Xem mẫu
- ThS PHÙNG DUY QUANG (ch biên)
BÀI GI NG ÔN THI CAO H C
Môn: TOÁN KINH T
HÀ N I, 2011
1
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- Ph n 1. Toán cơ s ng d ng trong kinh t
TOÁN CAO C P 1
Chuyên 1. Ma tr n và nh th c
§1. Ma tr n và các phép toán
§ 2. nh th c c a ma tr n vuông c p n
§ 3. Ma tr n ngh ch o
§ 4. H ng c a ma tr n
Chuyên 2. H phương trình tuy n tính và ng d ng
§1. Khái ni m h phương trình tuy n tính
§2. Phương pháp gi i h phương trình
TOÁN CAO C P 2
Chuyên 3. Gi i h n, liên t c, vi – tích phân hàm m t bi n s
§1. Gi i h n c a dãy s
§ 2. Gi i h n c a hàm s
§ 3. Hàm s liên t c
§4 o hàm, vi phân và ng d ng
§5. Tích phân hàm m t bi n s
Chuyên 4. Phép tính vi phân hàm nhi u bi n s và ng d ng
§ 1. Gi i h n và liên t c
§2. o hàm riêng và vi phân c a hàm nhi u bi n
§ 3 C c tr hàm nhi u bi n
Chuyên 5. T ng h p các d ng Toán cao c p ng d ng trong phân tích kinh t
2
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- TÀI LI U THAM KH O
1. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL
Book Copany, 1984.
2. Lê ình Thúy (ch biên), Toán cao c p cho các nhà kinh t , NXB Th ng kê, 2004.
3. Bài t p Toán cao c p cho các nhà kinh t , NXB HKTQD, 2008
4. Nguy n Huy Hoàng, Toán cao c p T1, T2. NXB Giáo d c Vi t Nam, 2010.
5. Nguy n Huy Hoàng,Hư ng d n gi i bài t p Toán cao c p cho các nhà kinh t T1, T2.
NXB Giáo d c Vi t Nam, 2010.
6. Ngô Văn Th , Nguy n Quang Dong, Mô hình toán kinh t , NXB Th ng kê, 2005.
3
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- TOÁN CAO C P 1
Chuyên 1. MA TR N VÀ NH TH C
§1. MA TR N
1. Các khái ni m
Cho m, n là các s nguyên dương
nh nghĩa 1. Ma tr n là m t b ng s x p theo dòng và theo c t. M t ma tr n có m
dòng và n c t ư c g i là ma tr n c p m × n. Khi cho m t ma tr n ta vi t b ng s bên
trong d u ngo c tròn ho c ngo c vuông. Ma tr n c p m × n có d ng t ng quát như sau:
a 11 a 12 ... a 1n a 11 a 12 ... a 1n
a ... a 2 n
a 21 a 22 ... a 2 n a 22
ho c 21
... ... ... ... ... ...
... ...
a
a m2 ... a mn a m1 a m2 ... a mn
m1
Vi t t t là A = (aij)n xn ho c A = [aij]n xn
2 5 − 7
Ví d 1. Cho ma tr n A = . A là m t ma tr n c p 2 x 3 v i
6 7 1
a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1
nh nghĩa 2.
• Hai ma tr n ư c coi là b ng nhau khi và ch khi chúng cùng c p và các ph n t
v trí tương ng c a chúng ôi m t b ng nhau.
• Ma tr n chuy n v c a A là AT : AT = [aji]n xn
• Ma tr n i c a ma tr n A là ma tr n: -A = [- aij]n x n
1 − 3
Ví d 2. Cho ma tr n A = 4 − 1 . Xác nh AT, - A
2 0
− 1 3
1 4 2
T
Ta có A = ; − A = − 4 1
− 3 − 1 0 − 2 0
4
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- • Ma tr n không c p m x n là ma tr n mà m i ph n t u b ng 0 : θ = [ 0] m x n
• Khi n = 1 ngư i ta g i ma tr n A là ma tr n c t, còn khi m = 1 ngư i ta g i ma tr n
A là ma tr n dòng.
• Ma tr n vuông c p n là ma tr n có s dòng và s c t b ng nhau và b ng n. M t ma
tr n có s dòng và s c t cùng b ng n ư c g i là ma tr n vuông c p n. Khi ó các ph n
t a11, a22, … , ann g i là các ph n t thu c ư ng chéo chính, còn các ph n t an1, a n −12 ,
… , a1n g i là các ph n t thu c ư ng chéo ph .
• Ma tr n tam giác là ma tr n vuông khi có các ph n t n m v m t phía c a ư ng
chéo chính b ng 0.
+) Ma tr n A = [aij]n x n ư c g i là ma tr n tam giác trên n u aij = 0 v i i > j:
a 11 a 12 ... a 1n −1 a 1n
0 a 2n
a 22 ... a 2 n −1
A = ... ...
... ... ...
0 0 ... a n −1 n −1 a n −1 n
0 a nn
0 ... 0
+) Ma tr n A = [aij]n x n ư c g i là ma tr n tam giác dư i n u aij = 0 v i i < j:
a 11 0 ... 0 0
a 0
a 22 ... 0
21
A = ... ...
... ... ...
a n −11 a n −1 2 ... a n −1 n −1 0
a n1 a nn
a n2 ... a n n −1
Ví d 4. Cho m t ví d v ma tr n vuông c p 3, ma tr n tam giác trên, tam giác dư i c p
3.
Gi i:
1 2 − 5 1 2 − 5 1 0 0
2 − 1 4 ; B = 0 1 4 ; C = 2 − 1 0
A=
1 1 6 0 0 6 1 1 6
• Ma tr n chéo là ma tr n vuông c p n mà có t t c các ph n t n m ngoài ư ng
chéo chính u b ng 0
5
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- • Ma tr n chéo có t t c các ph n t thu c ư ng chéo chính b ng 1 ư c g i là ma
tr n ơn v :
1 0 ... 0 0
0 0
1 ... 0
E = ... ...
... ... ...
0 0 ... 1 0
0 1
0 ... 0
• T p các ma tr n c p m x n trên trư ng s th c R, ký hi u: Matm x n(R)
• T p các ma tr n vuông c p n trên trư ng s th c R, ký hi u: Mat n(R)
2 6
2 5 − 7 5 7
Ví d 5. Cho ma tr n A = và B =
6 7 1
− 7 m 2
a) Tìm AT và – A
AT = B
b) Tìm m
Gi i :
2 6
− 2 − 5 7
a) Ta có A = 5 7 và A =
T
− 6 − 7 − 1
− 7 1
2 6 2 6
5 7 = 5 7 ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1
T
b) A = B ⇔
− 7 1 − 7 m 2
2. Phép toán trên ma tr n
a) Phép c ng hai ma tr n và phép nhân ma tr n v i 1 s
nh nghĩa 3. Cho hai ma tr n cùng c p m × n: A = [a ij ]m×n ; B = [b ij ]m×n
T ng c a hai ma tr n A và B là m t ma tr n c p m × n, kí hi u A + B và ư c xác nh
như sau: A + B = [a ij + b ii ]m×n
Tích c a ma tr n A v i m t s α là m t ma tr n c p m × n, kí hi u α A và ư c xác
nh như sau:
6
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- [ ]
αA = α.a ij m× n
Hi u c a A tr B: A – B = A + (-B)
T nh nghĩa ta suy ra các tính ch t cơ b n c a phép toán tuy n tính
Tính ch t 1. Cho A, B, C là các ma tr n b t kì c p m × n, α ; β là các s b t kì ta luôn
có:
1) A + B = B + A
2) (A + B) +C = A + (B + C)
3) A + 0 = A
4) A + (-A) = 0
5) 1.A = A
6) α (A + B) = α A + α B
7) ( α + β )A = α A + β A
8) ( α β )A = α ( β B)
1 − 2 4 2 1 − 2
Ví d 6. Cho các ma tr n A = ; B = 2 1 3 . Khi ó
0 1 − 1
1 − 2 4 2 1 − 2 − 4 − 7 14
2A − 3B = 2. + ( −3).2 1 3 = − 6 − 1 − 11
0 1 − 1
1 3
Ví d 7. Cho ma tr n B = . Tìm ma tr n C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E
5 3
Gi i :
1 1 3 1 0 − 1 / 2 3 / 2
1
Phương trình ã cho ⇔ C = B − E = . − =
2 5 3 0 1 5 / 2 1 / 2
2
b) Phép nhân ma tr n v i ma tr n
Cho hai ma tr n :
7
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- b11 b12 ... b1p
a 11 a 12 ... a 1n
b ... b 2 p
a ... a 2 n b 22
a 22
B=
A = 21 ; 21
... ... ...
... ... ... ...
...
b n1 b n2 ... b np
a m1 a m2 ... a mn
Trong ó, ma tr n A có s c t b ng s dòng c a ma tr n B.
nh nghĩa 4.
Tích c a ma tr n A v i ma tr n B là m t ma tr n c p m × p, kí hi u là AB và ư c xác
c11 c12 ... c1n
c ... c 2 n
c 22
nh như sau: AB = 21
... ... ...
...
c m1 c m2 ... c mn
n
trong ó c ij = a i1b1 j + a i 2 b 2 j + ... + a in b nj = ∑ a ik b kj ; (i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., p )
k =1
Chú ý 1.
• Tích AB t n t i khi và ch khi s c t c a ma tr n ng trư c b ng s dòng c a ma
tr n ng sau.
• C c a ma tr n AB: Ma tr n AB có s dòng b ng s dòng c a ma tr n ng trư c
và s c t b ng s c t c a ma tr n ng sau.
• Các ph n t c a AB ư c tính theo quy t c: Ph n t cij là tích vô hư ng c a dòng
th i c a ma tr n ng trư c và c t th j c a ma tr n ng sau.
1 2 0 1 4
Ví d 8. Cho hai ma tr n A = và B = 1 3 2 . Tính A.B và B.A
3 1
Gi i :
1 2 0 1 4 1.0 + 2.1 1.1 + 2.3 1.4 + 2.2 2 7 8
Ta có A.B = . = =
3 1 1 3 2 3.0 + 1.1 3.1 + 1.3 3.4 + 1.2 1 6 14
Nhưng s c t c a B khác s dòng c a A nên không t n t i tích BA.
8
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- 1 2 3 − 1
2 − 1 0
Ví d 9. Cho ma tr n A = ; B = 2 − 1 1 0 . Tính A.B, BA
− 3 2 0 3 0 2 1
Gi i :
1 2 3 − 1
2 − 1 0 3 5 7 − 1
Ta có A.B = .2 − 1 1 0 = 1 − 8 − 7 3
− 3 2 0 3 0 2 1
Còn B.A không t n t i
Các tính ch t cơ b n c a phép nhân ma tr n
Tính ch t 2. Gi s phép nhân các ma tr n dư i ây u th c hi n ư c.
1) (AB)C = A(BC)
2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD
3) α (AB) = ( α A)B = A( α B)
4) AE = A; EB =B
c bi t , v i ma tr n vuông A: AE = EA = A
T
5) ( AB ) = BT A T
Chú ý 2. Phép nhân ma tr n không có tính ch t giao hoán. N u A.B = θ thì chưa ch c
A = θ ho c B = θ .
0 1 0 0
Ví d 10. Cho các ma tr n A = ; B = 1 0 .
0 0
1 0 0 0
Khi ó A.B = ; B.A = 0 1 và AB ≠ BA
0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Ví d 11. Cho A = ; B = 0 1 , ta có A.B = 0 0.0 1 = 0 0
0 0
9
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- c) Lu th a c a ma tr n vuông: Cho A là ma tr n vuông c p n. Ta xác nh
A0 = E; An = An -1. A ( n là s nguyên dương)
a b
Ví d 12. Cho A = . Ch ng minh r ng, ma tr n A tho mãn phương trình
c d
X 2 − (a + d ) X + (ad − bc) = θ
Gi i :
a b a b a b 1 0
Ta có A 2 − (a + d )A + (ad − bc)E = . c d − (a + d ). c d + (ad − bc).0 1
c d
a 2 + bc (a + d )b a (a + d ) b(a + d ) ad − bc 0 0 0
= = θ . ( pcm)
− + 0 =
2
ad − bc 0 0
(a + d )c bc + d c(a + d ) d(a + d )
1 1
. Tính A2, A3, ..., An (n là s t nhiên)
Ví d 13. Cho ma tr n A =
0 1
Gi i :
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3
Ta có A 2 = 3
0 1 = 0 1 ; A = 0 1 0 1 = 0 1 ; .... ; tương t ta có th d
0 1
1 n n
oán A n = . D dàng ch ng minh ư c b ng quy n p công th c A .
0 1
nh nghĩa 5. Phép bi n i sơ c p trên ma tr n A = [aij]m x n là các phép bi n i có
d ng
i) i ch 2 dòng (c t) cho nhau: d i ↔ d j (c i ↔ c j )
ii) nhân m t dòng (c t) v i m t s khác 0: kd i (kc i )
iii) nhân m t dòng (c t) v i m t s r i c ng vào dòng (c t) khác: hd i + d j (hc i + c j )
1 − 2 4 6
Ví d 15. Cho ma tr n A = 2 1 − 2 5 . Th c hi n các phép bi n i sơ c p sau: (1)
1 − 1 2 4
nhân dòng 2 v i 2
(2) hoán v dòng 1 cho dòng 2
10
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- (3) nhân dòng 2 v i – 2 c ng vào dòng 3
nh nghĩa 6. Ma tr n d ng b c thang là ma tr n có tính ch t
i) Các dòng khác không (t c là có m t ph n t khác 0) n u có thì luôn trên các dòng
b ng không (t c là hàng có t t c các ph n t b ng 0).
ii) hai dòng khác 0 k nhau thì ph n t khác 0 u tiên dòng dư i bao gi cũng bên
ph i c t ch a ph n t khác 0 u tiên dòng trên.
Ví d 15. Các ma tr n sau là ma tr n d ng b c thang
1 1 5 6
8 1 − 1 34 7
1 − 1 2
0 0 1 2 8 − 1
1 −1 3 5 ; C = 0 2 1
A= ; B=
0 0 0 2 − 5 0 0 2 1 − 1
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
11
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- §2. NH TH C C A MA TR N VUÔNG
1. Khái ni m nh th c
a 11 a 12 ... a 1n
a ... a 2 n
a 22
Cho ma tr n A = 21 . Xét ph n t aij c a A, b i dòng i và c t j c a A
... ... ...
...
a n1 a n2 ... a nn
ta ư c ma tr n vuông c p n -1, ký hi u Mij: g i là ma tr n con con ng v i ph n t aij.
a 11 a 12 a 13
Ví d 1. A = a 21 a 23 . Tìm các ma tr n con ng v i các ph n t c a A
a 22
a 31
a 32 a 33
a 11 a 12 ... a 1n
a ... a 2 n
a 22
nh nghĩa 1. Cho m t ma tr n A vuông c p n: A = 21 .
... ... ...
...
a n1 a n2 ... a nn
nh th c c a A, ký hi u det(A) ho c A ưc nh nghĩa như sau:
* nh th c c p 1: A = [a11] thì det(A) = a11
a 11 a 12 a 11 a 12
* nh th c c p 2: A = thì det(A ) = a = a 11a 22 − a 12 a 21
a 21 a 22 a 22
21
1 6
Ví d 2. Tính nh th c = 1.14 − 6.2 = 2
2 14
x2 25
Ví d 3. Gi i phương trình: =0
9 4
nh th c ta ư c: VT = 4x2 – 25.9
Gi i: Tính
25.9 ± 15
PT ⇔ x 2 = ⇔x=
4 2
* nh th c c p 3:
12
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- a 11 a 12 a 13
det A = a 21 a 22 a 23 = a 11 .a 22 .a 33 + a 12 .a 23 .a 31 + a 13 .a 21 .a 32 − a 13 .a 22 .a 31 − a 12 .a 21 .a 33 − a 11 .a 23 .a 32
a 31 a 32 a 33
Quy t c Sariut: nh th c c p 3 có 6 s h ng, mà m i s h ng là tích c a 3 ph n t mà
m i dòng, m i c t ch có m t i bi u duy nh t.
* Các s h ng mang d u c ng: các s h ng mà các ph n t n m trên ư ng chéo chính
ho c các ph n t n m trên các nh c a tam giác có 3 nh có m t c nh song song v i
ư ng chéo chính.
* Các s h ng mang d u tr : các s h ng mà các ph n t n m trên ư ng chéo ph ho c
các ph n t n m trên các nh c a tam giác có 3 nh có m t c nh song song v i ư ng
chéo ph . nh quy t c tính nh th c c p 3, ngư i ta thư ng dùng “quy t c Sarrus”
sau:
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
D u+ D u-
T quy t c Sarrus trên, chúng ta còn m t quy t c khác tính nhanh nh th c c p
3: ghép thêm c t th nh t và c t th hai vào bên ph i nh th c ho c ghép thêm dòng th
nh t và dòng th hai xu ng bên dư i nh th c r i nhân các ph n t trên các ư ng chéo
như quy t c th hi n trên hình:
a1 b1 c1 a1 b1 a1 b1 c1
D u-
a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 c2
a3 b3 c3 a3 b3 a3 b3 c3
a1 b1 c1 D u +
D u- D u+
a2 b2 c2
1 −2 3
Ví d 4.Tính nh th c ∆ 3 = 2 0 1
2 −2 1
Gi i: Ta có ∆ 3 = 1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10
13
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- x2 x1
Ví d 5. Gi i phương trình 1 1 1=0
4 21
Gi i:
x2 x1
x = 1
1 1 = x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔
Ta có 1
x = 2
4 21
nh th c c p n (n ≥ 3 ):
•
n
∑a (−1) i+ j det(M ij ) (v i i b t kỳ)
det(A) = ij
j=1
n
∑a
ho c det(A) = (−1) i + j det(M ij ) (v i j b t kỳ)
ij
i =1
2011 0 00
2
2010 x x1
Ví d 6. Gi i phương trình : =0
2009 1 11
2008 4 21
2011 0 00
2010 x 2 x1
. S d ng công th c khai tri n nh th c theo dòng 1 ta
t ∆4 =
Gi i :
2009 1 11
2008 4 21
x2 x1
1+1
1 1 = 2011.( x 2 − 3x + 2) .
có ∆ 4 = 2011.(−1) 1
4 21
x = 1
PT ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔
x = 2
2. Tính ch t c a nh th c
A =[aij]n x n v i ∆ n = det(A )
Dòng i c a nh th c ư c g i là t ng c a 2 dòng n u:
(a a i2 ....a ij ....a in ) = ( bi1 bi2 ....bij ....bin ) + ( ci1 ci 2 ....cij ....cin ) ;a ij = bij + cij (∀j = 1, n)
i1
Dòng i là t h p h p tuy n tính c a các dòng khác n u
14
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- n n
a ij = ∑ α k a kj (∀j = 1, n ) . Ký hi u d i = ∑ α k d k ; dk = (ak1 ak2 ... akn)
k =1 k =1
k≠ k ≠i
Tính ch t 1. (Tính ch t chuy n v )
nh th c c a ma tr n chuy n v c a nó: det(AT)
nh th c c a ma tr n vuông b ng
= det(A)
a b T
Ví d 1. Cho A = . CMR det(A ) =det(A)
c d
Bn c t gi i
Chú ý 1. T tính ch t chuy n v , m i tính ch t c a nh th c úng cho dòng thì cũng
úng cho c t và ngư c l i. Do ó, trong các tính ch t c a nh th c, ch phát bi u cho các
dòng, các tính ch t ó v n gi nguyên giá tr khi thay ch "dòng" b ng ch "c t".
Tính ch t 2. (Tính ph n x ng).
i ch hai dòng cho nhau và gi nguyên v trí các dòng còn l i thì nh th c i d u.
ab cd
Ví d 2. Xét và
cd ab
Bn c t gi i
H qu 1. M t nh th c có hai dòng gi ng nhau thì b ng không.
Ch ng minh
Gi nh th c có hai hàng như nhau là ∆ n . i ch hai hàng ó ta ư c, theo tính ch t 2
ta có
∆ n = - ∆ n ⇔ 2∆ n = 0 ⇒ ∆ n = 0
Tính ch t 3. (Tính thu n nh t). N u nhân các ph n t m t dòng nào ó v i cùng m t s
k thì ư c nh th c m i b ng k l n nh th c cũ
a 11 a 12 ... a 1n a 11 a 12 ... a 1n
... ... ... ... ... ... ... ...
... ka in = k. a i1 a i 2
ka i1 ka i 2 ... a in
... ... ... ... ... ... ... ...
a n1 a n2 ... a nn a n1 a n 2 ... a nn
nh lý này có th phát bi u: N u m t nh th c có m t dòng có nhân t chung thì ưa
nhân t chung ra ngoài d u nh th c
15
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- H qu 2. M t nh th c có hai dòng t l v i nhau thì b ng không.
Ch ng minh: Th t v y, n u ưa h s t l ra ngoài d u nh th c thì ư c m t nh th c
có hai dòng gi ng nhau nên nó b ng không.
12 −2 6 7
17 − 68 35 − 204
Ví d 2.19. Ch ng minh nh th c sau chia h t cho 17: ∆ 4 =
2 1 1 −4
6 7 11 9
Gi i :
12 −2 6 7 12 − 2 6 7
17.1 17.(−4) 17.2 17.(−12) 1 −4 2 − 12
Ta có ∆ 4 = = 17.D .
= 17.
2 1 1 −4 2 1 1 −4
6 7 11 9 6 7 11 9
Vì D là nh th c t o b i các s nguyên nên D cũng là s nguyên. Do ó ∆ 4 M17
Tính ch t 3. (Tính c ng tính). N u nh th c có m t dòng là t ng hai dòng thì nh th c
b ng t ng c a hai nh th c.
a 11 a12 a1n a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n
L
L L L L L L LL L L LL
bi1 + ci1 bi 2 + ci2 L bin + cin = bi1 bi2 L bin + ci1 ci2 L cin
L L L L LLLL LLLL
a n1 an2 a nn a n1 a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn
L
H qu 3. N u nh th c có m t dòng là t h p tuy n tính c a các dòng khác thì nh
th c y b ng không.
ó là h qu c a tính ch t c ng tính và tính thu n nh t.
H qu 4. N u c ng vào m t dòng m t t h p tuy n tính c a các dòng khác thì nh th c
không i.
T các tính ch t c a nh th c, ta thư ng s d ng các phép bi n i sơ c p trên ma tr n
trong quá trình tính nh th c c p n:
* i ch 2 dòng (c t) cho nhau: d i ↔ d j (c i ↔ c j ) , phép bi n i này nh th c id u
* Nhân m t dòng (c t) v i m t s khác 0: kd i (kc i ) , phép bi n i này nh th c tăng lên
k l n.
16
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- * Nhân m t dòng (c t) v i m t s c ng vào dòng (c t) khác: hd i + d j (hc i + c j ) , phép bi n
i này không làm thay i giá tr c a nh th c.
a b c
Ví d 4. Tính nh th c ∆ 3 = a' b' c'
ax + a ' y bx + b' y cx + c' y
Gi i :
abc
− xd1 − yd 2 + d 3
Nhân dòng 1 v i (-x), dòng 2 v i (-y) c ng vào dòng 3 ta ư c: ∆ 3 a ' b ' c' = 0
=
0 0 0
a2 b2 c2 d2
(a + 1) 2 (b + 1) 2 (c + 1) 2 (d + 1) 2
Ví d 5. Tính nh th c ∆ 4 =
( a + 2) 2 ( b + 2) 2 ( c + 2) 2 ( d + 2) 2
(a + 3) 2 (b + 3) 2 (c + 3) 2 (d + 3) 2
Gi i :
Nhân dòng 1 v i (-1), r i c ng l n lư t vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 ư c:
a2 b2 c2 d2
2a + 1 2b + 1 2c + 1 2d + 1
− d1 + d i
∆4 =
4a + 4 4 b + 4 4c + 4 4d + 4
i = 2 , 3, 4
6a + 9 6 b + 9 6c + 9 6d + 9
Sau ó nhân dòng 2 v i (- 2) c ng vào dòng 3, nhân dòng 2 v i (-3) c ng vào dòng 4
ư c:
a2 b2 c2 d2
2a + 1 2 b + 1 2c + 1 2d + 1
− 2d 2 +d 3
= 0 (vì có 2 dòng t l nhau)
∆4 =
2 2 2 2
−3 d 2 + d 4
6 6 6 6
a b c 1
b c a 1
Ví d 6. Tính nh th c ∆ 4 = c a b 1
a+b b+c c+a
1
2 2 2
Gi i :
17
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- a + b + c +1 b c 1
a + b + c +1 c a 1
C ng các c t vào c t 1 ta ư c: ∆ 4 = a + b + c + 1 a b 1
b+c c+a
a + b + c +1 1
2 2
t nhân t chung c a c t 1 ra ngoài:
1 b c 1
1 c a 1
∆ 4 = (a + b + c + 1). 1 1=0
a b
b+c c+a
1 1
2 2
3.Các phương pháp tính nh th c
Cho nh th c c p n:
a 11 ... a 1 j ... a 1n
... ... ... ... ...
∆ n = a i1 ... a ij ... a in
... ... ... ... ...
a n1 ... a nj ... a nm
a) S d n g nh nghĩa b ng công th c khai tri n:
• P h n bù i s c a aij
Xóa i dòng th i và c t th j (dòng và c t ch a ph n t aij ) c a A ta ư c m t ma
tr n con (n - 1), kí hi u là M ij . nh th c c a M ij ư c g i là nh th c con c p n -1
tương ng v i ph n t aij c a A và A ij = (−1) i+ j det(M ij ) ư c g i là ph n bù is c a
ph n t aij c a nh th c d. Cho nh th c c p n là ∆ n . Khi ó ∆ n có th tính theo hai
cách sau:
i) Công th c khai tri n theo dòng th i :
n n
∆ n = ∑ a ij (−1) i + j . det(M ij ) = ∑ a ij A ij (1)
j=1 j=1
ii) Công th c khai tri n theo c t th j:
18
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- n n
∆ n = ∑ a ij (−1) i + j . det(M ij ) = ∑ a ij A ij (2)
i =1 i =1
H qu . iv i nh th c c p n là ∆ n , ta có
∆ khi i = k
n
∑a A kj = n
i) (3)
ij
0 khi i ≠ k
j=1
∆ khi j = k
n
∑a A ik = n
ii) (4)
ij
0 khi j ≠ k
i =1
Nh n xét: M c ích c a công th c (1) ho c (2) là chuy n vi c tính nh th c c p n v
tính nh th c c p n -1, r i t c p n -1 chuy n v c p n -2, …, cho n nh th c c p 3, 2.
Khi áp d ng công th c (1) ho c (2), ta nên ch n dòng ho c c t có ch a nhi u ph n t 0
nh t khai tri n. N u không có dòng ho c c t như v y ta bi n i nh th c ưa v nh
th c m i b ng nh th c ban u nhưng có dòng ho c c t như v y.
211 1 2 −1
Ví d 1. Tính nh th c a) ∆ 3 = 3 − 1 2 b) ∆ 3 = 3 1 2
450 −1 2 4
Gi i: a) Khai tri n nh th c theo dòng 3 ta có:
1 1 21
∆ 3 = 4.(−1) 3+1 . + 5.(−1) 3+ 2 . + 0 = 12 − 5 = 7
−1 2 32
b) Khai tri n nh th c theo c t 1 ta có:
12 2 −1 2 −1
∆ 3 = 1.(−1)1+1 . + 3.(−1) 2+1 . + (−1)(−1) 3+1 . = 0 − 30 − 5 = −35
24 2 4 1 2
1 1 0 5 100 2
−1 3 1 3 0 1 0 −3
Ví d 2. Tính nh th c a) ∆ 4 = b) ∆ 4 =
2 − 4 −1 − 3 001 4
3 −5 2 1 234 11
Gi i :
a) Nhân c t 1 v i (-1) c ng vào c t 2, nhân c t 1 v i (-5) c ng vào c t 4; r i khai tri n
nh th c theo c t 1, ta ư c
19
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
- 1 0 0 0
4 1 8 4 1 8
−1 4 1 8
− c1 + c 2
1+1
= 1.(−1) . − 6 − 1 − 13 = − 6 − 1 − 13
∆4 =
2 − 6 − 1 − 13
− 5 c1 + c 4
−8 2 − 14 −8 2 − 14
3 −8 2 − 14
C ng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 v i (-2) c ng vào dòng 2, r i khai tri n nh th c
theo c t 2 ta ư c:
41 8
−2 −5
d1 + d 2
∆ 4 = − 2 0 − 5 = 1.(−1)1+ 2 . = 20
− 16 − 30
− 2 d1 + d 3
− 16 0 − 30
b) Nhân c t (-2) v i c t 1 r i c ng v i c t 4
100 0
0 1 0 −5
∆4 =
001 4
234 9
Khai tri n nh th c theo dòng 1 ta ư c
100 0
1 0 −5 1 0 −5
0 1 0 −5 1+1
= 1.(−1) . 0 1 4 =0 1 4
∆4 =
001 4
34 9 34 9
234 9
Nhân c t 1 v i 5 c ng vào c t 3, khai tri n nh th c theo dòng 1 ta ư c
100
14
∆ 4 = 0 1 4 = 1.(−1)1+1 . = 24 − 16 = 8
4 24
3 4 24
Ví d 3. Tính nh th c c a ma tr n tam giác trên và tam giác dư i
a 11 0 ... 0 0
a 11 a 12 ... a 1n −1 a 1n
a 21 a 22 ... 0 0
0 a 22 ... a 2 n −1 a 2n
b) ∆ n = ... ... ... ... ...
a) ∆ n = ... ... ... ... ...
a n −11 a n −1 2 ... a n −1 n −1 0
0 0 ... a n −1 n −1 a n −1 n
a n1 a n2 ... a n n −1 a nn
0 0 ... 0 a nn
Gi i :
20
ThS Phùng Duy Quang
Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
nguon tai.lieu . vn