Bài giảng Phương pháp số ứng dụng: Chương 1 - PSG.TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ KHOA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döïng - BM KTTNN

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

NỘI DUNG MÔN HỌC

Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr
Web: http://www4.hcmut.edu.vn/~nguyenthong/
1

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719

CHƯƠNG 1: Cơ sở pp. Sai phân hữu hạn.
CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán.
CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán.
CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.
CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.
CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.
CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.
CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn.
CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến
dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu
2
PGS. TS. Nguyễnuốn).
Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS.
Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999
2. Water Resources systems analysis. Mohamad
Karamouz and all. 2003
3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học.
Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT
1997
6. The Finite Element Method in Engineering. S. S.
RAO 1989.
3
7. Bài giảng PP
PGS. TS. Nguyễn Thống SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng.

KIEÅM TRA
- Trong tröôøng hôïp coù kieåm tra giöõa kyø
 thôøi gian laø 60 ph.
- Thi tự luận cuoái moân hoïc 90ph.
Chuù yù:
 Mang theo maùy tính laøm baøi taäp trong
lớp.
4

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

MỤC ĐÍCH MÔN HỌC
 Giới thiệu các phương pháp số xác
định gần đúng lời giải của các bài
toán vi phân đạo hàm riêng (tuyến
tính hoặc phi tuyến) mà ta KHÔNG thể
tìm được lời giải giải tích chính xác.
 Trong số các phương pháp số có:
Phương pháp Sai phân hữu hạn
(SPHH) & Phần tử hữu hạn (PTHH), &
Thể tích hữu hạn (TTHH).
5
 .

PGS. TS. Nguyễn Thống

CƠ SỞ
PHƯƠNG PHÁP
SAI PHÂN HỮU HẠN
(SPHH)
6

PGS. TS. Nguyễn Thống

1

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Hiện tượng vật lý  biểu diễn
toán học bằng phương trình
đạo hàm riêng  lời giải
cho phép nghiên cứu hiện
tượng.

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Đạo hàm riêng (ĐHR)
f (x,y,z,t): hàm xác định trong một miền
không gian R3
x, y, z: ba biến không gian độc lập ;
t:
biến thời gian độc lập.
* ĐHR cấp 1 của f: f
or f x
đối với x :
x
Tương tự với y & z

7

PGS. TS. Nguyễn Thống

8

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

* ÑHR caáp 2 cuûa f :
2f/ x2 = (/ x)(f/ x) = fxx , 2f/ y2 =
(/ y)(f/ y) = fyy
2f/ t2 = (/ t)(f/ t) = f , 2f/ xy

tt
= (/ x)(f/ y) = fxy
ÑHR caáp 2 lieân tuïc  fxy = fyx , fxz
= fzx , fyz = fzy , ....

ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG
Dạng tổng quát:
F(x, y, z, t, U, Ut, Ux, Uy, Uz, Uxy, Uxz,
Uyz, …) = 0
Biến phụ thuộc U (ẩn số phải tìm)
* Cấp của PTĐHR là cấp cao nhất
của các ĐHR có trong PT
9

PGS. TS. Nguyễn Thống

10

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG
* PTĐHR là tuyến tính nếu:
 Tất cả các ĐHR có mặt trong PT đều ở
dạng tuyến tính
 Không có hệ số liên kết với các ĐHR
chứa biến phụ thuộc.
Nếu không  PTĐHR là phi tuyến.

PHÂN LOẠI PT ĐHR
Theo ý nghĩa vật lý
 Theo toán học

11

PGS. TS. Nguyễn Thống

12

PGS. TS. Nguyễn Thống

2

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Phân biệt bài toán theo ý nghĩa vật lý
Bài toán cân bằng (giá trị biên) 
miền kín thỏa mãn các điều kiện
biên cho sẵn:
Ví dụ:
Bài toán thấm ổn định
 Bài toán phân bố ứng suất tỉnh
trong kết cấu.

Phân biệt bài toán theo ý nghĩa vật lý
Bài toán lan truyền  miền hở thỏa
mãn các điều kiện biên cho sẵn và
điều kiện ban đầu:
Ví dụ:
Bài toán khuếch tán, đối lưu chất
trong môi trường.

13

PGS. TS. Nguyễn Thống

14

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính bậc 2 dạng tổng quát:
a

 2u
 2u
 2u
u
u
b
 c 2  d  e  f .u  g( x, y)
2
x
xy
y
x
y

u(x,y)  hàm ẩn số cần tìm
x,y  các biến độc lập chỉ không gian
a, b,c,d,e,f : các hàm số tuyến tính của
x,y
g(x,y)  hàm đã xác định
PGS. TS. Nguyễn Thống

Phân loại về mặt toán học
b2 – 4ac > 0  bài toán dạng
hyperbol
b2 – 4ac < 0  bài toán dạng
ellip
2 – 4ac = 0  bài toán dạng
b
parabol

15

16

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

DẠNG TOÁN HỌC ELLIP

DẠNG TOÁN HỌC HYPERBOL

 Mô tả vấn đề kỹ thuật: Cân bằng

 Mô tả vấn đề kỹ thuật: Lan truyền

 u  u

 0  P / t Laplace
2x 2y
2

2

 2u  2u

   P / t Poisson
2x 2y

PGS. TS. Nguyễn Thống
PGS. Dr. Nguyễn Thống

17

2
 2u
2  u
a
2
t
x 2

u
u

t
x

 P / t Song

 P / t Doi luu
18

PGS. TS. Nguyễn Thống

3

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

DẠNG TOÁN HỌC PARABOL

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ  BÀI TOÁN LAN
TRUYỀN NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONG MÔI
TRƯỜNG DÒNG CHẢY U
PT đối lưu (không khuếch tán) :
ft + ufx = 0
f(x,t): nồng độ chất, u(x, t): thành phần
lưu tốc theo phương x.
PTĐHR tuyến tính cấp 1, loại hyperbolic.

 Mô tả vấn đề kỹ thuật: Khuếch tán

u
 2u
 2
t
x

 P / t Fourier

19

PGS. TS. Nguyễn Thống

20

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ  BÀI TOÁN
KHUẾCH TÁN CHẤT f TRONG MÔI
TRƯỜNG (TỈNH)
PT khuếch tán (không đối lưu)
ft = fxx

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ  BÀI TOÁN
LAN TRUYỀN & KHUẾCH TÁN (ĐỒNG
THỜI) CỦA NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONG
MÔI TRƯỜNG DÒNG CHẢY
PT đối lưu - khuếch tán:
ft + ufx = fxx
PTĐHR tuyến tính cấp 2

 : hệ số khuếch tán (> 0).
a = , b = c = 0 = b2 – 4ac = 0


PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại
parabolic.
21

PGS. TS. Nguyễn Thống

22

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ  BÀI TOÁN LAN
TRUYỀN SÓNG

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ  BÀI TOÁN
THẤM

ftt = c2 fxx
c: tốc độ truyền sóng.
a = c2, b = 0, c = -1
 b2 – 4ac = 4c2 > 0
 PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại hyperbolic.

PT Laplace
fxx + fyy = 0
PT Poisson
fxx + fyy = G(x, y)
G(x,y): số hạng nguồn
a = 1, b = 0, c = 1
 b2 – 4ac = - 4 < 0
PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại elliptic.
23

PGS. TS. Nguyễn Thống

24

PGS. TS. Nguyễn Thống

4

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

MIỀN KÍN &
MIỀN HỞ

MIỀN KÍN

Y

Miền lời
giải

Điều kiện
biên

U(x,y) =???

Biên
O
25

PGS. TS. Nguyễn Thống

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN

X
26

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

MIỀN HỞ
t

Điều
kiện
biên

Phương lan truyền

Miền lời
giải

U(x,y,t) =???

Điều
kiện ban
đầu

Biên
O

X, Y

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU
27

PGS. TS. Nguyễn Thống

ĐIỀU KIỆN BIÊN
 Khi giải các phương trình đaọ hàm
riêng biểu diễn một hiện tượng vật lý
bất kỳ đều cần phải có ĐIỀU KIỆN
BIÊN.
 ĐIỀU KIỆN BIÊN là giá trị (hoặc
gradient) của biến nghiên cứu đã
được xác định tại các vị trí biên
(không còn là ẩn số của bài toán).
28

PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn

ĐIỀU KIỆN BIÊN
H=z+p/  Biết

H=?
29
THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH

PGS. TS. Nguyễn Thống

CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN
 Biên Dirichlet: Giá trị trên biên
của hàm ẩn U đã biết tại vị trí
biên

u  f ( x , y, z , t )
30

PGS. TS. Nguyễn Thống

5