ giữa bán kính cong và chuyển
vị v:
dx
Chuyển vị dv
dx
dv( x )
( x )
dx
C
x
d
A
Trục trung hòa
sau khi chuyển vị
Trục trung hòa trước
khi chuyển vị
7
PGS. TS. Nguyễn Thống
B
dv
dl
d
d/2 (góc BAC)
Ta có dl = dx / cos(d/2) = d
8
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Kết quả trước:
dv( x )
d( x ) d v( x )
( x )
dx
dx
dx 2
Tóm lại:
d 2 v( x ) 1
dx 2
2
Ngoài ra:
d
1
1
dx cos(d / 2) 1 d / 2 2 / 2
1 d / 2 / 2 1 dv / dx / 8 1
2
1
Từ đó:
y
d 2 v( x )
x y
dx 2
2
9
PGS. TS. Nguyễn Thống
10
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Định luật Hooke 1D cho phép viết:
Từ đó xác định moment uốn M(x) tại một mặt
cắt bất kỳ xác định như sau:
d 2 v( x )
x E x Ey
dx 2
M ( x ) y x dA E
A
Phương trình trên cho thấy ứng suất
pháp biến đổi tuyến tính theo
khoảng cách tính từ trục trung hòa
(y).
EI Z
2
d v( x )
dx 2
Với IZ chỉ momen quán tính của tiết diện
( hình chữ nhật IZ=bh3/12).
11
PGS. TS. Nguyễn Thống
d 2 v( x ) 2
y dA
dx 2 A
12
PGS. TS. Nguyễn Thống
2
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
d 2 v( x )
EIZ
M( x )
dx 2
PHẦN TỬ
CHỊU UỐN
Đây là phương trình cơ bản trong
sức bền vật liệu.
Kết hợp với định luật Hooke ở
trước, ta cũng có thể viết:
x
PGS. TS. Nguyễn Thống
M.y
IZ
(Chịu lực cắt &
Momen ở 2 đầu mút)
14
13
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Các giả thiết:
Phần tử có chiều dài L giới hạn
bởi 2 nút ở hai đầu mút.
Phần tử nối với nhau tại các nút.
Xét trường hợp tải chỉ tác dụng
lên tại nút
Biến quan tâm trong pp. PTHH:
độ võng dầm, v(x)
góc xoay của dầm,
! Chú ý đến tính tương thích tại các nút.
M1
F1
M2
v1
v2
F2
15
16
PGS. TS. Nguyễn Thống
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Quy ước về dấu của chuyển vị và góc
xoay: y
Hàm chuyển vị: Chuyển vị tại vị trí x bất kỳ
trong thanh xác định bởi:
v2
v1
1
1
x
L
x
2 2
> 0 khi xét với 1 điểm trong dầm nó quay
theo ngược chiều kim đồng hồ & ngược
lại.
17
PGS. TS. Nguyễn Thống
v( x ) a 0 a 1x a 2 x 2 a 3 x 3
Với 4 tham số cần xác định ai
ai xác định từ các điều kiện biên:
v( x 0) v1 a 0
v( x L) v 2 a 0 a1L a 2 L2 a 3L3
18
PGS. TS. Nguyễn Thống
3
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Các điều kiện biên (tt):
4 pt cho phép xác định 4 ẩn số ai :
3x 2 2x 3
2x 2 x 3
v ( x ) 1 2 3 v1 x
2 1
L
L
L
L
dv
a 1 1
dx x 0
dv
2 a 1 2a 2 L 3a 3 L2
dx x L
19
PGS. TS. Nguyễn Thống
3x 2 2x 3
x2 x3
2 3 v 2
L
L L2 2
L
v ( x ) N1 ( x ) v1 N 2 ( x )1
N 3 ( x ) v 2 N 4 ( x ) 2
20
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
v( x ) N1
N 2 N3
NI HÀM HERMITE
TRỰC GIAO NHAU)
v1
N 4 1 N
v 2
2
3x 2 2 x 3
2x 2 x 3
N1 1 2 3 ; N 2 x
2
L
L
L
L
3x 2 2 x 3
x2 x3
N 3 2 3 ; N 4
L
L L2
L
PGS. TS. Nguyễn Thống
Ni Gọi là hàm hình dạng
Từ kết quả trước ta đã có:
d 2 v( x )
x E x Ey
dx 2
d 2 N
x E x Ey
dx 2
21
22
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Về momen Thay đổi tuyến tính theo chiều
dài dầm với giả thiết chỉ có ngoại lực ở đầu
nút:
F
Bài tập 1:
1. Hãy kiểm nghiệm tính chất của các hàm
Ni:
N1(0) = N3(L) = 1; dN 2 (0) dN 4 (L) 1
F2
1
M1
Mz
M2
dx
(F1L - M1+M2)
(F1L - M1)
-M1
2. Biểu diễn định tính (lưu ý các giá trị đạo
hàm ở biên) các hàm Ni lên đồ thị.
23
PGS. TS. Nguyễn Thống
dx
24
PGS. TS. Nguyễn Thống
4
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
THIẾT LẬP
MA TRẬN
ĐỘ CỨNG
PHẦN TỬ
CHỊU UỐN
Từ kết quả Chương 6, ma trận độ cứng phần
tử ke được xác định như sau:
k e B DB.dV
T
Vi
Trong đó [B] được định nghĩa (xem B ở sau):
x B u ( e )
Chuyển vị
Biến dạng
25
PGS. TS. Nguyễn Thống
26
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
[D] ma trận biểu diễn định
luật Hooke.
Bài toán 1D [D] = E (module
đàn hồi Young)
Xem xác định ma trận [B] ở
sau
27
PGS. TS. Nguyễn Thống
Ta có:
d2v
d 2 N
y
2
dx
dx 2
d 2 N 1 x
d 2 N 3 x
d 2 N 2 x
d 2 N 4 x
y
v1
1
v2
2
2
2
2
dx
dx
dx 2
dx
x y
y
12x 6L L6x 4L 12x 6L
L3
BNguyễn Thống
PGS. TS.
PGS. Dr. Nguyễn Thống
v1
L6 x 2L 1
v 2
2
28
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn
Thay vào và tích phân ta có:
k e B DB.dV
Thể tích
T
Vi
Tiết diện
L
T
B DBdA dx
0
A
Chiều dài
PGS. TS. Nguyễn Thống
k e
L N2 dx
0 1
L N Ndx
2 1
EI 0L
N Ndx
0 3 1
L N Ndx
0 4 1
L
N1 N2 dx
0
L
L
0
L
0
29
N2 2 dx
N4 N2 dx
L
3
N1 Ndx
0
L
N N2 dx
3
0
3
N2 Ndx
0
L
L
3
N4 Ndx
0
0
N2 dx
3
N1 N4 dx
N2 N4 dx
0
L
N N4 dx
3
0
L
N4 2 dx
0
L
0
L
30
PGS. TS. Nguyễn Thống
5
nguon tai.lieu . vn