Bài giảng Giải tích: Chương 4 - Phan Trung Hiếu

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 0 | Page: 8 | FileSize: M | File type: PDF
of x

Bài giảng Giải tích: Chương 4 - Phan Trung Hiếu. Bài giảng Giải tích: Chương 4 Tích phân của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 3 bài được trình bày như sau: Nguyên hàm, tích phân xác định, các phương pháp tính tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!. Giống các giáo án bài giảng khác được thành viên chia sẽ hoặc do sưu tầm lại và chia sẽ lại cho các bạn với mục đích nâng cao trí thức , chúng tôi không thu phí từ người dùng ,nếu phát hiện tài liệu phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho chúng tôi,Ngoài tài liệu này, bạn có thể tải đề thi, giáo trình phục vụ tham khảo Có tài liệu download sai font không xem được, nguyên nhân máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn download các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/bai-giang-giai-tich-chuong-4-phan-trung-hieu-2ksbuq.html

Nội dung


23/10/2017

Chương 4:

Tích phân
GV. Phan Trung Hiếu

§1. Nguyên hàm

§1. Nguyên hàm
§2. Tích phân xác định
§3. Các phương pháp tính tích phân
LOG
O
2

I. Nguyên hàm:
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên
khoảng D.
Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D
 F ( x )  f ( x ), x  D.
Ví dụ 1.1:

Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên
D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D
đều có dạng F(x) + C.

 x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 )  2 x.
 x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  3)  2 x.
 x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của
2x, vì ( x 2  C )  2 x.
3

II. Tích phân bất định:
Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm
số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất
cả các nguyên hàm của f trên D.
Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f được
ký hiệu là
f ( x )dx ,

4

Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2
thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có

 f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)
Ví dụ 1.2.  2x dx  x 2  C vì ( x 2 )  2 x.



trong đó

 : dấu tích phân.
x : biến lấy tích phân.
f ( x ) : hàm lấy tích phân.
f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân.
5

6

1

23/10/2017

III. Tính chất:

IV. Bảng tích phân cơ bản:

  k . f ( x )dx  k  f ( x )dx với k là hằng số khác 0.
   f ( x )  g( x )  dx   f ( x )dx   g( x )dx.


Xem Bảng 4.

  f ( x )dx  f ( x )  C .


  f ( x )dx   f ( x).
7

8

I. Công thức Newton-Leibniz:

§2. Tích phân xác định

Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích
phân xác định của f từ a đến b là
b

 f ( x)dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a )

a

9

10

II. Tính chất:
a



 f ( x)dx  0
a

a

b

   f ( x )dx   f ( x )dx
b
b



a

b

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx

a
b

với k là hằng số

a

b

b

§3. Các phương pháp
tính tích phân

   f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx


a

b




a

a

c

a

b

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
a

với c nằm giữa a và b

c

b

 f ( x )  0 trên [a,b]   f ( x )dx  0.
a

11

12

2

23/10/2017

Dạng 1:
Tính tích phân bằng cách dùng các công thức
tích phân cơ bản, công thức Newton-Leibniz.
Ví dụ 3.1. Tính
a )  x 5dx
3

dx
x2
2

c) 

20

b)   2 x  1 dx
0

dx
1 2x
1

d )

Dạng 2:
Tính tích phân bằng cách biến đổi hàm dưới
dấu tích phân, đưa về tích phân cơ bản. Các
phép biến đổi hay dùng là
Tíchnhân phân phối  Tổng.


a b a b
 
c
c c
m

 n x m  x n ; x a .x b  x ab ;
13

xa
1
 x a b ; b  x  b .
xb
x
14

Ví dụ 3.2. Tính
Các tính chất của tích phân bất định và xác
định.
Hằng đẳng thức.
Biến đổi lượng giác.
Nhân, chia lượng liên hiệp.

1

x
1 

a)   7 x 2  
 dx
5 cos 2 x 


b)  ( x 2  1) xdx
0


c) 

(1  e x ) 2
dx
e3 x

2
x
d )  2cos 2 dx
2
0

7

f )

e)  tan 2 xdx
g) 
15

Dạng 3: Phương pháp đổi biến số loại 1
Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp
sao cho
biểu thức còn lại trong hàm số.
Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi
hàm số. t 

17

x2  1  1  x2
1  x4

3

dx
x  2  x 3

3

h)

dx

x
1

2

dx
 3x  2

16

Tích phân dạng: I   f u ( x) u( x)dx
Bước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx
Bước 2 (thay vào tích phân):
I   f (t ) dt  F (t )  C  F u ( x)   C

18

3

23/10/2017

Dấu hiệu đổi biến thường gặp:

b

Tích phân dạng:

I   f u ( x) u( x) dx
a



Đặt

(u(x))n

Bước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx
a
b
Bước 2 (đổi cận): x
t u(a) u(b)
Bước 3 (thay vào tích phân):

t  u(x)

ln x và

u (b)

I



t = căn

căn

t  e x  ,   const

e x 

1
x

f (t ) dt

u (a )



1
x

1
x2

t  ln x

t

1
x

(cận mới, biến mới).
19

20

Dạng

Đặt

1
có tan x và
cos 2 x
1
có cot x và
sin 2 x
1

có arcsinx và
có arccosx và

Dạng

t = tanx
t = cotx
t = arcsinx

1 x 2
1

 f (cos x)sinx dx

t  cos x

22

Đặt

sin x   sin x
Thay 
 cos x   cos x

Ví dụ 3.3. Tính

 f (sin x, cos x)dx

f đổi dấu
Thay cos x   cos x

f đổi dấu
Tổng quát
23

1

a )  x (1  x )20 dx

b)  x 3 1 x 2 dx
0

t  tan x

e x dx
c)  x
e 1

f không đổi dấu
Thay sin x   sin x

t = arccotx
t  sin x

21

Dạng

t = arctanx

 f (sin x)cosx dx

t = arccosx

1 x 2

Đặt

1
có arctanx và
1 x 2
1
có arccotx và
1 x 2

t  cos x

dx

 x (2  ln

2

x)



1

e)

d)

1

x

1/2

2

1
sin   dx
x 

e tan x
 cos2 x dx
0
4

f)



t  sin x

g) 

arccos x
1 x

2

2

dx

h)  e 2sin x cos xdx
0

x
t  tan
2
24

4

23/10/2017

i) 

sin 2 x
dx
cos 6 x

k) 

cos3 x
dx
sin 4 x





2

Dạng 4: Phương pháp đổi biến số loại 2

4

dx
l) 
1  sin x
0

m )  cos x cos 2xdx
0

dx

n) 

p) 







Đặt

2

q )  4x  2 e x xdx

a 2  u 2 ( x)

   
u ( x )  a sin t , t   ; 
 2 2

u 2 ( x)  a 2

4x 2  4x  5

2

sin x  cos x
dx
sin x  cos x

Phương pháp (đổi biến):
Đặt x  u(t )  dx  u(t )dt
Dấu hiệu đặt thông thường:

u ( x) 

0

u2 ( x)  a2
25

   
u ( x)  a tan t , t  
; 
 2 2
26

Chú ý: Khi tính tích phân hàm chứa căn, ta ưu tiên
đặt t = căn hoặc nhân liên hiệp trước. Nếu không được
thì ta mới nghĩ đến đổi biến loại 2.

Ví dụ 3.4. Tính
1

b)  x 2  x 2 dx

a )  x 2 4  x 2 dx

0

Dạng 5: Tính tích phân hàm hữu tỉ
P ( x)

 Q( x) dx, P(x), Q(x) là các đa thức.
Phương pháp:
Bậc tử  bậc mẫu: chia đa thức.
Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t =
một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta
làm như sau

27

28

n

Mẫu có (ax  b) : Đặt t  ax  b.
2

Mẫu là tam thức bậc hai ax  bx  c :
Vô nghiệm và tích phân có dạng

 ax

2

dx
, ta
 bx  c

2
2
2
biến đổi ax  bx  c  a  u ( x ) , rồi đặt

u ( x )  a tan t .
( px  q)dx
Vô nghiệm và tích phân có dạng  2
ta tìm
ax  bx  c
hệ số A, B sao cho

px  q
A.(Maâ~ u)
B
 2
 2
2
ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c
29

a
   
,t 
;  \ {0}
sin t
 2 2

Có nghiệm kép x0 , ta phân tích

ax 2  bx  c  a ( x  x0 ) 2
P( x )
P( x )
 2

.
ax  bx  c a( x  x0 )2
Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích

ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ).
Tìm hệ số A, B sao cho

P( x )
A
B


.
a( x  x1 )( x  x2 ) x  x1 x  x2

30

5

1121508