Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI ÑÒNH BÁCH KHOA TP. HCM
PHÖÔNG PHAÙP HỌC LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Khoa KTXD - Bộ môn KTTNN
NỘI DUNG MÔN HỌC
Chương 1: Giới thiệu PPĐL trong quản lý
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính.
Chương 3: Cơ sở lý thuyết RQĐ
Chương 4: Bài toán vận tải.
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
Chương 5: Quản lý kho.
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr Chương 6: Ra quyết định đ mục tiêu.
Web: http://www4.hcmut.edu.vn/~nguyenthong Chương 7: Lý thuyết sắp hàng.
1 11/26/2013
2
Tél. (08) 38 691 592 - 098 99 66 719
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH G TRONG QUAÛN LYÙ
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏN LÖÔÏNG TRONG
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
QUAÛN LYÙ
NỘI DUNG MÔN HỌC (tt) TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chương 8: Phân tích thành phần chính (PCA). 1. Phương pháp định lượng trong quản lý.
Chương 9: Kiểm định Cronbach’s Alpha &
NXB Trẻ 1999. Tác giả PGS. Dr. Nguyễn
KMO
Thống & Dr. Cao Hào Thi.
Chương 10: Phương pháp AHP
Chương 11: Qui hoạch động 2. Phân tích số liệu và áp dụng vào dự báo.
Chương 12: Hoạch định dự án NXB Thanh Niên 2000. Tác giả PGS. Dr.
Chương 13: Xích Markov Nguyễn Thống
Chương 14: Lý thuyết trò chơi. 3. Phần mềm: SPSS, QSB, Crystal Ball
Chương 15: Mô phỏng Monte Carlo.
11/26/2013
3 11/26/2013 4
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
GIỚI THIỆU
NỘI DUNG
Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một kỹ
- Giôùi thieäu vaán ñeà. thuật toán học nhằm xác định gía trị của
- Phöông phaùp ñoà thò. các biến x1,x2,x3,...,xn (biến quyết định)
sao cho :
- Phöông phaùp ñôn hình. - Làm cực đại hoặc cực tiểu gía trị của hàm
- Quy hoïach nguyeân. mục tiêu (HMT) Z :
- Quy hoïach nhò nguyeân. Z =f(x1,x2,x3,...,xn )
- Các biến x1,x2,x3,...,xn thỏa mãn các ràng
- Giaûi baøi toaùn quy hoaïch vôùi Solver buộc :
(Excel).
11/26/2013 5 Ri = ri(x1,x2,x3,...,xn )
11/26/2013 6
PGS. Dr. Nguyễn Thống
1
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
GIỚI THIỆU CÁC BƯỚC CƠ BẢN BÀI TOÁN QHTT
- Trong quy hoạch tuyến tính, hàm mục
tiêu f và các ràng buộc ri là những biểu Định nghĩa biến quyết định
thức tuyến tính (bậc nhất) đối với các Thiết lập HMT
biến quyết định x1,x2,x3,...,xn .
- Trong tröôøng hôïp khaùc quy hoïach phi Thiết lập các ràng buộc với
tuyeán. biến quyết định.
Giải để xác định biến quyết
11/26/2013 7
định
11/26/2013 8
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Ví dụ: Một nhà sản xuất gỗ sản xuất hai loại Trong một tuần, do giới hạn về mặt điều
bàn : bàn tròn (x1) và bàn chữ nhật (x2). động nhân sự, xưởng chỉ có thể bố trí:
Mỗi bàn tròn cần: - 20 giờ để lắp ghép
- 2,5 giờ để lắp ghép
- 30 giờ để đánh bóng
- 3 giờ để đánh bóng
- 1 giờ để vào thùng. - 16 giờ để vào thùng.
Một bàn chữ nhật cần : Lợi nhuận cho mỗi bàn tròn là 3000$ và
- 1 giờ để lắp ghép 4000$ cho mỗi bàn chữ nhật.
- 3 giờ để đánh bóng Tìm phương án sản xuất tối ưu (xác định
- 2 giờ để vào thùng. x1, x2) để mang về cho nhà sản xuất lợi
nhuận cao nhất.
11/26/2013 9 11/26/2013 10
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Gọi x1 và x2 là số lượng lần lượt của bàn tròn • Ví dụ: Một nông dân mong muốn đàn cừu
và bàn chữ nhật (biến quyết định). của nông trại tiêu thụ các loại sản phẩm
Hàm mục tiêu : Max F = 1000( 3x1 + 4x2 ) [1] thức ăn có các loại chất dinh dưỡng là
Các ràng buộc : A,B,C với khẩu phần hàng ngày ít nhất,
• Ràng buộc về thời gian ghép thô : nhưng phải đảm bảo về mặt dinh dưỡng
2,5x1 + x2
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Trên thị trường có loại sản phẩm y1 và y2. Gọi y1 và y2 là số lượng sản phẩm được mua
(là biến quyết định).
• Sản phẩm y1 cung cấp : Hàm mục tiêu : Min F = 1000(2y1 + 4y2)
2 đơn vị A và 1 đơn vị B và 1 đơn vị C. Ràng buộc:
• Sản phẩm y2 cung cấp : - Về chất dinh dưỡng loại A :
2y1 + y2>=14
1 đơn vị A và 1 đơn vị B và 3 đơn vị C. - Về chất dinh dưỡng loại B :
Biết rằng giá đơn vị sản phẩm y1, y2 lần lượt y1 + y2 >=12
là 2000$ và 4000$. - Về chất dinh dưỡng loại C :
y1 + 3y2 >=18
Xác định số lượng y1 và y2 để chi phí ít nhất. - Về ý nghĩa vật lý ta phải có : y1,y2 >=0
11/26/2013 13 11/26/2013 14
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
QHTT PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Phương pháp đồ thị (chỉ có 2
(CHỈ CÓ 2 BIẾN QUYẾT ĐỊNH)
biến quyết định).
Bài toán Max
Phương pháp đơn hình
(phương pháp tổng quát có số Bài toán Min
lượng biến quyết định bất kỳ).
11/26/2013 15 11/26/2013 16
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Hàm mục tiêu :
BÀI TOÁN MAX Max F = 1000( 3x1 + 4x2 ) [1]
Giải hệ bất phương trình ràng Các ràng buộc :
buộc bằng đồ thị Xác định 2,5x1 + x2
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ BÀI TOÁN MAX
Duøng trong tröôøng hôïp chæ coù 2 bieán quyeát ñònh:
Vuøng nghieäm coù theå BÀI TOÁN MIN
y2
20 [2] F=haèng soá
C(4,6) Fmax =36000
[3] 10
C
[1]
8
6 D
B y1
O A
4 8 10 16
11/26/2013
PGS. Dr. Nguyễn Thống [4] 19 11/26/2013
PGS. Dr. Nguyễn Thống
20
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Hàm mục tiêu : PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ BÀI TOÁN MIN
y2
Min F = 1000(2y1 + 4y2) [1] Vuøng nghieäm coù theå
D 14
Ràng buộc:
[3] [2] F=haèng soá
2y1 + y2>=14 [2] 12
y1 + y2 >=12 [3] C B(9,3) Fmin =44000
[4]
6
y1 + 3y2 >=18 [4]
[1] B y1
O
11/26/2013 21 11/26/2013 7 12 18 A 22
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Nhaän xeùt: Baøi taäp 1: Moät xöôûng saûn xuaát hai loaïi theùp
ñaëc bieät g1 vaø g2. Loaïi g1 caàn 2h ñeå naáu
- Nghieäm luoân luoân naèm treân ñöôøng “ranh chaûy, 4h ñeå luyeän, 10h ñeå caét ñònh hình.
giôùi” (ABCD). Loaïi g2 caàn 5h ñeå naáu chaûy, 1h ñeå luyeän,
- Seõ coù nhieàu nghieäm trong tröôøng hôïp 5h ñeå caét ñònh hình.
ñöôøng thaúng bieåu thò HMT gaëp “ña giaùc Lôïi nhuaän mang ñeán bôûi loaïi g1 laø 24$ vaø
nghieäm” treân 1 ñoïan thaúng treân bieân. loaïi g2 laø 8$. Khaû naêng cuûa xöôûng coù theå
boá trí 40h ñeå naáu chaûy, 20h ñeå luyeän vaø
- Ñöôøng thaúng nghieäm bieåu thò giaù trò HMT 60h ñeå caét ñònh hình.
laø haèng soá. Xaùc ñònh phöông aùn saûn xuaát ñeå nhaø saûn
xuaát coù lôïi nhuaän cao nhaát.
Ñaùp soá : g1 = 4 , g2 = 4 vaø Fmax = 128$
11/26/2013 23 11/26/2013 24
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
4
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Baøi taäp 2: Moät nhaø saûn xuaát hai loaïi ñaù xaây döïng : Baøi taäp 3: Moät nhaø laøm vöôøn muoán taïo moät
loaïi lôùn (x1) , loaïi beù (x2). Loaïi x1 caàn 2h ñeå hoãn hôïp phaân boùn töø hai loaïi saûn phaåm cô
nghieàn, 5h ñeå phaân loaïi, 8h ñeå laøm saïch. Loaïi x2 baûn, sao cho toái thieåu nhaän ñöôïc 15 ñôn vò
caàn 6h ñeå nghieàn, 3h ñeå phaân loaïi, 2h ñeå laøm potasse, 20 ñôn vò nitrate vaø 3 ñôn vò
saïch. Lôïi nhuaän mang laïi töø loaïi x1 vaø x2 laàn löôït phosphate. Loaïi x1 coù giaù laø 120$ cung caáp
laø 40$ vaø 50$. Khaû naêng thieát bò cho pheùp söû duïng ñöôïc 3 ñôn vò potasse, 1 ñôn vò nitrate, 3 ñôn
trong moät tuaàn laø : 36h ñeå nghieàn, 30h ñeå phaân
vò phosphate. Loaïi x2 coù giaù laø 60$ cung caáp
loaïi vaø 40h ñeå laøm saïch.
ñöôïc 1 ñôn vò potasse, 5 ñôn vò nitrate, 2 ñôn
a. Xaùc ñònh phöông aùn saûn xuaát x1, x2 ñeå nhaø saûn vò phosphate. Xaùc ñònh phöông aùn choïn löïa
xuaát coù lôïi nhuaän cao nhaát.
ñeå cöïc tieåu hoùa chi phí cuûa nhaø laøm vöôøn.
b. Xaùc ñònh lôøi giaûi neáu lôïi nhuaän x2 laø 160$. Ñaù11/26/2013
p soá : x1 = 2 , x2 = 9 vaø Fmin = 780$
11/26/2013 25 26
PGS. soá :
Ñaùp Dr. Nguyễnx1 = 3
Thống , x2 = 5 vaø Fmax = 370$ PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Baøi taäp 5: Tìm lôøi giaûi toái öu cho baøi toaùn sau:
Baøi taäp 4: Moät ngheä só raát quan taâm ñeán söùc khoeû
Haøm muïc tieâu : Max F = 20x1+10x2
mong muoán moãi ngaøy coù ñöôïc toái thieåu 36 ñôn vò
Caùc raøng buoäc : 4x1+3x2 =24
nhaát.
5x1+10x2 >=60
Ñaùp soá : y1 = 6 , y2 = 8 vaø Fmin = 50 $US x1, x2 >=0
11/26/2013 27 Ñaùp soá : x1= 6 , x2=3 vaø Fmin = 330
11/26/2013 28
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
NGUYÊN TẮC
PHƯƠNG PHÁP Thử và so sánh kết quả của tất
cả các điểm nằm trên “ranh
ĐƠN HÌNH giới” của VÙNG ĐA GIÁC
(Phương pháp tổng quát) NGHIỆM.
11/26/2013 29 11/26/2013 30
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
5
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
PHÖÔNG PHAÙP ÑÔN HÌNH
Phöông phaùp ñôn hình cho pheùp xaùc ñònh lôøi giaûi
PHƯƠNG PHÁP cô baûn cuûa moät heä thoáng phöông trình vaø kieåm
tra xem lôøi giaûi ñoù coù toái öu hay chöa.
ĐƠN HÌNH Ñeå coù lôøi giaûi cô baûn, phaûi gaùn cho (n-m) bieán giaù
trò baèng khoâng vaø giaûi heä m phöông trình vaø m
Bài toán Max HMT aån soá coøn laïi. Phöông phaùp naày cho pheùp
chuyeån töø lôøi giaûi cô baûn naøy sang moät lôøi giaûi
cô baûn khaùc, toát hôn lôøi giaûi tröôùc, cho ñeán khi
ñaït ñeán lôøi giaûi toái öu.
11/26/2013 31 11/26/2013 32
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
PHÖÔNG PHAÙP ÑÔN HÌNH NGUYÊN LÝ ƯU TIÊN CHỌN
Nhöõng bieán coù giaù trò laø 0 ôû moãi TỔ HỢP NGHIỆM
böôùc laëp thì khoâng keå trong lôøi
giaûi cô baûn. Nhöõng bieán khoâng F a1X1 a 2 X2 ... a n Xn Max
ñöôïc laáy giaù trò 0 seõ ñöôïc xem ôû
trong lôøi giaûi cô baûn cuûa baøi toaùn. Sẽ ưu tiên đưa nghiệm Xi nào
có hệ số ai LỚN !
11/26/2013 33 11/26/2013 34
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
1. Laäp baûng ban ñaàu cho phöông phaùp ñôn hình.
Ví duï: Söû duïng phöông phaùp ñôn hình ñeå
giaûi. a.Theâm caùc bieán buø s1,s2,s3>0 ñeå bieán ñoåi caùc baát
phöông trình treân thaønh phöông trình :
Haøm muïc tieâu : Max F = 5x1 + 3x2 [1] 6x1 + 2x2 + s1 = 36 [2]
Vôùi caùc raøng buoäc : 5x1 + 5x2 + s2 = 40 [3]
6x1 + 2x2
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
c. Baûng ban ñaàu cuûa phöông phaùp ñôn hình :
HÀM MỤC TIÊU
x1 x2 s1 s2 s3 Haèng soá
MỘT CÁCH “HÌNH THỨC” SAU KHI BỔ
6 2 1 0 0 36
SUNG CÁC BIẾN “BÙ” THÌ HMT SẼ
5 5 0 1 0 40
BIẾN THÀNH:
2 4 0 0 1 28
Max F = 5x1 + 3x2 +0.s1+0.s2+0.s3 -5 -3 0 0 0 0
Heä soá HMT ñoåi daáu – Haøng tham khaûo
Nghieäm: x1=0, x2=0, s1=36,s2=40, s3=28, HMT=0
!!! Treân 1 coät, neáu heä soá khoâng coù daïng (0..,1,..0,..)
11/26/2013 37 Bieán
11/26/2013töông öùng =0 38
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Choïn giaù trò “xoay” vaø thay ñoåi heä cô baûn. Nguyeân taéc thay ñoåi nhö sau :
Ñeå ñaït ñeán giaù trò toái öu cuûa haøm muïc tieâu, a. Giaù trò tham khaûo aâm coù giaù trò tuyeät ñoái lôùn
chuùng ta xem xeùt moät lôøi giaûi cô baûn môùi. nhaát xaùc ñònh bieán môùi ñöa vaøo lôøi giaûi cô baûn.
Ñeå ñaït ñöôïc vaán ñeà ñoù, chuùng ta phaûi ñöa Trong tröôøng hôïp naøy, ñoù laø giaù trò -5 vaø naèm ôû
vaøo moät bieán môùi trong lôøi giaûi cô baûn vaø coät ñaàu tieân (x1), do ñoù x1 seõ ñöôïc ñöa vaøo lôøi
ñoàng thôøi phaûi loaïi boû moät trong nhöõng giaûi cô baûn. Coät chöùa x1 seõ trôû thaønh coät xoay vaø
bieán trong lôøi giaûi cuõ. ñaùnh daáu muõi teân .
Ta goïi söï thay ñoåi heä cô baûn laø quaù trình b. Haøng xoay seõ ñöôïc xaùc ñònh bôûi tyû soá nhoû nhaát
choïn bieán môùi ñeå ñöa vaøo vaø ñoàng thôøi giöõa coät haèng soá vaø caùc phaàn töû cuûa coät xoay
choïn bieán cuõ ñeå loaïi ra. töông öùng. Trong tröôøng hôïp naøy laø haøng thöù
nhaát bôûi vì (36/6
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
TOÁI ÖU HOÙA x1 x2 s1 s2 s3 Haèng soá
HMT seõ cöïc ñaïi khi ta khoâng coøn giaù trò 1 1/3 1/6 0 0 6
tham khaûo naøo aâm ôû haøng cuoái. 0 1 -0.25 3/10 0 3
Chuùng ta tieáp tuïc söï thay ñoåi lôøi giaûi cô baûn 0 10/3 -0.33 0 1 16
vaø söï khöû vôùi nguyeân taéc nhö trình baøy ôû 0 -1.33 5/6 0 0 30
böôùc treân. x1 x2 s1 s2 s3 Haèng soá
Coät x2 seõ ñöôïc choïn laø coät xoay vaø haøng 2 seõ 1 0 1/4 -0.1 0 5
ñöôïc choïn laø haøng xoay, do ñoù 10/3 seõ laø
0 1 -0.25 3/10 0 3
giaù trò xoay, khi ñoù ôû böôùc naøy thì s1 vaø s2
seõ bò loaïi ra khoûi lôøi giaûi cô baûn. 0 0 1/2 -1 1 6
0 0 1/2 2/5 0 34
11/26/2013 43 Nghieäm: x1=5, 44
x2=3, s1=0,s2=0, s3=6,HMT=34
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Bài tập: Dùng phương pháp đơn hình giải:
MỘT SỐ LƯU Ý Hàm mục tiêu : Max F = 1000( 3x1 + 4x2 ) [1]
Biến bù s=0 Bất phương trình ràng Các ràng buộc :
buộc đã đạt tối đa biến thành • Ràng buộc về thời gian ghép thô :
phương trình. 2,5x1 + x2 0 Bất phương trình • Ràng buộc về thời gian đánh bóng :
3x1 + 3x2 = 14
daïng baøi toaùn ñaëc bieät.
x1 + x2 >= 12
Trong thöïc teá, ngöôøi ta coù theå giaûi baøi toaùn cöïc
tieåu baèng caùch thay noù baèng baøi toaùn ñoái x1 + 3x2 >= 18
ngaãu ñeå trôû thaønh baøi toaùn cöïc ñaïi. vôùi x1, x2 >=0
11/26/2013 47 11/26/2013 48
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
8
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Baûng ban ñaàu cho phöông phaùp ñôn hình (coù moät ít TöØ ma traän naøy ta thaáy raèng neáu x1=x2=0, lôøi giaûi
thay ñoåi so vôùi baøi toaùn tröôùc). cô baûn khoâng theå chaáp nhaän vì s1=-14, s2=-12,
a. Phöông trình vôùi caùc bieán buø : s3=-18 (giaù trò aâm). Ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy ta
2x1 + x2 - s1 = 14 seõ ñöa vaøo caùc bieán nhaân taïo Ai.
x1 + x2 - s2 = 12 Bieán nhaân taïo (Ai) laø moät bieán aûo ñöôïc ñöa vaøo
moät caùch ñaëc bieät ñeå taïo neân moät lôøi giaûi cô baûn
x1 + 3x2 - s3 = 18 x1 chaáp nhaän ñöôïc, do ñoù noù khoâng coù yù nghóa veà
2 1 1 0 0 x 2 14 maët kinh teá. Ta ñöa vaøo moãi baát phöông trình
ban ñaàu moät bieán nhaân taïo :
1 1 0 1 0 * 1 12
s
1 3 0 0 1
s 18
2
11/26/2013
PGS. Dr. Nguyễn Thống s3 49 11/26/2013
PGS. Dr. Nguyễn Thống
50
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
x1
x
2 QUY HOAÏCH NGUYEÂN
2 1 s1
1 0 0 1 0 0
• Ñaây laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa
14
s2
1 1 0 1 0 0 1 0 * s 12
1 3
0 0 1 0 0 1 A 18
3
baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính, ôû ñoù ta
1
x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 Haèng soá A2 chæ chaáp nhaän bieán quyeát ñònh coù giaù
A3 trò nguyeân.
2 1 -1 0 0 1 0 0 14
Choïn soá löôïng thieát bò saûn xuaát, soá
1 1 0 -1 0 0 1 0 12
1 3 0 0 -1 0 0 1 18
löôïng saûn phaåm,....
-2 -3 0 0 0 -M -M -M 0
11/26/2013
M>0 ñuû lôùn ñeå Ai bò loaò ra khoûi p/t HMT
PGS. Dr. Nguyễn Thống
51 11/26/2013
PGS. Dr. Nguyễn Thống
52
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
QUY HOAÏCH NGUYEÂN Ví duï: Moät Xí nghieäp cheá taïo hai loaïi radio A vaø B .
Moät phöông phaùp giaûi cô baûn cho quy hoaïch - Lôïi nhuaän thu ñöôïc töø A vaø B laàn löôït laø 100 $US
nguyeân thöôøng goïi laø “cutting plane“. vaø 200 $US.
Ñaàu tieân xaùc ñònh bieán quyeát ñònh baèng phöông - Moät ngöôøi thôï caàn 1 h vaø 4 h ñeå laép raùp A vaø B.
phaùp quy hoaïch tuyeán tính. Moãi ngaøy ngöôøi thôï chæ coù theå laøm vieäc 12 h.
Tröôøng hôïp bieán keát quaû khoâng nguyeân thieát - Ngoaøi ra theo keát quaû cuûa phoøng nghieân cöùu tieáp
laäp raøng buoäc môùi töø baûn tính QHTT. thò thì khaû naêng tieâu thuï cuûa thò tröôøng toái ña laø
4 saûn phaåm/ngaøy, khoâng phaân bieät loaïi radio
Giaûi heä p/t QHTT vôùi raøng buoäc môùi.
naøo.
Quy trình seõ keát thuùc khi chuùng ta ñaõ nhaän caùc
bieán quyeát ñònh hoaøn toaøn nguyeân.
11/26/2013 53 11/26/2013 54
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
9
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
- Veà khaû naêng coâng ngheä, xöôûng caàn 3 h vaø 1 Goïi x1 = Soá löôïng radio A cheá taïo (nguyeân).
x2 = Soá löôïng radio B cheá taïo (nguyeân).
h ñeå cheá taïo caùc linh kieän cho A vaø B.
s1,s2,s3 : caùc bieán buø
- Xöôûng naøy hoaït ñoäng toái ña 10 h/ngaøy. Haøm muïc tieâu :
Xaùc ñònh chieán löôïc saûn xuaát A vaø B ñeå cöïc Max F = 100 (x1 + 2x2)
ñaïi hoùa lôïi nhuaän cho Xí nghieäp, chuù yù laø Giaûi baèng phöông phaùp ñôn hình. Sau khi theâm caùc
bieán buø si vaøo caùc raøng buoäc ta coù :
vieäc cheá taïo moät soá leõ radio A vaø B laø x1 + x2 +s1 = 4
khoâng coù nghóa thöïc teá. 3x1 + x2 + s2 = 10
x1 + 4x2 + s3 = 12
Laäp baûng ñaàu tieân cuûa phöông phaùp ñôn hình :
11/26/2013 55 11/26/2013 56
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
x1 x2 s1 s2 s3 Haèng soá x1 x2 s1 s2 s3 Haèng soá
1 1 1 0 0 4 1 0 4/3 0 -1/3 4/3
3 1 0 1 0 10 0 0 -11/3 1 2/3 10/3
1 4 0 0 1 12 0 1 -1/3 0 1/3 8/3
-1 -2 0 0 0 0 0 0 2/3 0 1/3 20/3
x1 x2 s1 s2 s3 Haèng soá
Keát quaû: x1 = 4/3 ,x2 =8/3, s1=s3=0,s2=10/3 vaø Fmax =
3/4 0 1 1 -1/4 1
20/3. (x100)
11/4 0 0 1 -1/4 7
Do keát quaû cho bieán quyeát ñònh x1 & x2 khoâng phaûi laø
1/4 1 0 0 1/4 3 soá nguyeân
-1/2 0 0 0 1/2 6 ta khoâng chaáp nhaän tieáp tuïc giaûi vôùi Cuting plane.
11/26/2013 57 11/26/2013 58
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
• Phöông phaùp sau ñaây goïi laø phöông phaùp Gomory Moãi soáõ haïng trong phöông trình treân seõ ñöôïc
cho pheùp taïo ra caùc raøng buoäc boå sung töø baûng phaân tích thaønh toång cuûa moät soá nguyeân vaø
cuoái cuøng cuûa phöông phaùp ñôn hình ôû treân. Caùc moät phaàn leõ theo nguyeân taéc sau :
cöôûng böùc boå sung naøy seõ giôùi haïn theâm phaàn mieàn 2 2 1
nghieäm coù theå. 2 x2 (1 ) s1 (0 ) s3
3 3 3
• (Chuù yù: neân choïn raøng buoäc coù bieán buø =0 Goïi: k
2s1 s3
vì si>=0 k>=0
!!!) 3 3
• Raøng buoäc thöù 3 trong baûng cuoái cuøng cuûa phöông Tröø hai phöông trình treân vaø chuyeån giaù trò 2 ra
phaùp ñôn hình cho ta : veá sau
8 S S 2
x2 1 3 k x 2
s
1
2
11/26/2013
3 3 3 59 11/26/2013
3 60
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
10
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Bôûi vì (x2-s1-2) laø soá nguyeân, do ñoù ñieàu kieän caàn cho k Töø p/trình tröôùc (caùc raøng buoäc ñaõ theâm bieán
laø k>=2/3. Ngöôïc laïi thì neáu: buø):
2 s1 = 4 - x1 -x2
0 k s3 = 12 - x1 - 4x2
3
Thay theá s1 vaø s3 vaøo phöông trình raøng
(2/3-k) laø soá leõ, ñieàu naày khoâng chaáp nhaän ñöôïc. buoäc: S
2 S1 2
Toùm laïi: 3
2S1 S3 2 3 3 3
k Do ñoù : x1+2x2 6 Raøng buoäc môùi vaø seõ
3 3 3 ñöa vaøo p/t QHTT ñeå giaûi laïi.
11/26/2013 61 11/26/2013 62
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Ñaây laø raøng buoäc môùi boå sung, noù cho pheùp giôùi Baøi taäp: Moät xí nghieäp cheá taïo hai loaïi radio A vaø
haïn mieàn nghieäm coù theå. Ta laïi baét ñaàu giaûi baøi B.
toaùn vôùi raøng buoäc boå sung naøy baèng phöông - Lôïi nhuaän thu ñöôïc töø A vaø B laàn löôït laø 100
phaùp ñôn hình. Quy trình naøy seõ chaám döùt khi $US vaø 200 $US.
bieán quyeát ñònh nhaän laáy lôøi giaûi nguyeân ôû lôøi giaûi
toái öu. Lôøi giaûi cho baøi toaùn naày seõ laø : - Moät ngöôøi thôï caàn 1 h vaø 4 h ñeå laép raùp A vaø B.
x1 0 2 - Moãi ngaøy ngöôøi thôï chæ coù theå laøm vieäc 12 h.
& x1 - Ngoaøi ra theo keát quaû cuûa phoøng nghieân cöùu tieáp
x2 3 x2 2 thò thì khaû naêng tieâu thuï cuûa thò tröôøng toái ña laø 4
Vaø Fmax = 600 $ ( < nghieäm baøi toaùn QHTT) saûn phaåm/ngaøy, khoâng phaân bieät loaïi radio naøo.
Chuù yù ta coù 2 lôøi giaûi toái öu cho baøi toaùn naøy.
11/26/2013 63 11/26/2013 64
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
- Veà khaû naêng coâng ngheä, xöôûng caàn 3 Höôùng daãn:
Goïi x1 = Soá löôïng radio A cheá taïo (nguyeân)
h vaø 1 h ñeå cheá taïo caùc linh kieän cho
x2 = Soá löôïng radio B cheá taïo (nguyeân)
A vaø B. • Haøm muïc tieâu :
- Xöôûng naøy hoaït ñoäng toái ña 10 Max F = 100 (x1 + 2x2)
h/ngaøy. • Raøng buoäc:
x1 + x2 < = 4
Xaùc ñònh chieán löôïc saûn xuaát A vaø B
3x1 + x2 < = 10
ñeå cöïc ñaïi hoùa lôïi nhuaän cho xí x1 + 4x2 < = 12
nghieäp.
11/26/2013 65 11/26/2013 66
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
11
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
QUY HOAÏCH NHI NGUYEÂN
Trong tröôøng hôïp baøi toaùn QHTT ôû ñoù
QUY HOẠCH nghieäm chæ coù hai khaû naêng löïa choïn 0
hoaëc 1, ta goïi quy hoaïch nhò nguyeân.
NHỊ NGUYÊN
(Binary)
11/26/2013 67 11/26/2013 68
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Baøi taäp (Quy hoaïch nhò nguyeân). Gọi x1, x2, x3, x4 là biến quyết định (x1=0 không
Moät Nhaø ñaàu tö coù 4 döï aùn löïa choïn sao cho lôïi chọn p/a 1 và x1=1 chọn phương án 1,…).
nhuaän kyø voïng lôùn nhaát. Soá lieäu nhö sau: Hàm mục tiêu:
Döï aùn Ñaàu tö naêm 1 Ñaàu tö naêm 2 Lôïi nhuaän F =x1 +0.9x2+0.7x3+1.1x4 Max
1 2 4 1 RÀNG BUỘC:
Năm 1: 2x1+3x2+2x3+3x4
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Ví duï: Lôïi nhuaän roøng kyø voïng töø kinh doanh cuûa caùc QUY HOAÏCH NHÒ NGUYEÂN
p/a (Fi) theo voán ñaàu tö (010 tr.$) nhö sau Yeâu caàu: Thieát laäp heä phöông trình quy
(Excel file Solver_QHTT1).
(tr.USD) F1 F2 F3 F4
hoaïch nhò nguyeân vôùi muïc tieâu laø cöïc ñaïi
0 0.00 0.00 0.00 0.00 lôïi nhuaän vôùi giaù trò voán cho bieát tröôùc.
1 0.28 0.25 0.15 0.20
2 0.45 0.41 0.25 0.33
3 0.65 0.55 0.40 0.42 Höôùng daãn:
4 0.78 0.65 0.50 0.48
5 0.90 0.75 0.62 0.53 - Thieát laäp haøm muïc tieâu cuûa baøi toaùn.
6 1.02 0.80 0.73 0.56
7 1.13 0.85 0.82 0.58
- Thieát laäp caùc raøng buoäc.
8 1.23 0.88 0.90 0.60
9 1.32 0.90 0.96 0.60
10
11/26/2013
1.38 0.99 1.00 0.60 73 11/26/2013 74
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
• Xaùc ñònh phöông aùn kinh doanh coù hieäu quaû nhaát SÖÛ DUÏNG EXCEL VỚI COÂNG CUÏ
theo caùc giaù trò voán ban ñaàu laø 10 tr.$.
F1 F2 F3 F4 SOLVER ÑEÅ GIAÛI
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 CAÙC BAØI TOAÙN
2 0 0 0 1
3 0 1 4E-16 0
- QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH;
4 1 0 0 0 - QUY HOAÏCH NGUYEÂN;
5 0 0 0 0
6 0 0 0 0 - QUY HOAÏCH NHÒ NGUYEÂN;
7 0 0 0 0 - QUY HOAÏCH PHI TUYEÁN.
8 0 0 0 0
9 0 0 0 0
10 0 0 0 0
PGS. Dr.Sum
Nguyễn Thống 1 1 1 1
11/26/2013 75 11/26/2013 76
PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Ví duï: Duøng Solver giaûi baøi toaùn QHTT sau:
Ñòa chæ HMT Max Z = x1 + 2x2 + x3
trong file Excel Vôùi raøng buoäc :
2x1 + 3x2 +3x3 =0
Ñòa chæ cac
bieán trong
file Excel P/t caùc raøng buoäc
11/26/2013 77 11/26/2013 78
PGS. Dr. Nguyễn Thống EXCEL VÔÙI SOLVER PGS. Dr. Nguyễn Thống
13
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
11/26/2013 79 11/26/2013 80
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
11/26/2013 81 11/26/2013 82
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Baøi taäp QUY HOAïCH NGUYEÂN
Laáy ví duï treân vôùi lôøi giaûi nguyeân.
11/26/2013 83 11/26/2013 84
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
14
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Baøi taäp (Quy hoaïch nhò nguyeân).
Moät Nhaø ñaàu tö coù 4 döï aùn löïa choïn sao cho Lôïi
nhaän kyø voïng lôùn nhaát. Soá lieäu nhö sau:
Döï aùn Ñaàu tö naêm 1 Ñaàu tö naêm 2 Lôïi nhuaän
1 2 4 1
2 3 2 0.9
3 2 2 0.7
4 3 3 1.1
Bieát raèng khaû naêng huy ñoäng voán naêm 1 laø 7tyû, naêm
2 laø 9 tyû. Do yeâu caàu kyõ thuaät, döï aùn 1 vaø 3 khoâng
ñöôïc choïn ñoàng thôøi.
11/26/2013 85 11/26/2013 86
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Tìm lôøi giaûi trong tröôøng hôïp khoâng coù raøng
buoäc giöõa hai döï aùn 1 vaø 3.
11/26/2013 87 11/26/2013 88
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
Baøi taäp: Söû duïng Solver ñeå giaûi caùc baøi taäp ôû
treân.
11/26/2013 89 11/26/2013 90
PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống
15
- PHÖÔNG PHAÙP ÑÒNH LÖÔÏNG TRONG QUAÛN LYÙ
Chương 2: Quy hoạch tuyến tính
HẾT CHƯƠNG
11/26/2013 91
PGS. Dr. Nguyễn Thống
16
nguon tai.lieu . vn