Bài giảng Giải tích: Chương 4 - Phan Trung Hiếu

23/10/2017

Chương 4:

Tích phân
GV. Phan Trung Hiếu

§1. Nguyên hàm

§1. Nguyên hàm
§2. Tích phân xác định
§3. Các phương pháp tính tích phân
LOG
O
2

I. Nguyên hàm:
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên
khoảng D.
Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D
 F ( x )  f ( x ), x  D.
Ví dụ 1.1:

Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên
D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D
đều có dạng F(x) + C.

 x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 )  2 x.
 x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  3)  2 x.
 x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của
2x, vì ( x 2  C )  2 x.
3

II. Tích phân bất định:
Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm
số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất
cả các nguyên hàm của f trên D.
Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f được
ký hiệu là
f ( x )dx ,

4

Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2
thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có

 f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)
Ví dụ 1.2.  2x dx  x 2  C vì ( x 2 )  2 x.



trong đó

 : dấu tích phân.
x : biến lấy tích phân.
f ( x ) : hàm lấy tích phân.
f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân.
5

6

1

23/10/2017

III. Tính chất:

IV. Bảng tích phân cơ bản:

  k . f ( x )dx  k  f ( x )dx với k là hằng số khác 0.
   f ( x )  g( x )  dx   f ( x )dx   g( x )dx.


Xem Bảng 4.

  f ( x )dx  f ( x )  C .


  f ( x )dx   f ( x).
7

8

I. Công thức Newton-Leibniz:

§2. Tích phân xác định

Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích
phân xác định của f từ a đến b là
b

 f ( x)dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a )

a

9

10

II. Tính chất:
a



 f ( x)dx  0
a

a

b

   f ( x )dx   f ( x )dx
b
b



a

b

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx

a
b

với k là hằng số

a

b

b

§3. Các phương pháp
tính tích phân

   f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx


a

b




a

a

c

a

b

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
a

với c nằm giữa a và b

c

b

 f ( x )  0 trên [a,b]   f ( x )dx  0.
a

11

12

2

23/10/2017

Dạng 1:
Tính tích phân bằng cách dùng các công thức
tích phân cơ bản, công thức Newton-Leibniz.
Ví dụ 3.1. Tính
a )  x 5dx
3

dx
x2
2

c) 

20

b)   2 x  1 dx
0

dx
1 2x
1

d )

Dạng 2:
Tính tích phân bằng cách biến đổi hàm dưới
dấu tích phân, đưa về tích phân cơ bản. Các
phép biến đổi hay dùng là
Tíchnhân phân phối  Tổng.


a b a b
 
c
c c
m

 n x m  x n ; x a .x b  x ab ;
13

xa
1
 x a b ; b  x  b .
xb
x
14

Ví dụ 3.2. Tính
Các tính chất của tích phân bất định và xác
định.
Hằng đẳng thức.
Biến đổi lượng giác.
Nhân, chia lượng liên hiệp.

1

x
1 

a)   7 x 2  
 dx
5 cos 2 x 


b)  ( x 2  1) xdx
0


c) 

(1  e x ) 2
dx
e3 x

2
x
d )  2cos 2 dx
2
0

7

f )

e)  tan 2 xdx
g) 
15

Dạng 3: Phương pháp đổi biến số loại 1
Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp
sao cho
biểu thức còn lại trong hàm số.
Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi
hàm số. t 

17

x2  1  1  x2
1  x4

3

dx
x  2  x 3

3

h)

dx

x
1

2

dx
 3x  2

16

Tích phân dạng: I   f u ( x) u( x)dx
Bước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx
Bước 2 (thay vào tích phân):
I   f (t ) dt  F (t )  C  F u ( x)   C

18

3

23/10/2017

Dấu hiệu đổi biến thường gặp:

b

Tích phân dạng:

I   f u ( x) u( x) dx
a

Có

Đặt

(u(x))n

Bước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx
a
b
Bước 2 (đổi cận): x
t u(a) u(b)
Bước 3 (thay vào tích phân):

t  u(x)

ln x và

u (b)

I



t = căn

căn

t  e x  ,   const

e x 

1
x

f (t ) dt

u (a )

và

1
x

1
x2

t  ln x

t

1
x

(cận mới, biến mới).
19

20

Dạng

Đặt

1
có tan x và
cos 2 x
1
có cot x và
sin 2 x
1

có arcsinx và
có arccosx và

Dạng

t = tanx
t = cotx
t = arcsinx

1 x 2
1

 f (cos x)sinx dx

t  cos x

22

Đặt

sin x   sin x
Thay 
 cos x   cos x

Ví dụ 3.3. Tính

 f (sin x, cos x)dx

f đổi dấu
Thay cos x   cos x

f đổi dấu
Tổng quát
23

1

a )  x (1  x )20 dx

b)  x 3 1 x 2 dx
0

t  tan x

e x dx
c)  x
e 1

f không đổi dấu
Thay sin x   sin x

t = arccotx
t  sin x

21

Dạng

t = arctanx

 f (sin x)cosx dx

t = arccosx

1 x 2

Đặt

1
có arctanx và
1 x 2
1
có arccotx và
1 x 2

t  cos x

dx

 x (2  ln

2

x)



1

e)

d)

1

x

1/2

2

1
sin   dx
x 

e tan x
 cos2 x dx
0
4

f)



t  sin x

g) 

arccos x
1 x

2

2

dx

h)  e 2sin x cos xdx
0

x
t  tan
2
24

4

23/10/2017

i) 

sin 2 x
dx
cos 6 x

k) 

cos3 x
dx
sin 4 x





2

Dạng 4: Phương pháp đổi biến số loại 2

4

dx
l) 
1  sin x
0

m )  cos x cos 2xdx
0

dx

n) 

p) 





Có

Đặt

2

q )  4x  2 e x xdx

a 2  u 2 ( x)

   
u ( x )  a sin t , t   ; 
 2 2

u 2 ( x)  a 2

4x 2  4x  5

2

sin x  cos x
dx
sin x  cos x

Phương pháp (đổi biến):
Đặt x  u(t )  dx  u(t )dt
Dấu hiệu đặt thông thường:

u ( x) 

0

u2 ( x)  a2
25

   
u ( x)  a tan t , t  
; 
 2 2
26

Chú ý: Khi tính tích phân hàm chứa căn, ta ưu tiên
đặt t = căn hoặc nhân liên hiệp trước. Nếu không được
thì ta mới nghĩ đến đổi biến loại 2.

Ví dụ 3.4. Tính
1

b)  x 2  x 2 dx

a )  x 2 4  x 2 dx

0

Dạng 5: Tính tích phân hàm hữu tỉ
P ( x)

 Q( x) dx, P(x), Q(x) là các đa thức.
Phương pháp:
Bậc tử  bậc mẫu: chia đa thức.
Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t =
một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta
làm như sau

27

28

n

Mẫu có (ax  b) : Đặt t  ax  b.
2

Mẫu là tam thức bậc hai ax  bx  c :
Vô nghiệm và tích phân có dạng

 ax

2

dx
, ta
 bx  c

2
2
2
biến đổi ax  bx  c  a  u ( x ) , rồi đặt

u ( x )  a tan t .
( px  q)dx
Vô nghiệm và tích phân có dạng  2
ta tìm
ax  bx  c
hệ số A, B sao cho

px  q
A.(Maâ~ u)
B
 2
 2
2
ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c
29

a
   
,t 
;  \ {0}
sin t
 2 2

Có nghiệm kép x0 , ta phân tích

ax 2  bx  c  a ( x  x0 ) 2
P( x )
P( x )
 2

.
ax  bx  c a( x  x0 )2
Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích

ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ).
Tìm hệ số A, B sao cho

P( x )
A
B


.
a( x  x1 )( x  x2 ) x  x1 x  x2

30

5