Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân (p2)

Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số hằng là ptvp có dạng an y(n) +an (n 1) 1 +...+a y +a0y = 0 (1) an y(n) +an (n 1) 1 +...+a y +a0y = f (x) (2) Trong đó a1,a2 , … , an là các hằng số thực PT (1) gọi là pt thuần nhất PT (2) gọi là pt không thuần nhất Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Hệ hàm độc lập tuyến tính trên (a,b) Hệ {y1(x), y2(x), …, yn(x)} được gọi là độc lập tuyến tính trong (a,b) nếu từ đẳng thức λ1y1(x)+λ2y2(x)+…+λnyn(x)=0 Ta suy ra λ1= λ2 =… = λn=0 Định thức Wronski của các hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) 1 trong (a,b) là y2 ... yn W(y ,y2,...,yn) = y y2 ... yn : : : : (n 1) (n 1) 1 2 ... (n 1) n Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định lý: Cho các hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b). Nếu W(y ,y2,...,yn) 0 thì hệ trên đltt trong (a,b) Ví dụ: 2 hàm y1(x) = ex , y2(x) = xex đltt với mọi x Ta đi tính định thức Wronski của 2 hàm đã cho W(y ,y2) = ex xex ex ex(1+ x) = e2x(1+ x) xe2x = e2x ∀x Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất y +a y +a0y = 0 (1.1) Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) là 2 nghiệm riêng đltt của thì NTQ của pt (1.1) là ytn=C1y1(x)+C2y2(x) Ta đi tìm nghiệm của (1) ở dạng y = ekx Thay vào (1) : k2ekx +a kekx +a2ekx = 0 k2 Vậy hàm y = ekx +a k +a2 = 0 là nghiệm của (3) pt (1) khi và chỉ khi k là nghiệm của pt (3) Ta gọi pt (3) là pt đặc trưng của pt (1) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Pt thuần nhất : y Pt đặc trưng : k2 +a y +a y = 0 +a k +a2 = 0 (3) TH 1: (3) có 2 nghiệm thực k1 k2: y = ek1x,y2 = ek2 đltt TH 2: (3) có 1 nghiệm thực k = k1 = k2: y = ekx,y2 = xekx đltt TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợp k =a ib : y = eax cosbx,y1 = eax sinb đltt NTQ của pt thuần nhất là y =C y1 +C2y2 ... - tailieumienphi.vn